Đang tải... (xem toàn văn)
Tiểu luận cơ sở đại số hiện đại môđun tự do hữu hạn sinh Trong tiểu luận này có hai chương, đó là Kiến thức chuẩn bị và Môđuntự do. Chương I:Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, nhắc lại các kiến thức về môđun, môđun con, môđun con sinh bởi một tập, đồng cấu môđun, tổng trực tiếp và tích trực tiếp. Chương II: Môđun tự do
[...]... , n Vì các cơ sở của không gian véctơ M/IM có số phần tử bằng nhau nên các cơ sở của R -môđun M củng có số phần tử bằng nhau 2.13 Định nghĩa M là R môđun tự do hữu hạn sinh nếu nó có một cơ sở hữu hạn Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17 Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 17 KẾT LUẬN Tiểu luận này đã khảo sát các tính chất của môđun tự do và môđn tự do hữu hạn sinh Do hạn chế về thời.. .Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 2 11 Môđun tự do 2.1 Định nghĩa Một R -môđun trái M được gọi là tự do nếu nó có một cơ sở 2.2 Ví dụ 1) {0} là R -môđun tự do với cơ sở rổng 2) Bản thân R là R -môđun tự do với cơ sở {1} 3) nZ là một Z- môđun tự do với cơ sở {n} 4) Giá sử I là một tập chỉ số nào đó Khi đó R(I) = (⊕i∈I Ri , Ri = R, i ∈ I) là R -môđun tự do với cơ sở U = {ei | i ∈ I}, trong... R -môđun hữu hạn sinh Khi đó nếu M là một R -môđun tự do với S là cơ sở của M thì S hữu hạn Chứng minh Vì M là một R -môđun hữu hạn sinh nên ta gọi {m1 , m2 , , mn } là một tập sinh của M Vì S là cơ sở nên M= Rs s∈S Khi đó với mổi i ∈ {1, 2, , n}, tồn tại tập hữu hạn Fi ⊂ S sao cho mi ∈ Rs s∈S Đặt n F = Fi i=1 Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17 Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại. .. F hữu hạn và ∀i ∈ {1, 2, , n}, ta có: mi ∈ Rs s∈F Do đó M⊆ Rs s∈F hay M= Rs s∈F Nếu F ⊂ S, F = S thì ∃s ∈ S\F , do đó s ∈M = Rs s∈F Suy ra rs, r ∈ R s = s∈F Điều này mâu thuẩn với S là cơ sở của M Vậy S = F , hay S hữu hạn 2.12 Mệnh đề Cho M là một R -môđun tự do có một cơ sở hữu hạn Khi đó mọi cơ sở của M đều hữu hạn và có số phần tử bằng nhau Chứng minh Giả sử S = {m1 , m2 , , mn } là một cơ. .. Thuyết: Đại Số trừu tượng Nhà xuất bản Giáo Dục [3] Ngô Thúc Lanh: Đại Số( Giáo trình sau đại học) Nhà xuất bản Giáo Dục 1985 [4] Nguyễn Tiến Quang - Nguyễn Duy Thuận: Cơ sở lý thuyết môđun và vành Nhà xuất bản đại học quốc gia Hà Nội-2001 Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17 Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 19 Mục lục Lời nói đầu 3 1 Kiến thức cơ sở 3 1.1 Các khái niệm chung về Môđun. .. tính Do đó {ϕs (1)}s∈S là cơ sở 2.4 Hệ quả Mổi phần tử của một R -môđun trái tự do có thể biểu diển một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của các phần tử trong cơ sở của môđun đó 2.5 Hệ quả Cho R là một vành có đơn vị 1 = 0 tổng trực tiếp ⊕i∈I Ri , Ri = R, (∀i ∈ I) là một R -môđun trái (phải) tự do với cơ sở có lực lượng bằng lực lượng của I 2.6 Định lí Cho M là một R -môđun tự do với cơ sở S... một cơ sở của M Khi đó S là hệ sinh của M , do đó M là R -môđun hữu hạn sinh Nếu S là một cơ sở khác của M thì theo mệnh đề trên thì S hữu hạn Bây giờ ta cần chứng minh S và S có số phần tử bằng nhau Như ta đã biết hai cơ sở của một không gian véctơ hữu hạn sinh có cùng lực lượng Tập hợp các iđêan thực sự của R được sắ thứ tự theo quan hệ bao hàm Thật vậy, nếu {Bi } là một họ iđêan được sắp thứ tự hoàn... năng của bản thân nên tiểu luận này còn nhiều thiếu sót Trong thời gian tới, tác giả hy vọng có điều kiện khảo sát các vấn đề trên và hoàn thiện hơn các kết quả trong tiểu luận này Rất mong nhận được sự góp ý của quý thầy cô và các bạn Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17 Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng: Đại Số đại cương Nhà xuất bản... {Bi } Do đó theo bổ đề Zorn, R có một iđêan cực đại I Khi đó K = R/I là một trường Ta có S = {m1 , m2 , , mn } là cơ sở của R -môđun M nên: n M= Rmi i=1 Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17 Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 16 Từ đó n M/IM = n Rmi /IM ∼ = Rmi /IM = i=1 i=1 n i=1 Rmi /Imi ∼ = n Kmi i=1 trong đó mi = (mi + IM ) Như thế, M/IM là một K-không gian véctơ với cơ sở {mi... trên trường K đều là một K -môđun tự do Chứng minh Với V = {0} là hiển nhiên Giả sử V = {0} và S ⊂ S là các tập con của V , trong đó S độc lập tuyến tính và S sinh ra V Ta sẻ chứng minh tồn tại một cơ sở B của V sao cho S ⊂ B ⊂ S Gọi Ω là tập hợp mà mổi phần tử của nó là một tập chứa S, được Học viên: Bùi Văn Hiểu Lớp: LL&PP dạy học môn Toán K17 Tiểu luận cơ sở Đại Số hiện đại 14 chứa trong S và độc . con sinh bởi S và ký hiệu N =< S > . Khi M =< S > ta nói M là R-môdun sinh ra bởi tập S và S là hệ sinh của R-môđun M. Nếu M có hệ sinh hữu hạn thì ta nói rằng M là R-môđun hữu hạn sinh. một. {a 1 } củng là hệ sinh của Q. Tiếp tục quá trình này sau n bước ta được tập rổng là hệ sinh của Q và do đó Q = {0}. 2) Không gian véctơ R n là một R-môđun hữu hạn sinh có một hệ sinh là cơ sở chính. = s∈S A s = s∈S Rϕ s (1). Do đó, {ϕ s (1)} s∈S là hệ sinh của M. Hơn nữa, hệ {ϕ s (1)} s∈S độc lập tuyến tính. Do đó {ϕ s (1)} s∈S là cơ sở. 2.4 Hệ quả. Mổi phần tử của một R-môđun trái tự do có thể biểu