Chuyờn tớch phõn & ng dng Vn Hong 1 1. Bng nguyờn hm ca cỏc hm s. 2. Cỏc phng phỏp tớnh tớch phõn: a) Phng phỏp i bin s: * Loi 1: Dng: 2 2 a x dx , 2 2 dx a x t x = asint. Dng: 2 2 dx x a t x = atant, 2 2 ( ) dx ax b c t tan ax b c t * Loi 2: ( ( )) '( ) . b a f u x u x dx t t = u(x). + Nhiu khi phi bin i mi xut hin u(x)dx. + Ta cng cú th bin i: ( ( )) '( ) ( ( )) ( ( )) b b a a f u x u x dx f u x d u x b) Phng phỏp tớch phõn tng phn: Dng: ( )sin , b a P x xdx ( )cos , b a P x xdx ( ) , b x a P x e dx t u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = e x dx). Dng: 2 2 , , cos sin b b a a x x dx dx x x t u = x, dv = 2 cos dx x hoc dv = 2 sin dx x . 3. Mt s tớch phõn thng gp: a) Tớch phõn hu t: ( ) ( ) b a P x dx Q x P(x), Q(x) l cỏc a thc. + Nu bc P(x) bc Q(x) chia P(x) cho Q(x). + Nu bc ca P(x) < bc Q(x) dựng phng phỏp i bin hoc phng phỏp h s bt nh. b) Tớch phõn cha cỏc hm s lng giỏc. + Nm vng cỏc cụng thc bin i. c) Tớch phõn hi quy: Dng sin , b x a e xdx cos . b x a e xdx t u = sinx (u = cosx), dv = e x dx. Tớch phõn tng phn 2 ln. Dng: sin(ln ) , cos(ln ) . b b a a x dx x dx t u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tớch phõn tng phn 2 ln. d) Tớch phõn hm s chn, l: Nu y = f(x) liờn tc trờn on [-a; a] v: + y = f(x) chn thỡ 0 ( ) 2 ( ) a a a f x dx f x dx . + y = f(x) l thỡ: ( ) 0 a a f x dx . e) Tớch phõn dng ( ) 1 x f x dx a trong ú f(x) l hm s chn. Cỏch gii: Tỏch thnh 2 tớch phõn : 0 0 ( ) ( ) ( ) 1 1 1 x x x f x f x f x dx dx dx a a a Xột tớch phõn 0 ( ) 1 x f x dx a i bin s x = -t. Kt qu ta c 0 ( ) ( ) 1 x f x dx f x dx a . f) Tớch phõn dng: 0 0 ( ) ( ) a a f a x dx f x dx trong ú f(x) l hm s liờn tc trờn [0; a]. i bin x = a - t. Bi 1: Tớnh tớch phõn 1 3 2 0 1 x I dx x . HD: t t = x 2 + 1 hay x = tant. S I =1/2(1-ln2). Bi 2: Tớnh tớch phõn ln3 3 0 ( 1) x x e I dx e HD: t t = mu a v dng b a u du . S 2 1 I Bi 3: Tớnh tớch phõn 0 2 3 1 ( 1 ) x I x e x dx HD Tỏch thnh 2 tớch phõn. S I=3/4e -2 - 4/7 Bi 4: Tớnh tớch phõn 2 6 3 5 0 1 cos .sin .cos I x x dx HD: t = 6 3 1 cos x cos 3 x = 1- t 6 . S I =12/91 Bi 5: Tớnh tớch phõn 2 3 2 5 1 . 4 I dx x x HD: nhõn t v mu vi x ri t 2 4 t x . S I=1/4.ln5/3 Bi 6: Tớnh tớch phõn 4 0 1 cos2 x I dx x HD:a v dng tớch phõn tng phn. S I = /8-1/4.ln2 Bi 7: Tớnh tớch phõn 1 3 2 0 1 I x x dx ; 1 2 2 0 1 J x x dx Bi 8: Tớnh tớch phõn 3 2 4 cos . 1 cos tgx I dx x x HD: Bin i v dng 3 2 2 4 tg cos . tg 1 x I dx x x .t 2 1 tgt x Bi 9 :Tớnh tớch phõn : 2 1 1 1 x I dx x (i hc khi A 2004) t 2 2 1 1 1 2t x t x x t dx tdt 1 0; 2 1x t x t 1 1 1 2 3 2 0 0 0 1 3 2 0 1 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 11 2 2 2 ln 1 2 2 2 ln 2 4ln2 3 2 3 2 3 t t t I tdt dt t t dt t t t t t t t Bi 10:Tớnh tớch phõn : 2 0 sin 2 sin 1 3cos x x I dx x (i hc khi A 2005) 2 2 1 2 2 0 0 2 2 2 3 1 ẹaởt 1 3cos 1 3cos 2 3sin 2 sin . caọn : 0 2; 1 3 2 1 2 2 1 2cos 1 sin 3 3 2sin cos sin 1 3cos 1 3cos 2 2 1 2 2 3 3 3 9 3 t x t x tdt xdx tdt xdx ẹoồi x t x t t tdt x xdx x x x I dx t x x t t t 2 1 2 16 2 2 1 34 3 9 3 9 3 27 Bi 11 : Tớnh tớch phõn : 2 2 2 0 sin2 cos 4sin x I dx x x (i hc khi A 2006) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 ẹaởt cos 4sin 1 3sin 2 6sin cos 2 3sin2 sin2 .ẹoồi caọn : 0 1; 2 3 2 2 2 2 4 2 2 3 3 3 3 3 3 t x x t x tdt x xdx tdt xdx xdx x t x t tdt I dt t t Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng 2 d P DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY. 1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x); x = a; x = b có diện tích: S D =   ( ) ( ) b a f x g x dx 2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi quay quanh trục Ox nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : V Ox =   2 ( ) b a f x dx 3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi quay quanh trục Oy nó tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích : V Oy =   2 ( ) b a f y dy Vd 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong   3 1 1 y x x               2 3 3 1 3 3 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 3 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1 1 1 Ta có : , 1;2 , 0 1 1 1 1 1 1 1 1 ' 1 1 3 1 1 1 ln ln 1 3 3 3 1 1 1 1 ln2 ln9 ln2 . 3 3 S dx x x x x x x x dx x S dx dx x x x x x x x x dx dx x x x x x x                                                                                 4 1 ln2 ln9 3 3 S đvdt  Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : x + y = 0 và x 2 – 2x + y = 0 2 2 2 Diện tích cần tìm giới hạn bởi 2 đường : , 2 Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là : 2 3 0 0 3 y x y x x x x x x x x x                 3 3 2 2 2 0 0 2 3 0;3 , 3 0Vậy S x x xdx x xdx x x x                     3 3 2 3 2 0 0 3 27 9 nên 3 9 2 3 2 2 x x S x x dx đvdt               Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = (e + 1)x, y = (1 + e x )x (Đại học khối A – 2007)                   1 1 0 0 1 0 Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : 1 1 0 0 0 1 1 1 ; 0;1 , ta luôn có 0, vậy x x x x x x x x e x e x x x x e e x e e S e x e xdx x e e dx x x e e S x e e dx u x du dx Đặt dv e e dx                                                              1 1 2 1 0 0 0 1 1 2 2 2 x x x x x v e e dx ex e ex e e S x ex e ex e dx e e đvdt                                                Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = 3x 2 và đường thẳng (d) qua M(1;5) có hệ số góc là k. Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P) và (d) có diện tích nhỏ nhất.                       2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 1 5 3 5 2 5 5 2 2 5 2 5 2 5 . 5 3 2 3 9 3 3 3.18 B B A A x x x x B A B B A A B A B A B A B A B A A A B B kx S k x x dx k x x kx kx k x x k x x k x x k x x x x k x x x x k x x x x k k k k k k                                                                                                2 2 2 3 3 2 2 min 90 18 2 6 5 12 60 54 1 1 12 60 6 24 Vậy S 6 54 54 k k k k k k k k k                            Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường : y = x 2 , trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M có hồnh độ bằng 3.           2 2 tiếp tuyến tại điểm M là : ' 9 2.3 3 6 9 0 tích cần tìm giới hạn bởi 2 đường : 9 6 9 6 9 pt tung độ giao điểm của 2 đường là 9 36 6 M M M pt y y y x x x y x y x y x x y x Diện y y x x y y y y y                                 9 2 0 9 9 3 2 0 0 18 81 9 9 18 81 0 9. 0;9 : 0 6 6 2 9 9 27 27 9 Vậy : 18 6 12 6 3 4 2 4 y y y y y y S y dy y y y y y y S y dy đvdt                                               Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục Ox và đường   sin 0y x x x       2 2 0 0 0 0 Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : x sin 0 sin 0 sin sin Ox x x x x x V x x dx x xdx                        2 3 0 0 0 0 1 cos2 cos2 2 2 2 4 2 4 2 x x x dx xdx x xdx I I                               3 0 0 0 1 cos2 sin2 2 1 1 sin2 sin 2 0 cos2 0 2 2 4 4 Ox du dx u x Đặt dv xdx v x x I x xdx x V đvtt                                        Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx , y = 0 , x = e. Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox (Đại học khối B – 2007)   2 2 2 1 1 1 2 3 2 2 1 3 2 2 1 1 0 ( ) Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : ln 0 ln 0 1 ln ln 2ln ln 2 ln ln 3 3 3 e e Ox e e x loại x x x x Vậy V x x dx x xdx I x du dx u x x e x Đặt I x x xdx x dv x dx v x dx                                               3 2 2 3 3 I     3 2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 1 1 1 3 3 3 ' ln ' ; ' ' 3 1 1 2 1 ln 3 3 3 9 3 9 9 9 5 2 2 2 1 . 3 3 9 27 e e e Ox dx x Đặt u x du dv x dx v x dx x x e x e e e I x x dx e e e V đvtt                                                    2 2 2 có pt đt (d) : 5 1 5 hoành độ giao điểm của (P) và (d) : 3 5 3 5 0 6 12 60 0, ( ) luôn cắt (P) ở A và B. 6 A B Ta y k x y kx k Pt x kx k x kx k k x k k k d k x                               Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 3 2005 Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2005 2 0 sin 2 sin 1 3cos      x x I dx x KQ: 34 27 Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2005 2 0 sin 2 cos 1 cos     x x I dx x KQ: 2ln 2 1 Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2005   2 sin 0 cos cos     x I e x xdx KQ: 1 4   e Bài 4. Tham khảo 2005 7 3 0 2 1     x I dx x KQ: 141 10 Bài 5. Tham khảo 2005 3 2 0 sin    I xtgxdx KQ: 3 ln2 8  Bài 6. Tham khảo 2005   4 sin 0 .cos     x I tgx e x dx KQ: 1 2 ln 2 1 e Bài 7. Tham khảo 2005 2 1 ln  e I x xdx KQ: 3 2 1 9 9 e Bài 8. CĐ Khối A, B – 2005 1 3 2 0 . 3   I x x dx KQ: 6 3 8 5  Bài 9. CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005 3 1 3 3 1 3        x I dx x x KQ: 6ln3 8 Bài 10. CĐ GTVT – 2005 1 5 2 0 1   I x x dx KQ: 8 105 Bài 11. CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005 2 3 0 sin5    x I e xdx KQ: 3 2 3. 5 34  e Bài 12. CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005 3 3 5 0 1.   I x x dx KQ: 848 105 Bài 13. CĐ Truyền Hình Khối A – 2005 2 4 0 1 2sin 1 sin 2      x I dx x KQ: 1 ln 2 2 Bài 14. CĐSP Tp.HCM – 2005 0 2 1 2 4      dx I x x KQ: 3 18  Bài 15. CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005 2 1 ln   e x I dx x KQ: 2 1 e Bài 16. CĐSP Vĩnh Long – 2005 7 3 3 0 1 3 1     x I dx x KQ: 46 15 Bài 17. CĐ Bến Tre – 2005 2 0 cos3 sin 1     x I dx x KQ: 2 3ln 2 Bài 18. CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005 2 3 2 2 2 2 0 0 sin sin ; sin 2 cos sin 2cos .cos 2        xdx x xdx I J x x x x x KQ: ln 2 3 3 4     I J Bài 19. CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005 1 ln  e I x xdx KQ: 2 1 4 e Bài 20. CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005 2 4 0 sin    I x xdx KQ: 2 4 2   Bài 21. CĐSP Hà Nội – 2005 2 3 2 2 0 2 4 9 4       x x x I dx x KQ: 6 8   Bài 22. CĐ Tài Chính – 2005   1 3 0 1    xdx I x KQ: 1 8 Bài 23. CĐSP Vĩnh Phúc – 2005 2 1 1 ln    e dx I x x KQ: 6  Bài 24. CĐSP Hà Nội – 2005 2004 2 2004 2004 0 sin sin cos     x I dx x x KQ: 4  Bài 25. CĐSP KonTum – 2005 3 2 0 4sin 1 cos     x I dx x KQ: 2 2006 Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2006 2 2 2 0 sin 2 cos 4sin     x I dx x x KQ: 2 3 Bài 2. Tham khảo 2006 6 2 2 1 4 1      dx I x x KQ: 3 1 ln 2 12  Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2006   1 2 0 2   x I x e dx KQ: 2 5 3 2  e Bài 4. Tham khảo 2006   2 0 1 sin2     I x xdx KQ: 1 4   Bài 5. Tham khảo 2006   2 1 2 ln   I x xdx KQ: 5 ln4 4  Bài 6. ĐH, CĐ Khối B – 2006 ln5 ln3 2 3      x x dx I e e KQ: 3 ln 2 Bài 7. Tham khảo 2006 10 5 2 1     dx I x x KQ: 2ln 2 1 Bài 8. Tham khảo 2006 1 3 2ln 1 2ln     e x I dx x x KQ: 10 11 2 3 3  Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 4 Bài 9. CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006   1 2 0 ln 1   I x x dx (Đổi biến 2 1 t x , từng phần)KQ: 1 ln2 2  Bài 10. CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006   2 2 1 ln 1   x I dx x KQ: 3 3ln 2 ln3 2  Bài 11. CĐ Nông Lâm – 2006 1 2 0 1   I x x dx KQ: 2 2 1 3  Bài 12. ĐH Hải Phòng – 2006 1 2 0 1    x I dx x KQ: 1 ln 2 2 Bài 13. CĐ Y Tế – 2006 2 4 sin cos 1 sin 2       x x I dx x KQ: ln 2 Bài 14. CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006   3 2 0 ln 5   I x x dx KQ:   1 14ln14 5ln5 9 2   Bài 15. CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006   2 3 0 cos2 sin cos 3      x I dx x x KQ: 1 32 Bài 16. Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006   4 0 1 cos     I x xdx KQ: 2 1 8   Bài 17. CĐ KTKT Đông Du – 2006 4 0 cos2 1 2sin 2     x I dx x KQ: 1 ln3 4 Bài 18. CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006 ln 2 2 0 2    x x e I dx e KQ: 8 2 3 3  Bài 19. CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006 3 2 0 4sin 1 cos     x I dx x KQ: 2 Bài 20. CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006 4 2 0 cos    x I dx x KQ: 2 ln 4 2   Bài 21. CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006 3 1 3 3 1 3        x I dx x x KQ: 6ln3 8 Bài 22. CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006 9 3 1 . 1   I x x dx KQ: 468 7  Bài 23. CĐ Bến Tre – 2006 3 1 1 ln          e x I xdx x KQ: 3 2 11 9 18  e Bài 24. 1 2 3 0 2   I x x dx KQ:   2 3 3 2 2 9  Bài 25.   2 2 0 2 1 cos     I x xdx KQ: 2 1 1 2 4 2           Bài 26.   1 2 3 0 1    x I x e x dx KQ: 2 1 4 14  e Bài 27. CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006 2 0 sin3 2cos3 1     x I dx x KQ: Không tồn tại Bài 28. CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006   1 2 0 ln 1   I x x dx KQ: 1 ln2 2  Bài 29. CĐ Xây dựng số 2 – 2006 2 1 1 5     x x I dx x KQ: 32 10ln3 3  Bài 30. CĐ Xây dựng số 3 – 2006   1 3 0 cos sin   I x x xdx KQ: 5 4 Bài 31. CĐ GTVT III – 2006 2 0 cos 5 2sin     x I dx x KQ: 1 5 ln 2 3     2 0 2 7 ln 1    J x x dx KQ: 24ln3 14 Bài 32. CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006   4 8 0 1     I tg x dx KQ: 76 105 Bài 33. CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006 4 2 3 4 3 3 2      x I dx x x KQ: 18ln 2 7ln3 Bài 34. CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006 3 6 0 sin3 sin 3 1 cos3      x x I dx x KQ: 1 1 ln2 6 3   Bài 35. CĐSP Hưng Yên - Khối D 1 , M– 2006 3 2 1 ln 2 ln   e x x I dx x KQ:   2 3 3 3 3 2 2 8  Bài 36. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006   4 4 4 0 cos sin     I x x dx KQ: 1 2 Bài 37. CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006 4 0 cos2 1 2sin 2     x I dx x KQ: 1 ln3 4 Bài 38. CĐSP Trung Ương – 2006 2 0 sin sin 2    I x xdx KQ: 2 3 Bài 39. CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006   1 2 0 3    x I dx x KQ : 4 1 ln 3 4  Bài 40. CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006 2 2 1 cos    I x xdx KQ: 2 2 4   Bài 41. CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006   2 1 1 ln    e dx I x x KQ: 4  Bài 42. CĐKT Y Tế I – 2006 2 4 sin cos 1 sin2 x x I dx x       KQ: ln 2 Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 5 Bài 43. CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006   3 4 ln sin 2     tgx I dx x KQ: 2 1 ln 3 16 Bài 44. CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006   2 3 2 0 sin 2 1 sin     I x x dx KQ: 15 4 Bài 45. CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006 0 ln   e x I dx x KQ: 4 2 e Bài 46. CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006 1 2 0 1 2 2     I dx x x KQ: 4  Bài 47. CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006 7 3 3 0 2 3 1     x I dx x KQ: 46 15 Bài 48. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006 4 2 0 cos    x I dx x KQ: 2 ln 4 2   Bài 49. CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D 1 – 2006   2 1 4 1 ln   I x xdx KQ: 6ln 2 2 Bài 50. CĐSP Hà Nội Khối D 1 – 2006 3 6 sin .sin 3             dx I x x KQ: 2 ln2 3 . 2007 Bài 1. ĐH, CĐ khối A – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:     1 , 1    x y e x y e x . KQ: 1 2  e Bài 2. ĐH, CĐ khối B – 2007 Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường lny x x , 0, y y e . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. KQ:   3 5 2 27  e Bài 3. ĐH, CĐ khối D – 2007 Tính tích phân 3 2 1 ln  e I x xdx KQ: 4 5 1 32 e Bài 4. Tham khảo khối A – 2007 4 0 2 1 1 2 1     x dx x KQ: 2 ln 2 Bài 5. Tham khảo khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường   2 1 0 à 1     x x y v y x . KQ: 1 ln2 1 4 2    Bài 6. Tham khảo khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường 2 2 à 2  y x v y x . KQ: 1 2 3   Bài 7. Tham khảo khối D – 2007   1 2 0 1 4    x x dx x KQ: 3 1 ln 2 ln3 2   Bài 8. Tham khảo khối D – 2007 2 2 0 cos   x x dx KQ: 2 2 4   Bài 9. CĐSPTW – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương trình 2 2 y x ; ; 1; 0   y x x x . KQ: 7 6 Bài 10. CĐ GTVT – 2007 3 2 0 4cos 1 sin    x dx x KQ: 2 Bài 11. CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007 7 3 0 2 1    x dx x KQ: 231 10 Bài 12. CĐ Khối A – 2007 2007 1 2 1 3 1 1 1         dx x x KQ: 2008 2008 3 2 2008  Bài 13. CĐ Cơ khí luyện kim – 2007   2 1 ln  e x x dx KQ:   3 1 5 2 27 e Bài 14. CĐSP Vĩnh Phúc – 2007   4 2 1 sin   x x dx KQ: 3 2 1 384 32 4     Bài 15. CĐ Khối B – 2007 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y x , 2 cos y x x , 0x ,  x . KQ: 2  Bài 16. CĐ Khối D – 2007 0 2 1    x dx KQ: 1 Bài 17. CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007   3 2 2 1 1  dx x x KQ: 3 1 3 12    Bài 18. CĐ Hàng hải – 2007 3 3 2 1 1  x x dx KQ: 14 3 5 Bài 19. CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007   0 2 1 1     x x e x dx KQ: 2 3 31 4 60  e Bài 20. CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007 1 0  x xe dx KQ: 1 2008 Bài 1. ĐH, CĐ Khối A – 2008 4 6 0 cos2   tg x dx x KQ:   1 10 ln 2 3 2 9 3   Bài 2. ĐH, CĐ Khối B – 2008   4 0 sin 4 sin 2 2 1 sin cos              x dx x x x KQ: 4 3 2 4  Bài 3. ĐH, CĐ Khối D – 2008 2 3 1 ln  x dx x KQ: 3 2ln 2 16  Bài 4. CĐ Khối A, B, D – 2008 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol   2 : 4  P y x x và đường thẳng : d y x .KQ: 9 2 (đvdt) Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 6 Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm Các tính chất của nguyên hàm các bạn có thể đọc trong sách giáo khoa. Chỉ lưu ý tính chất đậm nét quan hệ giữa nguyên hàm và vi phân:   ( ) ( )   d F x F x C Từ đó, bằng các phép biến đổi vi phân, các bạn dễ dàng tìm được nguyên hàm. Xem lại các bài tự luyện và đáp án ở số này để theo dõi các thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian đã lược bớt để cho gọn bài viết). Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm 1.     7 2 2 1 5 .    x x x dx 2. 7 sinx.cos x.  dx 3. ln .  x dx x 1.         7 7 2 2 2 2 1 5 . 5 . 5x x x dx x x d x x          =   8 2 1 5 8 x x C   2. 7 sinx.cos x.dx  = 7 8 8 1 1 ( os x).d(cosx)= d - os x - os x+C 8 8 c c c           3. 2 ln . 1 ln . (ln ) ln 2 x dx x d x x C x      Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm 1. sin3 . os2x.dx  x c 2. 1  dx x x 3. 3 2 . 1  x dx x 1. 1 sin3 . os2x.dx sin5 s nx . 2 x c x i dx         = 1 1 os5x-cosx 2 5 d c               = 1 1 os5x- osx+C 10 2 c c 2.     2 2 1 1 d x dx x x x          2ln 1 2ln 1d x x x x C               3.         2 1 2 3 2 1 3 2 2 3 1 . 1 1 . 1 2 1 2 1 d x x dx x d x x x                    2 2 3 3 1 4 d x            2 2 3 3 1 4 x C   Thí dụ 3: Tìm nguyên hàm 1. sinx  dx 2. 4 cos x  dx 1. 2 2 2 sinx sin . os . os 2 2 2 2 x x d d dx x x x x c tg c                  = 2 ln ln 2 2 2 x d tg x x d tg tg C x tg                        2.   4 2 2 2 cos x cos .cos cos d tgx dx dx x x x      =   2 3 1 1 . ( ) 3 tg x d tgx d tgx tg x            = 3 1 3 tgx tg x C  2. Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân. Nhiều khi các bạn muốn tính tích phân ( ).  b a f x dx mà không thể tìm nguyên hàm của f(x). Có nhiều con đường xử lí, nhưng xin gợi ý một cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x. Thí dụ 1: Tính 1 1 1 2 ln . 1 2           x dx x Đặt t = -x  x = -t  dx = - dt. Đổi cận: x = -1  t = 1 và x = 1  t = -1. 1 1 1 1 1 2 1 2 ln . ln .( ) 1 2 1 2 x t I dx dt x t                        1 1 1 1 1 1 2 1 2 ln . ln . 1 2 1 2 t t dt dt t t                        = 1 1 1 2 ln . 0 1 2 t dt I I t                Thí dụ 2: Tính 2 2 2 . 2 1    x x dx Đặt t = -x  x = -t  dx = - dt. Đổi cận x = -2  t = 2 và x = 2  t = -2 Do đó:     2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 t t t dt t dt I             =   2 2 2 2 2 2 2 1 1 . . 2 . . 1 2 2 1 t t t t t dt t dt              = 2 2 2 2 3 2 2 2 . 1 . 3 2 1 2 t t dt t dt t I          3 2 1 1 8 . . 2 3 3 2 I t    Thí dụ 3: Tính 2 0 sinx. sinx osx    dx c Đặt t = 2 2 x x t dx dt          .Đổi cận: x = 0 à 0 2 2 t v x t        Do đó: 0 2 2 0 0 2 sin .( ) 2 ost. osx. ost sint osx sinx sin os 2 2 t dt c dt c dx I J c c t c t                                       Vì I + J = 2 0 sinx. sinx osx dx c    + 2 0 osx. osx sinx c dx c    = 2 0 1 2 2 4 0 dx x I J          Thí dụ 4: Tính 0 .sinx.sin3x.dx   x Đặt t =  − x  x =  − t  dx = − dt. Đổi cận: x = 0  t =  , x =   t =0 Do đó:       0 .sin .sin3 .( )I t t t dt           =   0 .sin .sin3 .t t t dt     = 0 0 sin .sin3 . .sin .sin3 .t t dt t t t dt      =   0 os2t-cos4t 2 c dt I       0 1 1 os2t-cos4t . sin2 sin 4 0 4 4 2 4 0 I c dt t t                 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây. 1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)  Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì ( ) ( ) ( ) ( )    b b a a f x dx F x F b F a  Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt buộc phải có để được sử dụng định lý. Nhiều bạn cứ tưởng có được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết : 3 3 4 4 2 0 0 tan 1 cos        dx I x x (?). Lưu ý : 2 1 ( ) cos f x x không xác định tại 3 0; 2 4           x nên I không tồn tại. Thí dụ 1 : Tính 7 3 3 0 ( 1) 3 1     x dx I x (ĐH Ngoại ngữ HN-1999) 7 7 2 1 3 3 3 3 3 0 0 1 [(3x 1) 2]dx 1 [(3x 1) 2(3 1) ]d(3x 1) 3 9 3 1 I x x             7 5 2 3 3 3 0 1 3 46 (3 1) 3(3 1) 9 5 15 x x            Thí dụ 2 : Tính 1 2 2 0 ( 3 2)     dx I x x (ĐH Ngoại thương HN-1999) Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 7 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ( 1) ( 2) dx dx I dx dx x x x x x x                             1 1 1 0 1 2 3 ( 1) ( 2) 2ln 2ln 2 3 4 x x x x                   . Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối. Thí dụ 3 : Tính 3 2 1 2 .     I x x x dx 3 0 2 3 2 2 2 2 1 1 0 2 2 . 2 . 2 . 2 .I x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx                     0 2 3 2 2 2 1 0 2 4 3 4 3 4 3 2 . 2 . 2 . 0 2 3 2 2 2 4 4 3 4 3 4 3 1 0 2 x x x dx x x x dx x x x dx x x x x x x                                       2. Phương pháp biến đổi số : Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì ( ) b ( ) [u(x)].u'(x)dx ( )   u b a u a f f t dt Thí dụ 4 : Tính 4 2 7 9    dx I x x (Học viện KTQS - 1999) Đặt 1 t x   1 x t   2 dx dt t   . Đổi cận : 7x   1 7 t  ; x = 4  1 4 t  . Do đó : 1 1 1 7 4 7 2 2 2 1 1 1 4 4 7 1 (3 ) 1 1 7 1 7 ln (3 ) 1 3 ln ln 3 3 3 2 6 4 9 1 (3 ) 1 dt d t I t t t t                 Thí dụ 5 : Tính 1 4 1 1 2     x x dx I (Đề Học viện BCVT - 1999) Đặt t = x  x = t  dx = dt. Đổi cận : x = 1  t = 1 ; x = 1  t = 1 ta có : 1 1 1 1 4 4 4 1 4 5 4 1 1 1 1 1 ( ) .( ) 2 . 1 2 5 5 1 2 1 2 1 2 t t t t dt t dt t dt I t dt t I I                        1 5 I  . Chú ý : - Để tính ( )  b a f x dx không nhất thiết phải tìm nguyên hàm F(x) của f(x). - Cách tích phân dạng ( ) 1      x g x dx a với a > 0 và g(x) là hàm số chẵn, đều làm như trên. Thí dụ 6 : Tính 1 1 2 ln 2     x dx x Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó : -1 1 -1 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 2-x 2+t 2+t 2-t 2-t I= ln dx= ln (-dt)= ln dt= ln dt=- ln dt=-I. 2+x 2-t 2-t 2+t 2+t                   I = 0. Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ luôn bằng 0. + Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số : ( ) ( ) ( )     b b b a a a f x dx f u du f t dt = Thí dụ 7 : Tính 0 1 sinx    x dx Đổi biến số u = x x u       . Ta có : 0 ; 0.x u x u         Mặt khác : dx = -du.     0 0 0 0 1 ( ) 1 sinx 1 sinu 1 s inu 1 sin x u I dx u du du du u                       2 2 0 0 1 1 2 2 2 4 u os sin os 2 4 2 2 u u d I d I u u c c                                        Do đó : I = 2 2 4 0 u tg              . Chú ý : Nếu gặp tích phân ( )  b a f x dx mà tính mãi không được, các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x. Các thí dụ trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng. Thí dụ 8 : Cminh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có : 0 ( ) ( )     a T T a f x dx f x dx Ta có ( ) ( ) ( ) a T T a T a a T f x dx f x dx f x dx        (*). Xét ( ) a T T J f x dx    , đặt u = x - T  x = u + T  dx = du.Đổi cận : x = T  u = 0 ; x = a + T  u = a, do đó : 0 0 0 ( ). ( ) ( ) a a a J f u T du f u du f x dx       .Thay vào (*) ta có đpcm. Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của hàm số tuần hoàn. Thí dụ 9 : Tính 2007 0 sinx   dx Chứng minh dễ dàng hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là  . Do đó : 2007 2 2007 0 0 2006 sinx sinx sinx s inxdx dx dx dx               0 0 2007 sinx 2007 sinx. 2007 osx 5014 0 dx dx c           3. Sử dụng công thức tích phân từng phần : Ta có : .    b b b a a a udv u v vdu Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến : Thí dụ 10 : Tính 2 0 sin    I xdx (Đề ĐH Đà Lạt - 1999) Đặt t x  2 x t  dx = 2tdt. Đổi cận x = 0  t = 0 ; 2 x    t =  nên : 0 0 0 0 2 sin 2 . (cos ) 2 cos cosI t tdt t d t t t tdt                      = 0 2 sin 2t            Thí dụ 11 : Tính I = 1 5 0 . .  x x e dx Giải : Xét 1 0 . . n x n I x e dx  . Đặt 1 ; n n x x u x du nu dv e dx v e        . Theo công thức tích phân từng phần ta có : 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 . . . 0 0 n x n x n x n n I x e dx udv uv vdu x e n x e dx e nI               với mọi n nguyên và n >1.Ta có : 1 1 1 0 0 1 1 . . 1 0 0 x x x x I x e dx xe e dx e e        . 2 1 3 2 4 3 5 4 2 2; 3 3( 2) 6 2 ; 4 4(6 2 ) 9 24; 5 5(9 24) 120 44 I e I e I e I e e e I e I e e e I I e I e e e                           Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho n = 2;3;4;5. Chuyờn tớch phõn & ng dng H Vn Hong 8 CC BI TON CHN LC 1. Tớnh tớch phõn : 2 3 2 5 4 dx I x x (A 2003) 2 2 2 2 3 4 4 4 2 2 2 3 3 3 5 4 4 4 3 3 3 4 4 2 2 ẹoồi caọn : 5 3; 2 3 4 2 2 1 4 2 2 2 2 4 4 1 1 1 1 1 2 ln 2 ln 2 ln 4 2 2 4 4 2 1 1 1 ln ln 4 3 5 ẹaởt t x t x tdt xdx tdt xdx x t x t t t xdx tdt dt I dt t t t t t t x x t dt t t t t t 1 5 ln 4 3 2. Tớnh tớch phõn : 1 3 2 0 1 I x x dx (D b 2A 2003) 2 2 2 2 2 1 1 0 1 3 5 2 2 2 2 4 0 1 0 0 1 1 1 2 2 caọn : 0 1; 1 0 1 1 2 1 1 3 5 3 5 15 ẹaởt t x t x x t xdx tdt xdx tdt ẹoồi x t x t t t I x x xdx t t tdt t t dt 3. Tớnh tớch phõn : 1 1 3ln ln e x x I dx x (B 2004) 2 3 2 1 3ln 1 3ln 2 3 dx dx tdt ẹaởt t x t x tdt x x 1 1; 2x t x e t 2 2 2 2 5 3 4 2 1 1 1 1 2 2 2 2 32 8 1 1 116 3 3 9 9 5 3 9 5 3 5 3 135 t tdt t t I t t t dt Tớnh tớch phõn : ln5 ln3 2 3 x x dx I e e ( B 2006) ln5 5 5 5 2 2 ln3 3 3 3 5 5 5 3 3 3 . ln3 3, ln5 5 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 1 1 2 3 1 3 ln 2 ln 1 ln ln ln ln 2 1 1 4 2 2 x x x x x ẹaởt t e dt e dx x t x t t t e dx dt dt I dt e e t t t t t t t dt t t t t t 4. Tớnh tớch phõn : 2 0 sin2 cos 1 cos x x I dx x (B 2005) 2 2 2 0 0 2 2 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2sin cos cos sin cos 2 1 cos 1 cos 1 cos sin ; caọn : 0 2, 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 ln 2 1 2 2 4 ln2 2 2 x x x x x I dx dx x x ẹaởt t x dt xdx ẹoồi x t x t t dt t t t I dt t dt t t t t t 2ln2 1 5. Tớnh tớch phõn : 2 4 0 1 2sin 1 s 2 x I dx in x (B 2003) 4 0 2 2 1 1 0 1 cos2 ẹaởt 1 sin2 2 cos2 . 1 sin2 2 4 1 1 1 Vaọy ln ln2 2 2 2 x t x I dx t x dt xdx x x t dt I t t 6. Tớnh tớch phõn : 3 3 1 dx I x x (D b 1 B 2004) 3 3 2 2 2 2 1 1 4 4 4 4 2 2 2 2 4 2 1 2 ẹaởt 1 2 . 1 1 3 4 1 1 1 1 1 1 1 ln 1 ln 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 3 1 1 3 ln ln ln ln 2 2 4 2 2 2 x t dx xdx I t x dt xdx x x x x x t t t dt I dt dt t t t t t t t t t t 7. Tớnh tớch phõn : 2 sin 0 cos cos x I e x xdx (D 2005) 2 2 sin 2 0 0 cos cos x I e xdx xdx A B 2 sin 0 1 1 0 0 2 2 2 2 0 0 0 cos : ẹaởt sin cos . ẹoồi caọn : 0 0, 1. 1 2 1 cos2 sin2 cos 2 2 4 4 1 4 x t t Tớnh A e xdx t x dt xdx x t x t A e dt e e x x x Tớnh B xdx dx Vaọy I A B e 8. Tớnh tớch phõn : 1 2 0 1I x dx 2 2 gaởp , ta ủaởt sin , ; 2 2 Khi a x x a t t t sin ; cos . 2 2 x t t dx tdt i cn 0 sin 0 0; 1 sin 1 2 x t t x t t 2 2 2 2 2 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 1 sin cos cos cos cos cos 1 cos2 1 1 cos sin2 2 2 4 4 I t tdt t tdt t tdt t tdt dt t t 9. Tớnh tớch phõn : 1 2 0 1 dx I x 2 2 1 gaởp , ta ủaởt , ; 2 2 Khi x atgt t a x 2 2 4 4 2 0 0 ; 1 2 2 0 0 0; 1 1 4 1 4 4 1 0 ẹaởt x tgt t dx tg t dt x tgt t x tgt t tg t dt I dt t tg t 10. Tớnh tớch phõn : 1 2 0 1 dx I x x 1 2 2 2 0 3 2 3 3 2 6 6 6 1 3 3 . ẹaởt ; 1 2 2 2 2 2 1 3 2 2 3 1 1 3 3 0 ; 1 3 2 2 6 2 2 3 3 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 3 3 3 3 3 6 4 4 dx I x tgt t dx tg t dt x x tgt tgt t x tgt tgt t tg t dt I dt t tg t 3 9 Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng 9 11. Tính tích phân :   3 2 2 lnI x x dx   (D – 2004)           2 2 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 1 ln Đặt : x 2x-1 1 I= udv= uv - vdu= xln x -x - dx =3ln6-2ln2- 2+ dx x-1 x x-1 =3ln6-2ln2- 2x+ln x-1 =3ln6-2ln2- 6+ln2 -4 =-2+3ln6-3ln2=-2+3ln3 x u x x du dx x x dv dx v x                                             12. Tính tích phân :   1 2 0 2 x I x e dx   (D – 2006)     2x 2x 2x 1 1 1 1 1 2 1 2x 2x 2 2x 0 0 0 0 0 0 du=dx u=x-2 Đặt : Þ 1 dv=e dx v= e dx= e 2 1 1 1 1 5-3e I= udv= uv - vdu= e x-2 - e dx= -e +2 - e = 2 2 2 4 4                               13. Tính tích phân : 4 0 1 cos2 x I dx x     (Dự bị 1 – A2003)   4 4 1 2 2 0 0 2 2 4 4 4 4 4 4 1 0 0 0 0 0 0 4 1 0 1 1 : 2 2 2cos cos cos cos cos ' 4 cos 1 1 1 ln cos ln ln 2. 4 4 4 2 2 2 u x du dx x x I dx dx I Đặt dx dx x x dv v tgx x x x I udv uv vdu xtgx tgxdx dx x x I I                                                                    1 ln2 8 4  14. Tính tích phân : 2 1 3 0 x I x e dx  (Dự bị 1 D – 2003)   2 2 1 1 1 2 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 2 . Đổi cận : 0 0, 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 x t t t t t t t Đặt t x dt xdx x t x t dt I x e xdx te te dt I u t du dt Đặt I udv uv vdu dv e dt v e te e dt e e e e I                                                            15. Tính tích phân : 2 0 sinI x xdx    (Dự bị 1 D – 2004) 2 2 2 1 0 2 . Đổi cận : 0 0; Vậy 2 sin 2 Đặt t x x t dx tdt x t x t I t tdt I                  2 2 2 1 2 0 0 2 sin cos sin Vậy cos 2 cos 2 du tdt u t Đặt v tdt t dv tdt I t t t tdt I                                2 0 0 0 2 2 1 ' ' ' cos sin ' cos Vậy I sin sin cos 1 1 2 4 2 8 du dt u t Đặt v tdt t dv tdt t t tdt t I I                                             16. Tính tích phân : 2 2 0 I x x dx   (D – 2003) Giải phương trình x 2 – x = 0, ta được x = 0 V x = 1 x -∞ 0 1 2 +∞ x 2 – x + 0 – 0 + +     1 2 1 2 2 3 3 2 2 2 0 1 0 1 - - - - 2 3 3 2 1 1 8 1 1 - -2 - - 1 2 3 3 3 2 x x x x Vậy I x x dx x x dx                                        17. Tính tích phân : 2 4 2 0 1 4 x x I dx x      (Dự bị 2 A – 2004)   2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 x 17 x xdx dx 16 I= x -4- + dx= -4x - +17 =- -A+17B 3 3 x +4 x +4 x +4 x +4 A : 4 2 ; 0 4, 2 8 B: Đặt 2 ; 2 1 ; 0 2 2 0 0, 2 Tính Đặt t x dt xdx x t x t Tính x tgt t dx tg t dt x tgt t x tg                                                     1 4 t t       8 8 4 4 1 1 1 1 ln ln8 ln 4 ln 2 ln 2 2 2 2 2 dt A t t              2 4 4 4 2 0 0 0 2 1 1 1 16 17 ln 2 2 2 8 3 8 4 4 tg t dt B dt t Vậy I tg t                        18. Chứng minh rằng : 1 3 1 2 2 9 7 8 dx x            3 3 3 1 1 3 3 1 1 1 1 1 1;1 1 1 1 1 7 8 9 9 7 8 1 1 2 2 1 1 1 1 9 7 9 7 8 8 x thì x x x x dx dx đpcm x x                                     19. Chứng minh rằng : 2 2 4 5 3 2sin 2 4 xdx           2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 ; , ta có : 4 2 2 1 sin 1 sin 1 1 2sin 2 4 3 2sin 5 2 2 2 3 2sin 5 2 3 2sin 5 2 4 2 4 5 3 2sin 2 4 x x x x x x xdx xdx đpcm                                                             20. Chứng minh rằng : 1 2 0 4 5 1 2 2 x dx     2 2 2 2 1 2 0 0;1 0 1 0 1 4 4 5 4 5 2 4 5 1 2 2 4 5 1 (điều phải chứng minh) 2 2 x x x x x x x dx                              21. Tính tích phân : 4 3 1 cos2I xdx       p p p p 0 0 4 4 4 4 2 p p p p 0 0 - - - - 3 3 3 3 p 0 4 p 0 - 3 I= 2sin xdx= 2 sinx dx= 2 sinx dx+ sinx dx = 2 sinxdx- sinxdx 1 1 3 2 = 2 -cosx - -cosx = 2 - +1- -1+ = -1 2 2 2                                                       22. Tính tích phân :   2 2 1 5 1 6 x I dx x x      Chuyờn tớch phõn & ng dng H Vn Hong 10 2 5 5 5 5 2 3 coự : 3 2 6 3 2 3 2 5 2 5 5 2 3 2 3 5 3 x x A B Ax A Bx B Ta x x x x x x x x A B A x A B x A B A B B 2 2 1 1 2 3 2ln -3 3ln 2 3ln4 - 2 ln 2 3ln3 -3 2 6ln2 -2ln2 -3ln3 4 ln 2-3ln3 dx x x I x x 23. Xỏc nh cỏc hng s A, B sao cho : 3 3 2 3 1 , 1 1 1 1 x A B x x x x . Tỡm: 3 3 1 1 x dx x 3 3 2 3 3 3 3 2 2 1 3 2 3 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 2 3 1 3 1 1 1 1 1 A B x B A x A B Bx A B A B B x x x x x x dx dx C x x x x x 24. Tớnh tớch phõn : 2 1 2 0 ln 1 1 x x x I dx x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 0 1 1 ln 1 1 1 ẹaởt 1 1 1 1 1 Tớnh v : ẹaởt 1 1 2 2 . 1 1 ln 1 2 ln 1 2 x x x u x x dx x x du dx dx x x x x x xdx dv xdx x v x t x t x tdt xdx tdt xdx tdt v dt t x t I x x x dx x 1 1 0 0 2 ln 1 2 1 25. Tớnh : 2 ln ln ln e e x x I dx x (C KT A, D 2005) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 ln 1, 2 1 3 ln ln 2 2 2 2 ln I : ẹaởt ln 2ln2 3 2ln2 2 1 2ln2 1. 2ln2 2 dx ẹaởt t x dt x e t x e t x t I t t dt tdt tdt I I I dt u t du Tớnh I t t dt t t dv dt v t I 1 1 2ln2 2 26. Tớnh tớch phõn : 3 2 2 6 cos sin x J dx x (S G TP 20042005) 1 sin cos . ; 1 6 2 2 ẹaởt t x dt xdx x t x t 2 1 1 1 2 2 2 2 2 1 1 1 2 6 2 2 1-t dt cos xcosxdx 1 1 1 1 J= = = -1 dt= - -t = -1-1 - -2- = sin x t t t 2 2 27. Tớnh tớch phõn : 1 2 6 0 9 x dx I x 1 2 3 2 2 3 0 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 ẹaởt 3 1 1 9 3 3 1 1 1 1 1 1 3 3 18 18 3 3 9 3 3 3 3 1 1 3 1 1 1 1 ln 3 ln 3 ln ln ln1 ln 18 18 3 18 2 18 2 x t x dx I t x dt x dx x t x t t dt dt I dt dt t t t t t t t t t t t 28. Cho 3 3 2 2 3 3 3 3 0 0 sin x cos x ; J sin x+cos x sin x+cos x I dx dx . Tớnh I bng cỏch t 2 t x 3 0 3 3 2 2 3 3 3 3 3 3 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 0 2 sin 2 cos cos cos sin cos sin sin cos 2 2 Ngoaứi ra : 2 4 x t ẹaởt t x dt dx x t t t x I dt dt dx J t t x x t t I J dx x I J 29. Tớnh tớch phõn : 3 4 3 5 4 sin cos dx I x x 2 3 3 3 2 2 2 4 3 5 3 5 3 4 4 4 4 4 2 8 3 3 3 3 4 8 4 4 4 3 1 1 1 tan . 1; 3. 4 3 cos cos cos cos sin cos sin cos cos cos 4. 4 3 1 4 3 1 p p p p p p dx ẹaởt t x dt x t x t x dx dx dx x x x Vaọy I x x x x tg x x x dt t dt t t 30. Tớnh tớch phõn : 1 0 sinI x dx 1 2 0 1 1 1 2 0 0 0 0 0 ẹaởt 2 . Vaọy sin 2 1 1 2 2 1 sin sin cos 2 2 2 2 2 cos cos sin x t t x x t dx tdt I t tdt x t du dt u t ẹaởt dv t dt v t dt t I t t t dt t 31. Tớnh tớch phõn : 2 4 2 0 sin2 sin 6sin 5 x I dx x x 2 2 2 2 0 2 2 2 1 1 1 2 2 1 1 sin2 ẹaởt sin 2sin cos sin2 sin 1 sin 5 0 1 4 1 1 1 1 . 4 4 4 4 4 2 2 1 1 1 1 1 1 5 ln ln 4 ln ln ln ln 4 4 4 4 3 5 4 3 xdx I t x dt x xdx xdx x x x t t t dt I dt dt t t t t t t x t t t t t 32. Tớnh tớch phõn : 0 sin x I xe dx 0 0 0 0 sin cos sin cos ' cos ' sin cos sin 1 ' ' 1 1 2 1 2 x x x x x x x x u x du dx ẹaởt I e x e xdx J dv e dx v e u x du x dx ẹaởt J e x e xdx e I dv e dx v e e I e I I e I 33. Gii phng trỡnh : 2 0 sin2 1 cos 0 0 x t tdt x 2 1 1 ln ln 4 4 t t [...]... sin3 x dx 1 sin x 0 35 Tính tích phân : I I 3 3 0 0 88 44 3 11x 3 3 x5 5 6 x 16 dx 1 32 5 3 1 sin 2 x sin x 1 dx 1 sin x x 4 11x 2 2 1 cos x sin x 2 34 Tính tích phân : I I 1 cos x 2 pt 2 VOx 2 1 cos2 x 3 2 u 2 du 3 2 u x 2 3 2 2sin t cos tdt 2 0 sin n tdt n cosn t 0 sin t 2 t x 2 0 2 I 4 sin n xdx n cosn x 0 sin x 2 J K Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng 43 Tính tích phân : I 0 sin 4 x cos4 x... dy 12 2 2 55 Tính tích phân : I 4 y2 2sin u u 2 0 1 2 là x 3 x 3 2 Gọ i I 0 4 y2 Vì đườ ng trò n có tâ m I 3; 0 ,R 3 2 3 2 2 4 2 2 2 2 VOy 24 dy đvtt 2 cos udu y y 2 4 cos2 udu 2 2 2 4 y 2 dy 2 ; 2 2 cos u cos udu 2 2 2 2 2 sin u sin u 1 1 u u 2 2 1 1 cos 2u du 2 u sin 2u 2 2 2 Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng 60 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường : 2 x và y 4 4 y x pt hoà... 3 49 Tính tích phân : T 0 10 1 x 3ln x 1 x = 1 1 2 + x=0Vx=1 1 2 0 + 0 I A 1 B 3 C 3 0 0 1 s in 2 2x dx 2 1 0 4 dx Cx 2 x 1 2 2 1 x 48 Tính tích phân : F sin 4 x cos4 x dx 3x 1 0 4 dx x B C 0 A B 2 A 1 4 Vậ y I Bx x 1 x 1 dx x 1 1 2 3ln 2 3 dx 3x 1 0 1 x2 1 3x sin 4 x cos4 x 4 dt 3t 1 0 2 I 3t sin 4 t cos4 t A x2 x2 x 1 4 0 t 2x 1 x x 1 2 B C x2 4 Đặ t x 2x 1 dx x2 x 1 1 4 I 2 47 Tính tích phân : I... cos4 x 4 dt 3t 1 0 2 I 3t sin 4 t cos4 t A x2 x2 x 1 4 0 t 2x 1 x x 1 2 B C x2 4 Đặ t x 2x 1 dx x2 x 1 1 4 I 2 47 Tính tích phân : I sin 4 x cos4 x dx 3x 1 4 2004 0 1 cos 2 xdx và tuần 2 Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng Ta có : T a f x dx 0 a T f x dx 0 T Xé t I3 T f x dx a f x dx Đặ t t 0 a f t T dt x T dt a f t T dt 0 a x x dx T 0 2004 Á p dụ ng : I 2 4 sin x dx 2 2 2sin 2 xdx 2004 2 4 2... Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) : x2 4x 4 , tiệm cận xiên của (C) và hai đường y x 1 thẳng x = 2, x = 5 sin xdx (2) 0 x x dx t sin Đặ t u 4 t 1 t 0 0 0 2 2 1 ln t dt Đặ t u 1 ln t t 1 pt 0 0 e 1 tg2 u du dx x 0 53 Tính tích phân : D D ; 1 tg2 u Gọ i I x 2004 sin xdx sin xdx Đặ t x 1 x 0 2 e x 2004 sin xdx (1) Thế (2) và o (1) ta đượ c : I Đặ t t 1 sin xdx 1 0 1 t 2002 0 0 Xé t tích phâ... đổi biến t = –x t7 1 x 1 1 10 t7 t10 1 1 dx 1 2 7 dx dt x 1 t 1 x 1 t 1 37 Tính tích phân : I Đặ t t 1 4 dx dt 2 0 0 x 2 cos2 1 I cos3 x dx 1 sin x 0 1 4 0 1 cos( 3 2 0 1 1 1 1 1 2 tg 1 30 cos x cos x sin x dx 36 Tính tích phân : I Đặ t t Đặ t t x dx 0 sin x 0 2 1 sin x 0 k 3 2 0 153 5 3 x 2 16 x dx 4 5sin x 2 39 Tính tích phân : I 0 dx 1 sin 2 x cos xdx 2 0 I 4 x 2 1 11 13 5 3 3 1 cos 2 x sin x 1 2...Hồ Văn Hồng Chun đề tích phân & ứng dụng Đặ t u 1 cos2 t 2udu x 1 cos2 t u2 sin 2tdt t sin 2t 1 cos2 tdt 0 2 2; t u 1 cos2 x 0 2udu 1 cos x 2 3 3 1 cos x 2 2 cos x 1 u 3 0 0 1 cos 2 x 2 3 x 2 2 0 2 2 cos 2 dx k 1 cos 2 x 4 2 1... 42 Tính tích phân : I 2 0 Đặ t t 2 x dt dx; 2 9 6x x 2 dx 11x 2 6 x 16 0, 2I cosn 2 2 t t 0 cosn xdx cosn x sin n x t 2 0 2 dx 2 t 2 dt sin n sin n x cosn x dx n cosn x 0 sin x 2 x x cosn 0 2 4 1 1 x4 dx 2x 1 1 sin 6 x cos5 x sin xdx 6sin x cos5 xdx 1 cos 6 xdx sin 6 x 6 du cos 6 xdx dv 0 I 2 0 1 I x4 cos5 x cos 7 xdx cos 6 x cos5 x cos xdx cos6 x u 5 x2 25 10 x 2 x t 2 1 1 ln 2 3 41 Tính tích phân :... x 1: 2 F 44 Tính tích phân : 2 sin10 x cos10 x cos4 x sin 4 x dx 1 Ta có : sin x cos x cos x sin x cos x sin x 4 4 2 x 1 x2 sin x cos x sin x 6 4 1 6 4 2 2 2 cos2 2 x 1 cos2 x sin 2 x 1 cos 4 x 2 2 0 sin 2 4 x 16 15 32 2 4 4 6 6 1 1 2 1 1 cos8 x cos 4 x 2 32 1 cos 4 x 2 1 cos8 x dx 32 1 t2 Đặ t u t 3 2tdt x du 3t 2 dt Đặ t u tgm m ; 2 4 1 tg m dm 3 0 1 tg2 m 2 24 dm 30 46 Tính tích phân : I Ta lậ p... ln 2 dt 1 tgt 4 ln 2dt 4 ln 1 tgt dt ln 2 t 0 ln 2 4 I 4 4 0 ln 1 tgx dx 0 ln 2 I 4 ln 2 8 2 hồn với chu kỳ T thì : f x dx + 0 x3 12 3 =2+ 2 9 2 43 - = 4 3 12 Áp dụng, tính tích phân : I T f x dx 0 a 2 t 1 t 2 3 t 5 t 2 dt 1 0 x xdx tdt 51 Chứng minh rằng : Nếu f(x) liên tục trên x2 10 3 x 2 1 x dx x3 1 t 2 1 t.tdt 1 1 5 3 8 1 3 3 1 1 0 x5 5 I x 1 x2 x x2 1 1 a T 0 0 x 1 4 2 5 2I x2 max 1; dx 4 0 2 1 . tích hình phẳng giới hạn bởi parabol   2 : 4  P y x x và đường thẳng : d y x .KQ: 9 2 (đvdt) Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 6 Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân Dùng. Chứng minh rằng : Nếu f(x) liên tục trên  và tuần hồn với chu kỳ T thì :     0 a T T a f x dx f x dx     Áp dụng, tính tích phân : 2004 0 1 cos2I xdx     Chun đề tích phân & ứng. Chun đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng 2 d P DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY. 1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x); x = a; x = b có diện tích: S D =   (