Chương Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng Quy luật phân phối nhị thức Quy luật phân phối Poisson Quy luật phân phối siêu bội Quy luật phân phối Quy luật phân phối mũ Quy luật phân phối chuẩn Một số quy luật phân phối khác §1 Quy luật phân phối nhị thức – B(n; p) Định nghĩa Biễn ngẫu nhiên 𝑋 gọi có phân phối nhị thức với tham số 𝒏 𝒑 nếu: 𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝑪 𝒙𝒏 𝒑 𝒙 (𝟏 − 𝒑) 𝒏−𝒙 , 𝒙 = 𝟎, 𝟏, … , 𝒏 Kí hiệu: 𝑿~𝑩(𝒏; 𝒑) (B – Binomial) Các tham số đặc trưng Nếu 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) thì: +) 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝, +) 𝑉 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞, với 𝑞 = − 𝑝 +) 𝑛𝑝 − 𝑞 ≤ 𝑚0 ≤ 𝑛𝑝 + 𝑝 Nhận xét: Nếu gọi 𝑋 = “số lần xuất biến cố A” 𝑛 phép thử Becnulli mà 𝑃 𝐴 = 𝑝 phép thử 𝑋~𝐵(𝑛; 𝑝) Ví dụ 1: Trong hịm có chứa linh kiện loại linh kiện loại Lấy có hồn lại sản phẩm gọi X số linh kiện loại lấy a) Nêu quy luật phân phối xác suất X b) Tính P(X < 3) c) Tính P(X = 4) trường hợp lấy khơng hồn lại Ví dụ 2: Một người ngày bán hàng chỗ khác Việc bán hàng nơi độc lập với xác suất bán hàng nơi 0,3 a) Tìm xác suất người bán hàng ngày b) Mỗi năm người bán hàng 300 ngày, tìm số ngày bán hàng nhiều khả năm §2 Quy luật phân phối Poa-sông – P(λ) Định nghĩa Biến ngẫu nhiên 𝑋 nhận giá trị 0,1,2, … gọi có phân phối Poa-sơng (Poisson) với tham số 𝜆 > nếu: 𝝀𝒙 𝑷 𝑿 = 𝒙 = 𝒆−𝝀 , 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, … 𝒙! Kí hiệu: 𝑿~𝑷 𝝀 Các tham số đặc trưng Nếu 𝑋~𝑃(𝜆) thì: +) 𝐸 𝑋 = 𝜆, +) 𝑉 𝑋 = 𝜆, +) 𝜆 − ≤ 𝑚0 ≤ 𝜆 Bài toán dẫn đến phân phối Poisson: Gọi X số lần xuất biến cố A thời điểm ngẫu nhiên khoảng thời gian (𝑡1 ; 𝑡2 ) thoả mãn: +) Số lần xuất A khoảng thời gian (𝑡1 ; 𝑡2 ) không ảnh hưởng tới xác suất xuất A khoảng thời gian +) “Cường độ” xuất A không thay đổi, nghĩa số lần A xuất trung bình khoảng thời gian (𝑡1 ; 𝑡2 ) tỉ lệ với độ dài khoảng Chứng minh 𝑋~𝑃(𝜆) với 𝜆 = 𝑐(𝑡2 − 𝑡1 ), số 𝑐 gọi cường độ xuất A Ví dụ 1: Ở tổng đài Bưu điện, cú điện thoại gọi đến xuất ngẫu nhiên, độc lập với với tốc độ trung bình gọi phút Tìm xác suất: a) Có gọi phút b) Khơng có cú điện thoại khoảng thời gian 30 giây c) Có cú điện thoại khoảng thời gian 10 giây Đ/s: a) ≈ 0,1563 b) ≈ 0,3679 c) ≈ 0,2835 Xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối Poisson Phân bố Poisson giới hạn phân bố nhị thức với tham số 𝒏 𝒑 = 𝝀/𝒏 Tức là: 𝐥𝐢𝐦 𝑪 𝒙𝒏 𝒏→+∞ 𝝀 𝒏 𝒙 𝝀 𝟏− 𝒏 𝒏−𝒙 𝝀 𝒙 −𝝀 = 𝒆 𝒙! Quy tắc xích ma quy tắc xích ma Với 𝑋~𝑁(𝜇; 𝜎 ) 𝜀 > ta có: 𝑷 𝑿 − 𝝁 < 𝜺 = 𝟐𝚽 𝟎 𝜺 𝝈 • 𝜀 = 2𝜎 , ta có: 𝑃 𝑋 − 𝜇 < 2𝜎 = 2Φ0 ≈ 0,9544 •𝜀 = 3𝜎 , ta có: 𝑃 𝑋 − 𝜇 < 3𝜎 = 2Φ0 ≈ 0,9974 (1) (2) Quy tắc: Nếu quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nghiên cứu chưa biết, song thỏa mãn (1) (2) xem biến ngẫu nhiên có phân phối xấp xỉ chuẩn Phân phối xác suất tổng biến ngẫu nhiên độc lập tuân theo quy luật • Giả sử biến ngẫu nhiên 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 độc lập với 𝑿 𝒊 ~𝑵 𝝁 𝒊 ; 𝝈 𝒊𝟐 , 𝑖 = 1, … , 𝑛 Khi biến ngẫu nhiên 𝒏 𝑿= 𝒏 𝑿 𝒊 ~𝑵 𝒊=𝟏 𝒏 𝝈 𝒊𝟐 𝝁𝒊 ; 𝒊=𝟏 𝒊=𝟏 • Nếu 𝑛 biến ngẫu nhiên 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 độc lập tuân theo quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên 𝒏 𝑿= 𝒏 𝑿 𝒊 ~𝑵 𝒊=𝟏 𝒏 𝑬(𝑿 𝒊 ) ; 𝒊=𝟏 𝑽(𝑿 𝒊 ) 𝒊=𝟏 Xấp xỉ quy luật nhị thức, quy luật Poisson quy luật phân phối chuẩn a) Xấp xỉ quy luật nhị thức quy luật chuẩn Giả sử X ~ B(n; p) với 𝑛, 𝑝 thỏa mãn: 𝑛 > 𝑝 𝑛 − 1−𝑝 1−𝑝 𝑝 < 0,3 Khi đó: 𝑷 𝑿= 𝒙 = 𝑪 𝒙𝒏 𝒙 𝒑 (𝟏 − 𝒑) 𝑷 𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃 ≈ 𝚽𝟎 𝒏−𝒙 𝒃−𝒏𝒑 𝒏𝒑𝒒 ≈ 𝟏 𝒏𝒑𝒒 − 𝚽𝟎 𝝋 𝒂−𝒏𝒑 𝒏𝒑𝒒 𝒙−𝒏𝒑 𝒏𝒑𝒒 (3) (4) Ví dụ 2: Xác suất để sản phẩm sau sản xuất không kiểm tra chất lượng 0,2 Tìm xác suất để 400 sản phẩm sản xuất có: a) 80 sản phẩm khơng kiểm tra chất lượng b) Từ 70 đến 100 sản phẩm không kiểm tra chất lượng Phân phối xác suất biến ngẫu nhiên nhị thức 𝐵(𝑛, 𝑝) gần với phân phối chuẩn 𝑛 lớn b) Xấp xỉ quy luật Poisson quy luật chuẩn Nếu X ~ P(λ) với λ > 20 xem X phân phối xấp xỉ chuẩn với μ = λ σ2 = λ Phân bố chuẩn phân phối quan trọng nhất, nhiều phân bố xác suất thực tế có dáng điệu giống phân bố chuẩn, chẳng hạn, kích thước chi tiết nhà máy sản xuất (nếu trình sản xuất diễn bình thường), suất loại trồng ruộng khác nhau,nhu cầu loại hàng hóa khác nhau, số IQ (chỉ số trí tuệ), số tiêu sinh lí người giới (chẳng hạn chiều cao, vòng ngực, chiều dài cánh tay, v.v ), §7 Một số quy luật phân phối khác Quy luật phân phối bình phương - 𝝌 𝟐 𝒏 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên χ2 gọi có quy luật phân phối bình phương với 𝑛 bậc tự hàm mật độ xác suất có dạng sau 𝑓 𝑥 = 𝑛 22 Γ +∞ 𝑛 𝑒 𝑥 −2 𝑛 𝑥 2−1 với 𝑥 ≤ với 𝑥 > Γ 𝑥 = 𝑡 𝑥−1 𝑒 −𝑡 𝑑𝑡 - hàm Gamma Nếu 𝑛 số nguyên Г(n+1) = n! Các tham số đặc trưng: E(χ2) = n; V(χ2) = 2n 2(𝑛) Giá trị tới hạn mức α phân phối số 𝜒 𝛼 𝑛 thỏa mãn: 𝑃 𝜒 > 𝜒 𝛼 = 𝛼 Quy luật phân phối Student - 𝐓 𝒏 Định nghĩa: Biến ngẫu nhiên T gọi có phân phối Student với 𝑛 bậc tự hàm mật độ xác suất có dạng: 𝑓 𝑥 = 𝑛+1 Γ 𝜋𝑛 Γ 𝑛 1+ 𝑛+1 − 𝑥2 𝑛 với 𝑥 ≤ với 𝑥 > Các tham số đặc trưng: E(T) = (bậc tự n > 1); n V(T) = n−2 (với n > 2) (𝑛) Giá trị tới hạn mức α phân phối số 𝑡 𝛼 thỏa mãn 𝑃 𝑋 > 𝑡𝛼 𝑛 = 𝛼, có tính chất: (𝑛) 𝑡𝛼 = (𝑛) −𝑡1−𝛼 Phân bố Poisson mang tên nhà toán học vật lí người Pháp Siméon Denis Poisson (1781 – 1840) Trong lí thuyết xác suất, Poisson biết đến nhiều phân bố Poisson trình Poisson (một trình ngẫu nhiên ứng với phân bố này) Tên gọi luật số lớn (ở chương 5) Poisson đặt Phân phối 𝜒 𝑛 Karl Pearson đưa năm 1900 Karl Pearson (1857 – 1936), người Anh, coi cha tổ ngành thống kê toán học Pearson người lập khoa thống kê đầu tiên, năm 1911, University College London Nhiều khái niệm xác suất thống kê dựa cơng trình Pearson, có: hệ số tương quan, hồi quy tuyến tính, phân loại phân bố xác suất, kiểm định bình phương Phân phối T nhà thống kê học người Anh, ông William Sealy Gosset (1876 – 1937) đưa năm 1908 Khi ơng làm việc cho hãng bia Guinness Dublin, ngun tắc giữ bí mật hãng, Gosset khơng phép kí tên báo với tên thật, nên lấy bút danh Student ... quy luật phân phối xác suất biến ngẫu nhiên