ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐINH THỊ THANH THẢO MỘT SỐ TÍN H CHẤT CƠ BẢN CỦA NHÓM TRỰC G I A O LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.BÙI XUÂN HẢI Tp. Hồ Chí Minh - 20 1 1 Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong Khoa Toán - Tin Học, Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, đặc biệt là các thầy trong bộ môn đại số vì đã giảng dạy tận tì n h cho tôi tr o n g suốt thời gian học cao học. Hơn hết, tôi xin gửi lời cảm ơn đến thầy PG S.TS.B U ØI XUÂN HẢI, thầy đã động viên và tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận văn cao học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến ba mẹ, anh em và những n g ư ơ øi bạn đã luôn yêu thương tôi và luôn giúp đỡ tôi trong cuộc sống. Tp.HCM, tháng 4 năm 2 0 1 1 Đinh T h ò Thanh Thảo Lời nói đầu Cho k = R, C, H, tron g đó R là trường số thực, C là trường số phức và H là vành chia các qu at e r n i o n s th ư ïc. Trong luận văn này ta sẽ nói k là một trường ngay cả trong trường hợp k = H (mặc dù H là vành chia kh o ân g giao hoán). Xét tập hợp M n (k) gồm tất cả các ma trận vuông cấp n trên k có phép cộng và phép nhân ma trận với một phần tử của k (từ bên trái trong trư ơ øn g h ơ ïp k = H). Ta có M n (k) là kho ân g gian vectơ (không gian vectơ trái n e áu k = H) trên k. Ngoài ra, cùn g với phép nhân ma trận thì M n (k) còn là một đại số trên k. Trong l u ận văn này ta sẽ khảo sát m o ät số tính chất cơ bản của nhóm nhân tất cả các phần tử khả n g h ò ch của M n (k) mà ta sẽ ký hiệu là GL(n, k) và gọi nó là nhóm tuyến tính tổng quát bậc n trên k. Nội dung luận văn bao gồm 4 chương: Chương 1: Trong ch ư ơ n g 1 ta đònh nghóa vành chia H các quaternions thực và nêu một số tính chất cơ bản của nó. Nếu k = R, C, H thì ta ký hie äu k n là không gian vectơ hàng, độ dài n trên k. Lưu ý rằng khi k = H thì đó là không gian vectơ trái trên k. Từ đó suy ra, nếu x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ k n và A ∈ M n (k) thì xA ∈ k n . Do đó, ta có th e å xem mỗi ma trận A như một toán tử tuyến tính trong không gian vectơ k n . Ngoài ra trong chương này ta cũng đư a ra khái nie äm đònh t h ư ùc đối với các ma trận A ∈ M n (H). Chương 2: Trong chương này ta sẽ khảo sát khái niệm tích trong < , > trên các không gian R n , C n và H n . Từ đó t a đònh nghóa về các nhóm trực giao, unit a, symplectic, trực giao đặc b i e ät và u n i t a đặc b i e ät . Ta sẽ chứng minh sự đẳng cấu giữa các nhóm Sp(1) và SU(2) và chỉ ra rằng S 3 không đẳng cấu với SO(3). Chương 3: Chúng ta đònh nghóa bất biến đầu tiên của nhóm ma trận là số chiều của nó. Vectơ tiếp tuyến với ma trận G là Y  (0), với Y là đường cong trong G, Y (0) = I và chỉ ra tập T G của tất cả các vectơ t i e áp tu ye án là không gian vectơ. Đònh nghóa số chiều của T G là chie àu của G. 6 Luận va ên thạc só toán học - Chuyên ngành Đại s o á Trang 7 Chương 4: Trong chương 4, chúng ta phát triển ánh xạ lũy thừa và logarit tại lân cận của I trong GL(n, k) và đònh nghóa nhóm con một tham số. Trong phần này ta sẽ chỉ ra không gian vectơ T G chính là tất cả các đạo hàm tại 0 (Y  (0)) của các nhóm con một tham số Y . Đại số Li e được đònh nghóa và ta xem T G là đại số Lie. Cuối cùng ta tính số chiều của O(n), U(n) và Sp(n). Hướng kế tiếp của chúng ta là xây dựng không gian topo và đem tất cả các nhóm ma trận của chúng ta vào không gian Eucli de , xây dựng các hàm liên tục, tập mở, tập đóng, tập compact và xây dựng cơ sở đếm được của các tập mở để ng h i e ân cứu về các xuyến cực đại của những nhóm ma trận 7 Mục lục Lời nói đầu 6 Các ký hiệu trong luận văn 8 1 Nhóm tuyến tính tổng quát 9 1.1 Trường các quaternions thực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2 Vectơ và ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Các nho ùm tuye án tính tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2 Các nhóm trực gi a o 20 2.1 Tích t r o n g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Các nho ùm trư ïc giao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Đẳng cấu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Đồng cấu 34 3.1 Đường cong trong không gian vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2 Đồng cấu trơ n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4 Hàm mũ và hàm logarit 41 4.1 Hàm mũ của ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4 Luận va ên thạc só toán học - Chuyên ngành Đại s o á Trang 5 4.2 Hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.3 Nhóm con m o ät tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.4 Đại số Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 Kết luận 53 Chỉ mu ïc 54 Tài liệu tha m khảo 55 5 Các ký hi ệu trong lu a än văn Ký hiệu Ý nghó a H Trường các quaternions GL(n, k) Nhóm tuyến tính tổng quát < , > Tích trong |x| Độ dài của x O(n) = ϑ(n, R) Nhóm trực giao U(n) = ϑ(n, C) Nhóm unit a Sp(n) = ϑ(n, H) Nhóm symplectic SO(n) Nhóm trực giao đặc biệt SU(n) Nhóm unit a đặc biệt T Không gian vectơ tiếp tuyến so(n) Tập tất cả các ma tr ận đối xứng le äch trong M(n, R) su(n) Tập tất cả các ma trận her m i t i an lệch trong M(n, C) sp(n) Tập tất cả các ma trận symplectic lệch trong M (n, H) S 3 = Sp(1) Tập tất cả các quaternions có độ dài 1. 8 Chỉ mục SO(n), 26 SU(n), 26 su(n), 38 S k , 26 GL(n,C), 15 GL(n,H), 15 GL(n,R), 15 O(n), 23 Sp(n), 23 U(n), 23 sp(n), 38 không gian vectơ, 12 quaternion, 11 ánh xạ tuyến tính, 13 các nhóm tuyến tí n h tổng quát, 15 Hàm logarit, 45 Hàm mũ, 41 hermitian lệch, 37 không gian vectơ, 13, 14 Nhóm con m o ät tham số , 46 nhóm con một t h am số , 47 nhóm symplectic, 23 nhóm trực giao, 23 nhóm unita, 23 so(n), 37 Số chiều cu ûa nhóm ma trận G, 36 symplectic lệch, 38 Trường k, 9 tích t r o n g , 21 Độ dài, 22 Đường cong, 34 đại số Lie, 49 đẳng cấu, 28, 32 đồng cấu , 30 đồng cấu trơ n , 39, 40 đối xứn g lệch , 37 độ dài, 25 đònh t h ư ùc, 16 đơn cấu, 17 đường cong tích, 35 54 Chương 1 Nhóm t u yến tính tổng quát 1.1 Trường các quaternions thực Trong suốt luận văn này ta quy ước trườn g là một cấu trúc đại số thỏa mãn đònh nghóa dưới đây. Đònh ng h ó a 1.1.1. Trường k là một tập hợp trên đó xác đònh phép cộng và phép nhân t h o ûa mãn các điều kiện sau : i) Phép nhân phân phối với phép cộng. ii) k cùng với phép cộng là một nho ùm Abe l . iii) k \{0} là một nhóm đối với phép nhân( không nhất thiết là nhóm Abel). Dưới đây ta sẽ trình bày cách xây dựng trường các quaternion thực. Trước hết ta sẽ xây dựng trường số ph ư ùc C  R 2 là mở rộng của trường số thực R. Trong tập R 2 cho (x 1 , x 2 ) và (y 1 , y 2 ) là hai cặp số th ư ïc đươ ïc sắp. Lúc đó ta đònh n g h ó a phép cộn g và phép nhân n h ư sau: +Phép cộn g : (x 1 , x 2 ) + (y 1 , y 2 ) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ) +Phép nh ân : (x 1 , x 2 )(y 1 , y 2 ) = (x 1 y 1 , x 2 y 2 ) Lúc đó ta có: (1, 0)(0, 1) = (0, 0). (0, 0) là đơn vò của phép cộng. Vậy tích của hai phần tử khác (0, 0) trong R 2 bằng (0, 0) nên R 2 không thể là trường với phép nhân này. 9 Luận va ên thạc só toán học - Chuyên ngành Đại s o á Trang 10 Bây giờ ta đònh ng h ó a lại phe ùp n h ân như sau: (a, b)(c, d) = (ac −bd, ad + bc). Lúc đó ta có: (a, b) ((c, d) + (e, f )) = (a, b)(c + e, d + f) = (a(c + e) − b(d + f), a(d + f ) + b(c + e)) . (a, b)(c, d) + (a, b)(e, f) = (ac − bd, ad + bc) + (ae − bf, af + be). Vậy phép nhân phân phối với phép cộn g . Nếu (a, b) = (0, 0) thì nó có khả nghòch: (a, b)( a a 2 + b 2 , −b a 2 + b 2 ) = (1, 0) với (1, 0) là đơn vò của phép nhân. Với phép cộng và nhân như trên ta đã biến đổi R 2 thành trường, ký hiệu C và gọi là trường số phức. Ta viết  (a, b) = a + bi i 2 = −1 Lúc đó (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i 2 bd = ac − bd + i(ad + bc) Chúng ta có thể xem R như là trường con của C bằng cách đặt x ∈ R là x = x+i0. Lúc đó với x, y ∈ R, ta có: x + y = x + i0 + y + i0 = x + y + i0 xy = (x + i0)(y + i0) = xy + i0 Vậy chún g ta đã lấy trường R như tập tất cả (x, 0) trong R 2 và mở rộng phép toán trong R vào R 2 để được trường R 2 . Bây giờ ta tìm cách mở rộng C thành trường R 3 . Mệnh đề 1.1.2. Phép toán trên C không thể mở rộng R 3 thành trường . Chứng minh. Lấy 1, i, j làm vectơ cơ sở. Lúc đó phần tử bất kỳ của R 3 được viết một cách duy nhất thành a + ib + jc với a, b, c ∈ R. Với phép nhân mở rộng của C ta co ù: ij = a + ib + jc; a, b, c ∈ R. Lúc đó 10 [...]... nó là nhóm unita Nếu k = H, thì ta viết ϑ(n, k) là Sp(n) và gọi nó là nhóm symplectic Mệnh đề 2.2.4 Cho A ∈ M n (k), các điều kiện sau đây là tương đương: i) A ∈ ϑ(n, k) ii) < ei A, ej A >= δij iii) A biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn iv) Các hàng của A tạo thành cơ sở trực chuẩn v) Các cột của A tạo thành cơ sở trực chuẩn T vi) A = A−1 23 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số Trang... en là cơ sở trực chuẩn ⇒ e1 A, e2 A, , en A cũng là cơ sở trực chuẩn Mà e1 A, e2 A, , en A chính là hàng thứ nhất, thứ hai, , thứ n của A Vậy các hàng của A tạo thành cơ sở trực chuẩn Chứng minh iv ⇒ ii Từ 4 ta có các hàng của A tạo thành cơ sở trực chuẩn, do đó với hai hàng i), j) bất kỳ của A là ei A, ej A ta có: < ei A, ej A >= δij 24 Trang 25 Luận văn thạc só toán học - Chuyên ngành Đại số Chứng... một ít về đại số: A được gọi là một đại số kết hợp có đơn vò trên trường k (kết hợp với phép toán nhân) nếu: 1) Tập A là một vành có đơn vò 2) Tập A là một không gian vectơ trên trường k 3) Phép nhân của vành A và phép nhân vô hướng của mun A thỏa mãn điều kiện ∀x ∈ k, ∀a, b ∈ A, x(ab) = (xa)b = a(xb) Vậy Mn (k) là đại số kết hợp có đơn vò trên R 1.3 Các nhóm tuyến tính tổng quát Đònh nghóa 1.3.1 Nhóm. .. toán học - Chuyên ngành Đại số Trang 29 Chứng minh Khi là không gian vectơ trên R, H và R 4 đẳng cấu với nhau Ta có ∀a, b ∈ R, α, β ∈ H Lq (aα + bβ) = q(aα + bβ) = aqα + bqβ = aLq (α) + bLq (β) Vậy Lq là ánh xạ tuyến tính của R4 Để chứng minh Lq trực giao cần chỉ ra rằng Lq bảo toàn tính trực giao (< , > cho R4 ) của các vectơ 1, i, j, k Ví dụï, cho q = a + ib + jc + kd và tính < Lq (i), Lq (j) > (... Gọi α1 , , αn là cơ sở trực chuẩn của k n Ta cần chứng minh α1 A, , αn A cũng là cơ sở trực chuẩn của k n Ta lấy a1 , a2 , , an ∈ k sao cho Do đó a1 α1 A + + an αn A = 0 ⇔ (a1 α1 + + an αn )A = 0 ⇔< (a1 α1 + + an αn )A, (a1 α1 + + an αn )A >= 0 ⇔ a1 α1 + + an αn = 0 ⇔ a1 = = an = 0 < αi A, αj A >=< αi , αj >= i khi i = j 0 khi i = j Vậy α1 A, , αn A cũng là cơ sở trực chuẩn của k n Chứng minh... - Chuyên ngành Đại số qj = jq cho (a + ib)j = j(a + ib) suy ra b = 0 Do đó q = a và a 2 = 1 Vậy tâm của S 3 = {1, −1} Bây giờ ta tìm tâm của SO(3) Giả sử A nằm trong tâm của SO(3) Vì A giao hoán với tất cả các phần tử của SO(3) nên A giao hoán với mọi phần tử   cos θ sin θ 0 T =  − sin θ cos θ 0  0 0 1 vì T ⊂ SO(3) Lấy e1 = (1, 0, 0), e2 = (0, 1, 0), e3 = (0, 0, 1) làm cơ sở của R 3 Ta thấy A... mà có số chiều khác nhau thì không thể đẳng cấu với nhau Số chiều của nhóm ma trận là số chiều của không gian gồm các vectơ tiếp tuyến của nó (không gian này là không gian vectơ), vì vậy trước tiên chúng ta sẽ đònh nghóa điều này Cho V là không gian vectơ thực R n hữu hạn chiều Đường cong Y trong V là hàm liên tục Y : (a, b) → V với (a, b) là khoảng mở trong R Ta nhắc lại một ít về giới hạn của Y (t):... gian vectơ hữu hạn chiều Vậy T là không gian vectơ con hữu hạn chiều của M n (k) Đònh nghóa 3.1.3 Số chiều của nhóm ma trận G là số chiều của không gian vectơ T (tập tất cả các vectơ tiếp tuyến với G tại I) Ví dụ 3.1.1 i) U(1) có số chiều là 1 ii) dim Sp (1) = 3 Cho Y : (a, b) → Sp (1) là đường cong với Y (0) = 1 thì Y (0) là phần tử của H = R4 Trước tiên ta chỉ ra rằng Y (0) nằm trong không gian sinh... ngành Đại số hoặc Trang 32 1 1 q = −√ − k√ 2 2 Cả hai phần tử ρ(q) này đều thuộc SO(3) Phép tính này cho ta thấy ta không nên chứng minh tính toàn ánh ở giai đoạn này và chúng ta có thể tự nghiên cứu thêm sau bài luận văn này nhờ các tính chất của topo Đến đây chúng ta tự hỏi liệu S 3 và SO(3) có đẳng cấu với nhau không Trong phần tiếp theo chúng ta sẽ thấy rõ điều đó Bổ đề 2.3.6 Phần tử bất kỳ của O(2)... dụng kết quả của mệnh đề sau ta được điều cần chứng minh Mệnh đề 1.3.5 Cho B là đại số kết hợp hữu hạn chiều có đơn vò 1 trên trường k A là đại số con của B chứa 1 Nếu U (A), U (B) là nhóm các phần tử khả nghòch của A, B thì U (A) = A ∩ U (B) Chứng minh Rõ ràng U (A) ⊂ (A ∩ U (B)) Bây giờ ta giả sử a ∈ (A ∩ U (B)) Do A hữu hạn chiều nên tồn tại n > 0 sao cho {a 1 , a2 , , an } phụ thuộc tuyến tính trong . HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐINH THỊ THANH THẢO MỘT SỐ TÍN H CHẤT CƠ BẢN CỦA NHÓM TRỰC G I A O LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 05 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS.BÙI. đại số trên k. Trong l u ận văn này ta sẽ khảo sát m o ät số tính chất cơ bản của nhóm nhân tất cả các phần tử khả n g h ò ch của M n (k) mà ta sẽ ký hiệu là GL(n, k) và gọi nó là nhóm tuyến tính. quaternions GL(n, k) Nhóm tuyến tính tổng quát < , > Tích trong |x| Độ dài của x O(n) = ϑ(n, R) Nhóm trực giao U(n) = ϑ(n, C) Nhóm unit a Sp(n) = ϑ(n, H) Nhóm symplectic SO(n) Nhóm trực giao đặc biệt SU(n)