Đang tải... (xem toàn văn)
TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT VÀNH VÀ MÔ ĐUN ĐỀ TÀI LINH HÓA TỬ Chúng ta đều biết rằng các cấu trúc đại số cơ bản như nhóm, vành là sự khái quát hóa từ các tập hợp số với hai phép toán (+) và (×) thông thường. Môđun là khái niệm mở rộng của khái niệm nhóm aben và khái niệm không gian vectơ. Một cấu trúc Rmôđun M được xây dựng từ một vành R.
ĐẠI HỌC HUẾ TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN ——————– * ——————— TIỂU LUẬN LÝ THUYẾT VÀNH VÀ MÔ ĐUN Đề tài: LINH HÓA TỬ Giảng viên hướng dẫn : GS.TS Lê Văn Thuyết Học viên thực : Hà Văn Quý Lớp Cao học Toán K20 HUẾ, 11-2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Thầy giáo, Giáo sư, Tiến sĩ Lê Văn Thuyết tận tình giảng dạy giúp đỡ tơi hồn thành tốt tiểu luận Tơi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến quý thầy cô giáo khoa Toán, trường Đại học Sư phạm Huế tận tâm truyền đạt kiến thức cho suốt q trình học tập khoa Tơi xin cảm ơn quan tâm, giúp đỡ, động viên quý thầy cô giáo bạn bè suốt thời gian làm tiểu luận Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Sinh viên thực Hà Văn Quý i MỤC LỤC Lời cảm ơn Mở đầu i iii Chương Một số kiến thức Môđun 1.1 Vành Iđêan 1.2 Môđun 1.3 Môđun môđun thương 1.4 Song môđun 1.5 Đồng cấu môđun Chương Lý thuyết Linh hóa tử 2.1 Linh hóa tử 2.2 Bài tập Kết luận 12 Tài liệu tham khảo 13 ii MỞ ĐẦU Chúng ta biết cấu trúc đại số nhóm, vành khái quát hóa từ tập hợp số với hai phép tốn (+) (×) thơng thường Mơđun khái niệm mở rộng khái niệm nhóm aben khái niệm không gian vectơ Một cấu trúc R-môđun M xây dựng từ vành R Vấn đề đặt tìm hiểu tính chất môđun M thông qua vành R Một công cụ hỗ trợ khảo sát mối liên hệ linh hóa tử Để có tính hệ thống trình bày, tiểu luận nhắc lại ngắn gọn khái niệm, tính chất cần thiết vành, mơđun Chương Chương nội dung tiểu luận, giới thiệu chi tiết linh hóa tử cuối giải ba toán liên quan đến vành nửa đơn Để hoàn thành tiểu luận này, xin chân thành cảm ơn Thầy giáo, Giáo sư, Tiến sĩ Lê Văn Thuyết giảng dạy tạo điều kiện Mặc dù có nhiều cố gắng, song trình nghiên cứu trình bày khó tránh khỏi sai sót, mong quý thầy cô giáo bạn bày thêm để tiểu luận hoàn thiện Huế, ngày 20 tháng 11 năm 2012 Học viên thực Hà Văn Quý iii CHƯƠNG Một số kiến thức Môđun Phần trình bày ngắn gọn số khái niệm tính chất cần thiết để chuẩn bị cho Chương Các khái niệm vành, iđêan, môđun, song môđun xem biết chứng minh đầy đủ [1], [2] Những chứng minh lại (mà [2] chưa trình bày) thân học viên, mong nhận góp ý Thầy người đọc 1.1 Vành Iđêan Định nghĩa 1.1 ([1], tr 78) Một tập hợp R gọi vành R có hai phép tốn hai ngơi, gọi phép cộng gọi phép nhân, cho điều kiện sau thỏa mãn: (i) Tập hợp R nhóm aben phép cộng (ii) Phép nhân R kết hợp (iii) Luật phân phối: Phép nhân phân phối phép cộng Tức, với phần tử x, y, z ∈ R tùy ý, ta có (x + y)z = xz + yz, z(x + y) = zx + zy Vành R phép cộng có phần tử khơng, ký hiệu 0; phép nhân có phần tử đơn vị gọi vành có đơn vị Trong tồn tiểu luận này, khơng nói thêm, ta quy ước vành R ln có đơn vị khác không ký hiệu Định nghĩa 1.2 (i) Một tập hợp A vành R gọi vành R, A lập thành nhóm aben với phép cộng R đóng phép nhân, tức ab ∈ A, ∀a, b ∈ A (ii) Một tập hợp I vành R gọi iđêan trái (hoặc iđêan phải) R, I vành R thỏa mãn tính chất RI ⊂ I(hoặc IR ⊂ I) (iii) Nếu I vừa iđêan phải vừa iđêan trái R gọi iđêan R 1.2 Môđun Định nghĩa 1.3 ([2], tr 4) Cho R vành có đơn vị khác không Một R-môđun phải M là: 1) Một nhóm cộng aben M với 2) Ánh xạ M × R −→ M, (m, r) −→ mr gọi phép nhân môđun, thỏa điều kiện sau: i) Quy tắc kết hợp: (mr1 )r2 = m(r1 r2 ) ii) Quy tắc phân phối: (m1 + m2 )r = m1 r + m2 r, m(r1 + r2 ) iii) Quy tắc unita: m1 = mr1 + mr2 =m m, m1 , m2 phần tử tùy ý M , r1 , r2 ∈ R Lúc đó, R gọi vành sở Nếu M R-môđun phải ta ký hiệu M = MR Tương tự ta định nghĩa khái niệm R-môđun trái Nhận xét Từ định nghĩa ta có kết sau: 0M r = 0M , m0R = 0M , −(mr) = (−m)r = m(−r) với m ∈ M, r ∈ R Định nghĩa 1.4 Một R-môđun trái M đơn khơng có mơđun không tầm thường Một R-môđun trái M nửa đơn M tổng trực tiếp môđun đơn Một vành R nửa đơn trái R tổng trực tiếp iđêan trái cực tiểu.([4], VIII.3, tr 556) 1.3 Môđun môđun thương Định nghĩa 1.5 (Môđun con) Cho M R-môđun phải Tập A M gọi môđun M , ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR , A R-mơđun phải với phép tốn cộng nhân mơđun hạn chế A Chú ý ký hiệu A ≤ M để phân biệt với ký hiệu có tính tập hợp thơng thường A ⊂ M Ngồi ta ta viết A ≤ M có nghĩa A môđun thực M = A M có nghĩa A khơng phải mơđun M Sau dấu hiệu nhận biết môđun con: Định lý 1.3.1 Giả sử M R-môđun phải Nếu A tập khác ∅ M , khẳng định sau tương đương: i) A ≤ M , ii) A nhóm nhóm cộng mơđun M với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A, iii) Với a1 , a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A, với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A Chứng minh i) ⇒ ii) Giả sử A = ∅ mơđun M Khi đó, theo Định nghĩa 1.5, A R-môđun Theo Định nghĩa 1.3, A với phép toán cộng M nhóm cộng aben, A nhóm nhóm cộng mơđun M Cũng theo Định nghĩa 1.5, phép nhân mơđun M × R −→ M, (m, r) −→ mr, hạn chế A nên với a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A ii) ⇒ iii) Do tính chất nhóm nhóm cộng nên với a1 , a2 ∈ A ta có a1 + a2 ∈ A iii) ⇒ i) Lưu ý rằng, vành R tiểu luận ln giả thiết có đơn vị khác khơng Do đó, từ A = ∅, nên với a ∈ A, ta có 0M = a0R ∈ A −a = (−a)1R ∈ A Hay A nhóm cộng Hơn nữa, tính aben A có A ⊂ M Vậy A nhóm cộng aben Mặt khác phép nhân môđun A thừa hưởng điều kiện định nghĩa 1.3 nên A R-môđun Theo Định nghĩa 1.5, A ≤ M Nhận xét Mỗi iđêan phải vành R môđun RR Định lý 1.3.2 (Xây dựng môđun thương) Cho MR N ≤ M Khi đó: 1) M/N nhóm cộng aben với phép toán cộng : (x + N ) + (y + N ) = x + y + N 2) Quy tắc M/N × R −→ M/N (m + N, r) −→ (m + N ).r = mr + N phép nhân mơđun 3) Nhóm aben M/N với phép nhân môđun trở thành R-môđun phải Định nghĩa 1.6 (Môđun thương) M/N xác định Định lý 1.3.2 gọi môđun thương mơđun M mơđun N 1.4 Song môđun Định nghĩa 1.7 (Song môđun) Cho R, S hai vành Nhóm aben (M, +) song môđun R-bên phải S-bên trái, ký hiệu S MR , nếu: (a) M R-môđun phải M S-mơđun trái, (b) Ta phải có (sx)r = s(xr), r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M Cho R, S hai vành Nhóm aben (M, +) song môđun R-bên phải S-bên phải, ký hiệu MR−S , nếu: (a) M R-môđun phải M S-mơđun phải, (b) Ta phải có (xs)r = (xr)s, r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M 1.5 Đồng cấu môđun Định nghĩa 1.8 Cho A, B hai R-môđun phải Đồng cấu môđun α từ A vào B ánh xạ α : A −→ B thỏa: ∀a1 , a2 ∈ A, ∀r1 , r2 ∈ R [α(a1 r1 + a2 r2 ) = α(a1 )r1 + α(a2 )r2 ] Lúc ta viết α : AR −→ BR Định nghĩa 1.9 Đồng cấu α : AR −→ BR gọi đơn cấu (tương ứng tồn cấu, đẳng cấu) đơn ánh (tương ứng toàn ánh, song ánh) Bổ đề 1.5.1 Cho α : AR −→ BR Lúc đó: 1) U ≤ A ⇒ α(U ) ≤ B 2) V ≤ B ⇒ α−1 (V ) ≤ A Định nghĩa 1.10 Theo Bổ đề 1.5.1, α−1 (0) môđun AR Ta gọi nhân đồng cấu α Ký hiệu Ker(α) Nhận xét Nhân đồng cấu mơđun α nhân đồng cấu nhóm nên α đơn cấu Ker(α) = CHƯƠNG Lý thuyết Linh hóa tử 2.1 Linh hóa tử R vành, M R-mơđun trái Ta tìm hiểu tính chất M từ R ngược lại Một khái niệm đề cập để khảo sát mối liên hệ linh hóa tử Các chứng minh phần tham khảo chủ yếu từ [2], [3] Ngoài ra, học viên mạnh dạn đưa chứng minh số ví dụ minh họa khái niệm liên quan Định nghĩa 2.1 Cho M R-môđun trái X ≤ M môđun M Khi đó, linh hóa tử (trái) X R là: lR (X) = {r ∈ R|rx = 0, ∀x ∈ X} Mỗi với A ⊆ R, linh hóa tử (phải) A M là: rM (A) = {x ∈ M |ax = 0, ∀a ∈ A} Với tập {x}, {a}, ta viết tắt lR (x) rM (a) Khi khơng có nhầm lẫn nào, ta lược bỏ số R M Nếu bắt đầu với R - môđun phải M , ta định nghĩa linh hóa tử phải rR (X) linh hóa tử trái lM (A) Nếu A ⊆ lR (X) ta nói A linh hóa X Tiếp theo, tìm hiểu số tính chất khái niệm linh hóa tử Mệnh đề 2.1.1 Cho R MS song môđun, X ⊆ M, A ⊆ R Khi đó: 1) lR (X) iđêan trái R 2) rM (A) môđun MS Hơn nữa, X môđun R M lR (X) iđêan (hai phía) R Nếu A iđêan phải R rM (A) mơđun R MS Nếu R giao hốn lR (X) iđêan rM (A) môđun R MS Chứng minh 1) Ta có lR (X) = ∅ (vì 0R x = 0, ∀x ∈ X nên 0R ∈ lR (X)) Với x ∈ X, a, b ∈ lR (X), ta có (a + b)x = ax + bx = nên (a + b) ∈ lR (X) Với ∀r ∈ R, ∀a ∈ lR (X) ⊂ R, ta chứng minh ∈ lR (X) Thật vậy, với x ∈ X, ta có (ra)x = r(ax) (do định nghĩa R-mơđun M ) = r0 = (do a ∈ lR (X)) Do đó, lR (M ) iđêan trái R 2) Ta sử dụng Định lý 1.3.1 để chứng minh +Ta có rM (A) = ∅ (vì a0M = 0, ∀a ∈ A nên 0M ∈ rM (A)) +Với x, y ∈ rM (A) ⊂ M , a ∈ A ⊂ R ta có: a(x + y) = ax + ay (do tính chất R-mơđun trái R M ) =0 suy x + y ∈ rM (A) (do x, y ∈ rM (A), a ∈ A), +Với ∀x ∈ rM (A), ∀s ∈ S, ∀a ∈ A, ta có: a(xs) = (ax)s (do tính chất song môđun R MS ) =0 (do x ∈ rM (A), a ∈ A), suy xs ∈ rM (A) Đối chiếu điều kiện Định lý 1.3.1iii)ta có rM (A) ≤ MS Nếu X ≤ M với a ∈ lR (X), ∀r ∈ R, ∀x ∈ X, ta có (ar)x = a(rx) = 0, (do X R-môđun nên rx ∈ X) Suy lR (X) iđêan phải, hai phía, R Nếu A iđêan phải R ta ln có với ∀a ∈ A, ∀r ∈ R ar ∈ A Chứng minh tương tự ta có: ∀r ∈ R, ∀x1 , x2 ∈ rM (A) → x1 + x2 ∈ rM (A), rx1 ∈ rM (A) (do với a ∈ A ta có a(rx1 ) = (ar)x1 = 0, với ar ∈ A) Suy rM (A) môđun R M , từ mơđun R MS Nếu R giao hốn phép chứng minh ta ln có (ar)x = (ra)x = r(ax) = a(rx1 ) = (ar)x1 = (ra)x1 = r(ax1 ) = r0 = Do đủ để kết luận lR (X) iđêan R rM (A) môđun R MS Mệnh đề 2.1.2 Cho R M R-môđun X, Y tập M A, B tập R Khi đó: 1) X ⊂ Y ⇒ lR (X) ⊇ lR (Y ) A ⊂ B ⇒ rM (A) ⊇ rM (B) 2) X ⊆ rM lR (X) A ⊆ lR rM (A) 3) lR (X) = lR rM lR (X), rM (A) = rM lR rM (A) Chứng minh 1) Giả sử X ⊂ Y Với r ∈ lR (Y ), ry = 0, ∀y ∈ Y Suy ry = 0, ∀y ∈ X ⊂ Y Hay r ∈ lR (X) Vậy, lR (X) ⊇ lR (Y ) Tương tự, với x ∈ rM (B), ta có ax = 0, ∀a ∈ B Suy ax = 0, ∀a ∈ A ⊂ B Hay x ∈ rM (A) Do đó, rM (A) ⊇ rM (B) 2) Với x ∈ X ⊂ M , ta chứng minh x ∈ rM lR (X) ⇔ ax = 0, ∀a ∈ lR (X) Điều hiển nhiên theo định nghĩa lR (X) 3) Áp dụng 2) thay A lR (X) ta có lR (X) ⊆ lR rM lR (X) Ngồi ra, X ⊆ rM lR (X) nên từ 1) ta có lR (X) ⊇ lR rM lR (X) Mệnh đề 2.1.3 Cho R M R-môđun trái (Kα )α∈A (Iα )α∈A nhóm nhóm cộng M R tương ứng Khi đó: Kα ) = ∩α∈A lR (Kα ) rM ( 1) lR ( α∈A A lR (Kα ) 2) A ⊆ lR (∩A Kα ) Chứng minh 1) Vì Kβ ≤ lR ( A Kα ) Iα ) = ∩A rM (Iα ) A rM (Iα ) A Kα ⊆ rM (∩A Iα ) với β, áp dụng mệnh đề 2.1.2.1 ta có ⊆ Kα với α Mặt khác, phần tử r ∈ R linh hóa Kα linh hóa tổng phần tử Kα Do vậy, ∩A lR (Kα ) ⊆ lR ( A Kα ) Lập luận tương tự linh hóa tử bên phải ta có điều cần chứng minh 2) Rõ ràng, ∩A Kα ⊆ Kβ , với β ∈ A Do theo mệnh đề 2.1.2.1, lR (Kβ ) ⊆ lR (∩A Kα ) với β Ngoài ra, lR (∩A Kα ) iđêan trái R (theo mệnh đề 2.1.1.1), β∈A lR (Kβ ) ⊆ lR (∩A Kα ) Các lập luận tương tự linh hóa tử phải 2.2 Bài tập Bài toán Nếu R vành nửa đơn trái, R thỏa hai điều kiện dây chuyền iđêan trái Giải Ta chứng minh tính chất, mơđun M vành R có chuỗi hợp thành thỏa hai điều kiện dây chuyền môđun Thật vậy, M có chuỗi hợp thành có độ dài n khơng có dãy mơđun có độ dài lớn n, M thỏa hai điều kiện dây chuyền Ngược lại, gọi F họ mơđun thực M Khi đó, từ điều kiện cực đại tồn môđun lớn M1 ∈ F Gọi F2 họ môđun thực M1 , tương tự ta tìm môđun lớn M2 ∈ F2 Lặp lại thế, ta có dãy giảm M ⊃ M1 ⊃ M2 ⊃ · · · = = = Ta có M thỏa hai điều kiện dây chuyền nên dãy phải dừng, tồn t ∈ N cho Mt = Như vậy, dây chuyền chuỗi hợp thành M với Mi môđun cực đại môđun liền trướcMi−1 , i ≥ i Li Ta xét R nửa đơn trái, R = r= i Li , Đặt I = i ei , với ei ∈ Li Nếu r = 1r ri = ei ri Vì vậy, ei = 0, Li = Suy có hữu hạn Li = 0; tức là, R = L1 ⊕ · · · ⊕ Ln Ta có chuỗi R = L1 ⊕ · · · ⊕ Ln ⊇ L2 ⊕ · · · ⊕ Ln ⊇ · · · ⊇ Ln ⊇ {0} chuỗi hợp thành, với môđun đơn L1 , , Ln Theo nhận xét trên, ta có R (mà xem R-môđun trái) thỏa hai điều kiện dây chuyền Bài tốn 1) Mỗi mơđun môđun thương nửa môđun M môđun nửa đơn 2) Nếu R vành nửa đơn (trái), R-mơđun trái M mơđun nửa đơn 3) Nếu I iđêan hai phía vành nửa đơn R, vành thương R/I vành nửa đơn Giải 1) Cho B mơđun M Khi môđun C B môđun M Vì M nửa đơn trái nên C số hạng trực tiếp M C số hạng trực tiếp B Từ đó, B nửa đơn trái Cho M/H môđun thương M H số hạng trực tiếp M, M = H ⊕ H với H mơđun M Nhưng H lại nửa đơn nên từ M/H ∼ H kéo theo M/H nửa đơn = 2) Cho M R-mơđun Khi có R-mơđun trái tự F tồn cấu R-mơđun φ : F −→ M Vì R mơđun nửa đơn nên F môđun nửa đơn Suy ra, M thương môđun nửa đơn F, Theo phần 1), M nửa đơn 3) Vì I iđêan hai phía nên R/I vành Từ đó, R/I xem R-môđun trái nửa đơn (theo 1)), có tổng trực tiếp R/I ∼ = Sj , với Sj R-môđun trái đơn Mặt khác, Sj lại (R/I)-môđun trái đơn, với (R/I)-môđun Sj R-mơđun Sj Từ R/I nửa đơn Bài tốn 1) Cho M R-mơđun trái nửa đơn hữu hạn sinh Chứng minh rằng, M tổng hữu hạn trực tiếp môđun trái đơn Nói riêng, vành nửa đơn trái R tổng trực tiếp hữu hạn iđêan trái cực tiểu 2) Cho R1 , · · · , Rm vành nửa đơn trái Chứng minh tích trực tiếp R = R1 × · · · × Rm vành nửa đơn trái Giải 1) Giả sử {x1 , · · · , xn } tập sinh M M nửa đơn trái nên M = j Sj , với Sj môđun trái nửa đơn Mỗi xi = j sij , với sij ∈ Sj , có hữu hạn thành phần khác khơng Từ đó, {x1 , · · · , xn } hữu hạn phần tử Sj , gọi Sj1 , · · · , Sjt Khi đó, M ⊆< x1 , · · · , xn >⊆ Sj1 ⊕ · · · ⊕ Sjt ⊆ M 10 R xem mơđun trái nửa đơn nó, cyclic, hữu hạn sinh Từ đó, R tổng trực tiếp hữu hạn môđun trái đơn Tức là, R tổng trực tiếp hữu hạn iđêan trái cực tiểu 2) Ta có Ri nửa đơn trái nên Ri = Ji1 ⊕ · · · ⊕ Jit(i) , với Jik iđêan trái khơng Ri mà cịn R Do đó, Jik iđêan trái cực tiểu R Từ đây, R tổng trực tiếp iđêan trái cực tiểu, nên vành nửa đơn trái 11 KẾT LUẬN Tiểu luận gồm ba phần: mở đầu, nội dung kết luận Phần nội dung chia làm hai chương Trong đó, phần chương nêu lên số kiến thức vành, môđun làm tảng sở cho chứng minh chương lại Chương tiểu luận trình bày chi tiết khái niệm tính chất linh hóa tử Đồng thời giải số tập liên quan đến vành nửa đơn theo yêu cầu giáo sư Tác giả cố gắng kiểm tra lỗi tả cách hành văn nhiều lần, chắn thiếu sót khó tránh khỏi, mong góp ý q thầy bạn để khóa luận hồn thiện Một lần tác giả xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn bạn học viên 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] H.X Sính (2001), Đại số đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam [2] T.C Quỳnh, L.V Thuyết (2012), Bài giảng Lý thuyết Vành Môđun, ĐHSP - ĐH Huế Tiếng Anh [3] F.W Anderson, K.R Fuller (1973), Rings and Categories of Modules, Springer-Verlag New York - Heidelberg - Berlin [4] J.J Rotman (2003), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall 13 ... m? ?đun 3) Nhóm aben M/N với phép nhân mô? ?un trở thành R -mô? ?un phải Định nghĩa 1.6 (Mô? ?un thương) M/N xác định Định lý 1.3.2 gọi mô? ?un thương m? ?đun M m? ?đun N 1.4 Song mô? ?un Định nghĩa 1.7 (Song mô? ?un)... đầu với R - mô? ?un phải M , ta định nghĩa linh hóa tử phải rR (X) linh hóa tử trái lM (A) Nếu A ⊆ lR (X) ta nói A linh hóa X Tiếp theo, tìm hiểu số tính chất khái niệm linh hóa tử Mệnh đề 2.1.1 Cho... đồng cấu m? ?đun α nhân đồng cấu nhóm nên α đơn cấu Ker(α) = CHƯƠNG Lý thuyết Linh hóa tử 2.1 Linh hóa tử R vành, M R-m? ?đun trái Ta tìm hiểu tính chất M từ R ngược lại Một khái niệm đề cập để khảo