BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH KHẢI BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC TP. HỒ CHÍ MINH - 2006 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH KHẢI BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành : Giải Tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN : TS. TRẦN MINH THUYẾT TP. Hồ Chí Minh - 2006 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn TS. Trần Minh Thuyết, người đã tận tâm hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn. Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc khoa Toán –Tin trường Đại học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa Học Tự Nhiên và phòng sau Đại học đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá trình học tập. Xin trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Thành Long, Th.S Võ Giang Giai, Cử nhân Phạm Thanh Sơn đã đọc luận văn và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích. Xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Cao học Giải tích khoá 13, đã động viên và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua. Vì kiến thức của học viên còn nhiều hạn chế nên trong luận văn có thể có những thiếu sót. Kính mong quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp giúp đỡ. Nguyễn Minh Khải 1 Chương Mở đầu Chương MỞ ĐẦU Vào năm 1919, Gronwall [6] đã phát biểu và chứng minh kết quả sau: Nếu :[ , ]uhR α α +→ liên tục, thỏa 0()[ ()], [, ], α αα ≤≤+ ∀∈ + ∫ t ut a bus ds t h thì () , [ , ] αα ≤∀∈+ bh u t ahe t h , trong đó, các hằng số thực ,, 0abh≥ và 0 α > là cho trước. Đây là kết quả đầu tiên để nghiên cứu nhiều bất đẳng thức tích phân dạng Volterra. Dạng bất đẳng thức nầy là công cụ cần thiết trong việc đánh giá tường minh cho các ẩn hàm. Từ khi bất đẳng thức nầy xuất hiện, nó đã được quan tâm nghiên cứu ở nhiều khía cạnh khác nhau. Trong số nhiều kết quả thuộc chủ đề nầy, bất đẳng thức Bellman [2] quen thuộc sau: Giả sử () x t và ()kt là các hàm liên tục không âm với α ≥t . Nếu a là một hằng số, 0≥a ,và 0 () ()() , , α α ≤≤+ ∀≥ ∫ t xt a ksusds t thì () exp () , . α α ⎛⎞ ≤∀≥ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ t xt a ksds t Dễ thấy rằng kết quả của Bellman tổng quát hơn kết quả của Gronwall. Vì lí do nầy mà tại sao các bất đẳng thức thuộc loại nầy được gọi là “bất đẳng thức Gronwall - Bellman” hay “bất đẳng thức Gronwall”. Các bất đẳng thức thuộc loại Gronwall cung cấp một công cụ cần thiết để nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân, phương trình và bất phương trình tích phân các loại (xem Gronwall [6]). Một số ứng dụng của kết quả nầy để nghiên cứu tính ổn đònh nghiệm của các 2 Chương Mở đầu phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến có thể tìm thấy trong Bellman [2]. Một số ứng dụng vào lý thuyết tồn tại và duy nhất của phương trình vi phân có thể tìm thấy trong Bihari [3]. Trong thời gian qua nhiều tác giả đã thiết lập nhiều bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall theo hai hay nhiều biến độc lập (xem [4.5]). Dó nhiên, các kết quả như vậy còn có thể áp dụng vào việc nghiên cứu lý thuyết các phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình tích phân Volterra. Hầu hết các vấn đề trình bày trong luận văn nầy là các kiến thức đã được biết hay đã được nghiên cứu nên nội dung luận văn không có gì mới. Tuy nhiên các kiến thức và kết quả trình bày trong luận văn được hệ thống lại một cách cơ bản. Hơn nữa các chứng minh trong luận văn được trình bày chi tiết hơn và có những giải thích rõ ràng mà trong các tài liệu khác không chứng minh hoặc bỏ qua. Luận văn nầy ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 4 chương. Chương 1 các kiến thức chuẩn bò. Chương 2 chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall cho hàm theo hai biến độc lập, mà những tích phân nầy đều tồn tại trên miền xác đònh của chúng. Trong chương 3 chúng tôi giới thiệu một số dạng bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall liên quan đến tích phân lặp mà hàm u trong bất đẳng thức Gronwall được thay thế bởi hàm p u , và hằng số a được thay thế bởi hàm a không âm, không giảm. Tùy theo giá trò p thay đổi mà chúng tôi thu được các kết quả đánh giá đòa phương hay toàn cục, bằng các phương pháp xử lý khác nhau. 3 Chương Mở đầu Trong chương 4 chúng tôi giới thiệu một số bất đẳng thức tích phân khác đối với hàm cho hàm theo hai biến độc lập. Sau cùng, chúng tôi xét một số ví dụ áp dụng các bất đẳng thức tích phân ở trên để đánh giá tính bò chận và chứng minh sự duy nhất nghiệm của một bài toán biên. 4 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương nầy chúng tôi trình bày và chứng minh một số bổ đề sẽ được áp dụng trong các chương sau. Bổ đề 1.1 (Gronwall) Nếu :[ , ]uhR α α +→ liên tục, thỏa 0()[ ()], [, ], α αα ≤≤+ ∀∈ + ∫ t ut a bus ds t h thì () , [ , ], , , 0. αα ≤∀∈+ ≥ bh ut ahe t h a b h Chứng minh Đặt () () () , . α α =+ ∀≥ ∫ t vt a bus ds t Khi đó () 0,0 () (). α =≤≤vutvt Hay () () () ′ =+ ≤+vt abut abvt () () ′ −≤vt bvt a () () () () () . −− − ′ ′ =−≤ bt bt bt vte e v t bvt ae Tích phân trên [,] α t , ta được () () α α −− −− ≤=− ∫ t bt bs b bt a vte a e ds e e b () () () () 1, [ , ]. α αα − ≤≤ − ∀∈ + bt a ut vt e t h b Mặt khác, do đònh lý Lagrange, ta có (0,1) θ ∈ sao cho () ( ) 1( ) , αθαα α −+− −= − bt b h ebte () () . θα α αα +− ≤+− ≤ bh bh b h e bhe Vậy bổ đề 1.1 được chứng minh. 5 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò Bổ đề 1.2 ( Bellman) Nếu ,:[, ) [0, )uk α +∞ → +∞ liên tục, thỏa () ()() , , 0, α α ≤+ ∀≥ ≥ ∫ t ut a ksusds t a thì () () e , . α α ∫ ≤∀≥ t ksds ut a t Chứng minh Đặt () ()() 0, . α α =+ > ∀≥ ∫ t vt a ksusds t Ta có () , () (), α =≤vautvt () () () ()(). ′ =≤v t ktut ktvt Do đó () ()() 0. ′ − ≤vt ktvt Suy ra () () () () () ()() 0. αα −− ′ ⎛⎞ ∫∫ ⎜⎟ ′ =−≤ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ tt ksds ksds evte vtktvt Tích phân hai vế trên [,] α t , ta được () () ( ) 0, α α α − ∫ −≤∀≥ t ksds evtv t () () () ( ) , . αα α α ∫∫ ≤=∀≥ tt ksds ksds vt v e ae t Hay () () () , . α α ∫ ≤≤ ∀≥ t ksds ut vt ae t Vậy bổ đề 1.2 được chứng minh. 6 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò Bổ đề 1.3 Cho ()bt là hàm liên tục, () f t là hàm khả tích, ()vt là hàm khả vi trên [, ) α ∞ thỏa 0 () ()() (), , () . α α ′ ≤+ ∀≥ ⎧ ⎨ ≤ ⎩ vt btvt ft t vv Khi đó 0 () exp () ()exp () , . αα τ τα ⎛⎞ ⎛ ⎞ ≤+ ∀≥ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ∫∫∫ ttt s vt v bsds f s b d ds t Chứng minh Nhân hai vế bất đẳng thức () ()() () ′ ≤ +vt btvt ft bởi exp ( ) α τ τ ⎛⎞ − ⎜⎟ ⎝⎠ ∫ t bd , ta được ()exp ( ) ()()exp () ()exp () , ααα τ τττττ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ′ −− −≤ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ∫∫∫ ttt vt bd btvt bd ft bd hay ()exp ( ) ()exp () . αα τ τττ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ −≤− ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ∫∫ tt d vt bd ft bd dt Lấy tích phân hai vế từ α đến t , ta được ()exp () ( ) ()exp () . ααα ττ α ττ ⎛⎞ ⎛⎞ −−≤ − ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∫∫∫ tts vt b d v f s b d ds Do đó ()()exp() ()exp ()exp() αα α α αττ ττ ττ ⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞ ≤+− ⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠ ∫∫ ∫ ∫ tt s t vt v b d f s b d b d ds () ( )exp () ()exp () () α αα α αττ ττττ ⎛⎞ ⎛ ⎞ ≤++ ⎜⎟ ⎜ ⎟ ⎝⎠ ⎝ ⎠ ∫∫∫∫ tt t s vt v b d f s b d b d ds 0 () exp () ()exp () , . αα τ τττα ⎛⎞ ⎛⎞ ≤+ ∀≥ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∫∫∫ ttt s vt v b d f s b d ds t Vậy bổ đề 1.3 được chứng minh. 7 Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò Bổ đề 1.4 Cho (, ), (, ), (, )uxy axy bxy là những hàm liên tục không âm với mọi , x yR + ∈ . (i) Giả sử (, )axy là hàm không giảm theo x , không tăng theo ,y với mọi , x yR + ∈ . Nếu 0 (, ) (, ) (,)(,) , , , ∞ + ≤+ ∀∈ ∫∫ x y u x y a x y b s t u s t dtds x y R thì 0 (, ) (, )exp (,) , , . ∞ + ⎛⎞ ≤∀∈ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫ x y uxy axy bstdtds xy R (ii) Giả sử (, )axy là hàm không tăng với mọi , x yR + ∈ . Nếu (, ) (, ) (,)(,) , , , ∞∞ + ≤+ ∀∈ ∫∫ xy u x y a x y b s t u s t dtds x y R thì (, ) (, )exp (,) , , . ∞∞ + ⎛⎞ ≤∀∈ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ∫∫ xy uxy axy bstdtds xy R Chứng minh i. Đặt (, ) (, ) 0, 0. ε ε ε =+>>axy axy Ta có 0 (, ) (, ) (,)(,) , , . ε ∞ + ≤+ ∈ ∫∫ x y u x y a x y b s t u s t dtds x y R Chia hai vế cho (, ) ε axy ta được, 0 (, ) 1 1(,) (,) (, ) (, ) εε ∞ ≤+ ∫∫ x y uxy b s t u s t dtds axy axy 0 1 1(,) (,). (,) ε ∞ ≤+ ∫∫ x y b s t u s t dtds ast [...]... ⎠ Vậy (ii) được chứng minh Bổ đề 1.4 được chứng minh Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò 11 Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO HÀM HAI BIẾN Trong phần nầy chúng tôi thuyết lập một số bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall cho hàm hai biến độc lập, mà những tích phân nầy đều tồn tại trên miền xác đònh của chúng Bổ đề 2.1 Cho u (t ), k (t ), b(t ) là hàm liên tục, a(t ) là hàm khả tích, b(t ), k (t... ⎝x y ⎠ Sử dụng (2.47) vào (2.49), ta được u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) {a ( x , y ) + f ( x, y ) φ [ e( x , y ) ∞∞ × exp( ∫ ∫ M (s, t , p(s, t )a(s, t ))φ −1 ( p( s, t ) f ( s, t ))dtds )]}, x y Đònh lý 2.4 được chứng minh Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến ∀x, y ≥ 0 25 Chương 3 MỘT SỐ DẠNG BẤT ĐẲNG THỨC GRONWALL Trong phần nầy chúng tôi xét các bất đẳng thức tích phân phi tuyến với số hạng... ta được − ∞ rx ( x, y ) ≤ ∫ d ( x, t )W ( p ( x, t ) f ( x, t ) ) dt W ( H ( r ( x, y ) ) ) y Tích phân (2.26) và từ (2.19), ta được Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến (2.26) 19 ∞ −Gx ( x, y ) ≤ ∫ d ( x, t ) W ( p ( x, t ) f ( x, t ) ) dt (2.27) y Đặt x = s trong (2.27), sau đó lấy tích phân theo s từ x đến ∞ , ta được ∞∞ G ( r ( x, y ) ) ≤ G ( r (∞, y ) ) + ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s,... Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến (2.17) (2.18) 17 r ds , W ( H ( s) ) 0 G (r ) = ∫ (2.19) r > 0, G −1 là hàm ngược của G và với mọi x, y ≥ 0, ∞∞ ( ) G (C ) + ∫ ∫ d ( s, t )W p( s, t ) f ( s, t ) dtds thuộc miền xác đònh của G −1 x y Chú thích Hàm G xác đònh bởi (2.19) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0, +∞) , do đó tồn tại hàm ngược G −1 xác đònh trên một khoảng tương ứng Chứng minh... ( s, t ) W ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds thuộc miền xác đònh của G −1 0 y Chú thích Hàm G xác đònh bởi (2.5) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0, +∞) , do đó tồn tại hàm ngược G −1 xác đònh trên một khoảng tương ứng Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến 14 Chứng minh ⎛x∞ ⎞ Đặt z ( x, y ) = a ( x, y ) + f ( x, y ) H ⎜ ∫ ∫ d ( s, t )W ( u ( s, t ) ) dtds ⎟ ⎜ ⎟ ⎝0 y ⎠ (2.6) Từ (2.1), ta... không giảm theo x ∈ R+ , ta được Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến 21 u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) p ( x, y ) , (2.36) với p ( x, y ) là hàm xác đònh bởi (2.32) Ta suy từ (2.34), (2.36), rằng u ( x, y ) ≤ p( x, y ) ( a( x, y ) + f ( x, y )φ ( v( x, y ) ) ) , và (2.37) x∞ v( x, y ) = ∫ ∫ L ( s, t , u ( s, t ) ) dtds 0 y Từ (2.37) và giả thiết về hàm L và hàm φ , ta được x∞ {( v ( x, y ) ≤ ∫... dtds x y Chứng minh Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến (2.42) (2.43) 23 Đặt ⎛∞∞ ⎞ z ( x, y ) = a ( x, y ) + f ( x, y )φ ⎜ ∫ ∫ L ( s, t , u ( s, t ) ) dtds ⎟ ⎜ ⎟ ⎝x y ⎠ (2.44) Từ (2.40), ta được x u ( x, y ) ≤ z ( x, y ) + b( x, y ) ∫ c( s, y )u ( s, y ) ds (2.45) α Ta có z ( x, y ) là hàm liên tục không âm theo x ∈ R+ Cố đònh y ∈ R+ trong (2.45) và sử dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.45),... được chứng minh Bổ đề 2.1 được chứng minh Đònh lý 2.1 Cho u ( x, y ), a ( x, y ), b( x, y ), c( x, y ), d ( x, y ), f ( x, y ) là hàm thực liên tục không âm trên x ≥ 0, y ≥ 0 Cho H ( x) là hàm thực dương, liên tục, không giảm trên x ≥ 0, W ( x) là hàm thực dương, liên tục, tăng và thỏa điều kiện ⎧W ( x + y ) ≤ W ( x) + W ( y ), ⎨ ⎩W ( x y ) ≤ W ( x)W ( y ), ∀x, y ∈ R+ Chương 2 Bất đẳng thức tích phân. .. t ) f ( s, t ) ) dtds ⎥ ⎢ ⎥ 0 y ⎣ ⎦ −1 Từ (2.9) và v( x, y ) ≤ r ( x, y ) và (2.14), ta được Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến (2.14) 16 { u ( x, y ) ≤ p ( x, y ) a ( x, y ) + f ( x, y ) H ⎡G −1 ( G (C ) ⎣ x∞ } + ∫ ∫ d ( s, t ) W ( p ( s, t ) f ( s, t ) ) dtds ) ⎤ , ⎦ ∀x ≥ α ≥ 0, ∀y ≥ 0 0 y Đònh lý 2.1 được chứng minh Đònh lý 2.2 Cho u ( x, y ), a ( x, y ), b( x, y ), c( x, y ), d (... s, t )a( s, t ) ) dt ds 0 0 Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến 15 x∞ + ∫ ∫ d ( s, t )W ( p ( s, t ) f ( s, t ) )W ( H ( v( s, t ) ) ) dtds (2.10) 0 y Đặt r ( x, y ) là vế phải của (2.10), khi đó ∞∞ r (0, y ) = r ( x, ∞) = ∫ ∫ d ( s, t )W ( p( s, t )a( s, t ) ) dt ds = C 0 0 Từ (2.10) và r ( x, y ) là hàm không tăng theo y ≥ 0, v( x, y ) ≤ r ( x, y ) và ∞ rx ( x, y ) = ∫ d ( x, t )W ( p( . PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH KHẢI BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC TP. HỒ CHÍ MINH - 2006 BỘ GIÁO. TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN : TS. TRẦN MINH THUYẾT TP. Hồ Chí Minh - 2006 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn TS. Trần Minh Thuyết, người đã tận tâm hướng dẫn,. TP. HỒ CHÍ MINH - 2006 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NGUYỄN MINH KHẢI BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành :