1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Xuất phát điểm của vấn đề mà chúng tôi quan tâm là bài toán “Đi tìm lớp các C*-đại số có khả năng đặc trưng được bằng phương pháp K-hàm tử”. Năm 1943, I. Gelfand và A. Naimark ([13]) đưa ra khái niệm C*-đại số. Các C*-đại số nhanh chóng tìm thấy nhiều ứng dụng trong Toán học và Vật lý. Tuy nhiên chính vấn đề mô tả cấu trúc các C*-đại số trong trường hợp tổng quát lại rất phức tạp và cho đến nay vẫn còn là một bài toán mở. Năm 1975, theo một gợi ý có tính khai phá của A. A. Kirillov về việc “Đặc trưng (cấu trúc toàn cục) C*-đại số của một lớp các nhóm Lie giải được bằng các K-hàm tử đồng điều”, Đ. N. Diệp ([11]) đã thành công trong việc sử dụng các K- hàm tử đồng điều của Brown-Douglas-Fillmore (còn gọi là K-hàm tử BDF) để đặc trưng C*-đại số C*(Aff ¡ ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng thực ¡ . Năm 1976, J. Rosenberg ([18]) đã sử dụng phương pháp tương tự để đặc trưng C*-đại số C*(Aff £ ) của nhóm các phép biến đổi affine trên đường thẳng phức £ và C*-đại số của một vài nhóm Lie giải được khác. Trong công trình này, J. Rosenberg đã gọi phương pháp đặc trưng cấu trúc toàn cục của C*-đại số bằng các K-hàm tử BDF là phương pháp của Diệp (Diep’s method). Năm 1977, Đ. N. Diệp ([12]) đã cải tiến phương pháp của mình để đặc trưng các C*-đại số kiểu I bằng các mở rộng lặp nhiều tầng. Đến lúc này, các K-hàm tử BDF dường như không còn thích hợp với việc đặc trưng cấu trúc cho lớp các C*-đại số phức tạp hơn. Từ đó, một cách tự nhiên, nảy sinh hai vấn đề lớn như sau: • Vấn đề 1 : Tổng quát hóa các K-hàm tử BDF theo cách nào đó để có thể đặc trưng được một lớp rộng hơn các C*-đại số. • Vấn đề 2 : Đi tìm và khảo sát lớp rộng hơn các C*-đại số hoặc lớp các nhóm Lie mà C*-đại số của chúng có khả năng đặc trưng được bằng các K-hàm tử mở rộng. 2 Năm 1980, G. G. Kasparov ([14]) đã nghiên cứu vấn đề thứ nhất và thành công trong việc tổng quát hóa các K-hàm tử BDF thành các K-song hàm tử toán tử (còn gọi là các KK-hàm tử) vừa đồng điều vừa đối đồng điều. Như một áp dụng đầu tiên, Kasparov đã sử dụng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số C*(H 3 ) của nhóm Heisenberg H 3 . Đối với hướng nghiên cứu thứ hai, cần lưu ý rằng phương pháp K-hàm tử thường thích hợp với các C*-đại số có cấu trúc phổ (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn bất khả quy với tôpô được cảm sinh từ tôpô Jacobson) không quá phức tạp. Đối với C*-đại số nhóm, phổ của nó có thể đồng nhất với đối ngẫu unita của nhóm (tức là không gian các lớp tương đương unita của các biểu diễn unita bất khả quy của nhóm). Đặc biệt đối với các nhóm Lie, phương pháp quỹ đạo Kirillov cho thấy rằng tập đối ngẫu unita của nhóm có liên hệ trực tiếp với không gian các K-quỹ đạo (hay quỹ đạo đối phụ hợp) của nó. Do đó, việc chọn lớp các nhóm Lie có không gian các K-quỹ đạo không quá phức tạp cho phép ta đặc trưng các C*-đại số nhóm của chúng bằng phương pháp K-hàm tử. Dựa trên ý tưởng đó, năm 1980, Đ. N. Diệp đã đề nghị xét lớp các C*-đại số của các MD-nhóm. Lớp này rất đơn giản về phương diện phân tầng các K-quỹ đạo nên nói chung C*-đại số của chúng có thể đặc trưng được nhờ các KK-hàm tử. Giả sử G là một nhóm Lie thực giải được n chiều (n là một số nguyên dương). G được gọi là một MDn-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc có chiều là một hằng số k (chẵn) nào đó không vượt quá n. Khi k n = thì G còn được gọi là một MDn -nhóm. Đại số Lie(G) của mỗi MDn-nhóm (tương ứng MDn -nhóm) được gọi là một MDn-đại số (tương ứng MDn -đại số). Rõ ràng lớp MD là con của lớp MD. Đến đây, một bài toán được đặt ra là: “Phân loại các MD-đại số đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-nhóm tương ứng bằng phương pháp K-hàm tử”. Năm 1984, H. H. Việt ([35]) đã phân loại triệt để các MDn -đại số. Lớp này chỉ gồm các đại số Lie giao hoán n ¡ , đại số Lie affine thực Lie(Aff ¡ ) và đại số 3 Lie affine phức Lie(Aff £ ). Ngay sau đó, H. H. Việt đã dùng phương pháp K-hàm tử để đặc trưng C* ² ( ) Aff £ của phủ phổ dụng ² Aff £ đối với nhóm affine phức Aff £ . Như vậy, cùng với các kết quả có trước của Đ. N. Diệp và J. Rosenberg, việc nghiên cứu lớp con các MD -đại số và MD -nhóm xem như đã được giải quyết triệt để. Bài toán tương tự đối với các MD-đại số và MD-nhóm vẫn còn là bài toán mở. Ngoài ra, cũng do sự phân tầng đơn giản của các K-quỹ đạo đối với lớp các MD-nhóm mà người ta nhận thấy rằng: đối với mỗi MD-nhóm, họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của nó tạo thành một phân lá đo được theo nghĩa của A. Connes ([8]). Các phân lá này được gọi là các MD-phân lá liên kết với các MD-nhóm đã xét. Đối với một phân lá ( ) ,V F tùy ý, một trong những bài toán quan trọng của “tôpô phân lá” là nghiên cứu không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) của phân lá đó. Tuy nhiên, đáng tiếc là không gian các lá V F thường có tôpô không Hausdorff, do đó ta không thể định nghĩa được K-lý thuyết đối với không gian các lá (theo nghĩa thông thường). Đây là một trở ngại lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá. Để khắc phục hạn chế này, năm 1982, A. Connes ([8]) đã đề ra ý tưởng là thay ( ) 0 C V F bởi ( ) * ,C V F , mà từ đó Connes định nghĩa: ( ) ( ) ( ) ( ) * , , 0,1 . i i K V F K C V F i = = Như vậy, để nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay vắn tắt là K-lý thuyết đối với phân lá), ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*-đại số Connes ( ) * ,C V F liên kết với phân lá (hay vắn tắt là C*-đại số của phân lá). Kể từ công trình [8] của A. Connes, việc nghiên cứu C*-đại số của phân lá và K-lý thuyết đối với phân lá trở thành một trong những hướng nghiên cứu quan trọng thuộc lĩnh vực Hình học không giao hoán do chính A. Connes khởi xướng vào cuối thập niên 70 của thế kỷ trước. 4 Vấn đề đặt ra là: “Liệu các C*-đại số của các phân lá có thích hợp với phương pháp K-hàm tử hay không?”. Đáng chú ý, năm 1985, A. M. Torpe ([22]) đã dùng các KK-hàm tử để đặc trưng thành công C*-đại số của phân lá Reeb trên xuyến 2 chiều và một số phân lá trên mặt cầu đơn vị S 3 . Kết hợp hai hướng nghiên cứu trên làm nảy sinh bài toán “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD-phân lá, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các MD-phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”. Năm 1990, L. A. Vũ ([2]) đã thành công trong việc nghiên cứu bài toán trên lớp con các MD4-phân lá. Những kết quả ban đầu đạt được trên lớp MD-phân lá đã tạo nên những động lực cần thiết cho việc tiếp tục nghiên cứu sâu hơn. Trường hợp khả dĩ đầu tiên mà chúng tôi nghĩ đến là tiếp tục bài toán với số chiều cao hơn, để từ đó làm cơ sở cho việc phát triển các công cụ cần thiết nhằm giải quyết bài toán trong trường hợp tổng quát. Ý tưởng đó đã dẫn đến đề tài “K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá” của tác giả dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Lê Anh Vũ. 2. Mục đích của đề tài Mục đích chính của đề tài là “ “Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của một lớp các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của một lớp con các MD5-nhóm, đồng thời đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử”. Cụ thể như sau: 1. Trên cơ sở định lí phân loại các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán của L. A. Vũ và K. P. Shum, chúng tôi mô tả K-quỹ đạo của lớp con các MD(5,4)-nhóm, tức là các MD5-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân mà MD5-đại số tương ứng của chúng có ideal dẫn xuất (giao hoán) 4 chiều. 2. Phân loại tôpô trên các MD(5,4)-phân lá tương ứng, tức là các MD-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của mỗi MD(5,4)- nhóm được xét. 5 3. Nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và đặc trưng C*-đại số của các phân lá này bằng phương pháp K-hàm tử. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đề tài chủ yếu tập trung nghiên cứu một lớp con của các MD5-phân lá được tạo thành từ họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của các MD5-nhóm tương ứng. Cụ thể, chúng tôi xét bài toán mô tả các K-quỹ đạo của mỗi MD(5,4)-nhóm liên thông, đơn liên, bất khả phân. Tiếp theo, chúng tôi xem xét các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)- nhóm được xét. Cuối cùng, chúng tôi xét C*-đại số Connes liên kết với phân lá và khảo sát bài toán đặc trưng C*-đại số của các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp K-hàm tử. 4. Phương pháp nghiên cứu Để nghiên cứu đề tài, chúng tôi đã áp dụng một số kỹ thuật và phương pháp như sau:  Trước hết, chúng tôi đã dùng một số kỹ thuật cơ bản trong phương pháp quỹ đạo của Kirillov ([15]), đặc biệt là phương pháp mô tả các K-quỹ đạo đã được L. A. Vũ ([2]) cải tiến cho phù hợp với lớp MD-nhóm.  Tiếp theo, chúng tôi dùng một số kỹ thuật của lý thuyết tôpô phân lá.  Cuối cùng, chúng tôi đã sử dụng các kỹ thuật cơ bản của K-lý thuyết đối với C*-đại số, đặc biệt là phương pháp đặc trưng C*-đại số của phân lá bằng các KK-hàm tử đã được nêu ra trong tài liệu [22] của A. M. Torpe và tài liệu [2] của L. A. Vũ với một vài cải tiến cho thích hợp. 5. Ý nghĩa khoa học của đề tài Đề tài góp phần chỉ ra lớp các C*-đại số thích hợp với phương pháp K-hàm tử (Vấn đề 2), đó chính là lớp các C*-đại số Connes liên kết với các MD-phân lá. Ngoài ra, các kết quả của đề tài còn là những đóng góp cho những thể hiện, minh 6 họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá cụ thể. Vì thế, các kết quả của đề tài là có ý nghĩa khoa học. 6. Bố cục và nội dung của luận án Bố cục của luận án bao gồm phần mở đầu, ba chương nội dung và phần kết luận. Ph n m uầ ở đầ : Trình bày lý do ch n tài, m c ích,ọ đề ụ đ i t ng và ph m vi nghiên c u, ph ng pháp nghiênđố ượ ạ ứ ươ c u, ý ngh a khoa h c và th c ti n c a tài, b c cứ ĩ ọ ự ễ ủ đề ố ụ và n i dung c a lu n án.ộ ủ ậ Ba chương nội dung: Trình bày chi ti t các k t quế ế ả nghiên c u (mà ã c nêu v n t t trong ph n m c íchứ đ đượ ắ ắ ầ ụ đ c a tài) v i y nh ng ch ng minh ch t ch . ủ đề ớ đầ đủ ữ ứ ặ ẽ Phần kết luận: a ra nh ng nh n xét và nh ng v n mĐư ữ ậ ữ ấ đề ở c n c ti p t c nghiên c u.ầ đượ ế ụ ứ Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại một số Hội nghị Toán học trong nước và quốc tế: - Hội nghị quốc gia về Đại số – Hình học – Tôpô tháng 11/2011 tại Đại học Thái Nguyên. - Hội nghị Toán học phối hợp Việt – Pháp (VFJC 2012) tháng 8/2012 tại Đại học Huế. - Hội nghị Toán học và Ứng dụng tháng 1/2013 (ICMA-MU 2013) tại Đại học Mahidol, Bangkok-Thailand 1/2013. Sau cùng, mặc dù đã có nhiều cố gắng trong việc soạn thảo, tuy nhiên bản luận án khó tránh khỏi những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý của các phản biện và độc giả để chúng tôi có cơ hội chỉnh lý, sửa chữa và hoàn thiện hơn công trình của mình. Chúng tôi xin chân thành cám ơn. 7 Chương 1 K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm Kết quả chính của chương này là Định lí 1.3.1 ở Mục 1.3 về bức tranh hình học các K-quỹ đạo của tất cả các MD(5,4)-nhóm. Kết quả này được công bố trong bài báo [3]. Để tiện cho độc giả theo dõi, trước hết chúng tôi giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm, sau đó là khái niệm về K-quỹ đạo của nhóm Lie, cũng như phương pháp mô tả chúng trước khi đi vào kết quả chính của chương. 1.1 Các MD-nhóm và MD-đại số Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm MD-nhóm và MD-đại số được Đ. N. Diệp đưa ra trong [10], để từ đó giới thiệu lớp các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)- nhóm. Giả sử G là m t nhóm Lie th c, gi i c v i ộ ự ả đượ ớ G là đại số Lie của G và G* là không gian đối ngẫu của G. Định nghĩa 1.1.1. Nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD-nhóm nếu các K-quỹ đạo của nó hoặc là không chiều hoặc là có số chiều cực đại (không vượt quá số chiều của nhóm). Trường hợp số chiều cực đại đúng bằng số chiều của nhóm thì nhóm G được gọi là có tính chất MD hay là MD -nhóm. i s Lie th c, gi i c Đạ ố ự ả đượ G ứng với MD-nhóm G (t ngươ ng ứ MD -nhóm) c g i là đượ ọ MD- i sđạ ố (t ng ng ươ ứ MD - iđạ s ). Các MD-nhóm và MD- i s có s chi u ố đạ ố ố ề n c kýđượ hi u t ng ng là các ệ ươ ứ MDn-nhóm và MDn- i sđạ ố (hay MD n - nhóm và MD n - i sđạ ố) v i ớ n là s nguyên d ng.ố ươ Sau đây là lớp con các MD5-đại số có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều được L. A. Vũ và K. P. Shum đưa ra trong [24]. 8 Mệnh đề 1.1.5. Cho G là một MD5-đại số bất khả phân và [ ] 1 4 ,= ≅ ¡G G G (đại số Lie giao hoán 4 chiều). Khi đó, ta luôn chọn được cơ sở thích hợp { } 1 2 3 4 5 , , , ,X X X X X trong G sao cho 1 4 2 3 4 5 , , ,X X X X = ≅ ¡G , 1 X ad ∈ ( ) ( ) 1 4 End Mat ≅ ¡G và G đẳng cấu với một và chỉ một trong các đại số Lie dưới đây. 1. ( ) 1 2 3 5,4,1 , , : λ λ λ G { } 1 1 2 1 2 3 1 2 3 1 3 0 0 0 0 0 0 ; , , \ 0,1 , . 0 0 0 0 0 0 1 X ad λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ    ÷  ÷ = ∈ ≠ ≠ ≠  ÷  ÷   ¡ 2. 1 2 5,4,2( , ) : λ λ G { } 1 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ; , , \ 0,1 , . 0 0 1 0 0 0 0 1 X ad λ λ λ λ λ λ    ÷  ÷ = ∈ ≠  ÷  ÷   ¡ 3. 5,4,3( ) : λ G { } 1 0 0 0 0 0 0 ; \ 0,1 . 0 0 1 0 0 0 0 1 X ad λ λ λ    ÷  ÷ = ∈  ÷  ÷   ¡ 4. ( ) 5,4,4 λ G : { } 1 0 0 0 0 1 0 0 ; \ 0,1 . 0 0 1 0 0 0 0 1 X ad λ λ    ÷  ÷ = ∈  ÷  ÷   ¡ 5. 5,4,5 G : 1 1 0 0 0 0 1 0 0 . 0 0 1 0 0 0 0 1 X ad    ÷  ÷ =  ÷  ÷   6. 1 2 5,4,6( , ) λ λ G : { } 1 1 2 1 2 1 2 0 0 0 0 0 0 ; , , \ 0,1 , . 0 0 1 1 0 0 0 1 X ad λ λ λ λ λ λ    ÷  ÷ = ∈ ≠  ÷  ÷   ¡ 9 7. ( ) 5,3,7 λ G : { } 1 0 0 0 0 0 0 ; \ 0,1 . 0 0 1 1 0 0 0 1 X ad λ λ λ    ÷  ÷ = ∈  ÷  ÷   ¡ 8. 5,4,8( ) λ G : { } 1 1 0 0 0 0 0 ; \ 0,1 . 0 0 1 1 0 0 0 1 X ad λ λ λ    ÷  ÷ = ∈  ÷  ÷   ¡ 9. 5,4,9( ) λ G : { } 1 0 0 0 0 1 1 0 ; \ 0,1 . 0 0 1 1 0 0 0 1 X ad λ λ    ÷  ÷ = ∈  ÷  ÷   ¡ 10. 5,4,10 G : 1 1 1 0 0 0 1 1 0 . 0 0 1 1 0 0 0 1 X ad    ÷  ÷ =  ÷  ÷   11. ( ) 1 2 5,4,11 , , λ λ ϕ G : { } ( ) 1 1 2 1 2 1 2 cos sin 0 0 sin cos 0 0 ; , \ 0 , , 0, . 0 0 0 0 0 0 X ad ϕ ϕ ϕ ϕ λ λ λ λ ϕ π λ λ −    ÷  ÷ = ∈ ≠ ∈  ÷  ÷   ¡ 12. ( ) 5,4,12 , λ ϕ G : { } ( ) 1 cos sin 0 0 sin cos 0 0 ; \ 0 , 0, . 0 0 0 0 0 0 X ad ϕ ϕ ϕ ϕ λ ϕ π λ λ −    ÷  ÷ = ∈ ∈  ÷  ÷   ¡ 10 13. ( ) 5,4,13 , λ ϕ G : { } ( ) 1 cos sin 0 0 sin cos 0 0 ; \ 0 , 0, . 0 0 1 0 0 0 X ad ϕ ϕ ϕ ϕ λ ϕ π λ λ −    ÷  ÷ = ∈ ∈  ÷  ÷   ¡ 14. ( ) 5,4,13 , , λ µ ϕ G : ( ) 1 cos sin 0 0 sin cos 0 0 ; , , 0, 0, . 0 0 0 0 X ad ϕ ϕ ϕ ϕ λ µ µ ϕ π λ µ µ λ −    ÷  ÷ = ∈ > ∈  ÷ −  ÷   ¡ Nhận xét 1.1.6. (i) Nhắc lại rằng, một đại số Lie thực G xác định duy nhất một nhóm Lie liên thông, đơn liên G sao cho Lie(G) = G. Do đó, ta cũng có 14 họ các MD5-nhóm liên thông, đơn liên tương ứng với các MD5-đại số được liệt kê trong Mệnh đề 1.1.5. (ii) Các nghiên cứu trong luận án chỉ tập trung vào lớp các MD5-đại số bất khả phân có ideal dẫn xuất giao hoán 4 chiều và các MD5-nhóm liên thông, đơn liên tương ứng của chúng. Do vậy, để thuận tiện về sau, chúng sẽ được ký hiệu lần lượt là các MD(5,4)-đại số và MD(5,4)-nhóm. Sau đây, ta sẽ nhắc lại khái niệm về K-quỹ đạo được A. A. Kirillov trình bày trong [15], cũng như nhắc lại phương pháp mô tả các K-quỹ đạo của các MD-nhóm được L. A. Vũ đưa ra trong [2] trước khi mô tả tường minh các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm. 1.2 Phương pháp mô tả các K-quỹ đạo 1.2.1 K-quỹ đạo của một nhóm Lie Cho G là một nhóm Lie có đại số Lie G và G* là không gian đối ngẫu của G. Thế thì K-biểu diễn ( ) * : AutK G → G của G trong G* được cho bởi: ( ) ( ) 1 * , , , , , .K g F Y F Ad g Y g G Y F − = ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ G G Trong đó, Ad là biểu diễn phụ hợp của G trong G. Khi đó, ứng với mỗi F trong G*, K-quỹ đạo F Ω của G qua F được xác định bởi: [...]... 2.2.1 Không gian các lá của phân lá 16 Một vấn đề toàn cục khác của tôpô phân lá là việc xét không gian các lá của một phân lá Không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) V F của một phân lá ( V , F ) là không gian thương của không gian tôpô V khi thu mỗi lá về một điểm Nếu phân lá ( V , F ) được cho bởi phân thớ p : V → B thì không gian lá V F chính là đáy B của phân thớ xác định phân lá Còn khi (... trưng các C*-đại số này bằng phương pháp K-hàm tử trong chương cuối cùng của luận án Chương 3 K-lý thuyết đối với các MD(5,4)-phân lá 18 Kết quả chính của chương này là Định lí 3.4.3 và Định lí 3.4.4 ở Mục 3.4 về nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá và đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá bằng phương pháp Khàm tử Các kết quả này được công bố trong các. .. xét 3.4.2 Các MD(5,4)-phân lá kiểu F1 đều là các phân lá được cho bởi phân thớ với thớ liên thông trên không gian đáy S3, do đó K-lý thuyết đối với i không gian lá K ( V F ) của các phân lá này chính là các K-nhóm hình học thông thường trên không gian các lá S3 Tức là: ( K i ( S 3 ) = Ki C ( S 3 ) ) 23 Do vậy, ta chỉ cần đặc trưng C*-đại số Connes liên kết với các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F2 và F3 mà... chiều (đối chiều) dimF (codimF) cũng được gọi là số 15 chiều (đối chiều) của phân lá ( V , F ) Mỗi đa tạp con tích phân liên thông tối đại L của F được gọi là một lá của phân lá ( V , F ) Ta có dimL = dimF Họ các lá của một phân lá có các tính chất đặc trưng dưới đây Mệnh đề 2.1.4 ([8, Introduction]) Cho phân lá ( V , F ) Khi đó: (i) Họ các lá của phân lá lập thành một phân hoạch của đa tạp phân lá. .. kết với phân lá đó bằng phương pháp K-hàm tử Bởi thế, đôi khi ta đồng nhất hai việc nghiên cứu này ( Khi phân lá Ki C ( V , F ) * ) (V,F) thật sự được cho bởi phân thớ trùng với K-nhóm K ( V F ) = K ( B ) của không gian các lá B = V F i i hình p : V → B = V F thì học thông thường 22 Trong mục kế tiếp, ta sẽ nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của các MD(5,4)-phân lá, đồng thời đặc trưng các. .. này được gọi là một MD(5,4)-phân lá liên kết với G 17 Như vậy, ta cũng nhận được 14 họ các MD(5,4)-phân lá tương ứng với 14 họ các MD(5,4)-nhóm đã được chỉ ra trong Chương 1 Sau đây là định lí phân loại tôpô trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá, đồng thời đưa ra một mô tả chi tiết không gian các lá cho từng kiểu tôpô Định lí 2.4.2 (Phân loại tôpô và mô tả không gian lá của các MD(5,4)-phân lá) 1 Có đúng 3... phân lá đo được 2.4 Phân loại tôpô các MD(5,4)-phân lá liên kết với các MD(5,4)-nhóm Trong mục này, ta sẽ chỉ ra sự hình thành của lớp các MD(5,4)-phân lá, đồng thời cho ra một sự phân loại tôpô trên lớp các MD(5,4)-phân lá được xét Mệnh đề 2.4.1 Giả sử G là một MD(5,4)-nhóm bất kỳ, FG là họ các K-quỹ đạo chiều cực đại của nó và VG = U{ Ω | Ω ∈ FG } Khi đó, ( V , F ) là một phân lá G G đo được Phân lá. .. kết với các MD(5,4)phân lá Theo kết quả của Định lí 2.4.2 về phân loại tôpô trên lớp các MD(5,4)-phân lá, ta có tất cả là 3 kiểu tôpô F1, F2 và F3 trên 14 họ các MD(5,4)-phân lá được xét Trong đó các MD(5,4)-phân lá thuộc kiểu F1 được cho bởi phân thớ với thớ liên thông trên không gian đáy S3 Còn các MD(5,4)-phân lá kiểu F2, F3 được cho bởi các tác động (liên tục) của ¡ 2 ( ) trên đa tạp phân lá V... Trước khi đi vào các kết quả chính, phần đầu của chương sẽ dành cho việc trình bày tóm tắt lại một số kiến thức có liên quan về C*-đại số Connes liên kết với một phân lá, K-lý thuyết đối với phân lá, đồng thời điểm lại những ý tưởng cơ bản của phương pháp K-hàm tử 3.1 C*-đại số Connes liên kết với phân lá Trong mục này, ta nhắc lại định nghĩa C*-đại số Connes liên kết với một phân lá được A Connes... tả các K-quỹ đạo của các MD(5,4)-nhóm Đối với mỗi nhóm Lie G, ta quan tâm đến bài toán mô tả các K-quỹ đạo Ω F * của G, với mỗi F ∈ G Hơn nữa, ta muốn có một phương pháp mô tả Ω F trong trường hợp mà luật nhóm của G chưa được cho tường minh mà chỉ biết rõ cấu trúc đại số Lie G của G Khi đó, ánh xạ mũ expG : G → G và tính chất tự nhiên của nó rất có ích đối với ta Ký hiệu expG : G → G là ánh xạ mũ của . phân lá là việc xét không gian các lá của một phân lá. Không gian các lá (hay vắn tắt là không gian lá) V F của một phân lá ( ) ,V F là không gian thương của không gian tôpô V khi thu mỗi lá. minh 6 họa của Hình học không giao hoán nói chung, của hướng nghiên cứu K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá nói riêng trên một lớp các phân lá cụ thể. Vì thế, các kết quả của đề tài. K-lý thuyết đối với không gian lá của phân lá (hay vắn tắt là K-lý thuyết đối với phân lá) , ta cần phải tìm hiểu cấu trúc của C*-đại số Connes ( ) * ,C V F liên kết với phân lá (hay vắn tắt