BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Đào Văn Dương TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 03 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2013 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH. Nguyễn Minh Chương Phản biện 1: GS.TSKH. Nguyễn Mạnh Hùng Học viện Quản lý giáo dục Phản biện 2: GS.TSKH. Vũ Ngọc Phát Viện Toán học Phản biện 3: PGS.TS. Nguyễn Thiệu Huy Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp tại Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, vào hồi giờ ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án tại Thư viện Quốc gia, Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU I. Lý do chọn đề tài Trong khoảng 20 năm trở lại đây, lý thuyết sóng nhỏ xuất hiện và phát triển rất mạnh. Lý thuyết này đang là một công cụ rất có hiệu lực để giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong Vật lý toán nói riêng và trong Khoa học, Công nghệ nói chung. Nhờ lý thuyết sóng nhỏ, người ta nghiên cứu lý thuyết toán tử (đặc biệt là lý thuyết toán tử tích phân kỳ dị Calderón-Zygmund hay lý thuyết toán tử giả vi phân) và lý thuyết các không gian phiếm hàm, từ đó đã tìm được những đặc trưng mới về các không gian phiếm hàm quan trọng như H¨older, Zygmund, Sobolev, Besov, Hardy, BMO, Ngược lại, cũng có thể sử dụng lý thuyết toán tử để nghiên cứu lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt trong việc nghiên cứu cấu trúc nghiệm của phương trình lọc. Ngày nay, sự phát triển của lý thuyết sóng nhỏ gắn với lý thuyết các toán tử giả vi phân và lý thuyết các không gian hàm đã làm cho tính khoa học và tính ứng dụng của chúng ngày càng cao. Toán tử tích phân sóng nhỏ là một bộ phận quan trọng trong lý thuyết sóng nhỏ. Sóng nhỏ, toán tử tích phân sóng nhỏ là một trong những công cụ hữu hiệu để giải quyết nhiều bài toán quan trọng trong Toán học, Vật lý, Khoa học và Công nghệ như xử lý ảnh, xử lý tín hiệu, địa chấn, nén dữ liệu, sinh học, y học, thị trường chứng khoán Đã có nhiều nhà toán học như Yves Meyer, Ingrid C. Daubechies, David L. Donoho, Ronald R. Coifman, Nguyễn Minh Chương, P. R. Massopust, A. Rieder, R. S. Pathak, G. Strang tham gia nghiên cứu và công bố nhiều công trình về lĩnh vực lý thuyết sóng nhỏ, đặc biệt là toán tử tích phân sóng nhỏ. Năm 2004, Ram S. Pathak đã nghiên cứu toán tử tích phân sóng nhỏ xác định bởi (W ψ φ)(b, a) =  R n φ(t)ψ  t−b a  dt a n , trong đó a là một số thực dương và b ∈ R n . Nếu φ, ψ ∈ L 2 (R n ) thì bởi đẳng thức Parseval của biến đổi Fourier ta có (W ψ φ)(b, a) = (2π) −n  R n e iωb ˆ ψ(aω) ˆ φ(ω)dω. Từ biểu thức này, ta thấy 1 2 toán tử tích phân sóng nhỏ cũng là một toán tử giả vi phân với biểu trưng σ(a, ω) = ˆ ψ(aω). Với nhận xét tinh tế này, Ram S. Pathak đã sử dụng lý thuyết toán tử giả vi phân để nghiên cứu toán tử tích phân sóng nhỏ trên không gian các phân bố. Ngày nay do nhu cầu của thực tiễn ứng dụng, lý thuyết sóng nhỏ không chỉ phát triển trên trường số thực, phức mà đã được chuyển sang nghiên cứu trên trường số p-adic, hoặc tổng quát hơn trên các trường địa phương. Năm 2002, các tác giả C. Minggen, G. Gao và P. Chung đã nghiên cứu các kết quả ban đầu của toán tử tích phân sóng nhỏ trên trường p-adic mà ý tưởng nghiên cứu tương tự như trên trường thực. Toán tử tích phân sóng nhỏ đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước nghiên cứu trên nhiều không gian hàm khác nhau như Lebesgue, Sobolev (kể cả trường hợp có trọng), Triebel-Lizorkin, không gian các hàm suy rộng, trong đó các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dáng điệu tiệm cận, cho toán tử tích phân sóng nhỏ. Tính bị chặn của các toán tử tuyến tính, dưới tuyến tính, trong các không gian tuyến tính định chuẩn là một trong những vấn đề quan trọng của giải tích và có nhiều ứng dụng. Chẳng hạn, từ tính bị chặn của toán tử trong một số trường hợp có thể giải quyết được tính tồn tại, duy nhất, nghiệm của phương trình. Thậm chí Charles Fefferman đã đưa ra được một chứng minh mới cho sự hội tụ từng điểm của chuỗi Fourier trong không gian L q [0, 2π] (q > 1) bằng cách nghiên cứu tính bị chặn của một lớp toán tử cực đại. Đối với toán tử tích phân sóng nhỏ, việc nghiên cứu tính bị chặn, tính đẳng cấu, dáng điệu tiệm cận ứng với tham biến a nhỏ, trên một số không gian hàm đang là vấn đề thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Giải tích điều hòa và lý thuyết phương trình đạo hàm riêng trên trường thực cũng như trên trường p-adic ngày càng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Một trong những toán tử quan trọng trong giải tích điều hòa là toán tử Hardy-Littlewood. Năm 1920, G. H. Hardy đã thiết lập một bất đẳng thức tích phân (ngày nay gọi là bất đẳng thức tích phân Hardy), từ đó đưa ra một chứng minh đơn giản cho định lý về chuỗi kép của Hilbert. Bất đẳng thức Hardy giữ một vai trò quan trọng trong lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết các không gian phiếm hàm. Năm 1984, các tác giả C. Carton-Lebrun và M. Fosset đã giới thiệu toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng, là tổng quát của toán tử Hardy-Littlewood 3 từ một chiều lên nhiều chiều. Kể từ đó, toán tử Hardy-Littlewood có trọng đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới, trong đó các nhà toán học chủ yếu tập trung nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng để toán tử Hardy-Littlewood có trọng là bị chặn trên các không gian Lebesgue, BMO, Herz, Triebel-Lizorkin và đánh giá chuẩn của toán tử Hardy-Littlewood có trọng trong các không gian hàm, Trên trường p-adic, trong những năm gần đây toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng, toán tử Hausdorff cũng được nghiên cứu trên một số không gian hàm như L q , BM O, Hardy, H¨older, Morrey, Herz (trong không gian Herz chỉ mới nghiên cứu cho điều kiện đủ với số chiều n = 1). Đặc biệt, gần đây toán tử tích phân Hardy-Cesàro có trọng cũng được nghiên cứu trên các không gian Lebesgue, BMO có trọng trên trường p-adic, và có thể áp dụng chúng để nghiên cứu các bất đẳng thức Hardy dạng rời rạc trên trường thực. Như chúng ta đã biết, nhiều lý thuyết toán học đã sớm được chuyển sang xây dựng và nghiên cứu trên trường p-adic. Tuy nhiên đối với lý thuyết các hàm suy rộng Schwartz trên trường p-adic, mãi đến năm 1988, V. S. Vladimirov mới xây dựng không gian các hàm suy rộng, phép biến đổi Fourier, tích chập và lớp toán tử giả vi phân p-adic D α . Đến năm 1994, các tác giả V. S. Vladimirov, I. V. Volovich và E. I. Zelenov đã đề cập một cách có hệ thống giải tích p-adic và vật lý toán. Như đã nói ở trên, việc nghiên cứu và phát triển một số kết quả từ trường thực sang trường p-adic đã được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Tuy nhiên đối với giải tích điều hòa p-adic, còn rất nhiều bài toán quan trọng chưa được nghiên cứu. Chẳng hạn, mở rộng nghiên cứu các bất đẳng thức tích phân Hardy, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng, toán tử Hausdorff, trên các không gian hàm trên trường p-adic. Ngày nay nhiều lĩnh vực khác nhau trong Toán học đều có ảnh hưởng, thâm nhập lẫn nhau. Đặc biệt, đối với lý thuyết toán tử vi tích phân kỳ dị (giả vi phân), lý thuyết các không gian hàm và lý thuyết sóng nhỏ, đã có rất nhiều công trình nghiên cứu mối liên quan qua lại giữa chúng. Ở đây, chúng tôi chỉ giới thiệu mối quan hệ giữa toán tử tích phân D α với một cơ sở sóng nhỏ p-adic được phát hiện từ một hệ hàm riêng của toán tử này. Cụ thể, năm 2002 nhà toán học người Nga S. V. Kozyrev lần đầu tiên đã phát hiện mối liên quan đặc biệt giữa giải tích phổ trên trường p-adic và giải tích sóng nhỏ trên trường 4 thực nhờ phép biến đổi p-adic liên tục nhưng không 1 − 1 từ Q p sang R + như sau: ρ : Q p → R + , ρ(  ∞ i=γ a i p i ) =  ∞ i=γ a i p −i−1 , ở đó a i = 0, , p − 1, γ ∈ Z. Hơn nữa, ánh xạ ρ là một song ánh từ tập Q p /Z p (gồm các số p-adic có dạng  −1 i=γ x i p i ) vào tập các số tự nhiên gồm cả số không. Ngoài ra, S. V. Kozyrev còn xây dựng một phép biến đổi unita ρ ∗ : L 2 (R + ) → L 2 (Q p ) xác định bởi ρ ∗ f(x) = f(ρ(x)). Ánh xạ này, với p = 2, đã chuyển một cơ sở trực chuẩn các sóng nhỏ trong L 2 (R + ) thành một cơ sở trực chuẩn trong L 2 (Q 2 ) gồm các véctơ riêng của toán tử Vladimirov D α . Cũng nhờ ánh xạ ρ ∗ , S. V. Kozyrev đã định nghĩa được toán tử Vladimirov trên L 2 (R + ), cụ thể là ∂ α p f(x) = ρ ∗ −1 D α ρ ∗ f(x). Như vậy, nhờ toán tử Vladimirov mà S. V. Kozyrev đã xây dựng được một cơ sở gồm các hàm riêng của D α , đặc biệt với p = 2 tồn tại một song ánh chuyển cơ sở này thành một cơ sở sóng nhỏ trên trường thực. Bởi lý do này, S. V. Kozyrev gọi cơ sở gồm các hàm riêng của toán tử D α vừa tìm được là cơ sở sóng nhỏ p-adic. Rõ ràng, đây là một phát hiện rất quan trọng nói lên mối tương quan giữa hai lĩnh vực toán học khác nhau, đó là giải tích phổ và lý thuyết sóng nhỏ. Từ đó giải tích sóng nhỏ và giải tích phổ p-adic đã dựa vào nhau và cùng phát triển song song. Kể từ khi S. V. Kozyrev đưa ra các sóng nhỏ p-adic, lý thuyết sóng nhỏ và toán tử giả vi phân trên trường p-adic phát triển mạnh và đã được nhiều nhà toán học trên thế giới và trong nước quan tâm như S. Albeverio, J. J. Benedetto, R. L. Benedetto, A. Yu. Khrennikov, V. M. Shelkovich, M. Skopina, S. V. Kozyrev, Nguyễn Minh Chương , trong đó các nhà toán học chủ yếu tập trung vào nghiên cứu xấp xỉ đa phân giải p-adic, phương trình lọc p-adic, các cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn p-adic, bài toán Cauchy đối với phương trình giả vi phân, phổ của toán tử giả vi phân p-adic và những ứng dụng của chúng trong Khoa học và Công nghệ. Việc nghiên cứu, phát triển lý thuyết sóng nhỏ p-adic, đặc biệt là việc biểu diễn các hàm trong những không gian hàm qua các hàm riêng của toán tử giả vi phân p-adic, đang là một trong những chủ đề được quan tâm hiện nay. Với những lý do nói trên, Giáo sư Nguyễn Minh Chương đã gợi ý cho tôi nghiên cứu, phát triển một số lớp toán tử tích phân sóng nhỏ, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và các cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử Vladimirov D α trên một số không gian hàm. 5 IV. Bố cục của Luận án Luận án, ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, gồm 4 chương: Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở về không gian Lebesgue, trường số p-adic, lý thuyết tích phân và biến đổi Fourier. Đây là những kiến thức cần thiết cho việc trình bày các chương sau. Chương 2 dành cho việc nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận ứng với tham biến thang bậc a nhỏ của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO và Hardy H 1 cũng như trên các không gian Besov và BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa. Chương 3 dành cho việc nghiên cứu các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng để các toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên trường p-adic; đưa ra các điều kiện đủ để các giao hoán tử của toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng với toán tử nhân hàm Lipschitz là bị chặn trên không gian Morrey-Herz trên trường p-adic. Chương 4 dành cho việc nghiên cứu cơ sở không điều kiện, cơ sở Greedy của hệ cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử Vladimirov D α trong không gian L r (Q n p ) với 1 < r < ∞. Luận án này được thực hiện và hoàn thành tại Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, dưới sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của GS.TSKH. Nguyễn Minh Chương. Thầy hướng dẫn và truyền đạt cho tác giả những kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy. Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn nhận được sự động viên, hướng dẫn của các Thầy trong Khoa Toán - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt là Bộ môn Giải tích. Tác giả xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn các Thầy, Cô cùng các anh chị em NCS, Cao học trong Xêmina "Toán tử giả vi phân, sóng nhỏ trên các trường thực, p-adic" của Giáo sư Nguyễn Minh Chương và Xêmina của Bộ môn Giải tích, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã động viên, giúp đỡ tác giả trong nghiên cứu và trong cuộc sống. Chương 1 Một số khái niệm và kết quả cơ sở Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả sẽ được sử dụng trong toàn bộ luận án. Bởi vì luận án nghiên cứu một số kết quả đồng thời trên trường số thực và trên trường số p-adic, cho nên một số kiến thức cơ sở như không gian Lebesgue, bất đẳng thức Minkowski, bất đẳng thức H¨older sẽ được trình bày trên không gian đo được tổng quát và sẽ được sử dụng cho cả hai trường hợp trên trường số thực và trên trường số p-adic. Phần còn lại, chúng tôi trình bày sơ lược về trường số p-adic, lý thuyết tích phân và biến đổi Fourier, toán tử giả vi phân trên trường số p-adic. 1.3 Trường số p-adic Cho p là một số nguyên tố, ta định nghĩa chuẩn p-adic | · | p như sau. Đặt |0| p = 0. Với mọi số hữu tỷ x ∈ Q khác không có biểu diễn x = p γ m n , trong đó m, n là các số nguyên không chia hết cho p, ta đặt |x| p = p −γ . Dễ thấy rằng chuẩn p-adic | · | p cảm sinh một metric tự nhiên ρ(x, y) = |x − y| p trên trường các số hữu tỷ Q. Làm đầy trường Q bởi metric ρ ta được trường các số p-adic và ký hiệu là Q p . Trường số p-adic có một số tính chất quan trọng sau đây. Mệnh đề 1.3.1. (a) Mọi số p-adic khác không đều biểu diễn được duy nhất dưới dạng chính tắc sau đây x = p γ (x 0 + x 1 p + x 2 p 2 + ···), (1.3) trong đó γ = γ(x) ∈ Z phụ thuộc vào x, x 0 = 0 và x j ∈ {0, 1, , p − 1}. (b) Nếu số p-adic x có biểu diễn (1.3) thì |x| p = p −γ . Chuẩn |·| p thỏa mãn các tính chất sau đây: (i) |x| p ≥ 0 với mọi x ∈ Q p và |x| p = 0 ⇔ x = 0; (ii) |xy| p = |x| p |y| p với mọi x, y ∈ Q p ; 6 7 (iii) |x +y| p ≤ max(|x| p , |y| p ) với mọi x, y ∈ Q p . Đặc biệt, trường hợp khi |x| p = |y| p ta có đẳng thức |x + y| p = max(|x| p , |y| p ). (c) Q p là một trường tôpô compact địa phương, đầy đủ, khả ly, Hausdorff và hoàn toàn không liên thông. 1.4 Độ đo và tích phân trên trường số p-adic Bởi vì (Q p , +) là một nhóm tôpô giao hoán và compact địa phương, cho nên tồn tại một độ đo Haar, đó là độ đo dương dx, bất biến với phép tịnh tiến d(x + a) = dx. Độ đo Haar dx trên Q p được chuẩn hóa bởi  B 0 dx = 1. Cho n là một số nguyên dương. Ký hiệu Q n p là không gian véctơ n chiều trên Q p , Q n p = {x = (x 1 , , x n ) : x j ∈ Q p , j = 1, , n}. Với mọi x = (x 1 , , x n ), y = (y 1 , , y n ) thuộc Q n p ta có x + y = (x 1 + y 1 , , x n + y n ) và tx = (tx 1 , , tx n ) với mọi t ∈ Q p . Ký hiệu xy = x 1 y 1 + ··· + x n y n là tích vô hướng trong Q n p . Trên không gian Q n p trang bị chuẩn p-adic |x| p = max 1≤j≤n |x j | p . Khi đó chuẩn p-adic | · | p trên Q n p cũng có những tính chất như chuẩn p-adic trên Q p . Tôpô tích trên Q n p trùng với tôpô sinh bởi chuẩn |·| p . Hơn nữa, (Q n p , +) cũng là một nhóm tôpô giao hoán, compact địa phương. Độ đo Haar trên Q n p là dx = dx 1 ···dx n , ở đây dx k là các độ đo Haar chuẩn hóa của không gian tọa độ thứ k của Q n p . Với mọi t = 0 thuộc Q p , ta có d(tx) = |t| n p dx. Ký hiệu S γ (a) =  x ∈ Q n p : |x − a| p = p γ  và B γ (a) =  x ∈ Q n p : |x − a| p ≤ p γ  là mặt cầu, tương ứng là hình cầu, tâm a bán kính p γ . Đặt S γ = S γ (0) và B γ = B γ (0). Mỗi hàm f ∈ L 1 loc (Q n p ) được gọi là khả tích trên không gian Q n p nếu giới hạn sau tồn tại lim N→+∞  B N f(x)dx = lim N→+∞  −∞<γ≤N  S γ f(x)dx. (1.5) Khi đó giới hạn trong (1.5) được gọi là tích phân của hàm f trên toàn bộ không gian Q n p và ký hiệu là  Q n p f(x)dx. Nếu f ∈ L 1 loc (Q n p \{a}) thì tích phân của hàm f trên Q n p được xác định bởi giới hạn  Q n p f(x)dx = lim A→−∞ B→+∞  A≤γ≤B  S γ (a) f(x)dx. (1.6) Chương 2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên một số không gian hàm Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính bị chặn của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO và H 1 (R n ). Hơn nữa, với giả thiết các sóng nhỏ cơ sở có giá compact nằm trong một hình cầu có tâm tại gốc, chúng tôi cũng đưa ra tính bị chặn của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov và BMO có trọng ứng với lớp hàm trọng ôn hòa. Từ đó chúng tôi thu được dáng điệu tiệm cận của toán tử tích phân sóng nhỏ ứng với tham biến thang bậc a nhỏ. Nội dung của chương này dựa trên bài báo thứ nhất thuộc danh mục công trình đã công bố liên quan đến luận án. 2.1 Giới thiệu Từ lâu, người ta đã ứng dụng biến đổi tích phân Fourier vào lĩnh vực phân tích và xử lý tín hiệu. Để tìm hiểu về thông tin phổ của tín hiệu, người ta sử dụng biến đổi tích phân Fourier của hàm f ∈ L 2 (R) (gọi là một tín hiệu có năng lượng hữu hạn) có công thức  f(ξ) =  R e −iξt f(t)dt, ở đó t, ξ được hiểu là biến thời gian và tần số tương ứng của tín hiệu. Nếu sử dụng phép biến đổi Fourier để lấy ra được thông tin về phổ của tín hiệu f thì ta phải quan sát tín hiệu f trên toàn bộ biến thời gian t, nghĩa là thông tin nhận được từ việc quan sát tín hiệu trong một khoảng thời gian nào đó không đủ để kết luận về phổ của tín hiệu. Để khắc phục nhược điểm của biến đổi Fourier, từ đầu những năm thập kỷ 40 của thế kỷ trước, Dennis Gabor đã đưa ra phép biến đổi Fourier cửa sổ (còn gọi là biến đổi Gabor), mục đích là đưa việc nghiên cứu phổ từ chỗ khắp trên toàn bộ đường thẳng thời gian về một cửa sổ thời gian "tốt" theo một nghĩa nào đó, bằng cách nhân thêm biểu thức dưới dấu tích phân của 8 [...]... toán tử tích phân sóng nhỏ và toán tử giả vi phân Từ ý tưởng mở rộng nghiên cứu toán tử tích phân sóng nhỏ của các nhà toán học A Rieder, V Perrier và C Basdevant, Nguyễn Minh Chương, R S Pathak, trên các không gian hàm, chúng tôi cũng nghiên cứu tính bị chặn, dáng điệu tiệm cận của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO, Hardy và các không gian Besov, BMO có trọng ứng với lớp hàm. .. cứu Nghiên cứu toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Hardy có trọng Hω (Rn ) Trên trường số p-adic, nghiên cứu cơ sở sóng nhỏ p-adic trên một số không gian phiếm hàm khác, và nghiên cứu một số lớp phương trình giả vi phân p-adic trong không gian Lr (Qn ) p Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại - Xêmina "Toán tử giả vi phân, sóng nhỏ trên các trường thực, p−adic" của Viện Toán học, Hà Nội... như các không gian Besov và BMO có trọng Từ đó chúng tôi thu được dáng điệu tiệm cận của toán tử tích phân sóng nhỏ ứng với tham biến thang bậc a nhỏ trong các không gian này Ngoài ra, chúng tôi cũng đánh giá khoảng cách giữa hai toán tử tích phân sóng nhỏ ứng với các sóng nhỏ cơ sở khác nhau trong các không gian hàm này 2 Đưa ra các điều kiện cần và đủ cho hàm trọng ψ để các toán tử tích phân Hardy-Littlewood... từ L2 (R+ ) vào L2 (Qp ) Toán tử này, với p = 2, đã chuyển một cơ sở sóng nhỏ trực chuẩn trong L2 (R+ ) thành một cơ sở gồm các hàm riêng của toán tử Dα Điều này cho ta một sự tương quan giữa giải tích sóng nhỏ trên trường thực và giải tích phổ trên trường p-adic (việc khai triển một hàm qua các hàm riêng của toán tử Dα ), giữa lý thuyết sóng nhỏ p-adic và toán tử giả vi phân p-adic Năm 2008, các... chúng tôi xét các sóng nhỏ cơ sở ψ là các hàm không tầm thường thuộc không gian L1 (Rn ) Khi đó toán tử tích phân sóng nhỏ được xác định bởi 1 (Wψ f )(a, b) = |a|n f (t)ψ t−b a dt, (2.7) Rn trong đó a là số thực khác không và b thuộc không gian Rn 2.2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO và Hardy Với bất kỳ f ∈ L (Rn ), 1 ≤ ≤ ∞, L (Rn )-môđun liên tục của một hàm f được định nghĩa... biến đổi tích phân sóng nhỏ đã giúp các nhà phân tích tín hiệu giải quyết được vấn đề đặt ra ở bên trên Về mặt toán học Wψ là một toán tử tích phân xác định trong không gian Hilbert L2 (R), do đó một vấn đề tự nhiên đặt ra là nghiên cứu biến đổi tích phân sóng nhỏ Wψ trong các không gian hàm khác Năm 1991, A Rieder đã mở rộng nghiên cứu biến đổi tích phân sóng nhỏ Wψ trong các không gian Sobolev và đồng... Khrennikov và S M Shelkovich đã sử dụng các sóng nhỏ p-adic để tìm nghiệm của bài toán Vấn đề then chốt là có thể biểu diễn được các hàm trong những không gian hàm qua các sóng nhỏ p-adic gồm các véctơ riêng của toán tử giả vi phân p-adic 4.2 Cơ sở sóng nhỏ không điều kiện gồm các hàm riêng của toán tử Dα trong không gian Lr (Qn ) p Trong luận án này, chúng tôi chứng minh các sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng... p-adic 3 Chứng minh hệ cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử tích phân Vladimirov Dα lập thành một cơ sở không điều kiện trong không gian Lr (Qn ) với 1 < r < ∞ Từ đó đưa ra một đặc trưng cho p không gian Lr (Qn ) theo các hệ số Fourier sóng nhỏ p-adic Hơn nữa, p chúng tôi cũng chỉ ra rằng các sóng nhỏ p-adic sau khi được chuẩn hóa lập thành một cơ sở Greedy trong không gian Lr (Qn ) p Những... trọng và toán tử Cesàro có trọng là bị chặn trên các không gian Triebel-Lizorkin, Morrey-Herz trên trường p-adic Đặc biệt, chúng tôi tính được chuẩn của các toán tử này trong mỗi trường hợp Ngoài ra, chúng tôi cũng đưa ra các điều kiện đủ để các giao hoán tử của toán tử Hardy-Littlewood có trọng và toán tử Cesàro có trọng với toán tử nhân hàm Lipschitz là bị chặn trên các không gian Morrey-Herz trên. .. hoán tử [b, Vψ ] là bị chặn từ không gian M K n n α+γ+ q − q ,λ 2 1 (Qn ) p ,q1 vào không gian M K α,λ (Qn ) khi λ>0, hoặc khi λ= 0 và ∈ [1, ∞) p ,q2 Chương 4 Toán tử tích phân Vladimirov và cơ sở sóng nhỏ p-adic trong Lr (Qn) p Như trong phần mở đầu, chúng tôi đã nêu một phát hiện rất quan trọng, lý thú của S V Kozyrev về mối liên quan giữa giải tích sóng nhỏ và giải tích phổ p-adic, giữa toán tử tích . toán tử tích phân sóng nhỏ, toán tử tích phân Hardy-Littlewood có trọng và các cơ sở sóng nhỏ p-adic gồm các hàm riêng của toán tử Vladimirov D α trên một số không gian hàm. 5 IV. Bố cục của Luận. DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Đào Văn Dương TOÁN TỬ TÍCH PHÂN VÀ CƠ SỞ SÓNG NHỎ TRÊN MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM Chuyên ngành: Phương trình vi phân và tích phân Mã số: 62 46 01 03 TÓM TẮT. (1.6) Chương 2 Toán tử tích phân sóng nhỏ trên một số không gian hàm Trong chương này, chúng tôi nghiên cứu tính bị chặn của toán tử tích phân sóng nhỏ trên các không gian Besov, BMO và H 1 (R n ).