[...]... b a (2.3.6) Công thức này cho thấy tích phân Stratonovich cũng được tính giống như công thức tích phân Leibniz-Newton Ngoài ra ta cũng có thể tính được tích phân Itô thông qua tích phân Stratonovich  b a b f (t , B (t )) dB(t )   f (t , B (t )) o dB(t )  a 1 b f ( B(t )) dt 2 a Ví dụ 2.3.5 Tính giá trị của tích phân Itô  b a  b a sin B (t )dB (t ) và tích phân Stratonovich sin B (t ) o dB(t... s, w) ds 0 2.3.SO SÁNH GIỮA TÍCH PHÂN STRATONOVICH VỚI TÍCH PHÂN ITO VÀ TÍCH PHÂN CỔ ĐIỂN Xem xét một tích phân đơn giản trong Leibniz-Newton:  b a e x dx  eb  e a (2.3.1) Tương tự trong tính toán Itô, với t=b ta có phương trình 14  b a e B ( t ) dB(t )  e B (b )  e B ( a )  1 b B (t ) e dt 2 a (2.3.2) Bây giờ chúng ta sẽ sử dụng ý tưởng của Itô để xác định tích phân Stratonovich bên trong... t2 ) và bình phương khả tích Tính chất 4(Bảo toàn tính vô hướng): Với f (t , w), g (t , w)  N ta sẽ có: E  T 0 T   f (t , w)dWt  g (t , w)dWt  E 0 T 0 f (t , w) g (t , w)dt  Bằng cách xác định tương tự như trên ta định nghĩa tích phân  t 0 f ( s, w) dWs , t  (0, T ] 12 CHƯƠNG II TÍCH PHÂN STRATONOVICH 2.1 TÍCH PHÂN STRATONOVICH Khái niệm về tích phân Wiener và tích phân Itô ta đã nói trong... () là liên tục đều Vậy b n lim  W(ti 1 )[f (t i 1 )  f (ti )]   W(t ) f (t )ds  0 i 0 a Công thức tích phân từng phần đã được chứng minh 9 W 1.3.TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN ITÔ Ta muốn mở rộng tích phân Wiener cho phép hàm dưới dấu tích phân là một hàm ngẫu nhiên Chúng ta sẽ định nghĩa tích phân T I ( f )   f (t , w) dWt 0 Cho một lớp nào đó các hàm ngẫu nhiên Ký hiệu Ft là  -trường bé nhất sinh... chứng minh được (3.1.8) W 3.2.TÍCH PHÂN WIENER-ITÔ 3.2.1 Ví dụ mở đầu b Cho B(t) là một chuyển động Brown Tích phân I ( f )   f (t )dB (t ) với f  L2 [a,b] a Các biến ngẫu nhiên I(f) có phân phối chuẩn với giá trị 0 và phương sai  b a f (t ) 2 dt Cho ánh xạ I : L2 [a,b]  L2 () là một phép đẳng cự Trong tích phân Riemann và tích phân bội hai, một nghiên cứu trong tính toán ta đặt câu hỏi sau Câu... )dB( s ), (3.2.1.2) Các tích phân ở vế phải của phương trình là tích phân Wiener đã được định nghĩa ở mục (1.2) Thông thường kỳ vọng của tích phân Wiener bội hai là khác 0, ví dụ như trong phương trình (3.2.1.1) giá trị B(1) 2 có kỳ vọng bằng 1 Do đó tích phân bội hai không thể trực giao với một hàm có giá trị không đổi (b) Ý tưởng của Itô Cũng có hai bước để xác định tích phân Wiener-Itô bội hai,... định tích phân W-Itô bội hai của f  1 , 1 1   1dB(t )dB( s)  B(1) 2 0 0 (3.2.1.7)  1, Đó là sự khác nhau về giá trị trong phương trình (3.2.1.1) Có thể đây là một tích phân bội hai được viết như một tích phân lặp? Chúng ta có thể viết 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0   1dB(t )dB(s)     1dB(s)  dB(t )       Nhưng tích phân cuối  1 0 B (1)dB (t ) B(1)dB (t ) không được định nghĩa như một tích phân. .. nghĩa tích phân bội hai Bước đầu tiên ta định nghĩa tích phân cho “hàm bậc thang ngoài đường chéo” Bước thứ hai là xấp xỉ hàm L2 ([a, b]2 ) bằng “hàm bậc thang ngoài đường chéo ” và cho một giới hạn tương ứng trong tích phân Để có khái niệm về một “ hàm bậc thang ngoài đường chéo ” chúng ta xem xét ví dụ để định nghĩa tích phân bội hai 1 1   1dB(t )dB(s) 0 0 Cho  n  {t0 , t1 , , tn } là một phân. .. sau Câu hỏi 3.2.1.1 Làm thế nào để ta có thể định nghĩa được tích phân bội hai b b a a  f (t , s ) dB(t )dB ( s) cho hàm f(t,s) (a)Ý tưởng của Wiener Quá trình để định nghĩa tích phân trên bao gồm hai bước Bước đầu tiên là xác định tích phân cho hàm số Bước thứ hai là xấp xỉ một hàm số trong L2 [a,b] và cho một giới hạn tương ứng trong tích phân Giả sử f là hàm được xác định bởi: 24 n m f    aij...  Yt dB (t ), Y0  1 1 t Để ý rằng Ee B ( t )  e 2 Vì vậy Yt  X t / EX t Ví dụ 2.3.7 Để tính tích phân Ito t  W dW 0 s s ta có thể chuyển sang tích phân Stratonovich để tính: t t  W dW   W o dW 0 s s 0 s s  [W, W]  1 2 Wt  t 2 18 CHƯƠNG III TÍCH PHÂN THEO LỚP CÁC QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN 3.1 TÍCH PHÂN NGẪU NHIÊN THEO QUÁ TRÌNH LEVY Trước hết ta sẽ tìm hiểu về quá trình Levy Định nghĩa 3.1.1 (Quá . thực tế. Tích phân ngẫu nhiên có nhiếu loại: Tích phân Wiener, tích phân Itô, tích phân Stratonovich… Trong luận văn này, chúng ta nghiên cứu về tích phân Stratonovich; năm 1960 nhà vật lý người. là sự liên hệ giữa tích phân Stratonovich với tích phân Itô và tích phân cổ điển. Điều này thể hiện ở chỗ, tích phân Stratonovich cũng được tính giống như công thức tích phân Leibniz-Newton nhiên………………………………………….………15 2.3. So sánh tích phân Stratonovic với tích phân Itô và tích phân cổ điển……16 Chương III Tích phân theo lớp các quá trình ngẫu nhiên…………………………….……….20 3.1. Tích phân ngẫu nhiên theo