ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VÕ VĂN TÀI ĐIỆN TRỞ CỦA KHÍ ĐIỆN TỬ TRONG CẤU TRÚC LỚP: GIẾNG LƯỢNG TỬ SILICON SixGe1-x – Si – SixGe1-x Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN Mã số ngành: 60 44 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN QUỐC KHÁNH TP HỒ CHÍ MINH – 2010 Mở đầu MỞ ĐẦU Tiến vật lý chất rắn hai thập kỷ cuối kỷ XX đặc trưng chuyển hướng đối tượng nghiên cứu từ khối tinh thể sang màng mỏng cấu trúc nhiều lớp Trong đối tượng nêu trên, hầu hết tính chất electron thay đổi cách đáng kể Đặc biệt, xuất số tính chất khác, gọi hiệu ứng kích thước Trong cấu trúc có kích thước lượng tử, nơi hạt dẫn bị giới hạn vùng có kích thước đặc trưng vào cỡ bậc bước sóng de Broglie, tính chất vật lý electron thay đổi đầy kịch tính Ở đây, quy luật học lượng tử bắt đầu có hiệu lực, trước hết thông qua việc biến đổi đặc trưng hệ electron phổ lượng Phổ lượng trở thành gián đoạn dọc theo hướng tọa độ giới hạn Dưới ảnh hưởng trường hay tâm tán xạ (tạp chất, phonon, v.v…) thường hai, mà ba thành phần động lượng hạt dẫn biến đổi Do đó, dáng điệu hạt dẫn cấu trúc kích thước lượng tử tương tự khí hai chiều Các cấu trúc với khí điện tử hai chiều có loạt tính chất khác thường so với đặc tính hệ điện tử lỗ trống ba chiều thông thường Các chất bán dẫn tồn tự nhiên nguyên tố hợp chất với cấu trúc tuần hoàn như: Si, Ge GaAs Tuy nhiên, cuối năm 1960 đến đầu năm 1970, Esaki Tsu đưa ý tưởng hoàn toàn để phát triển vật chất (không tồn tự nhiên) gọi siêu mạng (superlattice), siêu mạng xây dựng kỹ thuật nuôi cấy tinh thể, epitaxy chùm phân tử (MBE, Molecular – Beam Epitaxy) MBE cơng nghệ thích hợp để tạo cấu trúc với phân bố thành phần tùy ý với độ xác tới lớp đơn phân tử riêng lẻ Có vài giới hạn để phát triển bán dẫn khác loại chất Khi vật chất khác loại A B phát triển chất nền, cấu trúc gọi cấu trúc dị thể (heterostructure), tính chất đặc trưng cấu trúc dị thể phụ Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Mở đầu thuộc vào tính chất vật lý hóa học hai vật chất Để thu cấu trúc dị thể tương đối lý tưởng điều là: (i) Cấu trúc tinh thể phải giống đối xứng (các hợp chất IV – V thông thường đáp ứng điều này) (ii) Nếu khơng có biến dạng cấu trúc cuối hai số mạng phải gần đồng Các giản đồ vùng lượng cấu trúc dị thể có số mạng tương thích với chia thành ba trường hợp (Hình 1) Hình Ba loại cấu trúc dị thể (a) loại I: electron lỗ trống bị giam không gian (b) loại II: electron lỗ trống bị giam không gian khác (c) loại III: vùng cấm không (i) Loại I (phủ): vùng dẫn chất bán dẫn B có vùng cấm nhỏ trở thành cực tiểu vùng hóa trị cực đại Do đó, electron lỗ trống bị kích thích miền (ii) Loại II (so le): cực tiểu vùng dẫn bán dẫn loại A cực đại vùng hóa trị bán dẫn loại B nằm không gian khác nhau, dẫn đến vùng cấm không không gian (iii) Loại III (cách quãng): cấu trúc dị thể hành xử vật chất khơng có vùng cấm (bán kim loại) hay vật chất có vùng cấm hẹp Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Mở đầu Trong luận văn này, khảo sát giếng lượng tử cấu trúc dị thể loại II  SixGe1 x / Si / SixGe1 x  Các miền vùng dẫn cực tiểu cực đại gọi lớp giếng lớp rào, cách tương ứng Khi lớp rào dày, electron khơng thể xun qua bị giam miền giếng lượng tử, dẫn đến lượng tử hóa electron có chuyển động vng góc với mặt tiếp xúc dị thể, hình thành nên cấu trúc vùng Vì electron chuyển động mặt phẳng song song với mặt tiếp xúc dị thể, nên electron biểu tính chất hai chiều Ở nhiệt độ thấp, electron chiếm mức lượng bản, độ chênh lệch đáy vùng dẫn hai loại vật liệu SixGe1 x / Si vào khoảng 0.29eV , lớn so với lượng Fermi lượng chuyển động nhiệt k BT hạt tải (động trung bình chuyển động tịnh tiến, nhiệt độ phòng k BT  0.026eV ) Như vậy, giếng lượng tử cấu trúc xem giếng lượng tử vuông sâu vô hạn Ở đây, sử dụng lý thuyết vận chuyển Boltzmann để tính độ linh động điện trở suất theo mật độ hạt tải, nhiệt độ (thấp), từ trường ngồi khí điện tử hai chiều giếng lượng tử Si với chiều dày a Tuy nhiên, để xác định độ linh động (cũng điện trở suất) hạt tải cần phải biết chế tán xạ Trong luận văn này, xét hai chế tán xạ: tán xạ tạp chất ion hóa (pha tạp xa, pha tạp đồng nhất), tán xạ bề mặt Kết tính tốn độ linh động theo mật độ hạt tải (tại T  ) so sánh với kết A Gold [1] Bố cục luận văn trình bày sau: Chương 1: Chúng tơi trình bày phương trình vận chuyển Boltzmann khối bán dẫn (ba chiều), đồng thời sử dụng phương pháp gần thời gian hồi phục để giải phương trình Boltzmann từ tính độ linh động độ dẫn điện chất bán dẫn Chương 2: Giải phương trình Schrưdinger giếng lượng tử để tìm hàm sóng lượng tương ứng; đồng thời tính hàm phân bố mật độ trạng thái mật độ electron theo nhiệt độ từ trường khí điện tử hai chiều Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Mở đầu Chương 3: Trình bày thời gian hồi phục, hiệu ứng chắn hàm điện mơi khí điện tử hai chiều Chương 4: Xét hai chế tán xạ, tán xạ tạp chất ion hóa (pha tạp xa pha tạp đồng nhất) tán xạ bề mặt Chương 5: Trong chương này, sử dụng phương pháp giải số (lập trình C) để tính tốn kết độ linh động điện trở suất (ứng với hai chế tán xạ chương 4) theo mật độ hạt tải, nhiệt độ (thấp), từ trường so sánh với kết A Gold [1] Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh MỤC LỤC Mở đầu……………………………………………….……………………………… 1 Lý thuyết vận chuyển Boltzmann………………………………………………… 1.1 Phương trình vận chuyển Boltzmann………………………………………… 1.2 Gần thời gian hồi phục……………………………………………… .7 1.3 Độ linh động Tính dẫn điện……………………………………………… 11 Đặc tính khí điện tử hai chiều……………………………………………… 17 2.1 Giếng lượng tử……………………………………………………………… 17 2.2 Mật độ trạng thái………………………………………………………………20 2.3 Mật độ electron từ trường nhiệt độ………………………………… 23 Thời gian hồi phục tượng động học…………………………………25 3.1 Thời gian hồi phục…………………………………………………………….25 3.2 Hiệu ứng chắn hàm điện môi………………………………………………29 3.2.1 Hiệu ứng chắn…………………………………………………… 29 3.2.2 Hàm điện môi………………………………………………………… 30 Các chế tan xạ………………………………………………………………… 36 4.1 Tán xạ tạp chất ion hóa………………………………………………36 4.1.1 Pha tạp xa……………………………………………………………….37 4.1.2 Pha tạp đồng nhất………………………………………………… 39 4.2 Tán xạ bề mặt…………………………………………………………….40 Độ linh động Điện trở suất…………………………………………………….42 5.1 Độ linh động khí điện tử hai chiều……………………………………… 42 5.2 Điện trở suất khí điện tử hai chiều……………………………………… 48 Kết kuận………………………………………………………………………………51 Phụ lục A…………………………………………………………………………… 52 Phụ lục B…………………………………………………………………………… 55 Phụ lục C…………………………………………………………………………… 62 Tài liệu tham khảo………………………………………………………………… 66 DANH SÁCH HÌNH VẼ Hình Ba loại cấu trúc dị thể (a) loại I: electron lỗ trống bị giam không gian (b) loại II: electron lỗ trống bị giam không gian khác (c) loại III: vùng cấm khơng……………………………………………… Hình 1.1 Quỹ đạo electron thay đổi hàm phân bố Hàm phân bố         f k  kdt , r  rdt , t  dt thời điểm t  dt trở thành f k , r , t thời điểm t Hàm         phân bố f k , r , t thời điểm t thay đổi thành trạng thái khác sau khoảng thời gian dt ……………………………………………………………………………6 Hình 1.2 Sự thay đổi hàm phân bố tác dụng điện trường Trong không gian  k hàm phân bố dịch chuyển nhẹ dọc theo hướng trường……………………… 12 Hình 2.1 Cấu hình giếng lượng tử SixGe1 x / Si / Six Ge1 x …………………… 18 Hình 2.2 Năng lượng hàm sóng hạt giếng SixGe1 x / Si / Six Ge1 x …….20 Hình 2.3 Mật độ trạng thái hệ hai chiều (đường liền nét) mật độ trạng thái mẫu khối ba chiều (đường đứt nét)…………………………………………… 22 Hình 2.4 Độ phân cực spin    n  n  /  n  n  hàm từ trường cho n  1.5  1011 cm 2 ứng với nhiệt độ T  0;1.0; 2.0;3.0  K  BS trường phân cực spin hoàn toàn T   K  Khi T   K  , phân cực hoàn toàn thỏa B  BS 24   Hình 3.1 Mối liện hệ khơng gian k vectơ sóng q góc tán xạ  ………27 Hình 3.2 Hàm điện môi ứng với giá trị khác qTF /  2k F  ……………….33 Hình 3.3 Hàm phân cực cho hệ Si / SixGe1 x từ trường ngang khác a) cho B  B  Bs , b) cho B  Bs Ở N F  N F  gv m /  mật độ trạng thái hệ không phân cực k F   2k F ……………………………………………… 34 Hình 4.1 Các thừa số cấu trúc FR  q, zi  (các đường đứt nét) FC  q  (đường liền nét) theo q Mũi tên 2k F với n  3.1012 cm 2 , a  60 A (a) theo A Gold, (b) kết giải số……………………………………………………………… ……………… 38 Hình 5.1 Độ linh động pha tạp xa với zi  a / theo mật độ, (a) A Gold, (b) kết giải số…………………………………………………………………………… 45 Hình 5.2 Độ linh động pha tạp xa với zi  a / theo mật độ, (a) A Gold, (b) kết giải số……………………………………………………………………………….…46 Hình 5.3 Độ linh động pha tạp , (a) theo A Gold, (b) theo mật độ………… 47 Hình 5.4 Độ linh động bề mặt gồ ghề theo mật độ, (a) theo A Gold, (b) kết giải số………………………………………………………………………………………47 Hình 5.5 Điện trở suất pha tạp xa với zi  a / , (a) mật độ, (b) nhiệt độ (c) từ trường……………………………………………………………………………….…48 Hình 5.6 Điện trở suất pha tạp xa với zi  a / theo, (a) mật độ, (b) nhiệt độ (c ) từ trường………………………………………………………………………………….49 Hình 5.7 Điện trở suất pha tạp nền, (a) mật độ, (b) nhiệt độ (c ) từ trường…….49 Hình 5.8 Điện trở suất bề mặt gồ ghề , (a) theo mật độ, (b) theo nhiệt độ……… 50 1.1 Phương trình vận chuyển Boltzmann Chương LÝ THUYẾT VẬN CHUYỂN BOLTZMANN Nếu khí electron (trong tinh thể) trạng thái cân nhiệt tính chất xác định hàm phân bố lượng tử Fermi – Dirac hay hàm phân bố cổ điển Maxwell – Boltzmann Trong trường hợp khí electron chịu tác dụng yếu tố bên điện trường, từ trường, chênh lệch nhiệt độ v.v trạng thái khơng cân Khi xảy tượng liên quan đến chuyển động electron dẫn như: tượng dẫn điện, dẫn nhiệt v.v…Các tượng gọi chung tượng truyền hay tượng động học Các tượng giải thích thuyết điện tử kim loại, xem điện tử khí lý tưởng Tuy nhiên, để có biểu thức định lượng xác người ta phải dùng phương trình vận chuyển Boltzmann, phương trình cho phép ta tìm hàm phân bố trường hợp khơng cân bằng, nghĩa có tác dụng yếu tố bên nhỏ xét hiệu ứng tuyến tính 1.1 Phương trình vận chuyển Boltzmann  Giả sử electron có vectơ sóng k , vectơ sóng thay đổi tác dụng  trường F :     dk   F dt (1.1)    Gọi f k , r , t hàm xác suất hạt (electron) có vectơ định sứ r , vectơ sóng k thời điểm t , gọi hàm phân bố hạt (electron) Đầu tiên, giả thiết rằng, electron không bị tán xạ thay đổi trạng thái tác động ngoại lực (điện trường, từ trường, v.v…) Vì vậy, sau khoảng thời gian dt , electron thay       đổi thành trạng thái với vị trí r  rdt vectơ sóng k  kdt Từ (Hình 1.1),     tính tốn thay đổi hàm phân bố f k , r , t khoảng thời gian dt Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục A 52 Phụ lục A MẬT ĐỘ HẠT TẢI VÀ HÓA THẾ HAI CHIỀU PHỤ THUỘC NHIỆT ĐỘ VÀ TỪ TRƯỜNG NGOÀI Trước tiên, dẫn cơng thức hóa phụ thuộc mật độ hệ hai chiều Ta có:   g m* dE n   g D  E  f  E , EF , T  dE      exp    E -  T    0   (A.1)   / k BT Để tính tốn đơn giản hơn, ta biến đổi x  exp  -  E -     nhận : g m* n    e   g m* dx   ln 1  e   1 x    (A.2) Ta có biểu thức cho hóa phụ thuộc vào mật độ sau:   2  n /  g m*   ln  e  1    (A.3)   ln 1  exp   EF      (A.4) n  E  g m* F Sau đây, trình bày cách tính hóa nồng độ hạt tải từ trường nhiệt độ xác định cho hệ hai chiều Điều kiện cho hóa     phụ thuộc vào mật độ hạt tải n n cho electron ứng với spin up spin down là:    n      n  (A.5) Mặt khác, lượng hệ khí điện tử ứng với spin up down khác lượng dịch chuyển từ trường Vì vậy, ta biểu diễn hóa   thơng qua hóa khí Fermi tự do: Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục A 53 g B B g    n     n    B B (A.6) g B B (A.7)    n     n     n     n   Trong hệ hai chiều có từ trường nhiệt độ xác định, ta biểu diễn hóa tương tự khơng có từ trường:   n    ln 1  exp   EF       (A.8) Nếu ta biểu diễn lại biến dạng biến khơng thứ ngun hệ phương trình  mà ta có đơn giản hơn: n  n T B 2E E ,t  , x  , Bs  F , TF  F Ta có n TF Bs g B kB phương trình đơn giản hơn:      n    n    2x  EF  EF    n  n   (A.9)    n    t ln  1  exp  2n / t     EF Giải hệ phương trình (A.9), ta tìm cơng thức sau cho nồng độ hạt tải hóa ứng với spin up down:  x /t t 1 e   n  ln    n   n Võ Văn Tài e x/t 2  1  4e 2 x / t (A.10) PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục A 54   x/t     n   1   e   E  t ln   F          n     n   x  EF EF  e   1  4e 2 x  / t     x/t (A.11) Trong giới hạn nhiệt độ không ta có: 1  x  (A.12)   n  n  0.5 (A.13)  n  khơng có từ trường ngồi ta có: Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục B 55 Phụ lục B QUY LUẬT VÀNG FERMI Quy luật vàng Fermi công cụ quan trọng học lượng tử Nó dẫn cơng thức tổng quát cho tốc độ tán xạ mà hạt bị “tán xạ” từ trạng thái sang trạng thái khác qua nhiễu loạn Có hai lớp lớn trình tán xạ mà khảo sát: (i) không đổi theo thời gian, tạp chất tinh thể, mà chúng không làm thay đổi lượng hạt bị tán xạ; (ii) thay đổi cách điều hòa theo thời gian cos qt , chẳng hạn phonon photon, mà chúng làm thay đổi lượng hạt qua q B.1 Quy luật vàng cho tĩnh Đầu tiên, khảo sát nhiễu loạn không đổi, chẳng hạn từ tạp chất tinh thể Giả sử rằng, tìm thấy trạng thái riêng xác hệ chứa phân bố ngẫu nhiên tạp chất Những trạng thái riêng hỗn hợp phức tạp trạng thái hệ không nhiễu loạn, nên làm cho việc tính tốn nặng nề Tuy nhiên, trạng thái khác từ mẫu sang mẫu khác, tạp chất có vị trí khác Đây cách tiếp cận lý tưởng cho hệ nhỏ, mà mong đợi thấy kết cụ thể cho mẫu Tuy nhiên, trạng thái vĩ mô, mong chờ đại lượng chẳng hạn tính dẫn cho mẫu khác Chúng ta sử dụng trạng thái riêng hệ (vật chất tinh khiết), tức sóng Bloch cho tinh thể hay sóng phẳng cho electron tự Những trạng thái khơng cịn trạng thái thực hệ có tạp chất, electron bắt đầu với trạng thái khơng trì trạng thái cho mãi Thay vào đó, trạng thái khác hòa lẫn với electron truyền Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục B 56 theo thời gian Xác suất tìm trạng thái khác tăng tuyến tính theo thời gian, tốc độ tán xạ mong đợi hay tốc độ biến đổi ˆ Chúng ta lại thừa nhận Hamiltonian H chia thành Hamiltonian ˆ không nhiễu loạn H , phần không thay đổi theo thời gian giải ˆ cách xác, Hamiltonian nhiễu loạn V  t  đưa vào t  Các trạng thái ˆ riêng H i ứng với lượng  i Trước nhiễu loạn đưa vào, electron trạng thái đầu i mà hàm sóng phụ thuộc thời gian  i t    t    i  t   i exp   i     (B.1) Cho t  , lời giải  ˆ ˆ ˆ H   t    H  V  t     t   i   t    t (B.2) tùy thuộc vào điều kiện biên    i t  Khai triển lời giải xác dạng lời giải tốn khơng nhiễu loạn; khác biệt thông số khai triển phụ thuộc vào thời gian Vì  t    a j t   j t  (B.3) j a j  t  biên độ xác suất cho trạng thái j thời điểm t , với giá trị ban đầu a j  t     ij Thay khai triển (B.3) vào phương trình Schrưdinger (B.2) ˆ ˆ  H  V  t    a j  t   j  t   i   a j  t   j  t    j t j (B.4) hay ˆ  a  t  H   t    a  t Vˆ  t    t   i a  t  j j Võ Văn Tài j j j j j j  j  t  t  i  j da j  t  dt  j t  (B.5) PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục B 57 Số hạng vế (B.5) triệt tiêu,  j  t  lời giải cho phương trình ˆ Schrưdinger với H Chuyển hai vế phương trình viết cách tường minh phụ thuộc  j  t  vào thời gian i da j  t  j dt  i j t   i j t  ˆ  j exp      a j  t V  t   j exp    j       (B.6) Nhân hai vế cho  * (cho trạng thái “cuối”) lấy tích phân cho tồn không gian f Tất số hạng bên vế trái bị triệt tiêu ngoại trừ j  f i da f  t  dt  i f t   i j t  exp      a j  t  exp    V fj  t  j       (B.7) Vì da f  t  dt   i t   a j  t V fj  t  exp   fj  i j   (B.8)  fj   f   j  hiệu lượng trạng thái f j Phương trình (B.8) tương đương với phương trình Schrödinger ban đầu Bây ˆ lúc tiến hành tính tốn gần Gần cấp khơng bỏ qua V , a j  t    ij Sử dụng hệ thức vào vế bên phải phương trình (B.8) để thu kết cấp một, da f  t  dt  i t /  V fi  t  e fi i (B.9) (B.9) lấy tích phân cho f  i , nhớ a f  t  t i t /  a f  t    V fi  t   e fi dt  i (B.10) (B.10) biểu thức tổng quát quy luật vàng Fermi cho biên độ xác suất trạng thái j thời điểm t Phương pháp gần thừa nhận tốc độ biến đổi nhỏ, để Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục B 58 trạng thái ban đầu chiếm đầy đủ trạng thái cuối gần trống hoàn toàn ˆ Chúng ta chưa đưa giả thiết nhiễu loạn V  t  phụ thuộc vào thời gian Cho khơng đổi Trong trường hợp V fi đưa ngồi tích phân phương trình (B.10) a f  t   V fi exp  i fi t /     fi  i exp  i fi t / 2 V fi sin   fi t / 2   fi / (B.11) Xác suất tìm thấy electron trạng thái cuối 2 a f  t   V fi 2  sin   fi t / 2   V fi t  t     sin c  fi     fi /   2    (B.12) với ký hiệu sin c   sin   /  Đây kết hấp dẫn, vẽ (Hình B.1) hàm hiệu lượng  fi Xác suất tìm thấy electron trạng thái cuối dao động hàm theo thời gian với biện độ không đổi Hàm sin c trở nên hẹp theo lượng tựa / t , đó, tiền nhân tố làm cho chiều cao phát triển t Vì vậy, trở nên cao vơ hạn hẹp t   , có xu hướng hành sử hàm –  Tích phân chuẩn   sin c xdx   (B.13)   t sin c   fi t / 2  d  fi  2 t (B.14)  có nghĩa t sin c   fi t / 2   2 t   fi  Võ Văn Tài (B.15) PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục B 59 t   Vì vậy, xác suất tìm thấy electron trạng thái cuối với lượng  f thời gian lớn giống a f t     sin  fi t / 2    fi /    2 V fi    fi  t  (B.16)   t3 t2 t1 fi Hình B.1 Xác suất tìm thấy electron trạng thái cuối hàm hiệu lượng  fi ba thời điểm t1 , t2 , t3 theo tỉ lệ 1: : Hệ thức (B.16) tăng tuyến tính theo thời gian, có tốc độ biến đổi không đổi từ trạng thái ban đầu i sang trạng thái cuối f W fi  2 V fi    f   i   (B.17) Đây quy luật vàng Fermi Nó lượng trạng thái cuối lượng trạng thái đầu, mong đợi từ bảo toàn lượng, điều giới hạn thời gian lớn Tại thời gian ngắn, “hàm  ” có bờ rộng lượng  / t , lượng khơng bảo tồn cách xác Bờ rộng quan trọng hệ có tán xạ mạnh, electron khơng thể tồn lâu dài trạng thái “cuối” trước bị tán xạ lần nữa, giới hạn t   thực Trong trường hợp vậy,   E  thay hàm A  E  theo diện Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục B 60 tích đơn vị bờ rộng  /  ,  đo lường thời gian sống kiện tán xạ Hiệu ứng biết mở rộng va chạm Một dạng khác quy luật vàng mà không chứa hàm  sử dụng Thay khảo sát tốc độ tán xạ từ trạng thái ban đầu cụ thể, lấy tổng phương trình (B.17) để nhận tốc độ từ trạng thái ban đầu đến trạng thái cuối 2  V fi   f  i  (B.18) i Hàm  cưỡng ép tổng thành trạng thái có lượng gần  f Các trạng thái đưa ngồi tổng với điều kiện phần tử ma trận cho tất trạng thái    f   i   N  f  (B.19) i Vì vậy, tốc độ biến đổi W fi  2 V fi N   f  ,  f   i  (B.20) (B.20) hoàn tồn tương đương với (B.17) hàm  có ý nghĩa bên tích phân B.2 Quy luật vàng cho dao động Loại nhiễu loạn thứ hai thay đổi cách điều hòa theo thời gian,  ˆ ˆ ˆ V  t   2V cos 0t  V e  i0 t  ei0t  (B.21) ˆ Thừa số đưa vào để đơn giản hóa biểu thức cuối Nhiễu loạn V chứa toán tử tác động lên hàm sóng, khơng phụ thuộc vào thời gian Các phần tử ma trận phương trình (B.8) có dạng V fi  t   2V fi cos 0t , tích phân cấp (B.10) cho hệ số trở thành t  ei fi  0 t /   ei  fi  0 t /    i fi t  /   i0t  i0t   a f  t   V fi  e e e dt   V fi   i    fi  0   fi  0      Võ Văn Tài  (B.22) PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục B 61 Do đó, xác suất tìm thấy electron trạng thái cuối a f t  V fi t    0  t  fi  0  t   fi   sin c sin c 2  2 2  (B.23)  fi  0  t sin c  fi  0  t   2 cos 0t sin c  2 2   Số hạng dấu ngoặc nhọn giống nhiễu loạn tĩnh (B.12), ngoại trừ tâm  fi  0 khác không, hay  f   i  0 Vì vậy, trạng thái cuối hấp thụ lượng 0 từ nhiễu loạn Tương tự vậy, số hạng thứ hai đưa  f   i  0 , lượng qua nhiễu loạn Số hạng thứ ba chứa giao thoa hai kiện bỏ qua 0t  Trong giới hạn này, tách biệt hai hàm sin c , 20 lớn bề rộng chúng  / t , để chúng khảo sát cách độc lập Điều có nghĩa hai thành phần số mũ e  i t cos 0t tách biệt Sự suy diễn tiến hành xác trường hợp tĩnh, kết cuối cho ˆ tốc độ biến đổi gây nên Ve  i t W fi  2 V fi    f   i  0   (B.24) Đây quy luật vàng Fermi cho nhiễu loạn điều hòa, thành phần e i t dẫn đến hấp thụ lượng electron Thay vào viết theo mật độ trạng thái W fi  2 V fi N   f  ,  f   i  0  (B.25) ˆ ˆ Các kết cho thành phần khác cos in , Ve  i t giống Ve  i t , ngoại trừ 0  f   i  0 tương ứng với xạ từ electron Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục C 62 Phụ lục C CÁC THỪA SỐ CẤU TRÚC Trước tiên, chúng tơi tính tích phân sau: x2   x  qx I   sin   e dx  a  x1 (C.1) Kết tích phân (C.1) có dạng sau: I  qx2 a 2q2  qx  e  e   2q  4  a q   qx2  2 x2 2 2 x2   sin  e  cos a aq a     (C.2)  2 x1 2 2 x1      e qx1  cos  sin   a aq a     Thừa số cấu trúc FC  q  tương tác electron – electron  FC  q     dz   z   dz   z   e q z  z  a    z    dz  sin     a   a I 2 a a     z     q z  z   z  dz   sin  e   dz  sin    I  a a  a   a  0   a z   z    q  z  z    z   q z  z     qz qz dz  sin  e   dz  sin  e     e I1  e I    a 0 a  a  a    z  (C.3) (C.4) Để tính I1 (C.4) ta áp dụng (C.2) thay x2  z; x1  :  qz  2 z 2 2 z      sin  e  cos   1  a aq a      Để tính I (C.4) ta áp dụng (C.2) thay x2  a; x1  z; q  q : I1  I2    qz a 2q  e  1   2q  4  a q    qa a 2q2   qz  e  e   2q  4  a 2q  Thay (C.5) (C.6) vào (C.4), ta có: 8 I aq 4  a q Thay (C.7) vào (C.3): Võ Văn Tài (C.5)   qa  2 z 2 2 z     e  e  qz  cos  sin     (C.6) a aq a        qz  q a  z  a q   z   sin  1  e  e  2 2  a   (C.7) PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục C 63 FC  q   a a 8  z  z  dz sin    dze  qz sin    2  a aq 4  a q   a   a   a a 2  z  a q   z   e  qa  dze qz sin   dz sin      a  2  a   (C.8)  8 1  qa a2q  I6   I  I  e I5  a aq 4  a q  2 2  I3  a Áp dụng (C.2) thay x2  a; x1  0; q  q để tính I :  (C.9)    qa a 2q I    e  1  e  qa  1  2  2q  4  a q  Áp dụng (C.2) thay x2  a; x1  0; để tính I : (C.10)   qa a 2q2 I5  e qa  1   e  1  2  2q  4  a q  (C.11) I6  a (C.12) Thay (C.9) đến (C.12) vào (C.8), FC  q  viết lại sau:  8 32  e  aq  3aq     4  a q  aq a q 4  a q  Thừa số cấu trúc FR  q, zi  pha tạp xa FC  q    FR  q, zi    dz   z  2 a e  q z  zi     z    q z  zi   dz  sin   e a  a   (C.13) Xét trường hợp zi  : a FR  q, zi   a 2 qz qz   z   q z  z    z   qz  dz sin  a  e i  a e i  dz sin  a  e  a e i I a0     (C.14) Để tính tích phân I (C.14), ta sử dụng (C.2), thay x2  a; x1  0; q  q : I   1   qa a2q 4 e 1  e  qa     e  qa  2q  4  a q 2q 4  a q        (C.15) Thay (C.15) vào (C.14) ta thu được: Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục C 64 8  qzi  FR  q, zi   e  e  aq  2  aq 4  a q     (C.16) Xét trường hợp  zi  a : FR  q, zi   z a 2i   z  q z  zi    z   q z  zi     qzi qz dz sin  e   dz sin     e I  e i I   e  a 0  a   a   a zi   (C.17) Tích phân I1 (C.17) tính cách áp dụng (C.2) thay x2  zi ; x1  : I1  Tích phân  qzi a 2q2   e 1  2q  4  a q     qzi  2 zi 2 2 zi     e  cos  sin    1  a aq a      (C.18) (C.17) tính cách áp dụng (C.2) thay I2 x2  a; x1  zi ; q   q : I2     qa  qzi a2q2  e e   2q  4  a q      qa  qzi e  e           2 zi 2 2 zi  sin  cos a aq a  (C.19) Thay (C.18) (C.19) vào (C.17): FR  q, zi   8 2 aq 4  a q   qzi  q a  zi  a q   z   sin  i   1  e  e 2 2  a   (C.20) Xét trường hợp zi  a : a a   z  q z  zi   qzi   z  qz qzi FR  q, zi    dz sin   e  dz sin  e e  e I a0 a a  a   a  (C.21) Để tính tích phân I (C.21), ta sử dụng (C.2), thay x2  a; x1  : I  1  qa a2q 4 e 1  e qa    e qa   2 2 2q  4  a q  2q 4  a q       (C.22) Thay (C.22) vào (C.21) ta thu được: FR  q, zi   8 2 aq 4  a q   q zi a    e  aq  2 e     (C.23) Từ (C.16), (C.20) (C.23), thừa số cấu trúc FR  q, zi  viết lại sau: Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Phụ lục C 65 qzi  e  e  aq , zi    8   qzi  q a zi  a q z  FR  q, zi   1 e  e  sin  i  ,  zi  a 2  aq 4  a q  2 2  a    q zi  a  e  e  aq , zi  a       Thừa số cấu trúc FB  q  pha tạp đồng  FB  q    dzi F  q, zi  a   a 1 2    dzi F  q, zi     dzi F  q,  zi  a   a     dz F  q, z i i a 2   a    (C.24)  I  II  III    8 I   e  aq   2  a  aq 4  a q    8 II   2  a  aq 4  a q  2    e  aq   4 1  dzi  e qzi          2aq  4  a q   aq   a  1  q a z a2q   z  dzi 1  e  qzi  e  i   sin  i     2 2  a  (C.25) 2  4  4 3a q   2 1  e2 aq    2  e  aq  1  2   aq  4  a q   aq a q 8 a q  (C.26)  2aq  aq  2a q 2    e    1  e  aq   2 2    4  a q     aq       8 III   e aq  1  2  a  aq 4  a q  2    e aq   4 1  dzi  e qzi          2aq  4  a2 q   aq   (C.27) Thay (C.25), (C.26) (C.27) vào (C.24), ta có:      aq  4  aq FB  q    1   e  a q e  2   aq  4  a q   aq        2aq 3a 3q  e aq       2   8 4  a q     Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh Tài liệu tham khảo 66 Tài liệu tham khảo [1] A Gold, Phys Rev B35, 723 (1987) [2] Chihiro Hamaguchi, Basic Semiconductor Physics (Springer, 2010) [3] A.Ya Shik, Quantum Wells Physics And Electronics Of Two-Dimensional Systems (World Scientific Publishing Co Pre Ltd., 1997) [4] Nguyễn Hữu Nhã, Độ Dẫn Điện Trong Hệ Hai Chiều (luận văn), VLLT VLT ĐH KHTN 2006 [5] John H Davies, The Physics Of low-Dimensional Semiconductors An Introduction (Cambridge, 1998) [6] F Stern, Phys Rev Lett 18, 546 (1967) [7] M Jonson, J Phys C 9, 3055 (1976) [8] S Das Sarma, E H Hwang, Phys Rev B 72, 205303 (2005) [9] T Ando, A B Fowler, and F Stern, Rev Mod Phys 54, 437 (1982) [10] S Das Sarma and E H Hwang, cond-mat/0501531v1 (2005) Võ Văn Tài PGS.TS Nguyễn Quốc Khánh ... II  SixGe1? ?? x / Si / SixGe1? ?? x  Các miền vùng dẫn cực tiểu cực đại gọi lớp giếng lớp rào, cách tương ứng Khi lớp rào dày, electron xuyên qua bị giam miền giếng lượng tử, dẫn đến lượng tử hóa... dụng điện trường Trong không gian  k hàm phân bố dịch chuyển nhẹ dọc theo hướng trường……………………… 12 Hình 2.1 Cấu hình giếng lượng tử SixGe1? ?? x / Si / Six Ge1 x …………………… 18 Hình 2.2 Năng lượng. .. ? ?SixGe1- x? ?? Hình 2.1 Cấu hình giếng lượng tử SixGe1? ?? x / Si / Six Ge1 x [1] Thế V  z  phụ thuộc vào z , nên electron xem chuyển động tự mặt phẳng  xy  hàm sóng electron theo trục x y sóng phẳng