Đang tải... (xem toàn văn)
hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế hướng dẫn giải bài tập toán cao cấp cho các nhà kinh tế
Ì5NG ĐẠI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN B Ộ M Ô N T O A N C ơ B A N HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ■ T O Á N C Ạ O C Ấ P CHO CÁC NHÀ KINH TÊ (Phần i: Đại sô tuyên tính) NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN LỜI NÓI ĐẤU Tiếp theo cuốn bài tẠp-“Tođn cao eấp cho các nhã kinh tế*, do Nhà xuất bản Thđng ke án hành nSm 200S, lẩn này chúng tôi cho biên soạn cuốn “Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”. Mục đích cùa cuốn sách nhảm giúp cho sinh viên có thể tự bọc tốt môn học, hoặc dùng để ôn lập thi hết bọc phẩn, thi tuyến sinh dáu vào Sau đại học. Kết CẨU cuốn sách gổm hại phẩn chính tương úng vói nội dung của giáo trình lý thuyết v& cuốn bài tập. Trong mỏi bài học, chúng tôi tóm tắt lại các khái niệm và kết quả cơ bản cùng các ví dụ miu. Hướng dán phương pháp giải các loại bài tập cụ tbé, cuối cùng là các bài tập và đáp số hoặc gợi ý để các bạn tự rèn luyện. Hy vọng cuốn sách sẽ giúp các bạn tự học và ôn tạp tót môn học 'Toán cao cấp cho các nhà kinh tế”. Lần đẩu biẽn soạn, cuốn sách khổng tránh kha thiếu sót, rát mong nhân được sự góp ý của bạn dọc và đổng nghiệp aể lẩn xuỉt bản sau được hoàn thiện hơn. Mọi ý kiến góp ỷ xin gửi vé: Bộ môn Toán cơ bản, Khoa Toán Kinh tế, Trường Đại học Kinh tỄ Quốc dân. ĐT/Fax: (04) 6283007. Email: hoangtoancb@neu.edu.vn Xin chân thành cảm ơn! Trường Bộ môn Toán Ca bản, ĐH KTQD. NGUYỄN HUY HOÀNG P hấn 1 ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tái bản lần thứ 3 (C ó sửa chữa bổ sung) C huơn g1 KHÔ NG GIAN VECTƠ §1. Hệ phương trình tuyến tính tổng quát A. Tóm tát lý thuyết và các ví dụ mẫu Hệ phương trình tuyến tính tổng quát gồm m phương trình và n ẩn: a„x, + al2x2 + — + aInx„ = b, a2lx, + au x2 + - + a2nxn = b2 a„,x, + am2x2 + - + a „ x , = bm Hệ tam giác: anx, + a,jX2 + — + alnx„ = b, a22x2 + + a2nxD = bj annxo = bn ơđó, *0 và ajj = 0 với i> j. Hệ dạng tam giác có nghiệm duy nhất. Cách giải: Từ phương trình cuối cùng giải được ẩn x„, thay ngược lên các phương trình ưên tìm các ẩn còn lại, nghiệm của hệ phưcmg trình là duy nhất. Ví dụ 1: Giải hệ phương trình: | 2 x ,+ x j- X, =5 X j + 3 X j = 7 5x, =2 Giải. Lần luợt tìm giấ tĩị của ẩn x,,x2,x,. Hẹ phuơng trình đă cho có nghiẹm duy nhít: Hệ Müh thang: aMx, + a,jX2 + - + a ^ x , + - + alax„ = b, a H x 2 + - + a 2« x . + + a 2 . \ , = ở đó, ai 5tO,Vi = l,2, ,m;m <n và aÿ=0 với i> j. Cách giải: + Chọn là các ẩn chính (sổ ẩn chíoh báng sổ phnơng trình); là ẩn tự do. + Chuyển các ẩn tự do sang VẾ phải và gán cho chiỉog nhũng giá aị tnỳ ý: Khi dó, la thu đuợc hẹ mới có dạng tam giác với các ẩn chinh, giải hệ này ta đuợc: vạy ta cố nghiệm cùa hệ phương trình dã cho có dạng: (O p«i Vì các giá trị m ì ta gán cho các ẩn tự do là tuỳ ỷ nên bệ hình thang có vở số nghiệm . Ví dụ 2: Giải hệ phuơng trình: + a^x, b. x»*l ~ a B»l> xm»2 - x« - CT| 2x, + 3 x2 - X, + x4 = 5 Xj - X, -2x„ =-2 2x, - X, = 3 Giải: Chọn x,,x2,x, là các ẩn chính; x4 là ẩn cự do, x4 * a, a e R. Hệ phutmg trình ds cho tương dưong: Ì 2 x, + 3 x j ’ - X, = 5 - a Kj - X, = - 2 + 2 a X, = 3 + a = -8 a + 8 X, = -8 ( a-l) Xj = ị( a + 3) + 2 a - 2 o ■ x2 = ị( 5 a - l) * j = ỉ ( a + 3) [x, = i( a + !) Nghiệm tổng quát: ( ^ ( a - l ^ ị ^ a - l ^ ^ a + l),«*). Phương pháp khử ẩn liỀn tiếp Các phép biến dổi tuong đương dổi với hẹ phương trình tuyến tính: • Đổi chỗ hai phuơng trình trong hệ cho nhau; • Nhan hai vế của một phuong trình ưong hẹ với một số khác khổng; • Cộng v&o hai vế của một phuơng trinh hai vé tương úng của một phương trinh khỉc sau khi dã nhãn với một số. Bây giờ chung tôi Ún giới thiệu phương pháp khử ẩn liên tiếp Gauss dể giải hệ phuơng trình tuyến tính tổng quát Nội đủng: Chuyển hộ phương trình tuyến tính tổng quát vổ hệ tam giác hoặc hệ hình thang, bằng các phép biến dổi tuơng dương dối với hệ phutmg trình tuyến tính. Chú ý: Để giải hệ phương trình tuyến tính ta thường biên đổi ữên ma trận mờ rộng tương ứng của hệ phương ưình đó. Cách giải: Tương ứng với hệ phương ưình tuyến tính tổng quát ta có ma trận mờ rông và khổng mất tính tổng quát giả sử a,, * 0. Bước 1: Khử ẩn X, bàng cách lấy dòng một nhân với và cộng ®II vào dòng i, i = 2,3, ,m. a!2 ■•• »1. b ,' '»II _ ■ a,n A = *22 • •• a2„ b2 -> 0 »'» • a'í„ t>; *aml a»2 • • a^, o a«i Bước 2: Khử ẩn Xj (giả sử a'^ * 0) bằng cách lấy dòng hai nhân với â* - — rồi công vào dòng i, i = 3,4, ,m. »á Cứ tiếp tục quá trình ưên ta đưa được hê phương ưìiih đã cho vé hệ tam giác hoặc hẹ hình thang. Trong quá trình sừ dụng các phép biến đổi tưong đương nếu thấy trong hẹ phương trình xuất hiện phương trình dạng: • 0x, +0x2 + + 0xn = b * 0 thì kết luận hẹ phương trình đã cho vô nghiệm; • 0x, + Ox, + + 0xn = 0 thì có thể bỏ phưcmg trình này. Ví dụ 3: Giải hệ phuơng trình: X + 2 y - 3z = 1 2 x - 3y + z = 2 3x - y - 2 z = 4 '1. 2 3 r '\ 2 -3 f '1 2 -3 r 2 -3 1 2 -¥ 0 -7 7 0 -> 0 -7 7 0 ,3 -1 - 2 4J ,0 -7 7 K ,0 0 0 K Hệ phương trình ưẻn tương đương với hệ phương trình: X + 2y - 3z = 1 - l y + 72 = 0 Oz = 1 Hệ phương trình đã cho vô nghiệm. Vi dụ 4\ Giải hệ phương trình: I X + y + z = 6 2x + y - z = 1 3x - y + 2 = 4 Giải: ' 1 1 1 6 ' ' 1 1 1 6 ^ ' 1 1 1 6 ' 2 1 - 1 1 —> 0 1 1 ũ» 1 -» 0 -1 - 1 -11 ,3 - ! 1 4 0 - 4 - 2 -14 0 0 10 30 Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau: x + y + z = 6 X = 1 -y - 3z = -1 1 o • y = 2 10z = 3 0 [z = 3 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhát (1,2,3). Vi dụ 5: Giải hệ phương trình: -4x, - Xj + lOx, - 5x, = 0 X, + 2x, - 2x, + X, = 0 - 2 x , + 3Xj + 7x , - 2 x4 = 0 Giải: '-4 -1 10 -5 ' ' 1 2 -2 1 ' 1 2 -2 1 —►-4 -1 10 -5 ,-2 3 7 -2, ,-2 3 7 -2, 1 2 -2 1 " 1 2 -2 1 1 -♦ 0 7 2 -1 —* 0 7 2 -1 .0 7 3 0, ,0 0 I ' Hẹ phuong trình đ a cho tuong đương với hệ phương trình sau: X, + 2Xj - 2Xj + X, = 0 7 Xj + 2 x , - * 4 = 0 Xj + x4 = 0 Chọn x,,x,,x, làcácẩncMnh; x.làấntựdo.gánchox,, =a, VaeR. Hệ phuong trình bện tương đương với hệ phương trình sau: ix , + X , - 2 k , = - a X, = - a - 2a - - ậ a X, « - f a 7 x , + 2 x , = a O ' K2 = | a <=> *2 *= -fa [ *» ậ -« X, = - a * - a ( 27 3 ^ Vậy nghiệm cùa bệ phuoDg trình là. I - — 0, - 0, - a ,a l , o e E . Chú ý: Mọi hệ phaong trình tuyến tính thuán nhất cỗ sỗ phuong trình ít hơn sổ ẩn đểu có vô stf nghiệm (có nghiệm không tầm tliuùDg). B. BỒI tập IểĐỂb&l Giải các bệ pbuơng trình tuyến tính sau bằng phương pháp kbử ẩn liên úếp Gaus«: 2x+3y*5 3 x -y — 9 * +2y=4 X - 2 v * 3 2 x - y = 1 3x-3 y =5 3. 5. 7. 9. l l ể 13. 15. 8x - y =10 X +y+z =6 10 *-9* =19 4. 2 x+ y-z = 1 1 9 II 00 J x -y + z =4 X -6y+ 8z = 0 * +2y -3z = 1 3x-4 y+ 5z =18 6. 2* -3y+ z =2 2 *+ 4y -3z =26 3 x- y -2z =4 2 x-3 y+ 2z = 1 X -2 y + 3z =0 J x - 5 y - 4 z =2 8. 2x+ 3y-3z =0 3x-4y+ 10z =1 4x -3 y + 5z =0 2x+ y -3* =0 3x+2y+ z =0 4x + 3y+5z =0 10. X - y - z = -2 2x +3y + 2z = 1 3x - 5 y -4 z =-8 -2x + 2y + 3z = 4 X + y + z =3 X, +X, = 4 X +2y+3z « 2 12. 2x3 + X, = 1 i 2x+3y+2z =0 3 x,+ x ' =22 3x+ y +2z =4 4x, + X, =29 x ,+ k , + x, =6 x,+x,-x,+x. =-2 x, + x,+ x4 =9 X, + x4 + X| =8 14. X,-X ,-X, J-X, = 0 X,+Xj+X,-X4 = 2 x4 + x, +Kj =7 X, -Xj +x, -X, = 4 X, - 2x, +3xj - X, =2 2x, + X, - X, +3x4 » 1 4x, -3 *j + SXj + x4 =3 16. X, - 4 x ¡+ 6 x , - 4 Xj = - 1 0 -2x,+3x, - 4 x, + 5x4 = 7 3x, + 2X j -5 \ , - 3Xj = 7 [...]... véc tơ XpXj.XjjX,, dã cho bẳng hai Chú ý: Trong chương này mới chi giới thiệu cách giải bài toán tìm hạng của hệ véc tơ bằng định nghĩa, ờ chương sau chúng ta có thể giải bài toán này dẻ dàng hem thông qua hạng cùa ma ưận Ví dụ 3: Biện luân theo k hạng cùa hệ véc tơ: fx , = (1 ,2 ,-3 ) X ,= ( 0 ,- l,- 2 ) [x , = (2,3, k) Giải: Xét hỂ thúc: k,x, + k ,x , + kjX, = 0j Ma ưận hệ số tương ứng: ' 1 0 1... ý: Trên dây mới chi là phương pháp giải bài toán theo định nghĩa, ờ các phán sau ta có thể xét bài toán này theo phuơng pháp hạng cùa hệ véc tơ thõng qua hạng của ma trận hay phương pháp dịnh thức (nếu số véc tơ bằng số chiều cùa véc tơ) Vi dụ 5: Tun X để hộ véc tơ sau là độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính: X, = ( l,- 2 ,- l) , X, =(-1,1,2), X, =(2,-3,*.) Giải: ' \ -1 2' '\ -1 -2 1 ► -3 —... Tổng quáL Để giải bài toán như trẾn la xét hê phương irình có ma trận hệ só với các CỘI là tọa độ cấc véc tơ còn lại và CỘI he số tụ do là tọa độ cùa véc tơ X Nếu hệ phucmg trình này có nghiíím 'thì X biểu dién luyến tính qua các véc lơ còn lại, ngược lại thì không Ví du 2: Tim X dể X biểu dién tuyén tính qua các véc tơ còn lại X = (X> ,5 ),X ,= (3 ,2 ,6 ), x 2 =(7,3,8), X, =(5,1,3) 2 Giải: Xét hệ... trận cùng cấp m Xn, được kí hiệu và xác định nhu sau: a A = ( a ¡ v'mxn ' ü (nhân tất cả các phần tủ của ma trận với số thực a ) Chú ý: Hiệu hai ma ưận A và B được tính nhu sau: A - B = A + (-B ) = A + (-l)B Ví dụ 1: Cho hai ma ưận (2 Ho -1 3 5^ (7 J^-U 4 « -1 0 '| , j Tính A + B, 3A, 2A -3B Giải: A + B = í 2+7 (0 + 6 - 1+ 4 3+ 8 5 + H ° ) ì = í 9 3 - 5Ì; 1+ 1 J {6 11 2 y B Bài tập L ĐỂ bài 1 Thực... khi chúng cùng cấp và các phần tử ở các VỊ trí tuơng úng cùa chúng đôi một bằng nhau A - ( Ề< L , : B=K L fa = b A=B o | _ _ [i = l , m ; j = l,n Phép cộng ma trẠn và phép nhân ma trận với một số Định nghĩa: Cho hai ma trận cùng cấp A b = KL và a là một số thực b ít kì, • Tổng của hai ma trận A và B là một ma trận cùng cáp m Xn, dươc kí hiệu và xác định như sau: A + B = (a,J+ bs) _ (công các phần tủ tương... dòng và n cột đuục gọi là ma trận cấp m X n \ a M ' • a in a 2l a 22 ■ • ® 2n ^ ữ ií A= a !2 ^m 2 =KL ® i»n J Ma (rận đ ã : Ma trận đối của ma ưận A là ma trận cùng cấp m ì mỗi phán tử của nó là số đối của phẩn tử tưcmg ứng của ma trâo A -A = ( - a ^/niK ' J n Ma tràn chuyển vị: Ma trận chuyển vị cùa ma trận A cấp m X n là mỏi ma ưận cấp n X m mà các dòng cùa nó là các CỘI tuơng ứng của ma trận A (hoặc... = (-3 ,2 ,-1 ) Giải: Xét hệ thức: k,x, + k,Xj + lc,x, = 0, Hệ phương trình tuơng úng là: ( k, - 2 k 2- 3 k , = 0 -k , + k3 +2kj = 0 - k j - kj = 0 -2 -3 ' 1 — > 1 -1 0 -3 ' -1 1 -2 1 2 0 'ỉ -» 0 -3 > 1 1 1 -2 -1 © '1 0 0 0, Hệ phương trình tương dương: J k 1- 2 k , - 3 k , =0 ị - k , - k , =0 Hệ hình thang có vô sô' nghiệm Vậy hệ véc tơ đã cho phụ thuộc tuyến tính Chú ý: Để giải bài toán xét sự độc... Biện luận theo k hạng của các hẹ véc tơ sau: X, = (1,2,-3) 70 X , = (0 ,-1 ,-2 ) X, = (2,3,1c) [X, = (2,-1,3) 71 X, = (-4 ,2 ,-6 ) [x, = (-2,k,-3) 72 Cho 2 hệ véc tơ n chiéu và s và S’ có hạng tương úng r(s) và r(S') Chứng minh rằng r{S,S'} £ r(S ) + r(S') n.Đáp số 64 r = 2 Các cơ sỡ là { x „ x ,} ; { x ,,x ,} 65 r = 2 Các cơ sở là {X,,Xj} ; {X j.X,}; { x „ x ,} 66 r = 2 Các cơ sờ là {X,, X2}; {X2,X... trận hệ sổ với các cột tương ứng là các véc tơ này viết theo dạng cột Thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trỄn ma trân này, nếu ma trân cuối cùng có dạng hình thang thì hẹ véc tơ phụ thuộc tuyến tính, nếu có dạng tam giác thì hẹ véc tơ độc lập tuyến tính Vi dụ 4: Xét sự độc lạp tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính cùa hệ véc tơ sau: X, = ( - 1,1, 2) ’ X2 = ( - 2, 1 - 1), X, = (3, - 1, 1) Giải: Xét hê thức;... lý thuyết và các vt dụ mẫu Phép biểu diễn tuyến tính Định nghĩa: Véc tơ X e R" được gọi là biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ n chiểu XI,X 2, ,X 1 nếu nó biểu diễn duới dạng: I 1 x = a ,x , +a,Xí + +a„X„ ờ d ó a , , a 2, , a 11 6 R 1 Vi dụ 1: Tìm X để véc tơ X biểu diễn tuyến tính qua các véc tơ còn lại x = ( 2 , - u ) , X, =(4,3,2), X2 = (-1 ,-2 ,-3 ) Giải: G iảsửtồntại k ,,k j sao cho: X = k ,X . cuốn bài tẠp-“Tođn cao eấp cho các nhã kinh tế* , do Nhà xuất bản Thđng ke án hành nSm 200S, lẩn này chúng tôi cho biên soạn cuốn Hướng dẫn giải bài tập Toán cao cấp cho các nhà kinh tế . Mục. v& cuốn bài tập. Trong mỏi bài học, chúng tôi tóm tắt lại các khái niệm và kết quả cơ bản cùng các ví dụ miu. Hướng dán phương pháp giải các loại bài tập cụ tbé, cuối cùng là các bài tập và. Ì5NG ĐẠI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN B Ộ M Ô N T O A N C ơ B A N HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP ■ T O Á N C Ạ O C Ấ P CHO CÁC NHÀ KINH TÊ (Phần i: Đại sô tuyên tính) NHÀ XUẤT BẢN ĐAI HỌC KINH TỂ QUỐC DÂN LỜI