Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2007 - 2008 Chuyên đề từ định lý viét đến giải số toán bất đẳng thức Ngòi trình bày Phạm văn thơ đơn vị Tổ : khoa học tự nhiên Trơng : thcs quang trung SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức A- Đặt vấn đề : * Chúng ta đà biết dạy toán dạy cho ngời học để có lực trí tuệ, lực giúp cho ngời học tiếp thu kiến thức khác tự nhiên xà hội , dạy toán không đơn dạy cho học sinh nắm đợc kiến thức , khái niệm , định lý toán học Điều quan trọng dạy cho học sinh có lực trí tuệ Năng lực đợc hình thành phát triển hoạt động Phát triển lực để tích cực độc lập , sáng tạo nội dung toán học đợc nghiên cứu *Trong xu chung năm gần việc đổi phơng pháp dạy học vấn đề cấp bách thiết thực , nhằm đào tạo ngời có lực hoạt động trí tuệ tốt Đổi phơng pháp không giảng lý thuyết , mà luyện tập Luyện tập việc rèn luyện kĩ tính toán , kĩ suy luận cần có tập mở , đợc xÕp cã hƯ thèng gióp häc sinh cđng cè vµ vận dụng kiến thức cách động sáng tạo * Trong chơng trình đại số lớp Định lý Viét phần kiến thức , quan trọng Định lý Viét cần cho việc lĩnh hội kiến thức phơng trình quy bậc hai , giải toán cách lập phơng trình bậc hai Ngoài định lý Viét đợc áp dụng để giải số toán chứng minh bất đẳng thức , tìm giá trị lớn nhất, nhỏ vấn đề góp phần lớn việc phát triển lực trí tuệ cho học sinh giúp để giải toán khó mà sách giáo khoa không đề cập tới B sở khoa học : ã Cơ sở lý luận: - Quy luật trình nhận thøc tõ trùc quan sinh ®éng ®Õn t trõu tợng Song trình nhận thức đạt hiệu cao hay không , có bền vững hay không phụ thuộc vào tính tích cực,chủ động sáng tạo chủ thể - Đặc điểm lứa tuổi thiếu niên có xu hớng vơn lên làm ngời lớn , muốn tự tìm hiểu , khám phá trình nhận thức lứa tuổi học sinh trung học sở có điều kiện thuận lợi cho khả tự điều chỉnh hoạt động học tập tự sẵn sàng tham gia vào hoạt động kh¸c C¸c em cã ngun väng mn cã hình thức học tập mang tính chất Ngời lớn nhiên nhợc điểm em cha biết cách thực nguyện vọng , cha nắm đợc phơng thức thực hình thức học tập Vì cần có hớng dẫn , điều hành cách khoa học nghệ thuật thầy cô Trong lý luận phơng pháp dạy học cho thấy Trong môn toán thống điều khiển thầy hoạt động học tập trò thực đợc cách quán triệt quan điểm hoạt động , thực dạy học toán hoạt động Dạy học theo phơng pháp phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều , làm nhiều , tham gia nhiều trình chiếm lĩnh tri thức toán học Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phơng pháp t quan điểm cho dạy toán phải dạy suy nghĩ , dạy óc học sinh thành SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức thạo thao tác t phân tích , tổng hợp , trừu tợng hoá , khái quát hoá Trong phân tích tổng hợp có vai trò trung tâm Phải cung cấp cho học sinh tự tìm tòi , tự phát phát biểu vấn đề dự đoán đợc kết , tìm đợc hớng giải toán ,hớng chứng minh định lý - Hình thành phát triển t tích cực độc lập sáng tạo dạy học toán cho học sinh trình lâu dài , th«ng qua tõng tiÕt häc , th«ng qua nhiỊu năm học , thông qua tất khâu trình dạy học nội khoá nh ngoại khoá ã Cơ sở thực tiễn : - Hiện nhà trờng phổ thông nói chung nhiều học sinh lời học , lời t trình học tập - Học sinh cha nắm đợc phơng pháp học tập , cha có hoạt động đích thực thân để chiếm lĩnh kiến thức cách chủ động năm qua trờng trung học sở dà có chuyển đổi tích cực việc đổi phơng pháp giảng dạy sở thay sách giáo khoa từ khối đến khối Học sinh đà chủ động nghiên cứu tìm tòi khám phá kiến thức xong dừng lại tập đơn giản sách giáo khoa Định lý Viét phần kiến thức khó em , đặc biệt vận dụng vào giải tập - Việc vận dụng lý thuyết đà đợc học sách giáo khoa vào giải tập khó khăn em có khả sáng tạo vận dụng vào tập có nội dung më réng , n©ng cao VÝ dơ : Cho phơng trình bậc hai x2 - 2(m - 1)x - 3- m = ( víi x lµ Èn , m tham số ) Tìm m cho nghiệm x1 , x2 phơng trình thoả mÃn điều kiÖn x12 + x22 ≥ 10 + Khi cha thùc chuyên đề , cho học sinh làm thấy kết nh sau : Lúc đầu 100% số học sinh lớp không xác định đợc dùng kiến thức để giải Do em không giải đợc Sau gợi ý : Bài toán đề cập tới số nghiệm phơng trình bËc hai ax2 + bx +c = (a≠0) vµ tổng bình phơng hai nghiệm phơng trình Lóc ®ã cã tíi 30% häc sinh nghÜ ®Õn việc sử dụng định lý Viét Nhng em cha giải đợc để giải toán thông qua định lý Viét phải sử dụng đẳng thức bất đẳng thức + Sau nghiên cứu hớng dẫn học sinh theo chuyên đề 80% số học sinh lớp đà xác định đợc hớng giải toán có khoảng 70%- 80% em làm đợc Ngoài em có khả áp dụng vào giải số tập yêu cầu cao Đặc biệt em vận dụng giảI tập chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị Sau phần trình bày nội dung chuyên đề bớc tiến hành chuyên đề C giảI vấn đề : SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức I / Bớc thứ : Tìm hiểu nội dung kiến thức sách giáo khoa phát hiƯn kiÕn thøc míi : Néi dung cđa sách giáo khoa đà biết : Định lý Viét : Nếu x1 , x2 hai nghiệm phơng trình a x2 +bx +c =0 (a0) tổng tích hai nghiệm b x1 x +2 =  a  c  x = x1  a  NÕu hai sè u , v có tổng S tích P hai số hai nghiệm phơng trình : X2 - Sx + P = ĐIều kiện tồn hai số S2 - 4P Đó kiến thức mà sách giáo khoa đà đa học sinh đà đợc làm tập cách quen thuộc Tìm hiểu thấy : Định lý Viét định lý quen thuộc , nhng sử dụng định lý toán cụ thể lại việc không đơn giản , điều quan trọng hÃy từ giả thiết toán làm để có đợc biểu diễn tổng tích hai đại lợng Từ dẫn đến phơng trình bËc hai ci cïng lµ tÝnh biƯt sè ∆ cđa phơng trình giải bất phơng trình Từ suy nghĩ thấy giúp học sinh giải đợc tập chứng minh bất đẳng thức , tìm cực trị Dựa sở định lý Viét giúp học sinh phát triển t sáng tạo giải toán khái quát hoá kiến thức Những vấn đề quan trọng chỗ phải xếp hệ thống tËp cho häc sinh cã thĨ ®éc lËp suy nghĩ , tự xây dựng sáng tạo cách giải nội dụng tập nói II/ Bớc thứ hai : Xây dựng hệ thống tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ sáng tạo cách giải ( khái quát hoá kiến thức ) sử dụng kiến thức đà học Bài số 1: Cho phơng trình x2 - 2(m-1)x - - m = T×m m cho sè nghiƯm x1 , x2 phơng trình thoả mÃn điều kiện x12 + x22 ≥ 10 , , , XÐt ∆ =( m −1) +( m +3) →∆ =m −  +15 →∆ > ∀ m  ÷ phơng trình có hai nghiệm phân biệt m GV Định hớng : Theo định lý Viét ta có đợc ? x1 x 1)  +2 = (m −  (I)  x1 − m  x2 = (3 + )  Tõ x12 + x22 ≥ 10 ta biÕn ®ỉi nh ? để sử dụng đợc (I) từ ®ã häc sinh biÕn ®æi nh sau : x12 + x22 10 SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức +2 x ( x1 ) − x1 x2 ≥ 10  ⇔ (m −)  (m + ) ≥ + 10   ⇔ −m ≥ 4m 9 ⇔ − m+ m2 ≥ 16 16 3  ⇔ − ÷ m ≥  4 16  3 ⇔− ≥ m 4 3  m   − ≥ m 4  ≥ ⇔ ⇔   3  − ≥ m m  ≤   4 Bµi sè : Cho số thực x , y , z khác không thoả mÃn điều kiện x+y+z = xyz ; x2 = yz Chøng minh r»ng : x2 ≥ Gi¶i GV: Cho học sinh thấy đợc chuyển vế đợc y z xyz − x  + = − y z x x  + =  ⇔   y x2 y x2  z =  z = toán trở thành tìm hai sè biÕt tỉng vµ tÝch hai nghiƯm cđa chóng Tõ học sinh định hớng đợc việc sử dụng định lý Viét để biến đổi - Theo định lý Viét y , z hai nghiệm phơng trình : u2 - (x3 - x)u +x2 = ⇔ u2 + (x-x3)u + x2 = (1) xÐt ∆ = x2[(1-x2)2 - 4] (2) (1) có nghiệm nên x ≠ nªn tõ (2) ⇒ (1- x2)2 - ≥ ⇔ (1- x2)2 ≥ ⇒ 1-x2 ≤-2 ⇔ x2 ≥ (®pcm) - NÕu toán giải theo cách khác phức tạp nhiều Do việc sử dụng định lý Viét cách giải hay toán Các em học sinh qua thấy đợc để giải toán có nhiều cách giải khác nhng sử dụng cách cho lời giải ngắn gọn xác Bài số : Các số thực x ,y ,z thoả mÃn điều kiện x + y + z = yz +xz + xy = SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức 7 Chøng minh r»ng : ≤ x ≤ ;1 ≤ y ≤ ;1 ≤ z ≤ Giải Từ giả thiết toán x + y + z = vµ yz + xz + xy = ta cã y +z =5 −x  yz =8 x(5 x) Từ dẫn đến y ,z nghiệm phơng trình : u2 + (x-5)u + x2 - 5x +8 = (1) xÐt ∆ = (5-x)2 - 4(x2 - 5x+ 8) (1) có nghiệm nên ∆〈0 ⇔ (5-x)2 - 4(x2 - 5x+ 8) 〈0 từ suy vai trò cđa x , y , z nh nªn ta còng cã x 7 ≤ ≤ ;1 ≤ ≤ y z 3 Bµi sè : Giả sử x1 , x2 nghiệm phơng trình x2 + kx + a = ( a ≠ 0) Tìm tất giá trị k để có bất đẳng thức ( a , k sè thùc ) ( x1 x ) + ( )3 ≤ 52 x2 x1 Gi¶i + Ta xÐt a hai trờng hợp : ã Nếu a > th× ∆ = k2 - 4a > víi k Khi phơng trình đà cho có hai nghiệm khác khác dấu , điều ®ã dÉn ®Õn bÊt ®¼ng thøc ®· cho ®óng víi giá trị thực k ã Nếu a > Ta cã x3 + y3 = (x + y)( x2 - xy + y2 ) ¸p dơng h»ng đẳng thức ta đợc : ( nhng x1 x x x  x x ) + ( )3 = ( + ) ( + ) −3 x2 x1 x2 x1  x2 x1  x1 x2 + = x2 x1 2 x1 + x x1 x2 ( x1 + x2 ) − x1x2 k = = ( định lý Viét) x1x2 a  x1   x1   k  k2 Do + ữ = − ÷( − 2) − 3 ≤ 52 ÷ x2   x2   a  a SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức Đặt k2 =t a ( t )  ( t − ) Ta cã − 3 ≤ 52 ⇔ ( t − ) ( t + ) ≤ (2)  k2 ta thÊy t + >  t , ®ã (2) chØ ®óng t - 6[0 hay −6 ≤0 a a > nªn suy k2 [6a Bëi vËy ta cã − 6a ≤ k ≤ 6a a >   − 6a ≤ k ≤ 6a  VËy a < , k số thực Bài sè : Cho a ≠ Gi¶ sư x1 , x2 nghiệm phơng trình : x − ax − =0 2a Chøng minh r»ng : x14 + x24 ≥ + √2 , dấu đẳng thức xảy ? Giải x x a + = áp dụng định lý ViÐt ta cã  x −  x2 = 2a  Ta cã : x14 + x24 = ( x12 + x22)2 - 2(x1x2)2 = {( x1 + x2)2 - 2x1x2 }2 - 2(x1x2)2 1 =  a2 +  −  ÷ a  2a  VËy x14 + x24 ≥ + √2   =  a4 + ÷+ ≥ a4 + = + 2a  2a  DÊu cña đẳng thức xảy a = 1 ⇔ a8 = ⇔ a = ± 2a 2 Bµi sè : Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình : 2x2 + 2(m+1)x + m2 + 4m +3 = (1) Tìm giá trị lớn biểu thức : A = |x1x2 - 2x1 - 2x2 | Gi¶i SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức ∆’ = (m+1)2 - 2(m2+4m+3) = m2 + 2m +1 - 2m2 -8m - = - m2 - 6m - phơng trình (1) có nghiệm ⇔m2 + 6m+ ≤0 ⇔ (m+1)(m+5) ≤0 ⇔ - ≤ m ≤ - Ta cã :  +x2 =− m + ) x (  víi - ≤ m ≤ - ta cã hÖ thøc ViÐt  m +4m + x  x2 =  Nªn A = |x1x2 - 2x1 - 2x2 | = |x1x2 - 2(x1 - x2 )| m + 4m + 1 = + ( m + 1) = m + 8m + = ( m + 1) ( m + ) 2 V× - [ m [ -1 ⇔ ( m + 1)(m + 7) < 1 9 Do ®ã : A = − ( m +8m +7 ) =− ( m +4 ) + ≤ ∀ m 2 2 dấu đẳng thức xảy vµ chØ m = -4 Bµi sè : Cho m giả sử x1 , x2 nghiệm phơng trình : x2 mx =0 m Tìm giá trị nhỏ bbiểu thức A = x14 + x24 Giải Xét phơng trình Ta cã : ∆ = m x2 − mx − = (m ≠ 0) m + > ∀ ≠0 m m x x m + = Theo định lý Viét ta cã :  x1 x2 = −  m  mµ A = x14 + x24 = ( x12 + x22)2 - 2x1x2= {(x1+x2)2 - 2x1x2}2 - 2(x1x2)2 SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thøc =  m + 22  − 14 = m + + 44 − 24  ÷ m  m m m   2 m + +4 = m − ÷ +4 +2  m m ÷ A= A +2 Đẳng thức xảy m2 = ⇔ = m ± m Bµi sè : Tìm tất giá trị a số tự nhiên cho phơng trình x2 - a2x + a +1= cã nghiƯm nguyªn Giải Xét phơng trình : x2 - a2x + a +1 = (1) Giả sử x1 , x2 hai nghiệm nguyên phơng trình (1) ta có + = (2) x x a  x a 1(3)  x2 = + ⇒ ( x1 - 1)(x2 -1) = -(a2 - a -2 ) = -( a -2 )( 1+ a ) (4) tõ (2) vµ (3) ⇒ x x 1 + ≥  x  x2 ≥ ( a ε N ) ⇒ x1 / , x2 / ⇒ ( x1- 1)( x2 - 1) / (5) kÕt hỵp (4) , (5) ⇒ ( a - 2)( + a) ≤ v× a ε N ⇒ ≤ a ≤ Thư l¹i ta thấy a = thoả mÃn yêu cầu đề bµi Bµi sè : Cho x + y + z = (1) a Tìm giá trị nhỏ nhÊt cña : A = x + y2 + z b Tìm giá trị lớn : B = xy + yz + zx Gi¶i a - Từ đẳng thức (1) x + y = - z tõ A = x2 + y2 + z2 ⇒ A = ( x + y + z )2 - ( xy + yz + zx ) ⇔ A = - 2xy -2(3 - z).z −6 z +2 z − A ⇔ xy = áp dụng định lý Viét ta có x ,y nghiệm phơng trình : X2 - (3 - z )X + −6 z +2 z −A = (*) SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức z +2 z A XÐt ∆ = (3-z) - = 9-6z + z2-18 +12z - 4z4+ 2A= = - (3z2 - 6z + - 2A) phơng trình có nghiệm ∆ ≥ ⇔ 3z2 - 6z + - 2A ≤ XÐt ∆z = - 27 + 6A = - 18 + 6A V× x , y nghiệm (*) suy z tồn ∆z ≥ ⇒ A ≥ VËy Amin = vµ chØ x = y = z = b - Giải tơng tự : III Bíc thø ba : Bµi tËp vËn dơng Víi mục đích đa tập có áp dụng kiến thức định lý Viét để gi¶i , gióp häc sinh tù lun tËp , rÌn luyện t độc lập sáng tạo lời giải : Bài tập : Cho phơng trình bậc hai 2x2 + 6x + m = Với giá trị tham số m Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ,x2 thoả mÃn x1 x + 2 x2 x1 Bài tập : Cho phơng tr×nh : (m -1)x2 - 2(m +1)x + m = (1) Khi (1) cã hai nghiÖm x1 , x2 Tìm m cho x1 - x2 Bài tËp : a/ Cho a,b,c ∈R tho¶ m·n a + b + c = vµ ab + bc + ca = Chøng minh r»ng : ≤ a,b,c ≤ b/ Cho a,b,c ∈R tho¶ m·n a + b + c = vµ a2 + b2 + c2 = 4 Chøng minh r»ng : ≤ a ≤ ; 0≤ b ≤ vµ ≤ c ≤ 3 Bµi tËp : Giả sử x1 x2 nghiệm phơng trình x2 + 2kx +4 = 2 x x Tìm tất giá trị k cho có bất đẳng thức : ÷ +  ÷ ≥  x2   x1  Bµi tËp : Cho x , y , z R thoả mÃn điều kiện Chøng minh r»ng : ≤ x, y , z SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung x + y + z =  2 x + y + z = 10 Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức Bài tập : Cho x, y, z số thoả mÃn hệ phơng trình Tìm giá trị lớn bé x , y , z x + y + z =  xy + yz + zx = Bµi tËp : Cho a ≠ Gi¶ sư x1 , x2 nghiệm phơng trình : x ax = Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc E = x14 + x24 a D Kết luận : + Qua phần trình bày ta thấy nhiều tập chứng minh bất đẳng thức , hay tìm giá trị lớn nhỏ , thấy đợc định lý Viét có vai trò quan trọng áp dụng để giải phơng trình bậc hai Ngoài thấy đợc sử dụng định lý Viét vào giải bất đẳng thức đợc dễ dàng đặc biệt giúp cho học sinh hiểu sâu định lý Viét Những tập nµy gióp cho häc sinh rÌn t vµ kÜ biến đổi , áp dụng kiến thức đà biết Thử nghiệm đà thu đợc kết nh sau : ã cha thực chuyên đề học sinh gặp nhiều khó khăn tập số tập tơng đối dễ mà 100% học sinh không định hớng đợc cách giải Các tập lại em hoàn toàn bế tắc Có , câu hỏi tởng chừng không ăn nhập với phần lý thuyết đợc học định lý Viét nh , , , , học sinh làm đợc Và giáo viên chữa cho học sinh khó khăn phải diễn giải nhiều có đợc kiến thức sử dụng hệ thức Viét , dẫn đến học sinh khó tíêp thu , sợ tập nh ã Sau nghiên cứu xếp hệ thống tập nh đà trình bày , áp dụng dạy cho học sinh thấy học sinh hiểu , say mê với bất đẳng thức , Tìm cực trị em tự giải đợc tập , đồng thời phần trình bày em ngắn gọn , dễ hiểu , dễ ghi ã Ngoài tập đà đa nhiều tập , tõ 70%- 80% sè häc sinh líp lµm đợc đặc biệt có em trình bày lời giải xúc tÝch , gän , dƠ theo dâi Gãp phÇn rèn kĩ giải toán, lực hoạt động trí tuệ cho học sinh Học sinh không hiểu vấn đề cách máy móc dập khuôn Vì điều kiện trình bày hết tất tập xin trình bày số tập làm ví dụ minh hoạ cho chuyên đề E học rút : Nh đà đặt vấn đề học sinh trung học sở lứa tuổi thiếu niên nên việc t , khả khái quát hoá em hạn chế Do để giải tập khó công việc nặng nề em SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung 11 Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức tập bất đẳng thức Vì đòi hỏi ngời giáo viên đầu t lớn việc nghiên cứu chơng trình sách giáo khoa , hệ thống tập áp dụng tập nâng cao , từ xây dựng thành chuyên đề nhằm giúp học sinh có lực độc lập t , khái quát hoá kiến thức từ mà lực trí tuệ em đợc rèn luyện nâng cao Trong chơng trình nội dung kiến thức có kiến thức lý thut bỉ xung n»m tiỊm Èn bªn nh định lý Viét Xong có nhiều đơn vị kiến thức làm đợc nh Điều quan trọng tâm huyết ngời giáo viên nghề nghiệp Chỉ qua ví dụ định lý Viét ta thấy đà rút nhiều điều bổ ích cho việc giải tập bất đẳng thức , tìm cực trị Nếu tiến hành nh nội dung kiến thức khác chắn kết giáo dục ngày đợc nâng cao , đào tạo đợc nhiều nhân tài cho đất nớc đích cuối nghề dạy học SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung 12 Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức Mục lục Đặt vấn đề : B Cơ sở khoa học : C Giải vấn đề : D KÕt ln : E Bµi häc rót : A Trang Trang Trang Trang 12 Trang 13 Tài liệu tham khảo ã ã ã ã ã Nâng cao phát triển toán ( Vũ Hữu Bình) Trọng điểm đại số ( Ngô Long Hậu Trần Luận) 23 chuyên đề 1001 toán sơ cấp ( Nguyễn Đức Đồng) Tuyển chọn 400 toán ( Phan Thế Thợng) Tuyển tập năm tạp chí toán học tuổi trẻ Nhận xét tổ chuyên môn Nhận xét bgh Nhận xét đánh giá PGD SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung 13 Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung 14 ... lời giải ngắn gọn xác Bài số : Các số thực x ,y ,z thoả mÃn điều kiện x + y + z = vµ yz +xz + xy = SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức 7 Chứng minh r»ng... hạn chế Do để giải tập khó công việc nặng nề em SKKN phạm Thơ_THCS Quang Trung 11 Từ định lý Viet đến giải số toán bất đẳng thức tập bất đẳng thức Vì đòi hỏi ngời giáo viên đầu t lớn việc nghiên... nghĩ đến việc sử dụng định lý Viét Nhng em cha giải đợc để giải toán thông qua định lý Viét phải sử dụng đẳng thức bất đẳng thức + Sau nghiên cứu hớng dẫn học sinh theo chuyên đề 80% số học