Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá Phòng giáo dục và đào tạo thọ xuân sáng kiến kinh nghiệm khai thác những ứng dụng của hằng đẳng thức tổng ba lập phơng Họ và tên tác giả: Đỗ Trí Khởi Chức vụ: Phó Hiệu trởng Đơn vị công tác: Trờng THCS Lam Sơn SKKN môn: Toán Năm học 2010 - 2011 1 A. ĐẶT VẤN ĐỀ I. LỜI MỞ ĐẦU Những hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những nội dung kiến thức quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8. Mỗi hằng đẳng thức giúp học sinh giải được một lớp các bài toán, nhiều bài tập khác nhau, giúp học sinh thực hiện giải toán nhanh hơn, chính xác hơn. Để trở thành học sinh giỏi Toán, ngoài những yêu cầu về kiến thức cơ bản trong chương trình cần nắm vững, học sinh còn phải biết tìm tòi, khai thác, vận dụng những kiến thức nâng cao. Đối với học sinh lớp 8, 9, giáo viên ngoài việc hướng dẫn các em vận dụng nhuần nhuyễn bảy hằng đẳng thức đáng nhớ, cần phải cung cấp thêm một số hằng đẳng thức tổng quát, một số hằng đẳng thức nâng cao, giúp các em học sinh khá giỏi có thể vận dụng để giải được nhiều bài toán khó, nhiều dạng bài tập hơn. Khai thác ứng dụng của các hằng đẳng thức nâng cao nhằm bổ sung những kiến thức mới, khơi dậy niềm say mê học tập, phát huy tính tích cực nhận thức và phát triển kỹ năng tự học của học sinh. Trong quá trình dạy học Toán, bồi dưỡng học sinh giỏi Toán, tôi thấy hằng đẳng thức tổng ba lập phương là một trong số những hằng đẳng thức nâng cao có rất nhiều ứng dụng; có thể giúp học sinh vận dụng để giải một số bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình, rút gọn biểu thức, chứng minh bất đẳng thức, , giúp học sinh rèn luyện tư duy toán học; sáng tạo trong quá trình học tập, tiếp thu kiến thức mới. Tôi đã sắp xếp, phân loại những ứng dụng của hằng đẳng thức tổng ba lập phương; từ đó hướng dẫn học sinh tự học để đạt kết quả cao. Tôi xin được trao đổi một số kinh nghiệm nhỏ này cùng các bạn. II. THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU Trong chương trình phổ thông, hằng đẳng thức tổng ba lập phương trong sách giáo khoa chưa được đề cập đến. Trong sách bài tập Toán 8, đưa ra hai bài tập sau: Bài 38: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Bài 57: Phân tích đa thức thành nhân tử: (x + y + z) 3 - x 3 - y 3 - z 3 . Trong nhiều sách nâng cao, sách tham khảo, hằng đẳng thức tổng ba lập phương và ứng dụng của nó được một số tác giả quan tâm đưa vào với một số lượng ít bài tập ở một vài dạng. Thực tế, trong quá trình dạy học, chúng ta gặp nhiều bài toán ở các dạng bài khác nhau trong các đề thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải đưa về dạng 2 hằng đẳng thức tổng ba lập phương. Nếu giáo viên chưa khai thác sâu kiến thức cơ bản, học sinh chưa kịp thời bổ sung những kiến thức cơ bản nâng cao; chưa đào sâu suy nghĩ để tìm cách vận dụng linh hoạt những hằng đẳng thức cơ bản nâng cao, cùng việc tích luỹ dần dà các phương pháp và kỹ năng hữu hiệu thì khó có thể giải được những bài toán đó. Trong trường hợp đặc biệt, một số học sinh có năng lực tiếp thu bài tốt, có khả năng tự học. Khi nhu cầu hiểu biết của học sinh rất lớn, trong một thời gian hạn chế mà tài liệu tham khảo nhiều, học sinh thường lúng túng, mất quá nhiều thời gian để có thể hệ thống được các dạng toán, các phương pháp, các kinh nghiệm vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán, nếu không có sự hướng dẫn chu đáo của giáo viên. Do đó để đáp ứng nhu cầu bổ sung kiến thức, bổ sung những hằng đẳng thức có nhiều ứng dụng, bổ sung những kinh nghiệm giải toán nhằm nâng cao chất lượng dạy học Toán lớp 8, 9, đòi hỏi người thầy phải giúp học sinh có những tư liệu tự học tốt nhất, những chủ đề nâng cao khai thác vận dụng những hằng đẳng thức nâng cao trong đó có hằng đẳng thức tổng ba lập phương - một hằng đẳng thức đẹp. B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I. GIẢI PHÁP THỰC HIỆN 1. Để giúp học sinh lớp 8, 9 có kỹ năng giải thành thạo các bài tập về vận dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương, trước hết giáo viên cần hướng dẫn học sinh nắm được hằng đẳng thức; giúp học sinh phân loại các bài tập theo các dạng toán cơ bản, nâng cao. Ở mỗi dạng toán, giáo viên cần đưa ra các ví dụ cụ thể, hướng dẫn học sinh biết vận dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương để giải. Giáo viên đưa ra những bài tập tương tự, bài tập vận dụng để học sinh có thể tự giải. Hằng đẳng thức tổng ba lập phương có thể được sử dụng để giải nhiều bài toán thuộc các dạng sau: 1.1. Phân tích đa thức thành nhân tử. 1.2. Rút gọn biểu thức. Tính giá trị của biểu thức 1.3. Chứng minh đẳng thức. 1.4. Trục căn thức ở mẫu. 1.5. Giải phương trình. Giải hệ phương trình. 1.6. Chứng minh bất đẳng thức 1.7. Chứng minh chia hết 1.8. Các dạng khác. 2. Tổ chức hướng dẫn học sinh chủ động, tích cực tìm tòi, sáng tạo nắm vững hằng đẳng thức tổng ba lập phương, rèn luyện các kỹ năng giải các bài toán áp dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương. 3 II. BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1. HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG * Với A, B, C là các biểu thức tuỳ ý ta có các hằng đẳng thức sau: 1) A 3 + B 3 + C 3 = (A + B + C)(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA) + 3ABC 2) A 3 + B 3 + C 3 = (A + B + C) 3 - 3(A + B)(B + C)(C + A). Để chứng minh hằng đẳng thức (1), ta có thể chọn một trong hai cách sau đây: Cách 1: Ta có: (A + B + C)(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA) = A(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA) + B(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA) + + C(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA) = A 3 + AB 2 + AC 2 - A 2 B - ABC - A 2 C + A 2 B + B 3 + BC 2 - AB 2 – B 2 C - - ABC + A 2 C + B 2 C + C 3 - ABC - BC 2 - AC 2 = A 3 + B 3 + C 3 – 3ABC. Suy ra A 3 + B 3 + C 3 = (A + B + C)(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA) + 3ABC Cách 2: Ta có: A 3 + B 3 + C 3 - 3ABC = (A + B) 3 - 3AB(A + B) + C 3 - 3ABC = (A + B) 3 + C 3 – 3AB(A + B) - 3ABC = (A + B + C)[(A + B) 2 - (A + B)C + C 2 ] - 3AB(A + B + C) = (A + B + C)(A 2 + 2AB + B 2 - AC - BC + C 2 - 3ABC) = (A + B + C)(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA). Suy ra đpcm. Để chứng minh hằng đẳng thức (1), ta có thể chọn một trong hai cách sau: Cách 1: Ta có: (A + B + C) 3 - 3(A + B)(B + C)(C + A) = (A + B) 3 + 3(A + B) 2 C + 3(A + B)C 2 + C 3 - (3A + 3B)(BC + AB + C 2 + AC) =A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 + 3A 2 C + 6ABC + 3B 2 C + C 3 - 3ABC - 3A 2 B - - 3AC 2 - 3A 2 C – 3B 2 C – 3AB 2 – 3BC 2 – 3ABC = A 3 + B 3 + C 3 . Suy ra đpcm. Cách 2: (A + B + C) 3 - (A 3 + B 3 + C 3 ) = (A + B) 3 + 3(A + B) 2 C + 3(A + B)C 2 + C 3 - (A 3 + B 3 + C 3 ) = A 3 + B 3 + 3AB(A + B) + 3(A + B) 2 C + 3(A + B)C 2 + C 3 - A 3 - B 3 - C 3 = 3(A + B) 2 ( )AB A B C C   + + +   = 3(A + B)(B + C)(C + A). Suy ra đpcm. 2. NHỮNG ỨNG DỤNG CỦa HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG 2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử Từ các hằng đẳng thức 1) và 2) ta suy ra: * A 3 + B 3 + C 3 - 3ABC = (A + B + C)(A 2 + B 2 + C 2 - AB - BC - CA) (1) * Nếu A + B + C = 0 thì A 3 + B 3 + C 3 = 3ABC (2) * (A + B + C) 3 - A 3 - B 3 - C 3 = 3(A + B)(B + C)(C + A) (3) Chúng ta có thể sử dụng (1), (2) và (3) để phân tích đa thức thành nhân tử. Ví dụ 1: Phân tích đa thức 8x 3 + 64y 3 + z 3 - 24xyz thành nhân tử. Hướng dẫn: 8x 3 + 64y 3 + z 3 - 24xyz = (2x) 3 + (4y) 3 + z 3 - 3.(2x).(4y).z 4 = (2x + 4y + z)[(2x) 2 + (4y) 2 + z 2 - (2x)(4y) - (2x)z - (4y)z] = (2x + 4y + z)(4x 2 + 16y 2 + z 2 - 8xy - 2xz - 4yz). Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 thành nhân tử. Hướng dẫn: Đặt a = x - y, b = y - z, c = z - x thì a + b + c = 0. Do đó a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Vậy (x - y) 3 + (y - z) 3 + (z - x) 3 = 3(x - y)(y - z)(z - x). Với a = x 2 + y 2 ; b = z 2 - x 2 ; c = - y 2 - z 2 cũng cho a + b + c = 0 ta có bài toán: Ví dụ 3: Phân tích thành nhân tử: (x 2 + y 2 ) 3 + (z 2 - x 2 ) 3 - (y 2 + z 2 ) 3 Hướng dẫn: A = (x 2 + y 2 ) 3 + (z 2 - x 2 ) 3 - (y 2 + z 2 ) 3 = (x 2 + y 2 ) 3 + (z 2 - x 2 ) 3 + (- y 2 - z 2 ) 3 Đặt a = x 2 + y 2 ; b = z 2 - x 2 ; c = - y 2 - z 2 ⇒ a + b + c = 0 ⇒ A = a 3 + b 3 + c 3 = 3abc = 3(x 2 + y 2 )(z 2 - x 2 )(- y 2 - z 2 ) = 3(x 2 + y 2 )(y 2 + z 2 )(x + z)(x - z) Với a = x + y - z; b = x - y + z; c = - x + y + z cũng cho a + b + c = 0 và ta có bài toán: Phân tích thành nhân tử: (x + y + z) 3 - (x + y - z) 3 - (x - y + z) 3 - (- x + y + z) 3 . Bài tập vận dụng Phân tích các đa thức thành nhân tử: 1) x 3 - y 3 - z 3 - 3xyz. 2) 125a 3 + 8b 3 + 27c 3 - 90abc. 3) (x - y + z) 3 - x 3 + y 3 - z 3 . 4) (x + 2y - 3z) 3 - x 3 - 8y 3 + 27z 3 . 5) (a + b) 3 - (b + c) 3 + (c - a) 3 . 6) (x - y) 5 + (y - z) 5 + (z - x) 5 . 7) (a - b + c) 3 - (a - b - c) 3 - (c - a - b) 3 - (a + b + c) 3 . 8) (3x 2 - 2x + 1) 3 + (x - x 2 - 1) 3 - (2x 2 - x) 3 . 2.2. Rút gọn biểu thức. Tính giá trị của biểu thức Ví dụ 1: Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0. Tính giá trị của biểu thức P = 2 2 2 xy yz zx z x y + + . Hướng dẫn: Từ giả thiết: xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0 suy ra: 1 1 1 0 x y z + + = . Xem 1 1 1 ; ;a b c x y z = = = , ta có a + b + c = 0, áp dụng: a + b + c = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc ta có: 1 1 1 0 x y z + + = 3 3 3 1 1 1 3 x y z xyz ⇒ + + = . Ta có: P = 2 2 2 xy yz zx z x y + + = 3 3 3 1 1 1 xyz x y z   + +  ÷   = 3 . 3xyz xyz = . Vậy P = 3. Nhận xét: Ở bài toán trên chúng ta đã sử dụng “điều kiện xuôi” để tính giá trị của biểu thức. Ta cũng có thể sử dụng “điều kiện ngược” để tính giá trị của biểu thức. Ví dụ 2: Cho abc ≠ 0, a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức: A = 1 1 1 a b c b c a     + + +  ÷ ÷ ÷     . 5 Hướng dẫn: abc ≠ 0, a 3 + b 3 + c 3 = 3abc ⇒ a + b + c = 0 hoặc a = b = c. - Nếu a + b + c = 0 thì A = . . . . 1 a b b c c a c a b b c a b c a + + + − − − = = − . - Nếu a = b = c thì A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 2.2.2 = 8. Vậy A nhận hai giá trị là 8 và -1. Ví dụ 3: Biết a 3 b 3 + b 3 c 3 + c 3 a 3 = 3a 2 b 2 c 2 , tính giá trị của biểu thức: A = 1 1 1 a b c b c a     + + +  ÷ ÷ ÷     . Hướng dẫn: Nếu đặt: x ab y bc z ca =   =   =  ta có: 1. Biểu thức A được chuyển về dạng: A = 1 1 1 z x y y z x      + + +  ÷  ÷ ÷      . 2. Điều kiện của giả thiết được biến đổi về dạng: a 3 b 3 + b 3 c 3 + c 3 a 3 = 3a 2 b 2 c 2 ⇔ x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz 0x y z x y z + + =  ⇔  = =  Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: Với x + y + z = 0, ta có: A = 1 1 1 z x y y z x      + + +  ÷  ÷ ÷      = . . 1 y z z x x y xyz y z x xyz + + + − = = − . Trường hợp 2: Với x = y = z, ta có ngay: A = (1 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 8. Ví dụ 4: Tính giá trị của biểu thức: A = x 3 + (x - 1) 3 - (2x - 1) 3 - 3x(x - 1)(1 - 2x). Hướng dẫn: Đặt a = x, b = x - 1, c = 1 - 2x suy ra: a + b + c = 0. Khi đó, biểu thức được viết dưới dạng: S = x 3 + (x - 1) 3 + (1 - 2x) 3 - 3x(x - 1)(1 - 2x) = a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca) = 0. Vậy, ta được S = 0. Ví dụ 5: Rút gọn biểu thức A = 8(a + b + c) 3 - (2a + b - c) 3 - (2b + c - a) 3 - (2c + a - b) 3 Hướng dẫn: Đặt: 2 2 2( ) 2 x a b c y b c a x y z a b c z c a b = + −   = + − ⇒ + + = + +   = + −  ⇒ 8(a + b + c) 3 = (x + y + z) 3 . Khi đó: A = (x + y + z) 3 - x 3 - y 3 - z 3 = 3(x + y)(y + z)(z + x) = 3(a + 3b)(b + 3c)(c + 3a). Ví dụ 6: Biết a 3 + b 3 = 3ab - 1, tính giá trị của biểu thức: A = a + b. Hướng dẫn: Biến đổi giả thiết về dạng: a 3 + b 3 = 3ab - 1 ⇔ a 3 + b 3 + 1 3 = 3.a.b.1 1 0 1 1 1 2 2 a b a b A a b a b A + + = + = − = −    ⇔ ⇔ ⇔    = = + = =    6 Ví dụ 7: Cho 2 1 1 0 x y z + + = . Tính giá trị của biểu thức A = 2 2 2 4 2 2 xy yz zx z x y + + . Hướng dẫn: Đặt 2 1 1 , ,a b c x y z = = = ⇒ a + b + c = 0 ⇒ a 3 + b 3 + c 3 = 3abc 3 3 3 8 1 1 6 x y z xyz ⇒ + + = Do đó: A = 2 2 2 4 2 2 xy yz zx z x y + + = 3 3 3 8 1 1 2 xyz x y z   + +  ÷   = 6 . 3 2 xyz xyz = . Ví dụ 8: Cho các số a, b, c khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện: a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Tính giá trị của biểu thức: b c c a a b a b c a b c b c c a a b − − −    + + + +  ÷ ÷ − − −    . Hướng dẫn: Ta có a 3 + b 3 + c 3 = 3abc ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b c a b b c c a   ⇒ + + − + − + −   = 0 0a b c⇒ + + = (do a, b, c đôi một khác nhau). Suy ra a b c b c c a a b + + − − − = ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) a c a a b b b c a b c b c c a a b b c c a − − + − − + − − − − − = ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 2 3 ( )( )( ) a b c a b c a b c abc a b b c c a + + + + − + + − − − − = 9 ( )( )( ) abc a b b c c a − − − − Mặt khác b c c a a b a b c − − − + + = ( ) ( ) ( )bc b c ca c a ab a b abc − + − + − = ( ) ( ) ( ) ( )bc a b c a ca c a ab a b abc − − + − + − + −    = ( )( )( )a b b c c a abc − − − − Vậy b c c a a b a b c a b c b c c a a b − − −    + + + +  ÷ ÷ − − −    = 9. Bài tập vận dụng Bài 1: Biết a 3 - b 3 = 3ab + 1, tính giá trị của biểu thức A = a - b. Bài 2: Cho a - b - c = 2. Tính B = 3 3 3 2 2 2 3 ( ) ( ) ( ) a b c abc a b b c c a − − − + + − + + . Bài 3: Cho a, b, c khác 0 thoả mãn a 3 - b 3 + c 3 = - 3abc. Tính: A = 1 1 1 a b c b c a     − − +  ÷ ÷ ÷     . Bài 4: Cho a, b, c khác 0 thoả mãn a 3 + 8b 3 + 27c 3 = 18abc. Tính: B = 2 3 1 1 1 2 3 a b c b c a     + + +  ÷ ÷ ÷     . Bài 5: Tính giá trị của tổng a 2011 + b 2011 + c 2011 biết rằng a + b + c = 0 và a 3 + b 3 + c 3 = 0. Hướng dẫn: Theo giả thiết ta có c = - (a + b) nên: 0 = a 3 + b 3 + c 3 = a 3 + b 3 - 3 3 3 ( )a b ab a b   + + +   = 3abc. Vậy một trong ba số a, b, c bằng 0. Từ đó suy ra: a 2011 + b 2011 + c 2011 = 0. 7 Bài 6: Cho a + b + c = 0 (a, b, c ≠ 0). Tính giá trị của biểu thức: M = [ ] ( ) ( ) ( )ab a b bc b c ac c a− + − + − 1 1 1 ( ) ( ) ( )ab a b bc b c ca c a   + +   − − −   . Bài 7: Cho 1 2 3 0 x y z + + = . Tính N = 2 2 2 9 4 2 6 3 xy yz zx z x y + + . Bài 8: Cho 1 1 1 0 2 3x y z + + = . Tính P = 2 2 2 6 3 2 4 9 xy yz zx z x y + + . Bài 9: Cho 2 2 2 2 1 1 1 1 x y z a x y z b x y z c   + + =   + + =    + + =   . Tính x 3 + y 3 + z 3 theo a, b, c. Hướng dẫn: Ta có: x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz = (x + y + z)(x 2 + y 2 + z 2 - xy - yz - zx) ⇔ x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz + a[b 2 – (xy + yz + zx)] (1) Mặt khác a 2 = (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx). ⇒ xy + yz + zx = ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 a x y z a b − + + − = . (2) Từ 1 1 1 1 x y z c + + = 1xy yz zx xyz c + + ⇔ = ( )xyz c xy yz zx⇔ = + + 2 2 . 2 a b xyz c − ⇔ = (theo (2)) (3) Thay (2), (3) vào (1) ta có: x 3 + y 3 + z 3 = 2 2 2 2 3 ( ) (3 ) 2 c a b a b a− + − . Bài 10: Cho 2 2 2 3 3 3 1 1 1 a b c a b c a b c + + =   + + =   + + =  . Tính giá trị của biểu thức P = a 2010 + b 2011 + c 2012 . 2.3. Chứng minh đẳng thức Ví dụ 1: Chứng minh rằng: (x + y + z)(a + b + c) = ax + by + cz với x = a 2 - bc, y = b 2 - ac, z = c 2 - ab. Hướng dẫn: Ta có: (x + y + z)(a + b + c) = (a 2 - bc + b 2 - ac + c 2 - ab)(a + b + c) = a 3 + b 3 + c 3 - 3abc. ax + by + cz = a(a 2 - bc) + b(b 2 - ac) + c(c 2 - ab) = a 3 - abc + b 3 - abc + c 3 - abc = a 3 + b 3 + c 3 - 3abc. Ví dụ 2: Biết x + y + z = 0, chứng minh rằng: (x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ). Hướng dẫn: Từ giả thiết x + y + z = 0 suy ra: 3xyz = x 3 + y 3 + z 3 . Do đó: 3xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) = (x 3 + y 3 + z 3 )(x 2 + y 2 + z 2 ) = x 5 + y 5 + z 5 + x 2 y 2 (x + y) + y 2 z 2 ( y + z) + z 2 x 2 (z + x) = x 5 + y 5 + z 5 - x 2 y 2 z - y 2 z 2 x - z 2 x 2 y. (1) Mặt khác, cũng từ giả thiết x + y + z = 0 suy ra: 8 0 = (x + y + z) 2 = x 2 + y 2 + z 2 + 2(xy + yz + zx) ⇔ xy + yz + zx = ( ) 2 2 2 1 2 x y z− + + . (2) Thay (2) vào (1), ta được: 3xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) = x 5 + y 5 + z 5 + 1 2 xyz (x 2 + y 2 + z 2 ) ⇔ 2(x 5 + y 5 + z 5 ) = 5xyz(x 2 + y 2 + z 2 ), đpcm. Ví dụ 3: Giả sử hệ phương trình ax by c bx cy a cx ay b + =   + =   + =  có nghiệm. Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Hướng dẫn: Giả sử (x; y) là nghiệm của hệ, cộng theo từng vế ba phương trình của hệ ta được: ax + by + bx + cy + cx + ay = a + b + c ⇔ (a + b + c)(x + y - 1) = 0 0 1 0 a b c x y + + =  ⇔  + − =  - Với a + b + c = 0, ta dễ dàng suy ra đpcm. - Với x + y - 1 = 0 1y x⇒ = − , thay vào hệ, sau một số biến đổi dẫn đến a = b = c, theo hằng đẳng thức suy ra đpcm. Bài tập vận dụng Bài 1: Cho a - b - c = 0. Chứng minh rằng a 3 - b 3 - c 3 = 3abc. Bài 2: Cho a + b + c + d = 0. Chứng minh rằng: a 3 + b 3 + c 3 + d 3 = 3(c + d)(ab - cd). Bài 3: Cho 2a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 2a 3 + b 3 + c 3 = 3a(a + b)(c - b) Bài 4: Cho a + b - c = 0. Chứng minh rằng 2(a 5 + b 5 - c 5 ) = -5abc(a 2 + b 2 + c 2 ). Bài 5: Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: (4x – 3y + 2z) 2 = 16x 2 + 9y 2 + 4z 2 . Chứng minh rằng: 3 3 3 1 1 1 1 64 27 8 8x y z xyz − − + = Bài 6: Cho x, y thoả mãn: ax by c cy bx a cx ay b − =   − =   + = −  . Chứng minh rằng a 3 - b 3 + c 3 = -3abc. Bài 7: Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: 0 0 0 ax by cz bx cy az cx ay bz + + =   + + =   + + =  . Chứng minh rằng a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. Bài 8: Cho x, y, z khác 0 thoả mãn: 0 0 0 ax by cz az bx cy ay bz cx − − =   − − =   − − =  . Chứng minh rằng a 3 - b 3 - c 3 = 3abc. Bài 9: Chứng minh rằng nếu ba số x, y, z có tổng bằng 0 thì: 10(x 7 + y 7 + z 7 ) = 7(x 2 + y 2 + z 2 )(x 5 + y 5 + z 5 ). 9 Hướng dẫn: Ta chứng minh: 2(x 4 + y 4 + z 4 ) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 và x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz. ⇒ 2[x 7 + y 7 + z 7 + x 3 y 3 (x + y) + x 3 z 3 (x + z) + y 3 z 3 ( y + z)] = 3xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) 2 Từ đó: 2[x 7 + y 7 + z 7 - x 3 y 3 z - x 3 z 3 y - y 3 z 3 x] = 3xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) 2 Hay 2(x 7 + y 7 + z 7 ) - 2xyz(x 2 y 2 + x 2 z 2 + y 2 z 2 ) = 3xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) 2 Nhưng x 2 y 2 + x 2 z 2 + y 2 z 2 = 1 4 (x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (chứng minh dễ dàng). Vậy: 2(x 7 + y 7 + z 7 ) = 7 2 xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) 2 (*) Chứng minh: x 5 + y 5 + z 5 = 5 2 xyz(x 2 + y 2 + z 2 ) (**) Thay (**) vào đẳng thức (*) ta được đpcm. Bài 10: Cho x, y, z là các số thực thỏa mãn: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 1 1 1 0y z x z x y x y z− − + − − + − − = Chứng minh rằng: (1 - x 3 )(1 - y 3 )(1 - z 3 ) = (1 - xyz) 3 . 2.4. Trục căn thức ở mẫu Ví dụ: Hãy thực hiện trục căn thức ở mẫu cho biểu thức: A = 3 3 3 1 a b c+ + . Hướng dẫn: Áp dụng hằng đẳng thức: a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca) coi mẫu số của A có dạng a + b + c. Khi đó nhân cả tử và mẫu của A với (a 2 + b 2 + c 2 - ab - bc - ca), tức là ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 3 3 3 a b c ab bc ca+ + − − − ta được: A = 3 3 3 2 2 2 3 3 3 3 3 a b c ab bc ca a b c abc + + − − − + + − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 3 32 2 2 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3 3 3( ) 3 ( ) 3 3( ) 3 a b c ab bc ca a b c a b c abc abc a b c abc a b c a b c abc abc   + + − − − + + + + + +         + + − + + + + + +       = ( ) ( ) 2 3 3 3 32 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3( ) 9 ( ) 27 a b c ab bc ca a b c a b c abc a b c a b c abc   + + − − − + + + + + +   + + − Bài tập vận dụng Hãy thực hiện phép trục căn thức ở mẫu cho các biểu thức sau: a) A = 3 3 1 1 4 2+ + b) 3 3 1 1 3 2 2 4+ − c) C = 3 4 1 4 4 2 2 16+ − 2.5. Giải phương trình. Giải hệ phương trình Xuất phát từ hằng đẳng thức thứ nhất ta có: 10 [...]... có thể đi đến những kết quả bất ngờ và sâu sắc Trên đây tôi đã trình bày một số ứng dụng của hằng đẳng thức tổng ba lập phương với mong muốn đóng góp một phần nhỏ vào quá trình đổi mới nội dung, phương pháp dạy học toán ở trường Trung học cơ sở nhằm giúp học sinh đạt được kết quả cao nhất trong học tập Có thể trong đề tài còn có những hạn chế, thiếu sót, rất mong được sự đóng gớp ý kiến của quý thầy... toán, tôi luôn chú trọng hướng các em đi tìm các ứng dụng của mỗi hằng đẳng thức nâng cao, các phương pháp giải, cách giải khác nhau cho mỗi bài toán, giúp học sinh xâu chuỗi các bài toán Từ đó khơi dậy lòng say mê, niềm cảm hứng với những nét độc đáo, niềm tin, niềm tự hào khi tự mình có thể trang bị được những kiến thức mới một cách hệ thống và khoa học 2 Những bài học kinh nghiệm - Qua đề tài này tôi... - b ≠ 0 thì (1) ⇒ 3 abc = (2) (2) chứng tỏ abc là lập phương của một số hữu tỉ Nhưng vì abc nguyên nên nó là lập phương của một số nguyên Vậy trong mọi trường hợp, abc đều là lập phương của một số nguyên (đpcm) Ví dụ 2: Biết xn + yn + zn = an + bn + cn đúng với n = 1, 2, 3, chứng minh rằng nó đúng với mọi số tự nhiên n Hướng dẫn: Từ giả thiết biểu thức đúng với n = 1, 2, 3, ta lần lượt có: x+y+z=a+b+c... sinh hiểu và vận dụng một vấn đề nào đó, trước hết người thầy phải hiểu vấn đề một cách sâu sắc Vì vậy, người thầy phải không ngừng nâng cao trình độ cho bản thân, phải luôn học hỏi, tìm tòi, đào sâu suy nghĩ từng bài toán, phân dạng các bài toán, xâu chuỗi các bài toán Giáo viên cần chủ động phát hiện ra những bài toán cơ bản, những hằng đẳng thức có nhiều ứng dụng và tập hợp các ứng dụng đó, viết thành... y + 4x ≥ 4xy ⇒ y + 4x y ≥ 4xy Kết hợp với x ≥ 0, suy ra (1’) Vậy (1) được chứng minh Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z 2.7 Chứng minh chia hết Ví dụ 1: Chứng minh 321 - 224 - 68 - 1 chia hết cho 1930 Giải: Đặt A = 321 - 224 - 68 - 1 = (37)3 - (28)3 - 38.28 - 1 = (37)3 - (28)3 - 13 - 3.37(-2)8.(-1) Áp dụng hằng đẳng thức a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca) ở đây a... 2 2 2 2  x − (a + b) x + a + b − ab = 0  x − (a + b) x + a + b − ab = 0 Phương trình (1) có: ∆ = (a + b)2 - 4(a2 + b2 - ab) = - 3(a - b)2 ( 1) Do đó nó chỉ có nghiệm nếu a = b, nghiệm ấy là x = a (nghiệm kép) 2.6 Chứng minh bất đẳng thức Ví dụ 1: Cho a, b, c ≥ 0 Chứng minh rằng: a + b + c ≥ 3 3 abc (Bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm) 3 3 3 Hướng dẫn: Ta có x + y + z – 3xyz = (x + y + z)(x2 +... dẫn: a) Nhận thấy phương trình có dạng A3 + B3 + C3 = 0, với A + B + C = 0 Sử dụng hằng đẳng thức biến đổi phương trình về dạng: (x - 2)3 + (x + 1)3 + (1 - 2x)3 = 0 ⇔ (x - 2 + x + 1 + 1 - 2x) × 2 2 2 × ( x − 2 ) + ( x + 1) + ( 1 − 2 x ) − ( x − 2)( x + 1) − ( x − 2)(1 − 2 x) − ( x + 1)(1 − 2 x)  +   11 + 3( x − 2)( x + 1)(1 − 2 x) = 0 ⇔ (x - 2)(x + 1)(1 - 2x) = 0 Phương trình có ba nghiệm x = 2,... hệ (II) được hệ:  14 Vậy x - 1; 2y - 3 là nghiệm của phương trình t2 - 2t - 3 = 0 Phương trình này có hai nghiệm t1 = -1; t2 = 3 Kết hợp với phương trình 3z - 2 = -2 suy ra hệ phương trình (I) có hai nghiệm nguyên (x; y; z) là (0; 3; 0); (4; 1; 0) Bài 6: Giải phương trình nghiệm nguyên: (x + y)3 = (x - 2)3 + (y + 2)3 + 6 Bài 7: Giải phương trình bậc ba (ẩn x): x3 - 3abx + (a3 + b3) = 0 Hướng dẫn: Ta... đề Chúng tôi thấy rằng, các em học sinh rất hứng thú khi được thầy cung cấp những tư liệu hướng dẫn tự học Đa số các em khá giỏi tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dễ dàng; các 20 em đã biết khai thác sâu bài toán, biết xâu chuỗi các bài toán, biết vận dụng các kiến thức cơ bản, nâng cao để giải được nhiều bài toán khó, để học tốt các nội dung kiến thức khác trong chương trình học; giúp các em... có thể chứng minh được các bài toán tổng quát hơn như sau: 1 Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số: (a + b + c)p + (a - b - c)p + (b - c - a)p + (c - a - b)p chia hết cho 8pabc 2 Chứng minh rằng với p là số nguyên tố lẻ thì số: (a - b)p + (b - c)p + (c - a)p chia hết cho p(a - b)(b - c)(c - a) Bài tập vận dụng Bài 1: Tìm m sao cho đa thức f(x) = x 3 + y3 + z3 + mxyz chia hết cho đa thức x + . học sinh có những tư liệu tự học tốt nhất, những chủ đề nâng cao khai thác vận dụng những hằng đẳng thức nâng cao trong đó có hằng đẳng thức tổng ba lập phương - một hằng đẳng thức đẹp. B bài toán áp dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương. 3 II. BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN 1. HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG BA LẬP PHƯƠNG * Với A, B, C là các biểu thức tuỳ ý ta có các hằng đẳng thức sau: 1). vận dụng hằng đẳng thức tổng ba lập phương để giải. Giáo viên đưa ra những bài tập tương tự, bài tập vận dụng để học sinh có thể tự giải. Hằng đẳng thức tổng ba lập phương có thể được sử dụng