Trường THPT Lai Vung 2 S Ở GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG THÁP Hội đồng bộ môn Toán Chuyên đề: Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT Năm học 2010 – 2011 1 Trường THPT Lai Vung 2 Chuyeân ñeà : TÍCH PHÂN và ỨNG DỤNG (Tài liệu dùng cho học sinh ôn tập TN THPT) A) Tóm tắt kiến thức cơ bản : Để học tốt chương tích phân, các em học sinh cần nhớ các kiến thức sau : 1) Bảng các nguyên hàm: Bảng nguyên hàm Nguyên hàm của những hàm số sơ cấp thường gặp Nguyên hàm của những hàm số hợp đơn giản Nguyên hàm của những hàm số hợp Cxdx += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C x dxx ( ) 0ln ≠+= ∫ xCx x dx Cedxe xx += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa x x Cxxdx += ∫ sincos Cxxdx +−= ∫ cossin Cxdx x += ∫ tan cos 1 2 Cxdx x +−= ∫ cot sin 1 2 tan ln cosxdx x c= − + ∫ cot ln sinxdx x c= + ∫ kdx kx C= + ∫ ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 ≠+ + + =+ + ∫ α α α α C bax a dxbax ( ) 0ln 1 ≠++= + ∫ xCbax abax dx Ce a dxe baxbax += ++ ∫ 1 ( ) ( ) Cbax a dxbax ++=+ ∫ sin 1 cos ( ) ( ) Cbax a dxbax ++−=+ ∫ cos 1 sin ( ) ( ) Cbax a dx bax ++= + ∫ tan 1 cos 1 2 ( ) ( ) Cbax a dx bax ++−= + ∫ cot 1 sin 1 2 Cudu += ∫ ( ) 1 1 1 ≠+ + = + ∫ α α α α C u duu ( ) 0ln ≠+= ∫ uCu u du Cedue uu += ∫ ( ) 10 ln ≠<+= ∫ aC a a dxa u u Cuudu += ∫ sincos Cuudu +−= ∫ cossin Cudu u += ∫ tan cos 1 2 Cudu u +−= ∫ cot sin 1 2 2) Các tính chất tích phân: Cho các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [a; b] • ( ) 0 a a f x dx = ∫ ; ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx= − ∫ ∫ 2 Trường THPT Lai Vung 2 • . ( ) b a k f x dx = ∫ ( ) b a k f x dx ∫ ( k là hằng số) • [ ( ) ( )] ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx± = ± ∫ ∫ ∫ • ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx= + ∫ ∫ ∫ ( với a < c < b ) 3) Các công thức lượng giác: a) Công thức nhân đôi: * sin2a = 2sina.cosa * cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a b) Công thức hạ bậc: * sin 2 a = 1 cos2 2 a− * cos 2 a = 1 cos 2 2 a+ c) Công thức biến đổi tích thành tổng: * [ ] 1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= + + − * [ ] 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 a b a b a b= + + − * [ ] 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 a b a b a b= − + − − 4) Các công thức về lũy thừa và căn bậc n: Với điều kiện xác định của a, b, m, n ta có : * 1 n n a a = và m n m n a a = * . . n n n a b a b= ; n n n a a b b = * a 0 = 1; a 1 = a ; a -n = 1 n a * .a a a α β α β + = ; a a a α α β β − = * ( ) . .a b a b α α α = ; a a b b α α α   =  ÷   * ( ) . a a β α α β = 5) Các hằng đẳng thức đáng nhớ: * a 2 – b 2 = (a+b)(a – b) * ( ) 2 2 2 2a b a ab b± = ± + * 3 3 2 2 ( )( . )a b a b a a b b± = ± +m * ( ) 3 3 2 2 3 3 3a b a a b ab b± = ± + ± 3 Trường THPT Lai Vung 2 B) Ví dụ và bài tập: I) Tích phân cơ bản: Chúng tôi gọi tích phân cơ bản là các tích phân mà việc tính không cần phải áp dụng phương pháp từng phần hay đổi biến. Tuy vậy các em học sinh cần lưu ý rằng cơ bản không nghĩa là dễ làm. Hãy nghiên cứu các ví dụ sau: Ví dụ 1: Tính các tích phân a) I 1 = 1 3 0 (3 1)x dx− ∫ b) I 2 = 2 2 0 x e dx − + ∫ c) I 3 = 0 1 3 2 1 dx x − − + ∫ Giải: a) I 1 = 1 3 0 (3 1)x dx− ∫ = ( ) 1 4 4 4 0 1 (3 1) 1 5 . 3 1 ( 1) 3 4 12 4 x −   = − − − =   Vậy: I 1 = 5 4 b) I 2 = 2 2 0 x e dx − + ∫ = 2 2 0 1 1 x e − + − = – ( e – 2+2 – e 2 ) = e 2 –1 Vậy: I 2 = e 2 –1 c) I 3 = 0 1 3 2 1 dx x − − + ∫ = 0 1 1 3. ln 2 1 2 x − − + − = 3 (ln1 ln 3) 2 − − Vậy: I 3 = 3 ln3 2 Ví dụ 2: Tính các tích phân a) J 1 = ( ) 2 2 2 0 1x dx+ ∫ b) J 2 = 1 0 2 3 2 x dx x + − ∫ c) J 3 = 8 6 6 1 2x x dx x + ∫ Giải: a) Ta có: (x 2 + 1) 2 = (x 2 ) 2 +2.x 2 .1 + 1 2 = x 4 + 2x 2 + 1 suy ra J 1 = ( ) 2 2 2 0 1x dx+ ∫ = 2 4 2 0 ( 2 1)x x dx+ + ∫ = 2 5 3 0 2 5 3 x x x   + +  ÷   = 206 15 Vậy: J 1 = 206 15 b) Ta có : 2 3 1 2 7. 2 2 x x x + = − + − − 4 Trường THPT Lai Vung 2 suy ra J 2 = 1 0 2 3 2 x dx x + − ∫ = ( ) 1 1 0 0 1 ( 2 7. ) 2 7ln 2 2 dx x x x − + = − − − − ∫ = (–2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 Vậy: J 2 = 7ln2 – 2 c) 1/2 1/6 6 1/2 1/6 1/3 1/6 6 2 2 2 2 x x x x x x x x − + + = = + = + suy ra J 3 = ( ) 8 8 1/3 4/3 1 1 3 2 2 4 x dx x x   + = +  ÷   ∫ = 4/3 3 3 8 2 8 ( 2) 4 4   + × − +  ÷   = 101 4 = 25,25 Vậy: J 3 = 101 4 Ví dụ 3: Tính các tích phân a) K 1 = 4 0 sin3 .cosx xdx π ∫ b) K 2 = 8 2 0 cos 2xdx π ∫ c) K 3 = 1 2 1 0 1 x e dx − − ∫ Giải: a) Ta có: sin3x.cosx = ( ) 1 sin4 sin2 2 x x+ suy ra K 1 = 1 2 4 0 (sin4 sin2 )x x dx π + = ∫ 4 0 1 1 1 cos 4 cos 2 2 4 2 x x π   − −     = 1 2 Vậy: K 1 = 1 2 b) K 2 = 8 2 0 cos 2xdx π ∫ Ta có: cos 2 2x = 1 cos4 2 x+ suy ra K 2 = 1 2 8 0 (1 cos 4 )x dx π + = ∫ 8 0 1 1 sin 4 2 4 x x π   +     = 1 2 ( ) 1 4 sin 0 8 4 8 π π     + −  ÷       = 1 1 2 8 4 π   +  ÷   Vậy: K 2 = 1 1 8 2 π   +  ÷   c) K 3 = 1 2 1 0 1 x e dx − − ∫ Ta có : e 2x–1 – 1 = 0 ⇔ e 2x–1 = 1 = e 0 ⇔ 2x – 1 = 0 ⇔ x = 1 2 [ ] 0;1∈ 5 Trường THPT Lai Vung 2 Suy ra K 3 = 1 1 2 2 1 2 1 1 0 2 ( 1) ( 1) x x e dx e dx − − − + − ∫ ∫ = 1 1 2 2 1 2 1 1 0 2 1 1 2 2 x x e x e x − −     − + −  ÷  ÷     = 0 1 1 1 1 0 2 2 2 e e −     − − −  ÷  ÷     + 0 1 1 1 1 2 2 2 e e     − − −  ÷  ÷     = 1 1 2 e − − + 1 1 2 e   −  ÷   Vậy K 3 = 1 1 1 1 2 2 e e − + − • Các bài tập tự luyện: Tính các tích phân: 1) L = ∫ +− 1 0 24 )23( dxxx KQ: L = 5 6 2) I = ∫ − 4 6 2 3 sin sin1 π π dx x x KQ: I = 2 223 −+ 3) J = dx x x ∫ − + 1 0 34 2 KQ: J = 9 4ln103 +− 4) K = dx x xx ∫ − 2 1 2 23 52 KQ: K = – 2 5) M = ∫ 12 0 5sin.7sin π xdxx KQ: M = 8 1 6) N = 4 1 2x dx− ∫ KQ: N = 5 2 7) P = 3 2 0 sin 3xdx π ∫ KQ: P = 6 π 8) Q = 4 2 0 tan xdx π ∫ KQ: 1 4 π − 9) R = /4 2 2 /6 sin .cos dx x x π π ∫ KQ: 2 3 3 10) S = 1 2 0 2 5 2 dx x x+ + ∫ KQ: 1 ln 2 3 (HD: Phân tích 2x 2 + 5x + 2 = (x + 2)(2x + 1) Từ đó 2 1 1 1 2 1 ( ) 2 5 2 ( 2)(2 1) 3 2 1 2x x x x x x = = − + + + + + + 6 Trường THPT Lai Vung 2 II) Phương pháp đổi biến số: Cần tính I = ( ) b a f x dx ∫ 1) Loại 1: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: x = u(t) rồi suy ra dx = u’(t)dt + Tìm cận mới: lần lượt cho u(t) = a và u(t) = b để tìm hai cận mới. + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến t, rồi tính. Ví dụ 4: Tính tích phân a) I 1 = 2 2 0 4 x dx− ∫ b) I 2 = 3 2 0 1 9 dx x+ ∫ Giải: a) I 1 = 2 2 0 4 x dx− ∫ + Đặt x = 2sint , t ; 2 2 π π   ∈ −     (u(t) = 2sint) ⇒ dx = 2costdt + Cận mới: x= 0 ⇒ 2sint = 0 ⇒ sint = 0 ⇒ t = 0 x = 2 ⇒ 2sint = 2 ⇒ sint = 1 ⇒ t = 2 π + I 1 = 2 2 0 4 x dx− ∫ = 2 2 0 4 4sin .2cott dt π − ∫ = 4 2 2 0 1 sin .cott dt π − ∫ = 4 2 2 0 cos .costt dt π ∫ =4 2 2 0 cos tdt π ∫ I 1 = 2 2 0 (1 cos 2 )t dt π + ∫ = 2 2 0 1 sin2 2 t t π   +  ÷   = π Vậy I 1 = π Chú ý: + Nếu dùng máy tính 570ES để kiểm tra, học sinh chỉ thu được kết quả gần đúng của số π là 3,141592654. + Các em học sinh xem thêm bài tập 3b) trang 113 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính 2 2 0 a a x dx− ∫ , đặt x = asint , t ; 2 2 π π   ∈ −     (u(t) = asint) ⇒ dx = acostdt rồi thực hiện các bước tiếp sau tương tự trong ví dụ). b) I 2 = 3 2 0 1 9 dx x+ ∫ + Đặt x = 3tant, t ; 2 2 π π   ∈ −  ÷   ⇒ dx = 3(1 +tan 2 t)dt + Cận mới: x = 0 ⇒ 3tant = 0 ⇒ tant = 0 ⇒ t = 0 7 Trường THPT Lai Vung 2 x = 3 ⇒ 3tant = 3 ⇒ tant = 1 ⇒ t = 4 π + I 2 = 3 2 0 1 9 dx x+ ∫ = 2 4 2 0 3(1 tan ) 9 9tan t dt t π + + ∫ = 2 4 2 0 3(1 tan ) 9(1 tan ) t dt t π + + ∫ = 1 3 4 0 dt π ∫ = 1 3 4 0 t π = 1 3 . 4 π Vậy I 2 = 12 π Chú ý: Học sinh cần xem thêm ví dụ 5 trang 108 (SGK Giải tích 12 chuẩn) từ đó có thể ghi nhớ cần tính 2 2 0 1 a dx a x+ ∫ , đặt x = atant , t ; 2 2 π π   ∈ −  ÷   ⇒ dx = a(1 + tan 2 t)dt thực hiện các bước tiếp tương tự. 2) Loại 2: Tiến hành theo các bước + Chọn đặt: u = u(x) rồi suy ra du = u’(x)dx + Tìm cận mới: Nếu hai cận mới là α và β thì α =u(a) β = u(b) . + Chuyển tích phân cần tính từ biến x sang biến u, rồi tính. Ví dụ 5: Tính các tích phân a) J 1 = 2 2 1 x xe dx ∫ b) J 2 = 1 1 ln e x dx x + ∫ c) J 3 = 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx− ∫ d) J 4 = 2 2 0 4 .x xdx− ∫ e) J 5 = /2 4 0 cos (1 sin ) x dx x π + ∫ Giải: a) J 1 = 2 2 1 x xe dx ∫ + Đặt u = x 2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 1 2 du + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 2 = 1; x = 2 ⇒ u = 2 2 = 4 ( α = 1, β = 4) + J 1 = 2 2 1 x xe dx ∫ = 4 1 1 2 u e du ∫ = 1 2 4 1 u e = 1 2 ( e 4 – e 1 ) = 1 2 ( e 4 – e) + Vậy J 1 = 1 2 ( e 4 – e) 8 Trường THPT Lai Vung 2 b) J 2 = 1 1 ln e x dx x + ∫ + Đặt u = 1 ln x+ ⇒ u 2 = 1 + lnx ⇒ 2udu = 1 x dx + Đổi cận: x = 1 ⇒ u = 1 ln1+ = 1; x = e ⇒ u = 1 ln e+ = 2 + J 2 = 1 1 ln e x dx x + ∫ = 2 1 u.2udu ∫ = 2 3 2 3 1 u = 2 3 3 3 ( 2) 1− ) = 2 (2 2 1) 3 − + Vậy J 2 = 2 (2 2 1) 3 − Ghi nhớ: • Học sinh có thể đặt: u = 1 + lnx ⇒ du = 1 x dx • ln1 = 0 và lne = 1 c) J 3 = 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx− ∫ + Đặt u = x 4 – 1 ⇒ du = 4x 3 dx ⇒ x 3 dx = 1 4 du + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 0 – 1 = –1; x = 1 ⇒ u = 1 4 – 1 = 0 + J 3 = 1 3 4 5 0 ( 1)x x dx− ∫ = 0 5 1 1 4 u du − ∫ = 1 4 0 6 1 6 u − = 1 24 − + Vậy J 3 = 1 24 − d) J 4 = 2 2 0 4 .x xdx− ∫ + Đặt u = 2 4 x− ⇒ u 2 = 4 – x 2 ⇒ 2udu = – 2xdx ⇒ xdx = –udu + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 2 4 0− = 2; x = 2 ⇒ u = 2 4 2− = 0 + J 4 = 2 2 0 4 .x xdx− ∫ = 0 2 u.( )u du− ∫ = 0 2 2 u du− ∫ = 1 3 2 3 0 u = 8 3 + Vậy J 4 = 8 3 Chú ý: Học sinh cần phân biệt tích phân I 1 = 2 2 0 4 x dx− ∫ và tích phân vừa tính để tránh nhầm lẫn về cách đổi biến. e) J 5 = /2 4 0 cos (1 sin ) x dx x π + ∫ + Đặt u = 1 + sinx ⇒ du = cosxdx + Đổi cận: x = 0 ⇒ u = 1 +sin0 = 1; x = 2 π ⇒ u = 1 + sin 2 π = 2 9 Trường THPT Lai Vung 2 + J 5 = /2 4 0 cos (1 sin ) x dx x π + ∫ = 2 4 1 du u ∫ = 2 4 1 u du − ∫ = 1 3− 2 3 1 u − = 7 24 + Vậy J 5 = 7 24 • Các bài tập tự luyện: 1) Tính các tích phân: a) I = dxxx ∫ + 6 0 cos.sin41 π KQ: I = 6 133 − b) J = dxxx ∫ − 2 0 2 3 3 .8 KQ: J = –4 c) K = dxxe x ∫ − 1 0 2 KQ: K = e e 2 1− d) L = ∫ + e x dxx 1 )ln3( KQ: L = 8 13 e) M = ∫ + 21 0 2 7 x dx KQ: M = 73 π g) N = ∫ + 1 0 2 x x e dxe KQ: N = ln 3 2 e+ h) P = 1 2010 0 ( 1)x x dx− ∫ KQ: P = 1 4046132 (Kết quả P máy 570ES không biểu diễn được, máy chí cho Kq gần đúng 2.471496234x 10 -7 ) i) Q = 1 2 0 1 .x xdx− ∫ ( Đặt x = sint) KQ: 4 π 2) Tính các tích phân: a) I 1 = 2 0 (2sin 3)cosx xdx π + ∫ KQ: 4 b) J 1 = 2 2 1 3x x dx+ ∫ KQ: 7 7 8 3 − c) P = 1 2 0 4 2 1 x dx x x + + + ∫ KQ: 2ln3 d) Q= 2 4 2 0 5 tan cos x dx x π + ∫ KQ: 16/3 e) L 1 = 2 1 1 3ln ln e x xdx x + ∫ KQ: 7 9 10 [...]... KQ: e + 2 sin xdx 0 (xem thêm bài tập 18c trang 161 SGK GT 12 nâng cao) IV) Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và thể tích: 1) Diện tích hình phẳng: Cơ sở lí thuyết: • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x) (liên tục); x= a; x= b và b y = 0 (trục hồnh) được tính bởi: S = ∫ f ( x) dx (1) a • Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y = f(x), y = g(x)(liên tục);... hạn bởi (C) và 3 các đường y = 0, x =0, x = 3 quay quanh trục Ox (TNTHPT năm 2003 – 2004 ) π /2 ∫ ( x + sin Bài 4: Tính tích phân: I = 2 x) cos x.dx 0 (TNTHPT năm 2004 – 2005 ) Bài 5: a Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò các hàm số : y = ex, y = 2 và đường thẳng x = 1 π /2 b Tính tích phân: I = ∫ 0 sin 2 x dx 4 − cos 2 x (TNTHPT năm 2005– 2006) e ln 2 x dx Bài 6: Tính tích phân J = ∫ x... 2 – x2 và y = x Giải: • Cận a,b là nghiệm của phương trình: 2 – x2 = x ⇔ x2 + x – 2 = 0 ⇔ x = 1 và x = -2 b • Gọi S là diện tích cần tính, áp dụng cơng thức S = ∫ f ( x) − g ( x) dx thì S = 1 Vậy S = ∫ −2 x 2 + x − 2 dx 1 1 x 2 + x − 2 dx = ∫ −2 a • 1 2 ∫ ( x + x − 2)dx = −2 x3 x 2 9 + − 2x = (đvdt) 3 2 2 −2 * Lưu ý: Chỉ có thể đưa dấu trị tuyệt đối ra ngồi tích phân nếu hàm số dưới dấu tích phân khơng... 2 + 2 ln(1 + 2) 7 2 2 7 VII) Một số đề thi cao đẳng và đại học các năm trước có liên quan đến tích phân: π /2 Bài 1: Tính tích phân: I = ∫ (cos 3 x − 1) cos 2 xdx (Khối A năm 2008– 2009) 0 π /2 HD: Viết I = ∫ π /2 cos5 xdx – 0 ∫ cos 2 xdx = I1 – I2 0 π /2 I1 = ∫ (1 − sin 2 x) cos xdx (Đặt u = sinx) KQ: I = 0 8 π − 15 4 3 3 + ln x dx ( x + 1)2 1 Bài 2: Tính tích phân: I = ∫ (Khối B năm 2008– 2009) 18... I1 dùng đổi biến đặt u = 1 + 2ex e Bài 6: Tính tích phân I = KQ: ln x ∫ x(2 + ln x) 2 1 1 + 2e 1 ln + 2 3 3 (Khối B năm 2009– 2010) dx 1 KQ: ln HD:Đặt t = 2 + lnx e Bài 7 : Tính tích phân x ∫ (2 x − 3 ) ln xdx 3 1 − 2 3 (Khối D năm 2009– 2010) 1 HD: Tách làm hai tích phân một dùng từng phần, một dùng đổi biến e2 KQ: −1 2 1 2x −1 dx x +1 0 Bài 8: Tính tích phân I = ∫ (CĐKhối A,B,D năm 2008– 2009) KQ:... dx Bài 6: Tính tích phân J = ∫ x 1 (TNTHPT năm 2006– 2007) 1 2 3 4 Bài 7: Tính tích phân I = ∫ x (1 − x ) dx (TNTHPT năm 2007– 2008) −1 π Bài 8: Tính tích phân I = ∫ x(1 + cos x)dx (TNTHPT năm 2008– 2009) 0 1 2 2 Bài 9: Tính tích phân I = ∫ x ( x − 1) dx (TNTHPT năm 2009– 2010) 0 VI) Một số bài tập nậng cao : Chúng tơi đề nghị các bài tập ở phần sau dành cho các em học sinh khá, giỏi Các em học sinh... liên quan đến tích phân: Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y2 = 2x +1 và y = x -1 (TNTHPT năm 2001 – 2002 ) 3 2 1 x + 3x + 3x − 1 Bài 2: 1.Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số y = , biết F(1) = 2 3 x + 2x + 1 2 2x − 10x − 12 2.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thò hàm số y= và trục hoành Ox x+2 (TNTHPT năm 2002 – 2003 ) 1 Bài 3: Cho hàm số y = x3 – x2 (C) Tính thể tích vật thể... tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hai đường y = f(x) và y = g(x) khi nó quay b 2 quanh trục Ox, học sinh có thể ngộ nhận và dùng cơng thức V = π ∫ ( f ( x) − g ( x)) dx dẫn đến kết a 1 π đvtt quả sai KQs : V = 105 • Các bài tập tự luyện: 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P): y = – x 2 + 4x và trục hoành 32 đvdt 3 2)Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường (P): y = – x 2 và y =... gần đúng 0,1015873016) III) Phương pháp tích phân từng phần: b • Cơng thức: ∫ udv = uv a b a b − ∫ vdu a b • Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫ P( x).Q( x)dx a Dạng hàm Cách đặt P(x): Đa thức Q(x): sinkx hay coskx * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x):ekx * u = P(x) * dv là Phần còn lại của biểu thức dưới dấu tích phân P(x): Đa thức Q(x):ln(ax+b) * u =... 27 KQ: (3 + ln ) 4 16 1 dx ( x + 1) 2 3 1 dx e −1 1 Bài 3: Tính tích phân: I = = ∫ (Khối D năm 2008– 2009) x 1 HD: Đặt u = ex suy ra x = lnu suy ra dx = du u KQ: ln(e2 + e + 1) – 2 1 ∫ −2 x x Bài 4: Tính tích phân: I = (e + x)e dx (CĐKhối A,B,D năm 2008– 2009) 0 1 ∫ −x HD: Viết I = e dx + 0 1 ∫ xe dx … x 0 KQ: I = 2 − 1 Bài 5: Tính tích phân: I = ∫ 0 1 1 x 2 + e x + 2 x 2e x dx 1 + 2e x 1 e (Khối A . = /4 2 2 /6 sin .cos dx x x π π ∫ KQ: 2 3 3 10) S = 1 2 0 2 5 2 dx x x+ + ∫ KQ: 1 ln 2 3 (HD: Phân tích 2x 2 + 5x + 2 = (x + 2) (2x + 1) Từ đó 2 1 1 1 2 1 ( ) 2 5 2 ( 2) (2 1) 3 2 1 2x x x. − 4 Trường THPT Lai Vung 2 suy ra J 2 = 1 0 2 3 2 x dx x + − ∫ = ( ) 1 1 0 0 1 ( 2 7. ) 2 7ln 2 2 dx x x x − + = − − − − ∫ = ( 2 –7ln1) – (0 – 7ln2) = 7ln2 – 2 Vậy: J 2 = 7ln2 – 2 c) 1 /2 1/6 6 1 /2. 2 và đường thẳng x = 1. b. Tính tích phân: I = ∫ − 2/ 0 2 cos4 2sin π dx x x (TNTHPT năm 20 05– 20 06) Bài 6: Tính tích phân J = ∫ e dx x x 1 2 ln . (TNTHPT năm 20 06– 20 07) Bài 7: Tính tích phân