Đang tải... (xem toàn văn)
Những kỹ năng làm bài thi môn Toán - [www.facebook.com/thayhuy.vn] Định hướng đề: Khi nhận được đề thi nhất thiết phải đọc qua một lượt tất cả các bài tập trong đề để phân loại các câu hỏi. Phải xác định được bài nào khó, bài nào dễ. Khi làm bài phải làm từ câu dễ nhất đến câu khó nhất. Như vậy sẽ nắm chắc điểm của những bài đó và tạo sự tự tin để làm tiếp những bài khó hơn. Tạo sự thoải mái, có cảm giác "sẽ làm được" trong phòng thi là yếu tố rất qua trọng để giúp các em hoàn thành tốt nhất bài thi. Phải luôn tâm niệm "mình đang đi thi chứ không phải đang làm bài tập trên lớp" do đó cần làm được bài nào chắc điểm bài đó. Không nên làm ngay những bài khó vì sẽ chiếm thời gian của những bài khác. Điều này đồng nghĩa với việc chỉ vì một hoặc hai điểm của bài đó mà mất tám chín điểm ở những bài khác. Không làm tắt: Nhiều học sinh khá, giỏi thường mất điểm ở những bài dễ chỉ vì tính tài tử. Khi giải các bài toán nên viết tất cả các bước cơ bản để thực hiện bài toán đó trong bài làm. Vì nếu bỏ qua một vài phép trung gian nhiều khi sẽ không được chấm mức điểm tối đa cho những bài đó mặc dù kết quả cuối cùng chính xác. Chú ý đặt điều kiện cho bài toán có nghĩa; sau khi giải phải kiểm tra kết quả thu được. Nhận dạng bài tập: Khi đứng trước một bài toán cụ thể cần phân biệt chính xác thuộc dạng toán nào. Các bài toán trong đề thi tuyển sinh đại học thường được mở rộng từ các bài toán cơ bản đã có trong SGK và hình thức câu hỏi có thể thay đổi chút ít. Nhưng nếu chúng ta nắm chắc phương pháp giải các dạng toán cơ bản thì dễ dàng tìm ra lời giải ở các đề thi. Không nên làm trước vào giấy nháp: Giấy nháp là công cụ để hỗ trợ tính toán. Vì vậy với những bài toán đã định hướng được cách giải thì không nên giải hoàn toàn trên giấy nháp rồi mới ghi vào giấy thi. Làm như vậy vừa mất thời gian vừa dễ sai sót. Bởi vì khi giải trực tiếp bài toán là "viết ra những gì trong đầu" nên rất chủ động. Còn khi chép lại (kể cả những gì mình vừa viết) lại trở thành thụ động vì vậy rất dễ chép nhầm hoặc bỏ sót. Do đó ở những bài toán này chỉ sử dụng giấy nháp ở những phần cần tính toán. Những tính toán lặt vặt không làm vào bài thi, hãy tính ra giấy nháp, một bài thi chỉ 6-8 mặt giấy là vừa, có người làm đến 12 mặt giấy thì quá nhiều. Trong hoàn cảnh trời nắng nóng, tìm mãi không thấy đáp số, dễ gây ức chế cho người chấm bài. Có thể làm nhảy cóc: Trong một câu hỏi có thể có nhiều câu hỏi nhỏ (ví dụ ở câu 2 có câu 2a, 2b, 2c). Đối với những câu kiểu này thì phần lớn những kết quả của ý trước sẽ trở thành điều kiện cho ý sau. Tuy nhiên nếu không làm được ý trước vẫn có thể thừa nhận kết quả để làm ý sau. Như vậy vẫn được tính điểm cho những ý làm được. Khi bị bế tắc ngay ở ý đầu tiên không nên bỏ qua luôn mà phải xem kỹ những ý tiếp theo có thể làm được không. Thứ tự các câu hỏi được giải là theo khả năng giải quyết của từng học sinh, không nên bị lệ thuộc vào thứ tự trong đề bài. Cẩn trọng với lời giải: Giải một bài toán không phải chỉ là các con số và kết quả tính toán mà lời giải cũng có ý nghĩa quan trọng. Lời giải không chỉ là liên kết giữa các phép toán mà còn chứng tỏ tư duy của người làm bài đó có chính xác, có thực sự hiểu bài toán hay không. Vì vậy lời giải cần phải viết cô đọng rành mạch nhưng không cộc lốc. Những bài thi có lời giải như vậy sẽ nhận được cảm tình của người chấm. Tiếp nữa là đừng dùng hai thứ mực, đừng dùng bút xoá vì như vậy có thể coi là đánh dấu bài. Nếu viết sai, các em cứ gạch đi viết lại. Cẩn thận khi biến đổi hệ phương trình: Trong những năm gần đây luôn có các bài giải hệ phương trình trong các đề thi đại học. Khi biến đổi một hệ, chúng ta nên chú ý không nên biến đổi cả hệ mà nên biến đổi lần lượt từng phương trình sau đó kết hợp để được kết quả của cả hệ. Làm như vậy sẽ có hai điều lợi: Bản thân sẽ dễ dàng kiểm soát được các bước thực hiện bài toán, không bị nhầm lẫn. Thứ hai người chấm cũng hiểu được các bước thực hiện một cách dễ dàng hơn và dễ dùng ba-rem chấm điểm. Làm được đến đâu viết đến đó: Với những bài khó, nếu chỉ làm được một phần mà chưa làm được trọn vẹn thì cũng nên viết vào bài làm. Vì những phần làm được nếu đúng theo ba-rem chấm thi vẫn được điểm. Không nộp bài khi chưa hết giờ: Nếu làm xong bài sớm cũng không nên nộp bài mà cần kiểm tra lại. Rất nhiều học sinh khi về nhà kiểm tra lại mới phát hiện được những chỗ làm sai. Khi làm một lúc rất nhiều bài toán thì rất dễ mắc sai sót. Trước hết phải thử lại phép tính. Thứ hai là phải kiểm tra lại ngữ pháp, diễn đạt. Nếu còn nhiều thời gian các em có thể làm lại phần bài thi khác thật rõ ràng, rành mạch. Cuối bài phải kết luận: Cuối mỗi bài toán nên có một câu kết luận. Có thể là viết lại đáp số hoặc trả lời câu hỏi của đề bài để người chấm thi biết được thí sinh đã kết thúc bài đó hay chưa và có cảm tình hơn khi chấm bài.
đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Nguyễn thị vân Hệ ph-ơng trình toán tử loại đơn điệu luận văn thạc sĩ toán học thái nguyên 2012 đại học thái nguyên Tr-ờng đại học khoa học Nguyễn thị vân Hệ ph-ơng trình toán tử loại đơn điệu Chuyên ngành: Toán ứng Dụng Mã số: 60.46.0112 luận văn thạc sĩ toán học Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: Ts. nguyễn thị thu thủy thái nguyên 2012 1 Mục lục Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1 Hệ phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh 6 1.1. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc . . 9 1.1.3. Ánh xạ đơn điệu cực đại . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2. Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh 13 1.2.1. Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . . . . 13 1.2.2. Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh . . . . . . . 19 2 Hệ phương trình với toán tử accretive 22 2.1. Toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.1. Toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2. Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Hệ phương trình toán tử accretive . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov . . . . . . . . 26 2.2.2. Thuật toán điểm gần kề quán tính . . . . . . . . 29 2.2.3. Tính ổn định của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 33 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2 Mở đầu Cho E là một không gian Banach thực phản xạ, E ∗ là không gian liên hợp của E, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là ., A : E → E ∗ là toán tử đơn điệu đơn trị. Với f ∈ E ∗ , tìm x 0 ∈ E sao cho A(x 0 ) = f. (0.1) Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán (0.1) là việc xây dựng các phương pháp giải. Bài toán (0.1), khi toán tử A không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, nói chung là bài toán đặt không chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu. Năm 1963 A.N. Tikhonov [7] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hết sức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế. Nội dung chủ yếu của phương pháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử (0.1) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu x h,δ α của phiếm hàm Tikhonov F h,δ α (x) = A h (x) − f δ 2 + αx ∗ − x 2 (0.2) trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ, x ∗ là phần tử cho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (A h , f δ ) là xấp xỉ của (A, f). Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của 3 phiếm hàm Tikhonov và chọn tham số hiệu chỉnh α = α (h, δ) thích hợp để phần tử cực tiểu x h,δ α(h,δ) dần tới nghiệm chính xác của bài toán (0.1) khi h và δ dần tới không. Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khó khăn trong trường hợp bài toán phi tuyến. Đối với bài toán phi tuyến với toán tử đơn điệu A : E → E ∗ , F. Browder [5] đưa ra một dạng khác của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov. Tư tưởng chủ yếu của phương pháp do F. Browder đề xuất là sử dụng một toán tử M : E → E ∗ có tính chất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh. J s , ánh xạ đối ngẫu tổng quát của E, là một toán tử có tính chất như vậy. Bằng phương pháp này Ya.I. Alber [2] nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh A h (x) + αJ s (x − x ∗ ) = f δ (0.3) cho bài toán (0.1). Một mở rộng của bài toán (0.1) là bài toán tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử A j (x) = f j ∀j = 1, , N, (0.4) ở đây A j : E → E ∗ , là các toán tử loại đơn điệu, đơn trị và f j ∈ E ∗ . Dựa trên việc sử dụng phương trình (0.3) để hiệu chỉnh cho mỗi phương trình trong (0.4), năm 2006 Nguyễn Bường [4] đã kết hợp các phương trình dạng này để hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.4) trên cơ sở xây dựng một phương trình phụ thuộc tham số N j=1 α µj A h j (x) + αJ s (x − x ∗ ) = θ, (0.5) µ 1 = 0 < µ j < µ j+1 < 1, j = 2, , N − 1, 4 trong trường hợp f j = θ, ở đây A h j là xấp xỉ của A j . Mục đích của luận văn nhằm trình bày lại các kết quả về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (0.4) với toán tử đơn điệu và toán tử accretive trên cơ sở các nghiên cứu của Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Thu Thủy và Trương Minh Tuyên trong các tài liệu [4], [6], [8] và [9]. Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1 trình bày sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình với toán tử đơn điệu đồng thời trình bày định lý về tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh được chọn tiên nghiệm. Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh hệ phương trình với toán tử accretive, đồng thời trình bày sự ổn định của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov trong trường hợp này. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thị Thu Thủy, trưởng khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, người đã hướng dẫn, chỉ dạy tận tình để tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô công tác tại trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tin thuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã truyền thụ kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua. Tôi cũng xin cảm ơn cơ quan, bạn bè, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ, 5 động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, ngày 15 tháng 10 năm 2012 Tác giả Nguyễn Thị Vân 6 Chương 1 Hệ phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả nghiên cứu trong [4] và [6] về sự hội tụ và tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach phản xạ thực. 1.1. Toán tử đơn điệu Các khái niệm và kết quả trong mục này được tham khảo trong các tài liệu [1], [3] và [10]. 1.1.1. Không gian Banach Cho E là một không gian Banach và E ∗ là không gian đối ngẫu của E, tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E. Sự hội tụ mạnh và hội tụ yếu của dãy {x n } ∈ E về phần tử x trong E lần lượt được kí hiệu là x n → x và x n x tương ứng. Không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi 7 phần tử x ∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E ∗∗ của E, đều tồn tại phần tử x ∈ E sao cho x ∗ (x) = x ∗∗ (x ∗ ) với mọi x ∗ ∈ E ∗ . Sau đây là một tính chất của không gian phản xạ: Mệnh đề 1.1.1. Cho E là một không gian Banach. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương: i) E là không gian phản xạ; ii) Mọi tập con lồi, đóng và bị chặn của E đều là tập compact yếu; iii) Mọi dãy bị chặn trong E đều có một dãy con hội tụ yếu. Định nghĩa 1.1.1. Không gian Banach E được gọi là lồi chặt nếu mặt cầu đơn vị S = {x ∈ E : x = 1} của E là lồi chặt, tức là từ x, y ∈ S kéo theo x + y < 2 (nói cách khác biên của S không chứa bất kì một đoạn thẳng nào). Định nghĩa 1.1.2. Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε ta luôn có x + y 2 ≤ 1 − δ (ε) . Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là không gian Banach lồi chặt. Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ta xét ví dụ sau. Ví dụ 1.1.1. Xét E = c 0 (không gian các dãy số hội tụ về không) với chuẩn . β xác định bởi x β = x c 0 + β ∞ i=1 |x i | 2 i 2 , x = (x i ) ∈ c 0 . Khi đó, (X, . β ), β > 0 là một không gian lồi chặt nhưng không là không gian lồi đều. 8 Để đo tính lồi của không gian Banach E người ta đưa vào khái niệm mô đun lồi δ E () = inf 1 − 2 −1 x + y : x = 1, y = 1, x − y = . Mô đun lồi của không gian Banach E là một hàm số xác định, liên tục và tăng trên đoạn [0, 2]. Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi δ E (2) = 1. Không gian Banach E lồi đều khi và chỉ khi δ E (ε) > 0 với mọi ε > 0. Mệnh đề 1.1.2. Mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phản xạ. Mô đun trơn của không gian Banach E là một hàm số xác định bởi ρ E (τ) = sup 2 −1 (x + y + x − y) − 1 : x = 1, y = τ . Mô đun trơn của không gian Banach E là một hàm số xác định, liên tục và tăng trên khoảng [0, +∞). Định nghĩa 1.1.3. Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu lim τ→∞ ρ E (τ) τ = 0. Ví dụ 1.1.2. Mọi không gian Hilbert và không gian l p (1 < p < +∞) đều là không gian Banach lồi đều và trơn đều. Định lý 1.1.1. Cho E là một không gian Banach. Khi đó các khẳng định sau là tương đương: i) Nếu E là không gian trơn đều thì E ∗ là không gian lồi đều; ii) Nếu E là không gian lồi đều thì E ∗ là không gian trơn đều. [...]... -chuẩn α α α nhỏ nhất của hệ phương trình toán tử (1.1) Chứng minh Từ tính chất đơn điệu, bị chặn và hemi-liên tục của toán tử Ah , suy ra Ah là toán tử đơn điệu cực đại xác định trên không gian j j N Banach E Do đó, αµj + αJ cũng là toán tử đơn điệu cực đại Mặt j=1 N khác, do J là một toán tử bức nên với mỗi α > 0 toán tử αµj + αJ j=1 cũng là một toán tử bức Suy ra, phương trình (1.4) có duy nhất nghiệm,... một toán tử đơn điệu Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại nếu và chỉ nếu với mọi λ > 0, R(A + λJ) là toàn bộ E ∗ Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn nào từ E vào E ∗ cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại Định lý 1.1.4 Cho E là một không gian Banach thực phản xạ, B : E → E ∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn, A : E → E ∗ là toán tử đơn điệu. .. chặt, 14 Aj : E → E ∗ là toán tử đơn điệu, đơn trị, hemi-liên tục có tính chất ngược đơn điệu mạnh Xét bài toán tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử Aj (x) = θ, j = 1, 2, , N (1.1) Nếu Aj không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì mỗi phương trình trong (1.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh Để tìm nghiệm ổn định cho mỗi phương trình này người ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh... α(h) 2 22 Chương 2 Hệ phương trình với toán tử accretive Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu trong [8], [9] về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử với toán tử accretive trong không gian Banach 2.1 Toán tử accretive 2.1.1 Toán tử accretive Định nghĩa 2.1.1 Cho E là một không gian Banach, toán tử A : D(A) ⊂ E... từ không gian Banach phản xạ E vào E ∗ thì phương trình toán tử Ax = f có nghiệm với mọi f ∈ E ∗ 13 1.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh Trong mục này chúng tôi trình bày kết quả về sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov giải hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh trong không gian Banach Các kết... là một toán tử đơn điệu cực đại Tính bị chặn của toán tử A sẽ là không cần thiết nếu miền xác định của nó là toàn bộ không gian E Ta có kết quả sau Định lý 1.1.5 Cho E là không gian Banach thực phản xạ và A : E → E ∗ là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục xác định trên E Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại Ngoài ra, nếu A là toán tử bức thì ta có R(A) = E ∗ Định lý 1.1.6 Nếu A là một toán tử đơn điệu, ...9 1.1.2 Toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc Định nghĩa 1.1.4 Cho E là một không gian Banach, toán tử A : ∗ D(A) ⊂ E → 2E được gọi là đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) ta luôn có x − y, u − v ≥ 0 ∀u ∈ A(x), v ∈ A(y) Trong trường hợp A : E → E ∗ là toán tử đơn trị, ta có các định nghĩa sau: Định nghĩa 1.1.5 Toán tử A được gọi là i) đơn điệu nếu Ax − Ay, x − y ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A); ii) đơn điệu ngặt... và duy nhất nghiệm của phương trình hiệu chỉnh (1.4) và nghiệm hiệu chỉnh hội tụ đến nghiệm x0 ∈ S của hệ phương trình toán tử (1.1) Định lý 1.2.2 Cho E là không gian Banach phản xạ thực lồi chặt, E ∗ -không gian liên hợp của E lồi chặt, Aj : E → E ∗ là toán tử đơn điệu có tính chất ngược đơn điệu mạnh, Ah : E → E ∗ đơn điệu thỏa mãn j (1.3) Khi đó, với mỗi α > 0, h > 0 phương trình hiệu chỉnh (1.4)... ) hội tụ yếu về J(x) 11 1.1.3 Ánh xạ đơn điệu cực đại Cho E là không gian Banach thực phản xạ, E ∗ là không gian liên hợp ∗ của E, A : E → 2E là một toán tử đơn điệu ∗ Định nghĩa 1.1.9 Một toán tử đơn điệu A : D(A) ⊂ E → 2E được gọi là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(u, x) : x ∈ D (A) , u ∈ A (x)} của nó không thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nào khác trên D(A) Định nghĩa 1.1.10... từ E lên C 26 2.2 Hệ phương trình toán tử accretive 2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Xét bài toán Tìm phần tử x0 ∈ S = ∩N Si = ∅, i=1 (2.5) trong đó Si là tập nghiệm của phương trình toán tử Ai x = 0 với Ai là toán tử accretive xác định bởi Ai = I − Ti , Ti : C → C, i = 1, 2, , N là ánh xạ không giãn và C là một tập con lồi đóng S-co rút không giãn của không gian Banach E Phương pháp hiệu chỉnh . luận văn nhằm trình bày lại các kết quả về phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử (0.4) với toán tử đơn điệu và toán tử accretive trên. → E ∗ là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục xác định trên E. Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại. Ngoài ra, nếu A là toán tử bức thì ta có R(A) = E ∗ . Định lý 1.1.6. Nếu A là một toán tử đơn điệu, . lồi chặt, 14 A j : E → E ∗ là toán tử đơn điệu, đơn trị, hemi-liên tục có tính chất ngược đơn điệu mạnh. Xét bài toán tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử A j (x) = θ, j = 1, 2, , N.