Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương trình toán của trung học phổ thông, thì dạng toán tìm các giá trị của tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm đúng trên một tập D nào đó là một trong những dạng toán rất phổ biến và tương đối quan trọng. Nhưng việc giải nó thì học sinh lại gặp rất nhiều khó khăn, kể cả khi có những lời giải sẵn nhưng học sinh cũng không hiểu tại sao lại phải đưa ra các điều kiện như thế.
Sở giáo dục đào tạo nghệ an I Lí DO CHỌN ĐỀ TÀI: Trong chương trình tốn trung học phổ thơng, dạng tốn tìm giá trị tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm tập D dạng toán phổ biến tương đối quan trọng Nhưng việc giải học sinh lại gặp nhiều khó khăn, kể có lời giải sẵn học sinh không hiểu lại phải đưa điều kiện Giả sử ta xét toán sau đây: Bài toán 1: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình f(x) = (m2 +1)x2 + (2m - 1)x – < nghiệm với x thuộc khoảng (-1 ; 1) Bài tốn 2: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình f(x) = -(m2 +2)x2 – 2mx +1 – m > nghiệm với x thuộc nửa khoảng (2 ; +∞ ) Bài tốn 3: Tìm giá trị tham số m ≠ để bất phương trình f(x) = 2mx2 – (1 – 5m)x +3m +1 > nghiệm với x thuộc khoảng (-2 ; 0) Trên tốn có đề hoàn toàn hợp lý af (−1) ≤ Khi giải tốn điều kiện đưa là: af (1) ≤ Với toán gặp thường học sinh bắt tay vào việc giải mà khơng biết nhận xét để đưa kết nhanh xác Nếu để ý ta thấy hệ số a = -(m +2) < 0, ∀m ∈ R nên khơng có giá trị m thỏa mãn điều kiện tốn (bài tốn vơ nghiệm) Khi gặp tốn học sinh gặp nhiều khó khăn, khơng cẩn thận dẫn đến thiếu nghiệm Để giải tốn ta phải xét trường hợp sau: TH1: a > ∆ < TH2: a > ∆ ≥ a f ( −2) ≥ s ≤ −2 2 TH3: a > ∆ ≥ a f (0) ≥ s ≥ 2 TH4: a < a f ( −2) ≤ a f (0) Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào tạo nghƯ an Nhưng chắn nhiều học sinh khơng hiểu ta lại phải xét trường hợp Song có giúp đỡ đồ thị việc giải tốn trở nên nhẹ nhàng nhiều xảy tình trạng thiếu nghiệm Thật để tìm giá trị tham số thỏa mãn điều kiện tốn (về mặt đồ thị) ta có trường hợp sau (có thể) xảy vị trí đồ thị hàm số f(x) = 2mx2 – (1 – 5m)x +3m +1 trục Ox thỏa mãn toán sau: a) ( -2 b) ( -2 ) d) ( -2 ) c) e) ( -2 ) ( -2 ) ( -2 ) ) f) Nhìn vào đồ thị trường hợp ta dễ dàng suy điều kiện cho trường hợp toán 3: Ứng với a) ta có điều kiện TH1 Ứng với b) c) ta có điều kiện chung TH2 Ứng với d) e) ta có điều kiện chung TH3 Ứng với f) ta có điều kiện TH4 Vì lý mà tơi chọn đề tài: “Sử dụng đồ thị để giải số tốn tìm giá trị tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm tập D ” nhằm giúp em học sinh thầy giáo có nhận xét đắn để đưa lời giải cho toán dạng II THỰC TRẠNG CŨ VÀ GIẢI PHÁP MỚI: 1.Thực trạng cũ: Khi gặp tốn dạng học sinh lúng túng gặp nhiều khó khăn vấn đề đưa trường hợp để từ tìm giá trị tham số thỏa mãn iu kin bi toỏn Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào t¹o nghƯ an 2.Giải pháp mới: Khi gặp tốn dạng học sinh nên vận dụng đồ thị để đưa trường hợp toán, từ tìm giá trị tham số thỏa mãn điều kiện toán mà lại tránh nhiều thiếu sót III NỘI DUNG: Trong giải dạng toán này, ý tới kết đơn giản mà lại hữu ích sau đây: Nếu hệ số a > Parabol y = ax + bx + c có bề lõm quay lên Trong hệ trục tọa độ Oxy, ta xét vị trí tương đối Parabol y = ax2 + bx + c với trục Ox có khả sau: a) b) c) Nếu hệ số a < Parabol y = ax2 + bx + c có bề lõm quay xuống Trong hệ trục tọa độ Oxy, ta xét vị trí tương đối Parabol y = ax2 + bx + c với trục Ox có khả sau: a) b) c) *Chú ý: Trong hình vẽ tốn trục nằm ngang trục Ox Parabol đồ thị hàm số bậc hai Để tìm giá trị tham số m cho tam thức bậc hai f(x,m) > (hay f(x,m) < 0) tập D đó, có nghĩa ta phải tìm giá trị tham số m đồ thị hàm số f(x,m) nằm phía (hay nằm phía dưới) trục hoành (trục Ox) với x thuộc tập D Dựa vào nhận xét việc giải toán nêu phần I tương i n gin Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào tạo nghƯ an Ta xét số tốn sau đây: Bài tốn 4: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình f(x) = x2 + 2(2m+1)x + 4m2 – > nghiệm với x thuộc khoảng (0 ; 1) Chỉ dẫn: Nếu gặp tốn mà khơng cẩn thận việc giải thường dễ nhầm lẫn dẫn đến thiếu nghiệm Nhưng dựa vào đồ thị, ta có nhận xét sau: Để tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện tốn, ta phải tìm giá trị tham số m cho đồ thị hàm số f(x) = x2+2(2m+1)x +4m2 – nằm phía trục hoành (trục Ox) với x thuộc khoảng (0 ; 1) Vì hệ số a = > nên ta có trường hợp xảy sau đây: a) ( b) ) ( c) ) ( ) e) d) ( ) ( ) a > ∆ < a > ∆ ≥ kiện là: af (1) ≥ s ≥1 2 Với trường hợp a) tương ứng điều kiện là: Với trường hợp b) c) tương ng iu Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào tạo nghệ an Với trường hợp d) e) tương ứng điều kiện là: a > ∆ ≥ af (0) ≥ s ≤ 2 Từ ta có lời giải tốn sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện tốn m thỏa mãn trường hợp sau: TH1: TH2: TH3: a > ∆ < ⇔ a > ∆ ≥ a f (1) ≥ s ≥1 2 1 > 2 4(2m + 1) − 4(4m − 3) < ⇔ a > ∆ ≥ a f (0) ≥ s ≤ 2 1 > m ≥ −1 8m ≥ −(2m + 1) ≥ ⇔ 1 > m ≥ −1 ⇔ 4m − ≥ −(2m + 1) ≤ ⇔ m < -1 ⇔ -1≤ m ≤ m ≥ −1 3 ∨m≥ m ≤ − 2 m ≥ − ⇔ m≥ Kết hợp kết trường hợp ta ∀m ∈R thỏa mãn điều kiện tốn Bài tốn 5: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình f(x) = x2 – m(m-2)x + 2m2 – ≤ nghiệm với x thuộc đoạn [1 ; 2] Chỉ dẫn: Với toán biết minh họa đồ thị có trường hợp sau xảy ra: a) [ ] b) [ ] c) [ ] Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vi trng hp a) tương ứng điều kiện là: a > af (1) = af (2) < Với trường hợp b) tương ứng điều kiện là: a > af (1) ≤ af (2) ≤ Với trường hợp c) tương ứng điều kiện là: a > af (1) < af (2) = Kết hợp điều kiện ta điều kiện chung là: a > af (1) ≤ af (2) ≤ Do ta có lời giải tốn sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện toán m thỏa mãn điều kiện sau: a > a f (1) ≤ a f (2) ≤ Giải hệ ta tìm kết tốn Bài tốn 6: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình f(x) = -2x2 +(m-3)x +m-3 < nghiệm với x thuộc đoạn [-1; 0] Chỉ dẫn: Đây bất phương trình bậc hai có hệ số a < 0, nên giải ta nên để ý đồ thị f(x) có khả sau xảy thỏa mãn điều kiện toán: -1 [ ] -1 [ a) ] -1 [ b) -1 [ ] ] c) -1 [ ] Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I d) e) Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vi trng hp a) thỡ tng ứng điều kiện là: a < ∆ < Với trường hợp b) c) tương ứng điều kiện là: Với trường hợp d) e) tương ứng điều kiện là: a < ∆ ≥ af ( −1) > s < −1 2 a < ∆ ≥ af (0) > s > 2 Từ nhận xét ta có lời giải tốn sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện tốn m thỏa mãn trường hợp sau: TH1: TH2: TH3: a < ∆ < a < ∆ ≥ af (−1) > s < −1 2 a < ∆ ≥ af (0) > s > 2 Kết hợp kết trường hợp ta tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện tốn Bài tốn7: Tìm giá trị tham số m ≠ để bất phương trình f(x) = -m2x2 + 2(m+2)x -1 > thỏa mãn với x thuc on [0 ; 1] Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào tạo nghệ an Ch dn: Trong bi toỏn ny ta thấy m ≠ hệ số a < 0, nên tốn có khả xảy sau: [ ] Từ ta có lời giải tốn sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện tốn m thỏa mãn điều kiện: a < af (0) < af (1) < Giải hệ ta giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện tốn Bài tốn 8: Tìm giá trị tham số m ≠ để bất phương trình f(x) = mx2 +2(m+1)x + 4m > thỏa mãn với x thuộc khoảng (-2; +∞) Chỉ dẫn: Đây bất phương trình mà hệ số a ta chưa biết âm hay dương, gặp toán thường học sinh lúng túng Nhưng dựa vào đồ thị ta có nhận xét trường hợp xảy sau: Nếu hệ số a < đồ thị f(x) quay bề lõm xuống nên khơng có trường hợp xảy thỏa mãn điều kiện toán Nếu hệ số a > (về đồ thị) ta có trường hợp (có thể) xảy thỏa mãn điều kiện toán sau: a) ( -2 b) +∞ ( -2 c) + ( -2 Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I + Sở giáo dục đào tạo nghệ an a > Vi trng hp a) tương ứng điều kiện là: ∆ < Với trường hợp b) c) tương ứng điều kiện là: a > ∆ ≥ a f (−2) ≥ s ≤ −2 2 Từ nhận xét ta có lời giải tốn sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện tốn m thỏa mãn trường hợp sau: a > ∆ < a > ∆ ≥ TH2: af (−2) ≥ s ≤ −2 2 TH1: Kết hợp kết trường hợp ta tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện tốn Bài tốn 9: Tìm giá trị tham số m ≠ để bất phương trình f(x) = mx2 +4(m-1)x + m – < thỏa mãn với x thuộc khoảng (-∞ ; 1) Chỉ dẫn: Bài tốn có dạng giống tốn 8, giải ta có nhận xét sau: Vì m ≠ nên hệ số a ≠ Nếu hệ số a > khơng có trường hợp thỏa mãn điều kiện toán Nếu hệ số a < (về đồ thị) ta có trường hợp (có thể) xảy thỏa mãn điều kiện toán là: -∞ ) a) -∞ ) b) - ) c) Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vi trng hp a) tương ứng điều kiện là: a < ∆ < Với trường hợp b) c) tương ứng điều kiện là: a > ∆ ≥ af (1) ≥ s ≥1 2 Từ nhận xét ta có lời giải toán sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện tốn m thỏa mãn trường hợp sau: TH1: TH2: a < ∆ < a > ∆ ≥ af (1) ≥ s ≥1 2 Kết hợp kết trường hợp ta tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán Bài tốn 10: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình f(x) = x2 -2(m+1)x -2m -2 ≥ thỏa mãn với x thuộc khoảng [-1 ; 1) Chỉ dẫn: Vì hệ số a =1 > nên (về đồ thị) ta có trường hợp sau xảy thỏa mãn điều kiện toán sau: a) [ -1 b) ) [ -1 d) ) c) [ -1 ) e) Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I [ ) [ ) -1 -1 10 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vi trng hợp a) tương ứng điều kiện là: a > ∆ < Với trường hợp b) c) tương ứng điều kiện Với trường hợp d) e) tương ứng điều kiện a > ∆ ≥ là: af (1) > s >1 2 a > ∆ ≥ là: af (−1) ≥ s ≤ −1 2 Từ nhận xét ta có lời giải tốn sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện tốn m thỏa mãn trường hợp sau: TH1: TH2: TH3: a > ∆ < a > ∆ ≥ af (1) > s >1 2 a > ∆ ≥ af (−1) ≥ s ≤ −1 2 Kết hợp kết trường hợp ta tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện tốn Bài tốn 11: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình f(x) = x2 +m(m+1)x +6m - > thỏa mãn với x thuộc tập [-1 ; 0] ∪ [2 ; 3] Ch dn: Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 11 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vì hệ số a = > nên (về đồ thị) ta có trường hợp sau xảy thỏa mãn điều kiện toán: a) [ -1 ] b) [ ] [ -1 c) [ -1 ] [ ] ] [ ] d) [ -1 ] [ ] a > ∆ < a > ∆ ≥ b) tương ứng điều kiện là: af (−1) > s < −1 2 a > ∆ ≥ c) tương ứng điều kiện là: af (3) > s >3 2 a > ∆ ≥ d) tương ứng điều kiện là: af (0) > af (2) > s 0 < < Với trường hợp a) tương ứng điều kiện là: Với trường hợp Với trường hợp Với trường hợp Từ nhận xét ta có lời giải tốn sau: V¬ng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 12 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Gii: Tham số m thỏa mãn điều kiện tốn m thỏa mãn trường hợp sau: TH1: a > ∆ < TH2: a > ∆ ≥ af (−1) > s < −1 2 TH3: a > ∆ ≥ af (3) > s >3 2 TH4: a > ∆ ≥ af (0) > af (2) > s 0 < < Kết hợp kết trường hợp ta tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán Bài tốn 12: Tìm giá trị tham số m ≠1 để bất phương trình f(x) = (m -1)x2 +2mx + 6m - > thỏa mãn với x thuộc tập [0 ; 1] ∪ [4 ; 5] Chỉ dẫn: Nếu m > (về đồ thị) ta có trường hợp sau xảy thỏa mãn điều kiện toán: a) [ ] b) [ ] [ c) [ ] [ ] ] [ ] [ ] d) [ ] Với trường hợp a) tương ứng điều kiện là: a > ∆ < Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 13 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Với trường hợp Với trường hợp Với trường hợp a > ∆ ≥ b) tương ứng điều kiện là: af (0) > s < 2 a > ∆ ≥ c) tương ứng điều kiện là: af (5) > s >5 2 a > ∆ ≥ d) tương ứng điều kiện là: af (1) > af (4) > s 1 < < Nếu m < (về đồ thị) ta có trường hợp sau xảy thỏa mãn điều kiện toán: [ ] [ ] e) Với trường hợp tương ứng điều kiện là: a < af (0) < af (5) < Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện tốn m thỏa mãn trường hợp sau: TH1: a > ∆ < TH2: a > ∆ ≥ af (0) > s < 2 TH3: a > ∆ ≥ af (5) > s >5 Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 14 Sở giáo dục đào tạo nghệ an TH4: a > ∆ ≥ af (1) > af (4) > s 1 < < TH5: a < af (0) < af (5) < Kết hợp kết trường hợp ta tìm giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện toán IV KẾT LUẬN: Việc sử dụng đồ thị hàm số bậc hai để giải tốn điều hồn tồn hợp lí phù hợp với trình độ nhận thức học sinh Nếu biết nhìn nhận đắn nhận xét nhanh kết số tốn mà khơng cần phải giải nó, giả sử ta có tốn sau đây: Bài tốn 13: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình f(x) = 3x2+ (2m-1)x –m2 +12 < thỏa mãn với x thuộc khoảng (0; +∞) Bài tốn 14: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình f(x) = -(2m2+1)x2+ 2mx +m - > thỏa mãn với x thuộc khoảng (-∞ ; 1) Với hai toán 13; 14 giống toán nêu phần I, tốn vô nghiệm (nghĩa không tồn giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện tốn) Điều giải thích dựa đồ thị sau: Nếu hệ số a > đồ thị hàm số bậc hai có phần ứng với x ∈ (x1 ; x2) nằm trục Ox mà thơi Do với tốn 13 khơng thể tồn giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện tốn Nếu hệ số a < đồ thị hàm số bậc hai có phần ứng với x ∈ (x1 ; x2) nằm trục Ox mà thơi Do với tốn 14 khơng thể tồn giá trị tham số m thỏa mãn điều kiện tốn (Với x1 x2 nói trường hợp nghiệm tam thức bậc hai f(x) = 0) Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 15 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Với việc sử dụng đồ thị hàm số bậc hai đắn, học sinh áp dụng để giải dạng tốn nêu toán tương tự cách hiu qu./ Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 16 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 17 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 18 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 19 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 20 Sở giáo dục đào tạo nghệ an Vơng Văn Phong_ Gv Toán Trờng THPTDTNT Tơng Dơng I 21 ... tham số m thỏa mãn điều kiện toán Bài toán 8: Tìm giá trị tham số m ≠ để bất phương trình f(x) = mx2 +2(m+1)x + 4m > thỏa mãn với x thuộc khoảng (-2; +∞) Chỉ dẫn: Đây bất phương trình mà hệ số. .. lời giải toán sau: Giải: Tham số m thỏa mãn điều kiện tốn m thỏa mãn điều kiện sau: a > a f (1) ≤ a f (2) ≤ Giải hệ ta tìm kết tốn Bài tốn 6: Tìm giá trị tham số m để bất phương trình. .. lý mà chọn đề tài: “Sử dụng đồ thị để giải số tốn tìm giá trị tham số để bất phương trình bậc hai nghiệm tập D ” nhằm giúp em học sinh thầy giáo có nhận xét đắn để đưa lời giải cho toán dạng II