Đang tải... (xem toàn văn)
TIỂU LUẬN CƠ SỞ ĐẠI SỐ MÔĐUN NỘI XẠ VÀ VÀNH NOETHERIAN. ĐỊNH LÝ FAITH WALKER CHÍNH. Khái niệm môđun nội xạ được R. Baer phát hiện vào năm 1940. Từ đó đến nay, lớp môđun này được nghiên cứu mạnh mẽ và trở thành một công cụ quan trọng trong mọi ngành của Đại số học. Một trong những hướng nghiên cứu là tìm cách phân tích một môđun nội xạ thành các môđun con một cách tốt nhất.
[...]... B nội xạ nên là nội xạ n=1 Do đó E (N) nội xạ Vậy R là vành Noetherian 19 KẾT LUẬN Tiểu luận đã khảo sát một vài đặc trưng của vành Noetherian thông qua môđun nội xạ cũng như sự phân tích môđun nội xạ trên vành Noetherian Do hạn chế về thời gian và kiến thức cũng như trong khuôn khổ yêu cầu của một tiểu luận nên còn nhiều vấn đề chưa làm rõ được Ví dụ như việc trình bày chứng minh định lý Faith - Walker. .. 10 Chương 3 MÔĐUN NỘI XẠ VÀ VÀNH NOETHERIAN ĐỊNH LÝ FAITH WALKER CHÍNH Để kiểm tra một vành là vành Noetherian, ta thường dùng định lý "R là vành Noetherian khi và chỉ khi tổng trực tiếp các R - môđun nội xạ là nội xạ" Tuy nhiên, ta cố gắng tìm ra một tiêu chuẩn khác tốt hơn nhiều 3.1 Vành Noetherian và vật đối sinh cực tiểu Định nghĩa 3.1.1 Cho M là một R - Môđun, X ⊆ M, A ⊆ R lR (X) = {r ∈ R|rx = 0∀x... là tổng trực tiếp của các môđun nội là nội xạ c ⇒ b : Điều này là rõ ràng b ⇒ a : Được suy ra từ định lí Faith và bổ đề 3.1.4 13 3.2 Phân tích Môđun nội xạ Bổ đề 3.2.1 Vành các tự đồng cấu của mỗi môđun nội xạ khác 0 không phân tích được là vành địa phương Chứng minh Giả sử E là một môđun nội xạ khác 0 không phân tích được Gọi U là môđun con khác 0 bất kì của E Vì E nội xạ nên theo mệnh đề 1.2.4, ta... tính cực đại của B Suy ra E = 0 Do đó E = ( B Vậy E = Eα là sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp A Một môđun nội xạ trên vành R không cần phải có sự phân tích không phân tích được Nhưng mộtR - môđun nội xạ có sự phân tích không phân tích được khi và chỉ khi R là vành Noetherian Định lý 3.2.3 Cho R là một vành Các mệnh đề sau đây là tương đương (a) R là vành Noetherian (b) Mỗi R - môđun nội xạ là tổng... h:R/I→M Định lý 3.1.5 Cho R là một vành với vật R - đối sinh cực tiểu C0 Lúc đó các mệnh đề sau tương đương: a/ R là vành Noetherian b/ Một tổng trực tiếp vô hạn các bản sao của một vật R- đối sinh nào đó là nội xạ (N) c/ C0 là nội xạ Chứng minh a ⇒ c : Vì R là vành Noetherian và C0 là tổng trực tiếp các bao nội xạ (N) của các môđun đơn) nên C0 nội xạ Lúc đó C0 xạ nên (N) C0 là tổng trực tiếp của các môđun. .. bao nội xạ của mỗi môđun con khác không của nó Suy ra tập {E(R/I)|I ≤ R} chứa một bản sao đẳng cấu của mỗi nội xạ không phân tích được Vì đây là một tập nên ta có số lực lượng c sao cho mỗi R - môđun nội xạ không phân tích được là c - sinh Như thế, E là tổng trực tiếp của các môđun c - sinh Thực ra, điều ngược lại cũng đúng Định lý 3.3.5 (Định lý Faith - Walker chính) Một vành R là Noetherian khi và. .. sao cho mỗi R - môđun nội xạ là tổng trực tiếp các các môđun c - sinh Chứng minh Trước tiên để ý rằng nếu A là tập các môđun thì mỗi môđun thuộc tập này là c - sinh, trong đó c = card(∪A) Bây giờ, giả sử R là vành Noetherian và E là R - môđun nội xạ Lúc đó, theo định lí 3.2.3, E là tổng trực tiếp của các môđun nội xạ không phân tích được Theo chứng minh ở bổ đề 3.2.1 , một môđun nội xạ không phân tích... rằng vành R là vành địa phương khi và chỉ khi với mọi t ∈ R, hoặc t hoặc 1 − t là khả nghịch Định lý 2.3.7 (Định lý Azumaya) Nếu một môđun có sự phân tích trực tiếp M = Mα trong đó mỗi vành tự đồng cấu End(Mα ) là địa phương thì có một sự phân tích A không phân tích được và mỗi hạng tử trực tiếp khác không của M có một hạng tử hạng tử trực tiếp không phân tích được 10 Chương 3 MÔĐUN NỘI XẠ VÀ VÀNH... Vì thế C0 3.3 nội xạ và theo định lý 3.1.5, R là vành Noetherian Định lý Faith - Walker chính Định nghĩa 3.3.1 Một môđun M được gọi là c - sinh nếu có một tập được chỉ số hóa (xγ )γ∈C sinh ra M, trong đó c = cardC Nhận xét 3.3.2 Từ định nghĩa trên ta có các nhận xét sau: 1 Nếu C là một tập thì M là cardC - sinh khi và chỉ khi M là ảnh toàn cấu của môđun tự do R(C) 2 Ảnh toàn cấu của một môđun c - sinh... vành Noetherian (b) Mỗi R - môđun nội xạ là tổng trực tiếp của các R - môđun không phân tích được (c) Mỗi R - môđun nội xạ có sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp (d) Mỗi R - môđun nội xạ có sự phân tích bù các hạng tử trực tiếp cực đại Chứng minh (a) ⇒ (b) : Giả sử R là vành Noetherian và E là môđun nội xạ trên R Đặt Γ = {A ≤ E|A nội xạ, A không phân tích được} G = {Ω ⊂ Γ| A= Ω A} Ω G = ∅ vì ∅ ∈ G G . quan trọng của vành Noetherian qua môđun nội xạ. Chương III là phần chính của tiểu luận, theo đuổi xa hơn và tìm ra những đặc trưng khác của vành Noetherian qua môđun nội xạ, đặc biệt nêu và chứng