Đang tải... (xem toàn văn)
Trong nhà trường phổ thông, môn Toán giữ một vị trí hết sức quan trọng trong đó có bộ môn hình học là môn học có tính trìu tượng cao và có tính phổ dụng. Môn toán còn góp phần phát triển nhân cách, năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trìu tượng hoá và khái quát hoá rèn luyện cho học sinh những đức tính, phẩm chất của người lao động như tính cẩn thận, chính xác, tỉ mỉ và tính kỷ luật, sáng tạo. Trong đó bộ môn hình học là một bộ môn mới và khó đối với các em học sinh nói chung ở bậc THCS vì với các em kiến thức hình học còn rất mới lạ.
VẬN DỤNG TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG TAM GIÁC ĐỂ GIẢI TỐN HÌNH BẬC THCS I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.Lí chọn đề tài: Trong nhà trường phổ thơng, mơn Tốn giữ vị trí quan trọng có mơn hình học mơn học có tính trìu tượng cao có tính phổ dụng Mơn tốn cịn góp phần phát triển nhân cách, lực trí tuệ chung phân tích, tổng hợp, trìu tượng hoá khái quát hoá rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động tính cẩn thận, xác, tỉ mỉ tính kỷ luật, sáng tạo Trong mơn hình học mơn khó em học sinh nói chung bậc THCS với em kiến thức hình học cịn lạ Mơn hình học lạ với lượng kiến thức với nhiều loại tốn khác toán vận dụng kiến thức học để chứng minh tốn hình quan trọng, cua môn Trong loại tốn chứng minh việc hướng dẫn học sinh biết vận dụng kiến thức vào giải tốn công việc quan trọng Xuất phát từ luận điểm Trong q trình giảng dạy tơi thấy có nhiều đơn vị kiến thức có vai trị hỗ trợ đắc lực khơng thể thiếu tốn chứng minh hình tính chất đường phân giác tam giác có ý nghĩa hỗ trợ cho việc chứng minh tốn hình nhiều, hiệu thú vị Đó lí tơi chọn đề tài "Vận dụng tính chất đường phân giác tam giác để giải toán" Với lý vừa nêu tơi thấy cần có chuyên đề phương pháp vận dụng tính chất đường phân giác tam giác để chứng minh toán hình để từ rút kinh nghiệm để giúp em học sinh học hình tốt tốn chứng minh hình học để tránh lỗ hổng kiến thức, Tôi thấy cần phải giúp em biết chưng minh tốn hình có sử dụng tính chất đường phân giác tam giác II NỘI DUNG Cơ sở lý luận đề tài - Trong chương trình tốn bậc THCS, kiến thức hình học có liên quan đến tính chất đường phân giác tam giác chiếm lượng nên dạng kiến thức khơng hình thành thành đề mục riêng mà rải gặp phổ biến tập với nhiều cách khác nhau, có yêu cầu chứng minh trực tiếp, có xuất bước trung gian Vì việc chứng minh hình có sử dụng tính chất đường phân giác tam giác đa dạng phong phú Chương trình hình học bậc THCS số tiết luyện tập liên quan đến tính chất đường phân giác tam giác cịn rải dạng tập chứng minh khác khơng có phương pháp chứng cụ thể việc nhận biết học sinh nhiều mức độ khác nhau, phụ thuộc vào việc tiếp nhận, nhận biết kiến thức học sinh, phụ thuộc vào kỹ thuật dạy hướng dẫn giáo viên nên việc giúp cho em có hệ thống phương pháp tư vận dụng tính chất đường phân giác tam giác vào chứng minh hình lúc cần thiết, tạo cho em cách nhìn đắn tự tin học tập u thích mơn hình Cơ sở thực tiến Đặc điểm tình hình thực trạng Với nhiều năm trực tiếp giảng dạy tất đối tượng học sinh: Giỏi, khá, trung bình, yếu với qua chuyên đề cấp từ nhà trường qua kỳ bồi dưỡng thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp, bàn bạc thực trạng học sinh Chúng thấy phần lớn học sinh mức độ trung bình trở xuống từ lớp → lớp cịn yếu tốn vẽ hình, chứng minh hình nói chung vận dụng kiến thức vào chứng minh toán hình cịn yếu, chí cịn tượng học sinh lớp khơng biết vận dụng tính chất vào chứng minh toán đơn giản, điều chứng tỏ học sinh chưa có phương pháp tư duy, nhận biết vận dụng kiến thức học vàochứng minh hình nói chung chứng minh tốn hình có vận dụng kiến thức tính chất đường phân giác tam giác thường gặp Qua thực tế giảng dạy hình học nhà trường thấy lớp nghe giảng học sinh có nắm bài, xong vận dụng tính chất tập cịn lúng túng chưa nhận biết cách vận dụng chí việc ghi giả thíêt kết luận phận học sinh thiếu xác từ khơng giải tập Tìm hiểu qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy thân thấy học sinh có lỗ hổng từ tiếp cận với tập chứng minh hình lớp nói chung, việc vận dụng tính chất đường phân giác tam giác học sinh lúng túng, chưa nhận biết biết cần vận dụng vào chứng minh tốn hình Khi thăm dị khảo sát chất lượng học tập mơn tốn học sinh khối lớp 2009 - 2010 giải tốn có vận dụng tính chất đường phân giác tam giácđã có kết sau: Chất Lượng G-K SL % TB SL Y % SL K % SL % Đầu năm Qua điều tra thử nghiệm với học sinh học lớp tơi thấy số học sinh vận dụng tính chất đường phân giác tam giác để giải tốn chứng minh hình, tính tốn đoạn thẳng tốn hình có em đạt %, số cịn lại khơng biết cách giải giải khơng hồn chỉnh, từ thúc giục thân tơi tìm hiểu thực đề tài Các phương pháp thực 3.1 Nghiên cứu tài liệu: Trước hết phải nghiên cứu phần lý thuyết mà học học nội dung ly thuyết, phải xác địn rõ ràng kiến thức trọng tâm, kiến thức nâng cao mở rộng cho phép, bước nghiên cứu tập SGK Sách tập Toán, sách nâng cao theo yêu cầu tự phải giải đáp yêu cầu Cách giải loại, toán nào? Có cách giải tốn, loại toán này, phương pháp giải hay hơn, thường gặp Y đồ tác giả đưa tốn để làm gì: Mục đích tác dụng tập Học sinh học rút từ kiến thức Sau nghiên cứu kĩ tài liệu, định hướng cụ thể tập trung xây dựng nội dung đề tài: "Vận dụng tính chất đường phân giác tam giác để giải toán" 3.2 Để hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất đường phân giác tam giác vào giải tốn giáo viên phải chuẩn bị: a) Phải nắm thật vững chương trình đối tượng học sinh để chuẩn bị giảng tốt b) Phải biết chọn lọc nội dung, phương pháp tập trung vào điểm mấu chốt, chọn kiến thức, kĩ hay ứng dụng để giảng tốt, luyện tốt c) Phải giảng đến đâu, luyện đến Tránh giảng qua loa đại khái để chạy theo số lượng tập d) Suốt trình luyện giảng phải cho học sinh động não suy nghĩ sao, làm ? Tại nghĩ ? đạt kết 3.3 Nội dung thực a) Vai trị tính chất đường phân giác tam giác việc giải toán việc giải toán Một định hướng quan trọng việc đổi giáo dục nhiều nước giới có việt nam là: " tăng cường tính phân hố " giáo dục Chương trình giáo dục thể ngày rõ tinh thần phần phân ban dạy học theo chủ đề Tính chất đường phân giác tam giác chương trình tốn gồm tiết lại có tầm ảnh hưởng lớn, vận dụng vào làm nhiều toán hay, kết hợp nhuần nhuyễn để có nhiều lời giải hay, độc đáo Học sinh vận dụng tính chất đường phân giác tam giác vào việc giải tốn khác có liên quan, qua dó phát triển kĩ năng, kĩ xảo chứng minh hình học b) Phương pháp nghiên cứu chung: Với mục tiêu củng cố, nâng cao mức độ phổ thông cho phép phần lí thuyết thơng qua hệ thống số tập, gồm tập sách giáo khoa, sách tập, tập tự chọn, tự sáng tạo giáo viên Đề tài phải có cấu trúc hợp lí, chặt chẽ gắn kết lơgíc với nhau, qua tạo cho người dạy, người học nguồn cảm hứng, độ mở định Với đề tài" vận dụng tính chất đường phân giác tam giác để giải tốn" cấu trúc theo nhiều cách khác tuỳ theo chủ định người dạy, xin đưa phương pháp chung sau Bước 1: Khơi nguồn kiến thức lí thuyết: tính chất đường phân giác tam giác thông qua hệ thống câu hỏi tập dạng đơn giản tự luận trắc nghiệm Bước 2: Học sinh áp dụng tính chất đường phân giác tam giác, sử dụng tính chất cách linh hoạt, sáng tạo, qua giáo viên kiểm tra, rèn luyện kĩ vận dụng chứng minh, thao tác làm học sinh Nhận xét sau tốn, qua xâu chuỗi để phát tốn Bước 3: Vận dụng tính chất, kết để giải tốn tính độ dài đoạn thẳng, so sánh hai đoạn thẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, chứng minh tam giác vng, tốn mở rộng khác… c) Các phương pháp cụ thể Sau nghiên cứu tài liệu, nắm vững thông tin cần thiết, giáo viên xác định mục đích đè tài lựa chọn ví dụ, tập tiêu biểu cho mục tiêu Sau nơi dung đề tài tơi áp dụng giảng dạy thời gian vừa qua cho phần: " Áp dụng tính chất đường phân giác tam giác để giải toán" Bài toán 1: Xét tập 15 trang 67 SGK T8: Tính x, y hình vẽ làm trịn kết đến chữ số thập phân thứ A A 8,7 6,2 7,2 4,5 C B 3,5 C B y x · a,Vì AD phân giác BAC nên ta có: AB DB 4,5 3,5 3,5.7,2 = hay = ⇒x= = 5,6 AC DC 7,2 x 4,5 · b,Vì PQ đường phân giác MPN nên ta có: PM QM 6,2 QM 6,2 QM QM QM = hay = ⇒ = = = PN QN 8,7 QN 8,7 + 6,2 QN + QM MN 12,5 12,5.6,2 ⇒ QM = ⇒ QM = 5,2 14,9 Nhận xét 1: Đây toán bản, áp dụng trực tiếp tính chất đường phân giác tam giác Ta xét tiếp toán sau: Bài toán 2: Bài tập 18 trang 69 SBT T8 Tam giác ABC có đường phân giác AD, BE CF (hình vẽ) CMR: DB EC FA • • =1 DC EA FB A Lời giải: F Áp sụng tính chất đường phân giác, ta có: DB AB = (1) DC AC EC BC = ( 2) EA BA FA CA = (3) FB CB E B D Nhân vế tương ứng đẳng thức (1),(2),(3) ta được: DB EC FA • • =1 DC EA FB C Nhận xét 2: Qua tốn ta xây dựng kiến thức coi tính chất vận dụng để giải toán sau Bài toán 3: Cho tam giác vng ABC ( µ = 900), AB=21cm, AC=28cm, đường A phân giác µ cắt BC D, đường thẳng qua D song A AC E (Hình vẽ) B a) Tính độ dài đoạn thẳng BD, DC DE b) Tính diện tích tam giác ABD diện tích ∆ ACD song với AB cắt D A C E Lời giải: a) µ = 900 ⇒ BC = AB + AC (định lí Pytago) A BC2 = 212 + 282= 1225 ⇒ BC = 35 (cm) Ta có: BD AB 21 BD 21 BD 21 = = = ⇒ = ⇔ = DC AC BD + DC 21 + 28 BC 49 ⇒ BD = BC.21 35.21 = = 15(cm) 49 49 ⇒ DC = BC – BD = 35 – 15 = 20 (cm) DE CD AB.CD 21.20 = ⇒ DE = = = 12(cm) Mặt khác: DE // AB ⇒ AB b) S ∆ABC = ⇒ CB CB 35 1 AB AC = 21.28 = 294(cm ) 2 S ∆ABD BD = S ∆ABC BC = 15 15 ⇒ S ∆ABD = 294 = 126(cm ) ⇒ S ∆ACD = S ∆ABC − S ∆ADB = 168(cm ) 35 35 A Bài toán cho tam giác ABC, trung tuyến AM Đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D, đường phân giác cắt cạnh AC E góc I D a) Chứng minh DE// BC b) Gọi I giao điểm DE với AM Chứng minh ID = IE B M AMC C Lời giải: a)Theo tính chất đường phân giác tam giác,ta có: DA MA = DB MB EA MA = EC MC DA EA = DB EC Mà MB = MC (gt) Do đó: ⇒ DE// BC b)DE // BC (theo câu a) áp dụng định lí Talet, ta có: ID AI = MB AM Suy IE AI = MC AM ID IE = , mà MB = MC, ID = IE MB MC Nhận xét 3: Chúng ta sử dụng tính chất đường phân giác tam giác để chứng minh đường thẳng song song, hai đoạn thẳng Bài toán 5: Cho tam giác ABC với I tâm đường tròn nội tiếp G trọng tâm Biết AI vng góc với IG Chứng minh: AB + AC > 2BC Lời giải: Nhận xét ∆ ABC cân A AI trùng với AG, vi phạm giả thiết AI ⊥ AG Giả sử AB < AC , AI cắt BC D Dựng MN vng góc với AD N · · Khi · ADC = · ABC + BAD > · ACB + DAC 0 Nhưng · ADC + · ADC > 90 ADB = 180 Nên · Từ D nằm I N Suy IN > ID Mặt khác từ IG// MN ta có: AI AG = = ⇒ AI = IN > 2ID IN GM Ap dụng tính chất đường phân giác tam giác, ta được: AB AC AI = = >2 BD DC ID ⇒ AB + AC > 2( BD + DC ) = BC (ĐPCM) Ta thấy điều kiện IG vuông góc với AI giả thiết AI > DI ∆ ABC không cân A Nếu ∆ ABC có thêm điều kiện AB < AC muốn có AI > DI ta cần cho ràng buộc: IG cắt tia MB đủ Trước hết có nhận xét sau: Nhận xét 4: Cho tam giác ABC với AB < AC Gọi AD đường phân giác trong, AM đường trung tuyến tam giác M nằm C D (hình vẽ) Thật ta có: BM AB BD BC BC =1> = ⇒ > ⇒ CD > CM CM AC CD CM CD Suy M nằm giưũa C D Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC thì: AI AB AC AB + AC AB + AC = = = = (1) ID BD CD BD + CD BC Bài toán 6: Cho tam giác ABC ( AB< AC) Gọi G, I trọng tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác GI cắt tia MB K Chứng minh rằng: AB + AC > BC Lời giải: Gọi D, M giao điểm tương ứng AI AG với BC Từ I kẻ đường thẳng song song với BC, cắt GM J, theo nhận xét 2, J nằm G M nên AI AJ AG = > = (2) ID JM GM Từ (1) (2) suy ra: AB + AC > BC Từ kết toán 6, đặt cho câu hỏi: ? Khi AB + AC < BC ? Kết sau trả lời câu hỏi Bài tốn 7: Cho tam giác ABC ( AB < AC) gọi I tâm đường tròn nội tiếp G trọng tâm tam giác GI cắt tia DC tai K Chứng minh rằng: AB + AC < BC Lời giải: Gọi giao điểm AI AG với BC D M Qua G kẻ đường thẳng song song với DM, cắt ID J J nằm I D theo nhận xét nên: AI AJ AG < = = (3) ID JD GM Từ (1) (3) suy ra: AB + AC < BC ? Ta xét xem AB + AC = BC Ta xét tiếp toán sau Bài toán 8: Cho tam giác ABC ( AB < AC) I,G tâm đường trịn nội tiếp, trọng tâm tam giác Khi IG // BC nếu: AB +AC = BC Lời giải: IG // BC ⇔ AI AG = = ( hình vẽ) ID GM Theo (1), điều xảy khi: AB + AC = BC Tiếp theo ta khai thác tốn để có thêm kết qủa khác Nhận xét 5: Đặt BC = a, AC = b, AB = c; c