[TY P E T H E C O M P A N Y A D D R E S S ] CẦN THƠ 2008 LUẬN VĂN TOÁN HỌC SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN TOÁN Giáo viên hƣớng dẫn: Sinh viên thực hiện: TS. Lâm Quốc Anh. Phạm Thanh Dƣợc. MSSV: 1040051. Lớp: Sƣ Phạm Toán K30. Sinh viên: Phạm Thanh Dược 2 Mục lục Phần mở đầu 4 Phần nội dung 6 Chương 1. KIẾN THỨC CƠ BẢN. 7 1.1 Bài toán cân bằng 7 1.1.1. Bài toán cân bằng 7 1.1.2. Một vài khái niệm 7 1.1.3. Một số trƣờng hợp đặc biệt 12 1.2 Sự tồn tại nghiệm 15 1.2.1. Định nghĩa 15 1.2.2. Định lý 15 1.2.3. Bổ đề 16 1.2.4. Bổ đề 17 1.2.5. Bổ đề 18 Chương 2. LIÊN TỤC 19 2.1 Một số khái niệm 19 2.2 Liên tục 22 2.2.1. Định nghĩa 22 2.2.2. Mệnh đề 22 2.2.3. Định lý 23 2.2.4. Định lý 23 2.2.5. Định nghĩa 23 2.2.6. Định nghĩa 24 2.2.7. Định lý 24 2.2.8. Hệ quả 25 May 1, 2008 3 2.2.9. Định lý 25 2.2.10. Hệ quả 26 2.3 Sự duy nhất và liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng 27 2.3.1. Mệnh đề 27 2.3.2. Mệnh đề 29 2.3.3. Tính liên tục và tính duy nhất của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng 29 2.3.3.1. Định lý 29 2.3.3.2. Hệ quả 30 2.3.3.3. Định lý 30 2.3.4. Sự duy nhất và liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán tựa cân bằng 31 2.3.4.1. Bài toán 31 2.3.4.2. Định lý 31 2.3.4.3. Định lý 34 Chương 3. MỘT SỐ ỨNG DỤNG 36 3.1 Định nghĩa 36 3.2 Ứng dụng 36 3.2.1. Bài toán tựa bất đẳng thức biến phân 36 3.2.2. Bài toán tựa tối ƣu 38 3.2.3. Bài toán điểm bất động 39 3.2.4. Bài toán điểm trùng lập 40 Phần kết luận 41 Sinh viên: Phạm Thanh Dược 4 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Tôi sinh ra và lớn lên trong một gia đình nông dân nghèo. Vì vậy, tôi đã sớm chứng kiến biết bao nỗi lo toan của bố mẹ trong việc xây dựng cuộc sống gia đình. Tôi tự hỏi liệu có cách nào giúp công việc làm ăn của bố đạt hiệu quả cao, kiếm đƣợc nhiều tiền hơn. Khi lên lớp 8, từ việc giải một bất phƣơng trình thông thƣờng nhƣ các bạn học cùng lớp tôi thầm nghĩ nếu vế trái của một bất phƣơng trình là khoảng tiền lời mà bố mình kiếm đƣợc sau mỗi vụ mùa thì tốt biết bao. Tôi suy nghĩ “Toán học có giúp nhiều trong việc lên kế hoạch sản xuất, kinh doanh không?”. Qua những năm tìm hiểu về Toán học, tôi đã nhận thức đƣợc rằng “Toán học có nhiều ứng dụng quan trọng trong đời sống”. Chẳng hạn, một nhà kinh doanh giỏi thì họ luôn có kế hoạch rõ ràng, luôn xác định những lợi nhuận hay tổn thất trong kinh doanh theo từng giai đoạn. Nếu ta gọi f là hàm lợi nhuận thì hàm f phải dƣơng, khi đó công việc kinh doanh mới có thể tiếp tục. Xuất phát từ ý tƣởng “làm kinh tế thì phải có lợi nhuận” tôi đã quan tâm rất nhiều đến Toán tối ƣu để xây dựng một hàm lợi nhuận lý tƣởng. Các tạp chí Toán học của các nƣớc, tạp chí Toán học quốc tế đã và đang là nơi sinh hoạt giao lƣu giữa những ngƣời yêu thích Toán học. Đây là một trong những lí do thúc đẩy sự phát triển không ngừng của Toán học trên mọi lĩnh vực. Nhiều năm qua, tạp chí Toán học đã mang lại biết bao nguồn cảm hứng cho giới trẻ trong việc chia sẻ sự hiểu biết, những ý tƣởng, cũng nhƣ những bƣớc thăng trầm của Toán học hiện đại. Từ một bài toán hay một khái niệm khi thảo luận có thể đƣợc xây dựng thành một chuyên đề. Riêng tôi, tôi luôn cập nhật những thông tin mới từ các tạp chí Toán học, đặc biệt là các khái niệm, công cụ Toán học mới giải quyết các bài toán kinh tế. Từ các bài báo của các tác giả “Banichi và Pini 2003”; “Blum và Oettli 1994”; “Noor và Oettli 1994”; “Bianchi et al 1997”; “Chadli và Riahi 2000”; “Ansari et al 2001”; “Lin et al 2003”; “Hai và Khanh 2006”; “Anh và Khanh 2007” ta thấy liên tục là một trong những công cụ có thể giải quyết bài toán May 1, 2008 5 “làm kinh tế thì phải có lợi nhuận” . Vì vậy, tôi quyết định chọn ”Sự liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng” làm đề tài luận văn tốt nghiệp. 2. Mục tiêu nghiên cứu. Trong tình hình nền kinh tế phát triển hiện nay, Toán ứng dụng không thể thiếu trong công tác vạch định chiến lƣợc. Trong phần nghiên cứu này, tôi hy vọng sẽ mang đến cho các bạn yêu toán một phần tổng hợp khá đầy đủ và những ý tƣởng của tôi về sự liên tục và một số ứng dụng của nó, đặc biệt là các bài toán kinh tế. Nếu bạn cũng yêu thích vấn đề này thì bạn có thể nghiên cứu sâu hơn thậm chí là chọn nó làm đề tài nghiên cứu. Hơn nữa, tôi đã cố gắng trình bày khá chi tiết và đƣa ra ví dụ cụ thể bám sát từng khái niệm. 3. Phương pháp nghiên cứu. a) Phƣơng pháp thu thập tài liệu: Thu thập các tài liệu có liên quan đến đề tài: Từ các bài báo, tạp chí, sách, trao đổi cùng thầy hƣớng dẫn, các bạn trong nhóm và trao đổi trên diễn đàn Toán học. b) Phƣơng pháp so sánh, tổng hợp: Từ tài liệu thu thập đƣợc tiến hành so sánh nét giống và khác nhau giữa các tài liệu. Quan tâm nhiều đến các ứng dụng và độ khái quát của các định lý. Trích lọc các thông tin sẽ trình bày trong luận văn này. 4. Các bước nghiên cứu. Trƣớc tiên, tôi gặp giáo viên hƣớng dẫn trao đổi về đề tài luận văn của tôi. Thứ hai, tôi thu thập tài liệu từ các nguồn khác nhau, chuyển mọi tài liệu về cùng ngôn ngữ tiếng việt. Thứ ba, tôi xây dựng đề cƣơng chi tiết và trình bày với giáo viên hƣớng dẫn. Thứ tƣ, tôi đi vào nghiên cứu sâu và hoàn chỉnh từng nội dung theo đề cƣơng đã vạch định. Thứ năm, tôi trao đổi với giáo viên hƣớng dẫn lần cuối trƣớc khi nộp luận văn về hội đồng bảo vệ. Sinh viên: Phạm Thanh Dược 6 PHẦN NỘI DUNG Luận văn này có thể dùng làm tài liệu tham khảo về liên tục và ứng dụng cho các bạn yêu thích Toán học. Luận văn gồm 3 chƣơng. Chƣơng 1, trình bày các kiến thức cơ bản hổ trợ cho việc xây dựng các bài toán mở đầu. Chƣơng 2, đề cập đến liên tục , sự tồn tại nghiệm trong bài toán cân bằng, đặc biệt là định lý 2.3.4.2 và định lý 2.3.4.3. Chƣơng 3, liên quan đến ứng dụng liên tục trong các trƣờng hợp đặc biệt. May 1, 2008 7 Chương 1. Kiến thức cơ bản 1.1. Bài toán cân bằng Trong nhiều năm qua, giải tích hiện đại ngày càng đóng vai trò quan trọng trong lý thuyết tối ƣu và các ứng dụng của nó. Chúng ta thƣờng bắt gặp các bài toán tối ƣu trong kinh tế, kĩ thuật và đặc biệt là trong tài chính tối ƣu. Bài toán cân bằng là một trong những vấn đề, bao gồm nhiều mối quan hệ với vấn đề tối ƣu nhƣ là bất đẳng thức biến phân, bài toán cân bằng của Nash, bài toán tìm phần bù, bài toán điểm bất động, bài toán điểm trùng lập, bài toán mạng giao thông Bài toán cân bằng đƣợc nhiều tác giả đề cập đến với việc giải quyết đƣợc sự tồn tại và sự duy nhất của nghiệm trong một số điều kiện. Bạn có thể tìm đọc trong một số bài báo nhƣ “Blum và Oettli 1994”; “Noor và Oettli 1994”; “Bianchi và Al 1997”; “Chadli và Riahi 2000”; “Ansari và Al 2001”; “Lin và Al 2003”; “Hai và Khanh 2006”; “Anh và Khanh 2007”. 1.1.1. Bài toán cân bằng. Mô hình bài toán. Giả sử X là không gian véctơ tôpô thực, M là tập con khác rỗng của X, M là tập đóng và lồi. Cho hàm với mọi . Tìm thỏa mãn (EP) . 1.1.2. Một vài khái niệm. 1.1.2.1. Định nghĩa. Giả sử X là không gian véctơ tôpô thực. Hàm đƣợc gọi là đơn điệu nếu . Giả sử F là ánh xạ từ X vào Y, với X, Y là các không gian Banach. Kí hiệu (X,Y) là không gian các toán tử tuyến tính liên tục đi từ X vào Y. Sinh viên: Phạm Thanh Dược 8 1.1.2.2. Định nghĩa. Đạo hàm của F theo phƣơng v tại x đƣợc xác định bởi: nếu giới hạn này tồn tại. 1.1.2.3. Định nghĩa. Ánh xạ F đƣợc gọi là khả vi tại x nếu tồn tại sao cho với mỗi thỏa mãn: với là vô cùng bé bậc cao hơn t khi Khi đó ta gọi A là đạo hàm của F tại x. Nhận xét. Ánh xạ F khả vi tại x thì: sự hội tụ này là đồng đều theo v trên các tập hữu hạn. 1.1.2.4. Định nghĩa. Ánh xạ F đƣợc gọi là khả vi Fréchet tại x nếu tồn tại sao cho trong đó Nhận xét. Ánh xạ F khả vi Fréchet tại x khi và chỉ khi tồn tại sao cho với mỗi (I) (II) hội tụ đều theo v trên các tập bị chặn. May 1, 2008 9 Chứng minh - Chiều thuận Khi F là khả vi Fréchet tại x. + Lúc đó, sao cho Do đó, ta có Mặt khác Do đó, Vậy hay F khả vi Gâteaux + Với mọi tập V bị chặn và cho trƣớc Ta chứng minh Do đó Vì V bị chặn nên sao cho Ta có Nên tồn tại dƣơng đủ nhỏ sao cho Sinh viên: Phạm Thanh Dược 10 Mặt khác, Suy ra, - Chiều đảo Vì F thoả mãn (II) hội tụ đồng đều theo v trên các tập bị chặn nên Vì F thoả mãn (I) nên +r(v) Do đó Hay [...]... cân bằng (EP) 1.1.3.6 Bất đẳng thức biến phân trên các toán tử X* là một ánh xạ Cho A: (VIP) Tìm Dễ thấy, nếu f(x,y)= thì (VIP) tƣơng đƣơng (EP) 1.1.3.7 Bài toán phần bù:( đây là trường hợp đặc biệt của bài toán trên) Giả sử M là một hình nón lồi, đóng với M* = Cho T: M (CP) là một nón X* là ánh xạ Tìm thỏa, 14 May 1, 2008 Bài 2 Sự tồn tại nghiệm Trong phần này ta sẽ chỉ ra sự tồi tại nghiệm của bài. .. của b là không xảy ra 2.3.2 Mệnh đề Giả sử X là một không gian mêtric với chuẩn d Hàm thì f thỏa mãn Nếu tồn tại sao cho: Bài toán cân bằng không dừng lại ở chỗ chỉ ra sự tồn tại của tập nghiệm Ngƣời ta còn chỉ ra trong một số trƣờng hợp thì nó có nghiệm hữu hạn, chẳng hạn bài toán có duy nhất nghiệm, hai nghiệm Trong đó, liên tục đóng vai trò khá quan trọng 2.3.3 Tính liên tục và tính duy nhất của. .. tích và - Chọn t = 1, ta đƣợc Vậy 26 nên có đạo hàm hầu May 1, 2008 2.3 Sự duy nhất và liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng Giả sử X, A là các không gian mêtric M là tập con khác rỗng của X Hàm ( lấy thỏa mãn Tìm ) Trong phần này chúng ta sử dụng đến điều kiện sau đây để nghiên cứu tính duy của bài toán ( nhất và tính liên tục Cho (A1) , ) là các số dƣơng và Một lân cận thoả mãn (A2) Ta có,... 2008 Đặt thì bài toán (OP) sẽ trở thành bài toán (EP) Hơn nữa, f là hàm đơn điệu trên M 1.1.3.2 Điểm yên đƣợc gọi là điểm yên của Cho hàm (SP) , Đặt , là ánh xạ xác định bởi: và Khi đó, nếu là nghiệm của (EP) khi và chỉ khi là nghiệm của (SP) Dễ thấy f đơn điệu 1.1.3.3 Bài toán cân bằng của Nash Cho I là một tập hợp hữu hạn (tập hợp tất cả các ngƣời chơi) Lấy dựng tập ta xây (số chiến lƣợc của ngƣời... xây dựng một hàm là hàm đặc trƣng cho sự tổn thất của ngƣời chơi thứ i , ta Lấy Điểm đặt , đƣợc gọi là phƣơng án của bài toán trên nếu ta có: (NP) Ta có thể viết gọn là đƣợc xác định bởi: - Nếu ánh xạ - Khi đó là nghiệm của (NP) khi và chỉ khi là nghiệm của (EP) 1.1.3.4 Bài toán điểm bất động Cho X=X* là không gian Hilbert M là một không gian con của X (FP) Ánh xạ T: M Tìm 13 thỏa mãn Sinh viên: Phạm... Vậy g liên tục 30 May 1, 2008 2.3.4 của ánh xạ nghiệm bài Sự duy nhất nghiệm và tính liên tục toán tựa cân bằng 2.3.4.1 Bài toán là hàm đa trị và Giả sử X, Y, A là các không gian mêtric Hàm Tìm thỏa mãn (QEP) với Trƣớc hết với ta đặt là tập các giá trị và thỏa (QEP) 2.3.4.2 Định lý Giả sử các điều kiện sau thỏa mãn: (i) Giả sử trong lân cận của và lân cận V(µ0) của µ0 sao cho là và f tại µ0 q- tƣơng... khắp nơi 21 Sinh viên: Phạm Thanh Dược 2.2 Liên tục 2.2.1 Định nghĩa đƣợc gọi là liên tục Giả sử X,Y là các không gian Banach Hàm nếu tồn tại một lân cận U của x0 và Hàm f đƣợc gọi là liên tục 2.2.2 trên tập : nếu f liên tục tại mọi điểm Mệnh đề Hàm khi và chỉ khi với mọi hệ là liên tục khoảng rời nhau trong [b,c] thì luôn tồn tại Chứng minh Giả sử f liên tục trên [b,c] Tức là tồn tại sao cho: Suy... 2.2.9 Định lý Giả sử f là hàm liên tục trên tập lồi hàm số là liên tục H Chứng minh 25 Khi đó, với mỗi cặp trên [0,1] Sinh viên: Phạm Thanh Dược Vì f là hàm liên tục trên tập lồi luôn tồn tại nên sao cho: Ta có: Đặt Suy ra, Vậy là liên tục 2.2.10 Hệ quả: Giả sử f là hàm liên tục trên tập lồi Khi đó, với mỗi cặp ta có: Chứng minh - Áp dụng Định lý 2.2.9 ta có là liên tục khắp nơi - Khi đó, khả tích... bài toán cân bằng (EP) trong một số điều kiện cơ bản Giả sử f(x,y) = g(x,y) + h(x,y) với g là hàm đơn điệu, liên tục; h là hàm liên tục 1.2.1 Định nghĩa Giả sử M,C là các tập lồi, C là tập con của M Khi đó, trong đó, 1.2.2 Định lý Giả sử các điều kiện sau đây thỏa mãn: (i) X là một không gian vectơ tôpô thực, M con X là một tập khác rỗng, đóng và lồi là ánh xạ thỏa mãn : (ii) g là hàm lồi và liên tục. .. Chương 3 Một số ứng dụng Bài toán cân bằng bao hàm nhiều bài toán quan trọng trong lý thuyết tối ƣu Do đó, những kết quả trình bày trong chƣơng hai dễ dàng suy ra các hệ quả tƣơng ứng cho các trƣờng hợp đặc biệt của bài toán cân bằng Trong chƣơng này, chúng ta trình bày các hệ quả cho một số trƣờng hợp đặc biệt đã đƣợc đề cập đến ở chƣơng 1 Định nghĩa sau đây là trƣờng hợp đặc biệt của định nghĩa 2.1.1; . quả 26 2.3 Sự duy nhất và liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng 27 2.3.1. Mệnh đề 27 2.3.2. Mệnh đề 29 2.3.3. Tính liên tục và tính duy nhất của ánh xạ nghiệm bài toán cân bằng 29 2.3.3.1 R E S S ] CẦN THƠ 2008 LUẬN VĂN TOÁN HỌC SỰ LIÊN TỤC CỦA ÁNH XẠ NGHIỆM BÀI TOÁN CÂN BẰNG TRƢỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƢ PHẠM BỘ MÔN TOÁN Giáo viên hƣớng dẫn: Sinh. lý 29 2.3.3.2. Hệ quả 30 2.3.3.3. Định lý 30 2.3.4. Sự duy nhất và liên tục của ánh xạ nghiệm bài toán tựa cân bằng 31 2.3.4.1. Bài toán 31 2.3.4.2. Định lý 31 2.3.4.3. Định lý 34 Chương