Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 1 Design and Implementation of an Inverse Dynamics Controller for Uncertain Nonholonomic Robotic Systems Khoshnam Shojaei-Alireza Mohammad Shahri-Behzad Tabibian Tóm tắt: Bài báo này đề tới vấn đề điều khiển bám quĩ đạo của hệ thống Robot nonholonomic với sự có mặt không chắc chắn của mô hình. Một bộ điều khiển bám được đề xuất để nó kết hợp kỹ thuật kiếm soát động lực học ngược và một bộ điều khiển PID thích nghi mạnh mẽ với chiến lược đảm bảo tính bất định cho cả tham số và phi tham số. Lý thuyết SPR-Lyapunov phân tích ổn định chứng minh rằng lỗi bám quĩ đạo được thống nhất cuối cùng cũng bị chặn (UUB) và theo cấp số nhân hội tụ về một hình cầu nhỏ có nguồn gốc. Mục đích của điều khiển bám động lực học ngược được áp dụng thành công cho Robot di động có bánh xe nonholonomic (WMR) và kết quả thử nghiệm đều có phần giới hạn để xác nhận hiệu quả của bộ điều khiển đề xuất. Keywords: Adaptive-robust, Inverse dynamics control, nonholonomic systems, uncertainty, trajectory tracking. 1.Introduction Vấn đề điều khiển chuyển động của chủ đề hệ thống cơ khí nonholonomic constranins đã thu hút một sự chú ý đáng kể trong những năm qua [9]. Xe hai bánh, Robot di động có bánh xe (WMRs), robot đa ngón tay và robot không gian là những ví dụ điển hình của những hệ thống như vậy. Theo định lý cơ bản của Brockett [1], những hệ thống như vậy không thể được ổn định ở bất kỳ trạng thái cân bằng cấu hình bằng cách làm trơn tru thông tin phải hồi ở trạng thái tĩnh. Từ đánh giá của bài báo [9], định lý nổi tiếng này và bản chất phi tuyến của hệ thống nonholonomic đã thúc đẩy các nhà nghiên cứu tập trung vào các vấn đề điều khiển chuyển động của hệ thống như thế. Mặc dù rất nỗ lực vào việc thiết kế ổn định cho bộ điều khiển hệ thống nonholonomic, nhưng các thông tin về hạn chế bộ điều khiển phản hồi đã được phát triển. Một số kết quả cơ bản trên mô hình, điều khiển và ổn định của hệ thống nonholonomic đã được báo cáo trong [3-5]. Một số nhà nghiên cứu đề xuất bộ điều khiển ổn định chi hệ thống nonholonomic bằng cách chuyển đổi chúng thành dạng chuỗi [10, 17, 19, 21]. Trong số các vấn đề điều khiển chuyển động khác của hệ thống nonholonomic, hầu hết cá nhà nghiên cứu tập trung vào việc theo dõi quỹ đạo với luật điều khiển liên quan tới thời gian được gọi là bám quỹ đạo. Một loạt các thuật toán điều khiển cho vấn đề bám quỹ đạo được phát triển trong tài liệu [8, 18, 19, 21, 29]. Khác biệt giữa lý thuyết điều khiển hình học có thể sử dụngtruyền thống để thiết kế bộ điều khiển phản hồi tuyến tính để giải quyết vấn đề bám quỹ đạo của hệ thống nonholonomic [14]. Từ việc xem xét các tài liệu, kết quả sau đây được tóm tắt liên quan việc áp dụng kỹ thuật này cho hệ thống nonholnomic: 1. Một hệ thống nonholonomic được kiểm soát và điểm cân bằng của nó được lý thuyết Lyapunov đảm bảo ổn định, nhưng không thể làm cho ổn định tiệm cận bởi một phần phản hồi trạng thái tĩnh trơn [4]. 2. Nó được chỉ ra rằng hệ thống nonholonomic không tuyến tính hóa trạng thái vào. Tuy nhiên, nếu lựa chọn một tập hợp các phương trình đầu ra, nó có thể được tuyến tính hóa đầu vào-ra [6, 8]. 3. Kích thước của các hệ thống tuyến tính phản hồi của mô hình động học và mô hình động lực học của hệ thống nonholonomic là hai lần số lượng thiết bị truyền động của nó và chỉ số khả năng kiểm soát của mỗi hệ thống là bằng 2 [3]. 4. Bản chất động lực học của các hệ thống là ổn định [13]. Có một sự tồn tại vô giá các tài liệu đề xuất các bộ điều khiển bám quỹ đạo dựa trên thông tin phản hồi tuyến tính cho hệ thống nonholonomic mà hầu hết trong số chúng được phát triển robot nonholonomic di động có bánh xe [3, 8, 15, 20, 22]. Tuy nhiên, chúng sử dụng động học chính xác và mô hình động học của các hệ thống nonholonomic. Thông tin phản hồi tuyến tính dựa trên việc lý tưởng hóa các điều kiện phi tuyến. Do đó, việc lý tưởng hóa có thể không đạt được một cách hoàn hảo trong sự hiện diện không chắc chắn của hệ thống robot nonholonomic. Trong [25], một thông tin phản hồi tuyến tính của hệ thống điều khiển thích nghi đã được phát triển để giải quyết vấn đề này cho một WMR nonholonomic. Kết quả thực nghiệm của bộ điều khiển được đề xuất trong [25] trên WMR thực được trình bày trong [27]. Tuy nhiên, các mô phỏng máy tính và thí nghiệm thực tế cho thấy các đề xuất hệ thống điều khiển thích nghi của nó mất ổn định trong một số thí nghiệm vởi sự có mặt của nonparametric không chắc chắn như ma sát bề mặt và unmodeled castor wheels. Martins và cộng sự [24] đề nghị một bộ điều khiển bám động học với sgnma-modification cho một ổ đĩa WMR khác. Tuy nhiên, kích thước ràng buộc cuối cùng của lỗi bám phụ thuộc vào sự hỗn loạn bên ngoài và nó không thể tự do chỉnh định thông số. Ngoài ra, việc thực hiện qua loa của bộ điều khiển đề xuất của họ không rõ ràng. Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 2 Trong công việc trước đây [26], những vấn đề này được giải quyết bằng cách thiết kế một luật điều bám thích nghi. Tuy nhiên, bộ điều khiển không phải là thực nghiệm được đánh giá bởi WMR thực. Dựa trên kiến thức hiện tại của các tác giả, không có sẵn công việc hiện tại đề xuất điều khiển động lực học ngược để giải quyết vấn đề điều khiển bám quỹ đạocủa hệ thống robot nonholonomic trong sự có mặt của cả tham số và phi tham số bất định. Hơn nữa, hầu hết các bộ điều khiển bền vững đề xuất [16, 21, 26, 28, 30] đã không đánh giá thực nghiệm trên hệ thống robot thực nonholonomic. Vì vậy, những đóng góp chính của bài báo này được nêu rõ như sau. Một bộ điều khiển bám động lực học ngược thích nghi-bền vững được thiết kế cho một động học tích hợp và trình bày rõ ràng động học của hệ thống robot nonholonomic trong sự tham gia của tham số và phi tham số bất định. Công việc của Sarhar [8] là điều cần thiết để phát triển bộ điều khiển. Ngược lại với nhiều kết quả có sẵn cái mà sử dụng các kỹ thuật backstepping trong thiết kế bộ điều khiển cho những WMR, bài viết này đề xuất một điều khiển bám cái mà bao gồm động lực học ngược thích nghi-bền vững và luật điều khiển PID bền vững. SPR-Lyapunov phân tích tính ổn định được sử dụng để chứng minh các lỗi bám là được thống nhất cuối cùng cũng tiệm cận (UUB) và theo cấp số nhân hội tụ về một hình cầu nhỏ chứa gốc, có đường kính có thể tự do chỉnh định bằng điều khiển các thông số. Kết quả thực nghiệm dựa trên thương mại về WMR nonholonomic được trình bày để đánh giá ý tưởng của bộ điều khiển được đề xuất. Kể từ khi thiết bị truyền động động học bị bác bỏ dựa trên giả định momen xoắn bánh xe như đầu vào của hệ thống robot trong hầu hết các nghiên cứu trước đây, nó hợp lý và thiết thực hơn việc đưa điện áp đầu vào thiết bị truyền động như là điều khiển đầu vào. Tuy nhiên, WMRs có thể được yêu cầu tốc độ và họ không chấp nhận thiết bị truyền động đầu vào là điện áp [23, 24]. Kết quả bài báo [30] đề xuất một bộ điều khiển thích nghi dựa trên mạng neuron cho một WMR nonholonomic chứa thiết bị truyền động động học. Tuy nhiên, bộ điều khiển đề xuất của họ cung cấp tín hiệu điện áp ở đầu vào và không thể áp dụng cho thương mại WMRs có sẵn . Bộ điều khiển đề xuất trong bài báo của Martins [24] đã xem xét vấn đề này và cung cấp vận tốc đầu vào trong mô hình động học của WMR dựa trên mô hình đươc trình bày bởi De La Cruz và Carelli [23]. Trong việc này, mô hình trình bày trong [23] cũng được sử dụng để cung cấp tính khả thi của việc đánh giá thí điểm bộ điều khiển được đề xuất ở quan hệ WMR. Phần còn lại của bài báo được tổ chức như sau. Trong phần 2, mô hình động học và động lực học của hệ thống robot nonholonomic được xem xét trong thời gian ngắn và mục tiêu điều khiển được quy định. Phần 3 đề xuất bộ điều khiển bám quỹ đạo và phân tích sự ổn định của hệ thống closed-loop. Phương pháp đề xuất áp dụng cho một drive WMR vi sai nonholonomic trong phần 4. Kết quả mô phỏng được trình bày trong phần này để đánh giá hiệu quả bộ điều khiển. Phần 5 trình bày thí nghiệm trên robuLAB WMR 10 để xác minh hiệu quả của luật điều khiển được đề xuất. Cuối cùng, phần 6 kết luận bài báo. 2. Trình bày vấn đề Xét một lớp hệ thống robot nonholonomic m ràng buộc [8]: ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) T d d M q q C q q q B q F q B q B q A q             (1) ( ) 0 A q q   (2) Với 1 2 [q ,q , ,q ] T n q  là vector biến khớp tổng quát, ( ) 1 n m     , ( ) n n M q   là matran đối xứng xác định dương , ( , ) n n C q q    là matran lực hướng tâm và Coriolis, ( ) 1 ( ) n m F q     biểu thị vector ma sát, ( ) 1 n m d     biểu thị ranh giới của nhiễu không biết, ( ) ( ) n n m B q    là matran biến đổi đầu vào, ( ) m n A q   là matran đầy đủ hạng và 1 m    là vector nhân tử Lagrange cái mà biểu thị sự ràng buộc về lực. Từ bình luận của [8, 16], để 1 2 ( ) [s (q),s (q), ,s (q)] T n m S q   là matran đầy đủ hạng cái mà được tạo thành từ một tập hợp các vector độc lập tuyến tính, ( ) , 1, , n i s q i n m    , trong không gian trống của ( ) A q mà ( ). ( ) 0 A q S q  . Xét phương trình Ep.2, ta tìm được vector giả vấn tốc của hệ thống như sau: 1 2 ( ) [v (t),v (t), ,v (t)] T n m v t   , như vậy: 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) n m n m q S q v t s q v s q v        (3) Lấy vi phân Eq.3 ta có: ( ) ( ) q S q v S q v      được kết quả thay vào Eq.1và nhân với ( ) T S q ta được phương trình: ( ) ( , ) ( ) ( ) d Mv t C q q v t F q B          (4) Với , ( , ) , , T T T T M S MS C q q S MS S CS B S B      ( ) , d d F q BF B      Xét thiết bị truyền động động học, người ta cho rằng robot được kích thích bởi n-m động cơ Brushed DC (động cơ một chiều không dùng chổi than) Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 3 với bánh răng cơ khí. Phương trình điện thay thế cho mỗi phần ứng động cơ là: / a a a a a b m u L di dt R i k      (5) Có b k là hằng số EMF, , a a R L điện trở và điện cảm của phần ứng động cơ tương ứng, a u là điện áp đầu vào. Bằng cách bỏ qua điện cảm của mạch phần ứng và xem xét mối quan hệ giữa mô-men xoắn và dòng phần ứng (tức là m a k i    )và mối quan hệ giữa mô-men xoắn và tốc độ trước và sau bánh răng (i.e , m m n n         ), mô- men xoắn được cho bởi: 1 2 a k u k      (6) Có: 1 2 1 ( / ), , / a b w m k nk R k nk k n n n     là tỉ số truyền và k  là hằng số mô-men xoắn của động cơ. Khi đó Ep.6 được viết là: 1 2 a T k u k X v    (7) Lại có: ( ) ( ) n m n m T X     là matran biến đổi vận tốc bánh xe thành vector giả vận tốc. Sau khi thay thế Eq.7 vào Eq.4 ta có: 2 1 ( ) ( ( , ) ) ( ) ( ) T d a Mv t C q q k BX v t F q k Bu          (8) Tính chất 1: ( ) M q là matran đối xứng và xác định dương bị giới hạn trên và dưới 1 2 ( ) m M q m   với 1 m và 2 m là hằng số vô hướng. Tính chất 2: Giá trị động học và mô hình động học của hệ thống nonholonomic: 1 1 1 2 1 1 1 2 1 1 ( ) , ( , ) , ( ) , , , , d S q s C q q c v F q f f v s f f c and           (9) Có 1 1 2 1 1 , , , s f f c and  là các hằng số tích cực vô hướng. Mô hình động học 3 và phương trình động học 8 có thể được gộp vào không gian trạng thái như sau: 1 1 1 2 0 0 0 (( ( , ) ) (( ) ( ) ) a T d q Sv x u v k M B M C q q k BX v t F q                                         (10) Với (2 ) n m x   là vector trạng thái. Phép biểu diễn này cho phép áp dụng sự khác biệt giữa hình học lý thuyết điều khiển trong vấn đề điều khiển bám. Dựa trên các vấn đề thảo luận, công việc sẽ được tập trung vào kỹ thuật điều khiển đầu vào-đầu ra tuyến tính để giải quyết vấn đề điều khiển bám. Vì vậy, bằng cách lựa chọn thích hợp để thiết lập đầu ra ( ) ( ( )) y t h q t  , mục đích điều khiển được thiết lập như sau. Cho quỹ đạo đặt ( ) ( ( )) r r y t h q t  và r q đáp ứng vấn tốc giả định ràng buộc 2, sau đó tổng hợp các động học và vấn đề điều khiển bám động học được thảo luận trong bài báo thiết kế luật điều khiển phản hồi cho hệ thống 10 với kết quả đầu ra ( ) ( ( )) y t h q t  đảm bảo lim ( ) 0 t e t   với ( ) ( ) ( ) r e t y t y t   là sai lệch bám. Giả định sau đây rất cần thiết để phát triển bộ điều khiển trong phần tiếp theo. Giả thiết 1: Phép đo của tất cả không gian trong thái (tức , T T T x q v      ) là có tính thời gian thực, Giả thiết 2: Giá trị đặt ( ) r y t được chọn sao cho ( ), ( ), ( ) r r r y t y t y t   là những tín hiện bị chặn. Giả thiết 3: Các thông số động học của hệ thống nonholonomic là hình học và dễ dàng đo lường, chẳng hạn các thông số được giả định hợp lý để đảm bảo tính tin cậy của bài báo. Tuy nhiên, sự phát triển của bộ điều khiển là đơn giản và tầm thường cho động học tham số bất định trong phần tiếp. 3 Development of the Inverse Dynamics Control () 3.1 Thiết kế SPR-Lyapunov Phần này đề xuất một BĐK bám thích nghi-bền vững dựa trên kỹ thuật động lực học ngược cho việc xây dựng tích hợp động học và động lực học của hệ thống nonholonomic cho bởi Eq.10. Hệ thống 10 có thể được biểu diễn nhiều đầu vào mô hình phi tuyến: 1 ( ) ( , ) ( ) n m i ai i x f x g x u x          (11) Có (2 ) ( ), ( , ) ( ) n m i x andf x g x and x     là vector mịn trên trường (2 ) n m   với (0, ) 0 g   . Tham số vector p   bao gồm tham số bất định ở matran đầu vào trong Eq.10. Kết quả đầu ra là hàm tọa độ tổng quát q. Vì số lượng các bậc tự do của hệ thống là n-m (kết quả đầu ra độc lập):   1 2 ( ) ( ), ( ), , ( ) T n m y h x h q h q h q    (12) Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 4 Phương pháp tiếp cận cơ bản để có được quan hệ tuyến tính đầu vào-ra là liên tục phân biệt các kết quả đầu ra để có được quan hệ rõ ràng với đầu vào. Sau qua trình nhận dạng, ta có được: 1 ( ) ( ) ( ) , 1, , n m j f j j gi j ai hj i y L h L h L h u J q S q v j n m            (13) Nó không liên quan tới cơ cấu truyền động. Trong Eq.13 ( ) ( ) / hj j J q h q q    , nhận dạng lần nữa ta có được: 2 2 1 1 ( ( ) ( ) ) j f j f j f j j n m n m gi f j ai gi j ai i i y L h L L h L L h L h L L h u L L h u                  (14) Rõ ràng là ( ) 0 gi f j L L h  . Sau khi đơn giản hóa, Eq.14 có thể được viết như sau: 2 ( ) ( ) ( ) j f f g f a y L h x L L h x L L h x u      (15) Đặt ( ): ( ) g f L L h x D x  được gọi là matran tách: 1 1 1 1 ( ) g f gn m f g f n m gn m f n m L L h L L h D x L L h L L h                 (16) Giả thiết rằng det( ( )) 0 D x  . Như vậy là hệ thống 11 và 12 là tuyến tính đầu vào-ra. Các thông tin phản hồi phi tuyến sau: 1 2 ( )( ( )) a f u D x L h x     (17) là hệ thống tuyến tính và riêng biệt với n-m nhiễu tích hợp gấp đôi như sau: f y L L h      (18) có j  j=1, ,n-m là biến đầu vào mới. Người ta cho rằng có p tham số chưa biết trong mô hình động học của hệ thống robot nonholonomic và ( ) f L L h x  biểu thị tham số bất định. Theo nguyên tắc tương đương, D(x) phải được thay thế bằng điều khiển tách ước lượng trong luật 17 1 2 ˆ ( )( ( )) a f u D x L h x     (19) Với ˆ ˆ ( ) ( ) g f D x L L h x  (20) Vì f(x) và h(x) không chứa bất kỳ giới hạn bất định và không gian hệ thống để phản hồi thông tin bằng phép đo cảm biến theo giả thiết 1 và 3, 2 f L h cũng có sẵn. Thay Eq.19 vào Eq.15 ta được: 2 1 2 ˆ ( ) ( ) ( )( ) ( ) f f f y L h x D x D x L h L L h x         (21) Sau một số biến đổi, Eq.21 thay thế bởi: 1 2 ˆ ( ) ( )( ) ( ) f f y D x D x L h L L h x           (22) với ˆ ( ) ( ) ( ) D x D x D x    (23) Sau đó viết gọn Eq.22 lại ta được: W( , ) ( ) f y x L L h x          (24) ở đó 1 , , T p            là vector ước lượng tham số lỗi và matran ( ) W n m p    là matran truy hồi theo thời gian được tạo từ hàm đã biết. Theo như thuộc tính cấu trúc của hệ thống nonholonomic, hình thức tham số này có thể đạt được cho hệ thống nonholonomic. Bây giờ, luật điều khiển thích nghi được suy ra từ phương pháp thiết kế SPR-Lyapunov ở [2,12]. Thừa nhận rằng đầu vào điều khiển bên ngoài j  chohệ thống con thứ j Eq.24 được chọn để đầu ra thứ j, ( ) j y t , bám đầu ra mong muốn, ( ) jr y t , trong vòng ngoài: 0 ( ) 1,2, , t j jr pj j vj j ai j Rj y k e k e k e d v j n m              (25) pj k vj k ai k biểu thị hệ số khuếch đại vòng ngoài của vộ điều khiển. Điều khiển bền vững 25 được giải thích như sau: 1. Thuật ngữ điều khiển Rj v là luật điều khiển bền vững, được thiết kế để bù cho phi tham số bất định ( ) f L L h x  2. Tác dụng điều khiển phản hồi jr y  là bù cho sự tăng tốc của quỹ đạo mong muốn. 3. Một BĐK phản hồi PID đóng vai trò quan trọng để ổn định sai lệch hệ thống được phát triển như sau. Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 5 Thêm luật điều khiển PID bền vững đưa trong Eq.25 để hê thống con thứ j của Eq.24 dẫn đến phương trình sai lệch sau: 0 ( ) W ( ( )) t j vj j pj j ai j j f j Rj e k e k e k e d L L h x v               (26) ở đó 1 2 W w ,w , ,w j j j jn m      là hàng thứ j của ma trận hồi quy. Với mục đích thích nghi, người ta có thể sử dụng các bộ lọc lỗi cho tín hiệu đầu ra thứ j: 1 2 0 ( ) ( ) ( ) ( ) , 1,2, , t j j j j j j t e t e t e d j n m             (27) Vì j j jr e y y      được biết như là chức năng của trạng thái đo được xem bởi Eq.13, nó rõ ràng thấy j  là có sẵn. Thông số 1 j  và 2 j  được chọn như vậy cho hàm truyền của lỗi hệ thống vong kín 26 và 27, cái được xác định đầu ra ( ) j t  từ đầu vào W ( ( )) j f j Rj L L h x v      , sẽ được xác định dương (SPR): 2 3 2 1 2 ( ) ( ) / ( ) j j j vj pj aj H s s s s k s k s k         (28) Hàm truyền ( ) j H s thực xác định dương (SPR) dựa trên các định lý sau: Định lý 1: Giả thiết rằng một hàm hữu tỷ ( ) j H s có biến phức s j     là không đồng nhất không cho tất cả s. Cho * n ở mức độ tương đối của ( ) j H s với * | | 1 n  . Khi đó, ( ) j H s là SPR khi và chỉ khi i) ( ) j H s có Re[s]>0 ii) Re[H (j )]>0, (- , ) j       iii) Khi * 2 | | * | | 1, lim Re[ (j )]>0 1 lim ( ) / 0 j j n H n H j j             Nội dung cụ thể trong bài báo [12]. Theo các điều kiện trong định lý 1, ta dễ dàng thấy ( ) j H s là SPR khi 2 2 , , , pj vj pj vj aj pj aj vj k k k k k k sk k    1 / j pj vj k k   và 2 / j aj vj k k   .Bổ đề sau cần thiết cho việc thiết kế SPR-Lyapunov trong đoạn tiếp. Bổ đề 1 (Meyer-Kalman-Yakubovitch)Xét hệ thống tuyến tính sau:  Ax+Bu y=Cx x   Hệ thống được gọi là SPR khi và chỉ khi : a) cho Q bất kỳ đối xứng xác định, nếu tồn tại nghiệm P cũng đối xứng xác định thì phương trình Lyapunov T A P PA Q    . b) matran B và C thỏa mãn phương trình: T B P C  [7] Theo như bổ đề 1, tồn tại ma trận P j và Q j để mà , T T j j j j j j j j A P P A Q P B C     (29) trong đó, A j ,B j ,C j là ma trận không gian trạng thái cực tiểu của Eqs.26 và 27 trong hình thức sau: =A X +B (W ( ( )) ) j j j j j f j Rj j j j X L L h x C X          (30) ở đó 0 ( ) T t j j j j X e d e e            là biến trạng thái và 2 1 0 1 0 0 0 0 1 , 0 , 1 1 j j aj pj vj j j j A B k k k C                                 (31) Kết quả là phương trình sai lệch của hệ thống được viết như sau: 1 =AX+B(W ( ( )) ), E f R X L L h x CX         (32) Với 3( ) 3( ) 3( ) 3( ) 3( ) 3( ) , , n m n m n m n m n m n m A B C             là các ma trận đường chéo: 1 1 1 ( , , ), ( , , ), ( , , ) n m n m n m A diag A A B diag B B C diag C C       (33) Và 1 2 [X ,X , ,X ] T T T T n m X   . Phươpng trình Lyapunov 29 được viết như sau: , T T A P PA Q PB C     (34) Trong đó Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 6 1 1 ( , , ), ( , , ) n m n m P diag P P Q diag Q Q     (35) Đee thiết kế điều khiển bền vững n m R    , ta giả sử rằng ( ) ( , ) f L L h x q     với ( , ) q   là giới hạn trên của hàm. Xét Eqs.10 và 13, ( ) f L L h x  được tính như sau: 1 2 ( ) ( ) ( ) (( ( , ) ) ( ) ( ) ) f h T d L L h x J q S q M C q q k BX t F q             (36) ở đó 1 2 ( ) [J (q),J (q), ,J (q)] T T T T h h h hn m J q   là ma trận Jacobian. Xét Eq.36 và thuộc tính cấu trúc của hệ thống nonholonomic (xem tính chất 2), có thể kết luận rằng: 2 1 2 3 ( ) f L L h x          (37) Vì vậy, giới hạn của hàm thu được là 2 1 2 3 ( )           nó có thể được xác định theo tham số sau: ( ) ( ) Y      với 2 1 2 3 ( ) [1 ], [ ] T Y          (38) và  là vector của hằng số chưa rõ của giới hạn hàm số. 3.2 Phân tích tính ổn định Định lý sau đây được trình bày để giải quyết vấn đề động học và động lực học điều khiển bám quỹ đạo của hệ thống robot nonholonomic trong sự có mặt của tham số và phi tham số bất định dựa trên các giả thiết 1 và 2. Định lý 2: với điều kiện là các quỹ đạo đầu ( ) r y t được lựa chọn cho tất cả times t>0, dưới giả thiết 1-3, bộ điều khiển bám thích nghi-bền vững đảm bảo rằng tất cả các tín hiệu trong hệ thống vòng kín được giới hạn và sai lệch bám quỹ đạo và tốc độ j e và j e  với 1,2, , j n m   là những giới hạn bị chặn thống nhất (UUB) và theo cấp số nhân hội tụ về hình cầu có gốc: 1 0 2 2 1 1 1 1 1 1 0 2 1 2 2 0 ˆ ( )( ( ) ˆ ˆ / ( ( )) ), ˆ ˆ W ( ), ˆ ˆ ˆ ˆ ( ), ( ) ( ) t a r p v a f T T u D x y K e K e K e d E E t L h E Y E Y                                          (39) Trong đó ˆ ( ) D x là ma trận tách được cho bởi Eq.20, ( ) W n m p    là ma trận suy biến, ( ) 1 n m E   là vector lọc tín hiệu lỗi và 1 p p    , 3 3 2    là ma trận đối xứng xác định dương như hệ số khuếch đại thích nghi. ( ) ( ) K , , n m n m p v a K K     là ma trận đường chéo, biều thị tỷ lệ, đạo hàm và tích phân của luật điều khiển tuyến tính trong toàn bộ hệ thống tương ứng. Tham số 1  và 2  là hằng số tích cực nhỏ và ( ) t  hàm thời gian tích cực được coi là không đổi. Thông số 0  và 0  là những giá trị ước tính của tham số  và  . Chứng minh: Xét hàm Lyapunov cho dưới đây   ,  ,  = 1 2    +         +      (40) Với = −và   = −  . Bằng cách phân biệt công thức 40 và áp dụng công thức 32 và 34, ta được :  ̇  ,  ,  = −     +        + Γ     ̇ +      +     ℎ (  )     + Γ    ̇ (41) Xét luật thích nghi trong công thức 39 và  ̇ = −  ̇ và  ̇ = − ̇ công thức (41) được viết như sau :  ̇  ,  ,  = −     +         −   +      +     ℎ (  )     −     |   |  +     ( −  ) (42) Bằng cách sử dụng các dạng tham số bị chặn trên của     ℎ (  ) , tức là = , chúng ta có được :  ̇  ,  ,  ≤−     +      +      |   |  −      |   |  +         −   +     ( −  ) (43) Sau đó, bằng cách chọn luật điều khiển bền vững khi   = −(  ^2)/(||  ||+ ) và thế vào công thức (43), ta nhận được bất đẳng thức sau :  ̇  ,  ,  ≤− 1 2   +   |   |     |   |  +  +         −   +     (−  )(44) Vì 0 ≤||  ||/(||  || + ) ≤(45) Và xem rằng   = −  và = −, ta có thể viết công thức (44) như sau : Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 7  ̇  ,  ,  ≤− 1 2   + +      ( −  ) −       +     ( −  ) −     ̃(46) Bây giờ, bằng cách hoàn thành các điều kiện trong công thức (46) và xem xét giá trị nhỏ nhất của ma trận Q, tức là   =   (    ) , ta được :  ̇  ,  ,  ≤− 1 2    |  |   −  1− 0,5          + 1 2      | −  |   −  1 − 0,5     |  |   + 1 2      | −  |  + (47) Với   =            chỉ giá trị nhỏ nhất của ma trận   . Bằng cách xác định các tham số dưới đây :   = 1 2   > 0,  =   1 − 0,5   > 0,   =   1 − 0,5   > 0 = 1 2      | −  |   + 1 2      | −  |  +(48) Với > √ 2/2, bất đẳng thức (47) được viết lại như sau :  ̇  ,  ,  ≤−   |  |   −         −   |  |   + (49) Mặt khác, từ công thức (40) và thực tế rằng :   (  )  |  |   ≤  ≤  (  )  |  |    ( 50 ) Cho bất kì () ∈  , bất đẳng thức (49) trở thành:  ̇  (  ) ,  (  ) , (  ) ≤−   (  ) ,  (  ) , (  ) + (51) Với   = min  2    () , 2    (    ) , 2    (    )   ( 52 ) Giải các bất phương trình khác trong (51) 0 ≤ (  ) ≤ (   )     +    ( 1 −    ) , ∀∈ [ 0,∞ ) (53) Từ công thức (53), rõ ràng các hàm Lyapunov bị chặn trên bởi  (  ) ≤max   (   ) ,      ( 54 ) Cùng với định nghĩa của () trong công thức (40) ta được kết quả  |  (  )|  ≤  2 max (   ) ,       (  )  ( 55 ) Công thức (53) có nghĩa rằng V(t) cuối cũng cũng bị chặn bởi /  . Công thức (49) có nghĩa là  ̇ () thực sự âm khi ≤   |  |   có nghĩa là ̇ < 0 bên ngoài các tập compact   =   (  ) |  |  (  )|  ≤  /   . Kết quả là, ||X(t)|| giảm bất cứ khi nào X(t) nằm ngoài tập compact   , và do đó ||X(t)|| là UUB. Bài thảo luận này hàm ý rằng sai lệch bám là UUB và hội tụ theo hàm mũ về một hình cầu nhỏ chứa gốc tọa độ. Xem xét những công thức (12) và (13) và giả thiết 2, khi   (  ) ,̇  (  ) , (  ) ,̇() ∈  ∞ , có thể kết luận rằng  (  ) ,() ∈ ∞ . Phân tích ổn định chứng tỏ rằng một tính chuyển tiếp được đảm bảo và độ chính xác cuối cùng cũng thu được khi tỉ lệ   giảm theo cấp số nhân và bán kính của hình cầu của sai lệch bám có thế được tự do điểu chỉnh bởi các thông sô Γ  ,Γ  ,   ,   ,   ,  ,  và. Nhận xét 1 : Yếu tố quyết định trong việc tách ma trận   () trong luật điều khiển trong công thức (39) có thể bao gồm một vài thông số ước lượng   . Do đó, những giới hạn đầu tiên của những tham số là đủ để đảm bảo không có điểm kì dị của ma trận tách. Được nó đến trong công việc của Sastry [2], một vài kĩ thuật như là chiều toán tử tồn tại trong bài báo cho mục đích này [12]. Nhận xét 2 : Sự biến đổi các rò rỉ cho luật thích nghi cho các tham số ước lượng  trong công thức (39) là cần thiế cho sự tăng cường tính bền vững. Sự biến đổi này đảm bảo sự bị chặn của các tham số ước lượng vector  để cung cấp một chặn trên cho bất định     ℎ (  ) để áp dụng luật điều khiển bền vững    [ 11 ] Nhận xét 3 : Người ta có thể thỏa hiệp giữa độ bám chính xác cuối cùng và tín hiệu điều khiển trơn bằng cách điều chỉnh () trong công thức (39). Điều khiển bền vừng  có thể được làm trơn bằng cách chọn một giá trị lớn hơn cho  (  ) . Tuy nhiên, giá trị lớn hơn đó có thể dẫn đến một ràng buộc cuối cugnf lớn hơn. Người ta có thể chọn một hàm thời gian thích hợp cho () để điều chỉnh độ trơn của tín hiệu điều khiển và độ bám chính xác. Ví dụ,từ sự bất ổn lớn trong khoảng thời gian đầu của việc Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 8 bám, nó đòi hỏi hoạt động điều khiển cao của hệ thống cơ cấu chấp hành vì hiện tượng chattering. Do đó, ta chọn  (  ) =    ,ế0 ≤≤   +     (  ) ế>  Với   ,  ,> 0(  ≫  ) giúp giữ độ dày của lớp biên  (  ) ở một giá trị lớn ở thời gian bắt đầu để ngăn chặc hiện tượng chattering của các cơ cấu chấp hành và sự bão hòa. Sau đó, () giảm theo thời gian giúp bảo tồn độ bám chính xác cuối cùng. Nhận xét 4 : Các chương trình điều khiển được đề xuất có thể được mở rộng cho một số loại khác của bộ điều khiển trong vòng ngoài được xác định bởi bộ lọc phụ sai lệch bám () ∈  trong công thức (27) khi  (  ) = Λ  (  )  (  ) , trong đó Λ  (  ) =   + 1   (  )  Trong đó s là toán tử Laplace và ma trận () được chọn khi Λ() là một ma trận hợp thức chặt, ổn định. Chú ý rằng  (  ) phải được chọn khi () không phụ thuộc vào phép đo ̈. Cho mục đích này, Λ() được chọn như nó có một sự liên quan tới nó. Các bộ điều khiển có tính đa dạng có thể được phát triển bằng cách lựa chọn ma trận () khác nhau. Nhận xét 5 : Vì hầu hết của việc thương mại hóa MWRs cũng được trang bị cản biến, giả thiết 1 luôn luôn được thỏa mãn. Tuy nhiên, vì thường xuyên được báo cáo trong tài liệu [31, 32], việc sử dụng một bộ quan sát vận tốc là cần thiết từ quan điểm thực tế như là một thực hiện có hiệu quả không là chủ đề của nghiên cứu này. Tính bị chặn của quỹ đạo tham chiếu và đạo hàm của nó đến bậc 2 trong giả định 2 là hạn chế để chọn tất cả các quỹ đạo mong muốn trong các tình huống thực tế trên thế giới. Tuy nhiên, nó là cần thiết cho việc phát triển các lí thuyết được trình bày. 4. Simulation Study on a Nonholonomic WMR Phần này trình bày ứng dụng của luật điều khiển dự báo trong phần 3 trên hệ có ràng buộc robot 2 bánh phát động. Kết quả mô phỏng máy tính cũng đánh giá độ hiệu quả của bộ điều khiển. Hình dạng cảu robot 2 bánh phát động như Fig.1. Robot có 2 bánh cố định thông thương trên 1 trục và 1 bánh để duy trì trạng thái cân bằng. Trọng tâm của robot được đặt ở ( , ) c c Pc x y  . Điểm   0 0 0 , P x y  là giao của trục 2 bánh phát động và trục đối xứng của xe, khoảng cách 0 c P P d  . Điểm   , L L L P x y  là một điểm ảo trên trục x có khoảng cách với 0 P là L[8]. Tham số 2 b là khoảng cách giữa 2 bánh cố định. Bán kính của mỗi bánh kí hiệu là r. Nếu véc tơ tọa độ tổng quát được chọn là   0 0 , , T q x y   , một ràng buộc vận tốc thu được 0 0 cos sin 0 y x     . Do đó, vận tốc giả định của hệ WMR được định nghĩa là       1 2 , T v t v t v t      với 1 v và 2 v lần lượt là vận tốc tiếp tuyến và vận tốc hướng tâm của robot. Theo các kí hiệu mô tả trước đó,các ma trận động học và động năng thu được dưới đây:   cos 0 0 sin 0 , , 0 1 0 1 1/ / 0 , 1/ / 0 C T C m S q M r b r m d C X r b r m d                                         (56) Trong đó: 2 2 2 , 2 2 , T C w C m C w T m m m I I I m d m b B X        . Tham số C m là trọng lượng của thân xe, w m là khối lượng mỗi bánh xe, C I là momen quán tính của thân xe theo trục thẳng đứng, m I là momen quan tính của mỗi bánh xe trục đi qua tâm bánh xe. Hình 1: Cấu hình của một bánh xe robot di động Điện áp đầu vào của động cơ phải và trái của hệ được kí là   1 2 , T a a a u u u . Momen quán tính và tham số cơ cấu chấp hành phải được cho là bất đính. Sau đó, bằng việc Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 9 thế biểu thức 56 và 10 và định nghĩa là các tham số bất định mới 1 1 / k m   và 2 1 / k I   , ta thu được:             1 1 2 1 1 2 2 1 2 cos sin 0 0 , 0 0 0 / / , 0 0 0 / / T T T f x v v v g x r b r g x r b r             (57) Các biến đẩu ra dưới đây được chon để theo dõi quỹ đạo mong muốn dựa trên phương pháp điều khiển tiên đoán( 2 n m   ):         1 2 0 0 , cos , sin T T y h x h q h q x L y L            (58) Sau khi tính toán       2 1 ˆ , f L h x D x D x   trong (22),           2 / , f h L h x q J q S q v S q v    (59)         1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ cos sin cos sin ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos sin sin cos D x D x                                                          (60) Ma trận hồi quy trong (24) thu được dưới dạng sau: 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 ˆ ˆ ( cos sin cos ) ( sin sin cos ) W ˆ ˆ ( sin cos sin ) ( sin cos cos )                                          (61) Trong đó: 1 1 1 2 2 2 / ( ) , / ( ) , h h q J Sv Sv q J Sv Sv             (62) Sơ đồ khối của bộ điều khiển động học ngược được thể hiện trong Fig.2. Một số mô phỏng thực hiện để cho thấy sự bám và bền vững của bộ điều khiển mục tiêu dưới nhũng tham sô bất định. Tham số của WMR được chọn đê phù hợp với robot thực, và ồn trắng Gaussian cũng được thêm các trạng thái để mô phỏng hệ thống bên trong. Tất cả các mô phỏng được thực hiện dựa trên xấp sỉ Euler với bước nhảy là 20ms. Nhưng tham số vật lý thực của WMR và tham số điều khiển được liệt kê dưới đây: 2 2 1 2 0.1 , 0.3 , 0.05 , 0.1 , 10 , 0.2 , 0.006 . , 2 . , 0.2 c w m c r m b m d m L m m Kg m Kg I Kg m I Kg m k k           Trên cơ sở điều kiện SPR của hệ thống (28) được trình bày trong phần 3 để đảm bảo sự ổn định SPR-Lyapunov của hệ kín, tham số bộ điều khiển được cài đặt 1 1, 2, 0.2, 0.1 p v d k k k      . Tăng khả năng thích nghi trong phương trình (39) ta chọn 1 [1,1]; diag  2 [1,1] diag  . Các tham số điều khiển còn lại được chọn là 1 0.005,   2 0.005   , 0 0 10, 0, 0.       Quỹ đạo hình số tám được coi như giá trị đặt đầu vào được tính bởi   1 sin(2 ) r g r y t x R t    và   2 sin(2 ) r g r y t y R t    trong đó ( , ) g g x y  (2.5 ,5.5 ), 2 m m R m  và 0.05 r   . Các điều kiện ban đầu được cho là (0) 3 ; x m    0 0 6.5 ; (0) 30 ; y m     1 2 (0) 0; (0) 0 v v   . Để đánh giá hiệu quả của luật điều khiển dự tính, giả định rằng tham số momen quán tính có 15-20% không chắc chắn, ma sát được xem rằng ( ) 0.5 0.8 F q v    , nhiễu hình sin được coi là     3sin / 20 ,3sin / 20 T d t t       Trần Đình Thiêm. KSTN-ĐKTĐ-K55. MSSV: 20100669. Page 10 Hình 2: Sơ đồ khối bộ điều khiển để xuất Tín hiệu điều khiển 24 a u V  . Mô phỏng máy tính thực hiện thành công với các bộ khác nhau của tham sô WMR, tham số điều khiển và quỹ đạo đặt. Một vài kết quả được chọn trên cơ sở các tham số nói trên và được báo cáo trong Fig.3 và 4, bộ điều khiển ARFL (adaptive-robust feedback linearrizing) cho thấy thực hiện bám và độ bền vững tốt hơn bộ điều khiển AFL(adaptive feedback linearizing) trong [27]. Tuy nhiên, bộ điều khiển thích nghi tạo ra tín hiệu điều khiển trơn trong Fig 5 và 6 chỉ ra rằng hiện tượng chattering là không thể tránh khỏi trong các tín hiệu điều khiển của bộ điều khiển AFL. Sự kiểm soát các loại bão hòa trong phương trình 39 có thể thực hiện mượt hơn bằng các chọn giá trị lón hơn cho tham số  . Tuy vậy, giá trị lơn hơn của  làm tăng  trong phương trình 55 có thể dẫn đến kết quả giá trị chặn cuối cùng lớn hơn. Hình 3: Quỹ đạo thích nghi được tạo ra bằng bộ điều khiển phản hồi tuyến tính (đường gạch nét) và bộ điều khiển thích nghi-bền vững phản hòi tuyến tính (đường liền nét). Người ta có thể chọn một cách xấp xỉ hàm cho tham số  để có sự cân bằng giữa độ mượt của sự điều khiển và độ bám chinh xác. 5. Các nghiên cứu thực nghiệm trên WMR thương mại Robot di dộng RobuLAB 10 được sử dụng để đánh giả thử nghiệm bộ điều khiển (39).RobuLABlà một robot di động bánh lái khác nhau được sản xuất bởi Robosoft trong hình 7, có kích thước 450 400 243 mm mm mm   . Cấu hình hai chiều của robutLAB 10 chính xác được minh họa bằng Fig.1. WMR được trang bị 2 vòng cảm biến siêu âm, một máy định tầm URG-04LX, một mạng LAN không dây để truyền thông, pin 12V và 2 động cơ một chiều kết nỗi với mỗi bánh xe qua hộp giảm số 5.5:1. Mỗi bánh được trang bị Encoder tương đối cho hệ thống bên trong mà được cập nhật ví trí tương đối của WMR mỗi 200ms.Vì vậy, thời gian trích mẫu của bộ điều khiển được giới hạn bời giá trị này trong thí nghiệm thực tế. Khoảng cách giữa 2 bánh lái và trục đối xứng là 187.5mm, bán kính của mỗi bánh xe là 72.5mm. Hai bánh bị động được đặt ở phía sau và trươc WMR để giữ trạng thái cân bằng. Tải trọng của WMR là 30kg. Thí nghiệm vòng mở chỉ ra rằng vận tốc tiếp tuyến và vận tốc góc của WMR lần lượt là 4m/s và 0.5 rad/s. Đây là WMR không nhận điện áp motor là đầu vào. Nó chỉ được chỉ huy bởi vận tốc tiếp tuyến và vận tốc góc, được kí hiệu là     ,1 ,2 , ref ref v t v t . Do đó, để kiểm tra luật điều khiển đề xuất [39] qua thí nghiêm, mô hình dưới đây được sử dụng trình bày bởi De La Cruz[23]: [...]... 1184–1189 England (1991) 4 Campion, G., d’Andrea-Novel, B., Bastin, G.: Controllability and state feedback stabilization of nonholo-nomic mechanical systems In: de Wit, C.C et al (eds.) Lecture Notes in Control and Information Science, vol 162, pp 106–124 Springer, New York (1991) 5 Bloch, A.M., Reyhanoglu, M., McClamroch, N.H.: Control and stabiliztion of nonholonomic dynamic systems IEEE Trans Automat... R.W., Milman, R.S., Sussman H.J (eds.) Differential Geometric Control Theory, pp 181–191 Boston (1983) 2 Sastry, S.S., Bodson, M.: Adaptive Control: Stability, Convergence and Robustness Prentice-Hall, Engle-wood Cliffs, NJ (1989) 3 Campion, G., d’Andrea-Novel, B., Bastin, G.: Modeling and State Feedback Control of Nonholonomic Mechanical Systems In: Proceedings of the 30th Conference on Decision and Control,... Control of Robot Manipulators IEEE Press, Piscataway, NJ (1996) 12 Ioannou, P.A., Sun, J.: Robust Adaptive Control Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ (1996) 13 Yun, X., Yamamoto, Y.: Stability analysis of the inter-nal dynamics of a wheeled mobile robot J Robot Syst.14, 697–709 (1997) 14 Yun, X., Sarkar, N.: Unified formulation of robotic systems with holonomic and nonholonomic constraints IEEE Trans... Control of a twowheeled mobile robot using input-output linearization J Control Eng Pract.7, 369–373 (1999) 16 Dong, W., Xu, W.L., Huo, W.: Trajectory tracking con-trol of dynamic non-holonomic systems with unknown dynamics Int J Robust Nonlinear Control9, 905–922 (1999) 17 Jiang, Z.-P., Nijmeijer, H.: A recursive technique for tracking control of dynamic nonholonomic systems in chained form IEEE Trans... linearization: design, implemen-tation, and experimental validation IEEE Trans Con-trol Syst Technol.10(6), 835–852 (2002) 21 Oya, M., Su, C.-Y., Katoh, R.: Robust adaptive motion/force tracking control of uncertain nonholonomic mechanical systems IEEE Trans Robot Autom 19(1), 175–181 (2003) 22 Coelho, P., Nunes, U.: Lie algebra application to mobile robot control: a tutorial Robotica21(5), 483–493 (2003) 23... trajectory tracking of WMRs based on feedback linearization technique In: Proceedings of the International Conference on Mechatronics and Automation, IEEE, pp 729–734 Changchun, China (2009) 26 Shojaei, K., Mohammad Shahri, A., Tarakameh, A.: Adaptive feedback linearizing control of nonholo-nomic wheeled mobile robots in presence of paramet-ric and nonparametric uncertainties Robot Comput.-Integr Manuf.27, 194–204... (1992) 6 Yun, X., Kumar, V., Sarkar, N., Paljug, E.: Control of multiple arms with rolling constraints In: Proceedings of the International Conference on Robotics and Automation, pp 2193–2198 (1992) 7 Lewis, F.L., Abdallah, C.T., Dawson, D.M.: Con-tol of Robot Manipulators MacMillan, New York (1993) 8 Sarkar, N., Yun, X., Kumar, V.: Control of mechanical Trần Đình Thiêm KSTN-ĐKTĐ-K55 MSSV: 20100669 Page... 483–493 (2003) 23 De La Cruz, C., Carelli, R.: Dynamic modeling and centralized formation control of mobile robots In: Proceedings of thirty-second annual conference of the IEEE industrial electronics society, pp 3880–3885 IECON, Paris (2006) 24 Martins, F.N., Celeste, W.C., Carelli, R., Filho, M.S., Filho, T.F.B.: An adaptive dynamic controller for autonomous mobile robot trajectory tracking J Control Eng... Tracking and regulation control of a mobile robot system with kinematic disturbances: a variable structure-like approach Trans ASME J Dyn Syst Measure Control122, 616–623 (2000) 19 Dong, W., Xu, W.L.: Adaptive tracking control of uncertain nonholonomic dynamic system IEEE Trans Automat Contr.46(3), 450–454 (2001) 20 Oriolo, G., De Luca, A., Vendittelli, M.: WMR control via dynamic feedback linearization: design, ... cho các sự điều khiển được đề xuất tiệm systems with rolling constraint: application to dynamic control of mobile robots Int J Rob Res.13(1), 55–69 (1994) 9 Kolmanovsky, I., McClamroch, N.H.: Developments in nonholonomic control problems IEEE Control Syst Mag.15(6), 20–36 (1995) 10 Walsh, G., Bushnell, L.G.: Stabilization of multiple in-put chanied form control systems Syst Control Lett 25, 227–234 (1995) . 20100669. Page 1 Design and Implementation of an Inverse Dynamics Controller for Uncertain Nonholonomic Robotic Systems Khoshnam Shojaei-Alireza Mohammad Shahri-Behzad Tabibian Tóm tắt: Bài. 3. Campion, G., d’Andrea-Novel, B., Bastin, G.: Mod- eling and State Feedback Control of Nonholonomic Mechanical Systems. In: Proceedings of the 30th Con- ference on Decision and Control, IEEE,. Stability analysis of the inter-nal dynamics of a wheeled mobile robot. J. Robot. Syst.14, 697–709 (1997) 14. Yun, X., Sarkar, N.: Unified formulation of robotic systems with holonomic and nonholonomic