Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ 9.1 Ch ng minh r ng: Đ nh th c s b ng không n u:ứ ằ ị ứ ẽ ằ ế a/ Trong đ nh th c có hai dòng (hay hai c t) gi ng nhau. ị ứ ộ ố b/ Trong đ nh th c có hai dòng (hay hai c t) t l v i nhau.ị ứ ộ ỷ ệ ớ c/ Trong đ nh th c có m t dòng (hay m t c t) là t h p tuy n tính c a các dòngị ứ ộ ộ ộ ổ ợ ế ủ (hay các c t) còn l i c a đ nh th c.ộ ạ ủ ị ứ 9.2 Ch ng minh r ng: Trong m t đ nh th c, t ng các tích c a các ph n t c a m tứ ằ ộ ị ứ ổ ủ ầ ử ủ ộ dòng (ho c m t c t) v i ph n bù đ i s c a các ph n t t ng ng c a m t dòngặ ộ ộ ớ ầ ạ ố ủ ầ ử ươ ứ ủ ộ (ho c c t) khác đ u b ng 0.ặ ộ ề ằ 9.3 Gi s ả ử nnij )a(A × = , n21 A,,A,A  là các c t c a A. Ch ng minh r ng:ộ ủ ứ ằ 0Adet ≠ ⇔ h véc t ệ ơ { } n21 A,,A,A  là h véc t đ c l p tuy n tính.ệ ơ ộ ậ ế 9.4 Ch ng minh r ng: các phép bi n đ i s c p th c hi n trên m t ma tr n khôngứ ằ ế ổ ơ ấ ự ệ ộ ậ là thay đ i h ng c a ma tr n đó.ổ ạ ủ ậ 9.5 Cho ( ) nm ij aA × = , B là ma tr n vuông không suy bi n c p m. Ch ng minh r ngậ ế ấ ứ ằ ( ) rankAA.Brank = . Còn n u ế ( ) nm ij aA × = , B là ma tr n vuông không suy bi n c p n thì ậ ế ấ ( ) rankAB.Arank = . Còn n u ế ( ) nn ij aA × = , B là ma tr n vuông không suy bi n c p n thì ậ ế ấ ( ) ( ) rankAA.BrankB.Arank == . 9.6 N u A và B là các ma tr n vuông c p n có ế ậ ấ A.BB.A = thì: a/ 222 BB.A2A)BA( ++=+ ; b/ 22 BA)BA)(BA( −=−+ ; c/ 32233 BB.A3B.A3A)BA( +++=+ 9.7 Ch ng minh r ng: N u ma tr n vuông A có ứ ằ ế ậ Ο= 2 A thì các ma tr nậ EAvµEA −+ là nh ng ma tr n không suy bi n.ữ ậ ế 9.8 Đ nh th c c p n s thay đ i th nào n u: ị ứ ấ ẽ ổ ế ế a/ Đ i d u t t c các ph n t c a nó.ổ ấ ấ ả ầ ử ủ b/ Vi t các c t (hay các dòng c a nó) theo th t ng c l i.ế ộ ủ ứ ự ượ ạ 9.9 Cho A là ma tr n vuông c p n và n u ậ ấ ế )kAdet(Adet = . Hãy tính k. 9.12 Ch ng minh r ng: N u ứ ằ ế 2Adet = thì các ph n t c a ma tr n ngh ch đ oầ ử ủ ậ ị ả không th g m toàn các s nguyên.ể ồ ố 9.16 Cho các ma tr n ậ         − =         − =         − −= 82 94 07 C; 41 20 54 B; 32 13 21 A Hãy tính a/ B2A3 − ; b/ C2B4A5 −− 9.17 Cho       − =         − −= 52 13 B; 31 47 25 A Tìm C AA − và C BB− . 9.18 Cho         −=         −= 21 12 34 B; 13 15 31 A . Tìm X bi t a/ ế ;BX3A2 =− b/ Ο=− X 3 2 A3 ; 9.19 Tính: a/ A 4 v i ớ       = 00 10 A ; b/ B 3 v i ớ       − = acosasin asinacos B 1 Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ 9.20 Ch ng minh r ng: ma tr n ứ ằ ậ       = dc ba X tho mãn ph ng trình:ả ươ Ο=−++− E)bcad(X)da(X 2 , trong đó       = 10 01 E ;       =Ο 00 00 9.21 Ch ng minh r ng: không t n t i các ma tr n vuông cùng c p A và B sao choứ ằ ồ ạ ậ ấ EBAAB =− , trong đó E là ma tr n đ n v cùng c p v i A và B. ậ ơ ị ấ ớ 9.22 Cho E3X4X)X(fTÝnh. 32 01 X 2 +−=       = , trong đó       = 10 01 E . 9.23 Cho EX5X3X)X(fvµ 43 12 B; 32 21 A 23 +−+=       =       − = . Tính f(AB). 9.24 Ch ng minh r ng: ma tr n ứ ằ ậ         = 300 010 001 X là nghi m c a đa th cệ ủ ứ E9X9XX)X(f 23 +−−= . 9.25 Tìm (f(A)) 2 n u ế         − −= 301 210 021 A và EX)X(f += . Gi i các ph ng trình sauả ươ : 9.26 0 3x4 x32 det =       + − ; 9.27       − =         23/31 13/2 det x31 21x 132 det . 9.28 0 003x 0x48 2x126 det =         − − −− . 9.29 Cho a 1 , a 2 , …, a n–1 là các h ng s tuỳ ý cho tr c, khác nhau và khác 0. Gi iằ ố ướ ả ph ng trình:ươ 0 a aaa a aaa a aaa x xxx det n3 1n 2 1n1n n 2 3 2 2 22 n 1 3 1 2 11 n32 =               −−− 9.30 Tính các đ nh th c sau: a/ ị ứ 222 222 222 222 222 )3()2()1(1 )3()2()1(1 )3()2()1(1 )3()2()1(1 )3()2()1(1 D +η+η+ηη +γ+γ+γγ +δ+δ+δδ +β+β+ββ +α+α+αα = b/ a x x x D x b x x x x c x + = + + 2 Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ 9.31 Gi i ph ng trình: ả ươ 1 1 1 . . . 1 1 1 x 1 . . . 1 0 1 1 2 x . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 . . . (n 1) x − = − − − S d ng tính các ch t c a đ nh th c, tính các đ nh th c t bài 32 đ n bài 36ử ụ ấ ủ ị ứ ị ứ ừ ế : 9.32 22721272 22731273 D = 9.33 a/ 556275363 222 654373461 D = ; b/ 0x xx1 x0 xx1 xx 0x1 xx x01 11 110 D n = 9.34 a/ 5412 3844 1291 2673 D = ; b/ x0 00a 1x 00a 00 x0a 00 1xa 00 01a D n 1n 2 1 0 1n − − − = − + 9.35 2 3 4 5 3 4 5 6 D 4 6 8 10 2 3 7 8 = ; 9.36 a/ n nnnn n 4444 n 4333 n 4322 n 4321 D n = ; b/ 5 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 D 2 2 3 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 5 = ; c/ n 2222 2 4222 2 2322 2 2222 2 2221 D n = . 9.37 Cho ma tr n A c p ậ ấ 1010× có d ng: ạ 10 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 A 0 0 0 0 1 10 0 0 0 0 −       =         , các ph n tầ ử 3 Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ d ng ạ 9,1k1a;10a 1k,k 10 1,10 =∀== + − ; E là ma tr n đ n v c p 10. Ch ng minh r ng:ậ ơ ị ấ ứ ằ 1010 10)EAdet( −− −λ=λ− . 9.38 a/ Dùng công th c khai tri n đ nh th c, tính các đ nh th c sau:ứ ể ị ứ ị ứ a/ 00320 00351 00120 22300 11213 D − − = ; b/ 210000 1090000 861600 151200 305043 200021 D − = 9.39 Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n ậ ị ả ủ ậ         −= 231 121 315 A 9.40 Tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n: ậ ị ả ủ ậ a/           −−− = 4331 1241 2152 0121 A ; b/             = 10000 11000 11100 11110 11111 B ; c/         −− − = 221 142 213 C ; 9.41 Gi i ph ng trình ma tr n: a/ ả ươ ậ BAX = V i ớ         − − =         − = 01 22 63 B; 231 121 312 A b/ CBAX =+ v i ớ         =         − − −− =         − −= 211 113 362 C; 930 433 1549 B; 102 111 213 A . c/ BAX = v i ớ               = 1 000 1 100 1 110 1 111 A ;               − − = 1 000 2n 100 1n 210 n 321 B 9.42 V i giá tr nào c a ớ ị ủ λ thì các ma tr n sau có ma tr n ngh ch đ o:ậ ậ ị ả a/ 1 2 2 A 3 0 2 1 1 −   = λ       ; b/ 2 0 A 2 1 0 1 λ   = λ     λ   ; c/         λ λ− −− = 31 13 451 A ; d/         −λ λ λ = 23 12 12 A . 9.43 Dùng ph ng pháp đ nh th c bao quanh, tìm h ng c a ma tr n:ươ ị ứ ạ ủ ậ a/ 1 2 3 4 1 3 0 1 A 2 4 1 8 1 7 6 9 0 10 1 10   −   =         ; 1 1 2 3 1 0 2 1 2 2 0 0 3 3 3 B 0 0 0 4 0 1 3 6 12 2 1 3 3 5 1 −     −   =     −     9.44 Dùng các phép bi n đ i s c p, tìm h ng c a ma tr n:ế ổ ơ ấ ạ ủ ậ 4 Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ 1 2 1 1 1 2 1 1 2 4 A 1 3 2 1 1 3 3 2 3 1 − − −   −   = −     − −   ; 1 4 5 3 1 1 2 1 1 0 B 3 1 2 2 1 0 3 3 3 3 2 1 1 3 2 − −   − −   = −     − −   − −   9.45 Ch ng minh r ng m t ma tr n có h ng b ng r bao gi cũng vi t đ c thànhứ ằ ộ ậ ạ ằ ờ ế ượ t ng c a r ma tr n có h ng b ng 1.ổ ủ ậ ạ ằ 9.46 Cho hai ma tr n cùng c p A và B, ch ng minh r ngậ ấ ứ ằ rank(A B) rankA rankB+ ≤ + . 9.47 Xét s ph thu c tuy n tính c a h véc tự ụ ộ ế ủ ệ ơ a/ { } 1 2 3 4 A ( 1,0, 3,1); A (1, 2,1,3); A (2,1,1, 1); A (4, 3,3,5)= − − = − = − = − b/ { } 1 2 3 4 B ( 1,0, 3,2); B (1, 2,1,0); B (2,0,1, 1); B (2, 3,3,1)= − − = − = − = − 9.48 a/ Cho h véc t ệ ơ { } 1 2 3 A (2,3,5); A (3,7,8); A (1, 6, ); X (1,3,5)= = = − λ = . Tìm giá tr c a ị ủ λ đ véc t ể ơ X bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ể ễ ế ượ ệ ơ { } 321 A,A,A . b/ Cho h véc tệ ơ { } 1 2 3 A ( 6,7,3, 2);A (1,3,2,7);A ( 4,18,10,3);X (1,8,5, )= − − = = − = λ Tìm giá tr c a ị ủ λ đ véc t ể ơ X bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ể ễ ế ượ ệ ơ { } 321 A,A,A . c/ Cho h véc t ệ ơ { } 1 2 3 A (1, 1,a); A (3,2,2); A (4,3,1); C (2,1,3)= − = = = . Tìm giá tr c a a đ véc t C bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ị ủ ể ơ ể ễ ế ượ ệ ơ { } 321 A,A,A . d/ Cho h véc tệ ơ { } 1 2 3 A (4,5,3, 1);A (1, 7,2, 3);A ( 4,1, 1,3);C ( 2,8,a,4)= − = − − = − − = − Tìm giá tr c a a đ véc t C bi u di n tuy n tính đ c qua h véc t ị ủ ể ơ ể ễ ế ượ ệ ơ { } 321 A,A,A . 9.49 Tìm h ng và m t c s c a h véc t sau, bi u di n các véc t còn l i theo c s đó:ạ ộ ơ ở ủ ệ ơ ể ễ ơ ạ ơ ở a/ { } 1 2 3 4 A (1,2, 1,3); A (0,3, 3,7); A (7,5,2,0); A (2,1,1, 1)= − = − = = − b/ { 1 2 3 4 A (2,1,1,3,5); A (1,2,1,1,3); A (7,1,6,0,4); A (3,4,4,1,2);= = = = } 5 A (3,1,3,2,1)= 9.50 Cho { } 1 2 m A ,A , ,A là h m véc t n chi u đ c l p tuy n tính. N u m i vécệ ơ ề ộ ậ ế ế ỗ t c a h ơ ủ ệ đ u b sung thêm thành ph n th ề ổ ầ ứ n 1+ thì h m ệ véc t ơ n 1+ chi u m i làề ớ đ c l p tuy n tính hay ộ ậ ế ph thu c tuy n tính? ụ ộ ế 9.51 Cho { } 1 2 m A ,A , ,A là h m véc t n chi u ph thu c tuy n tính. N u m i vécệ ơ ề ụ ộ ế ế ỗ t c a h đ u b t đi thành ph n th n thì h m véc t ơ ủ ệ ề ớ ầ ứ ệ ơ n 1+ chi u m i là đ c l p tuy nề ớ ộ ậ ế tính hay ph thu c tuy n tính?ụ ộ ế Gi iả 9.2:  Ch ng minhứ : n kj ij j 1 a A = ∑ chính là công th c khai tri n theo dòng i c a đ nh th c:ứ ể ủ ị ứ . 5 Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ 11 12 1n 21 22 2n k1 k2 kn k1 k2 kn n1 n2 nn a a . . . a a a . . . a . . . . . . . . . . . . a a . . . a . . . . . . . . . . . . a a . . . a . . . . . . . . . . . . a a . . . a (*1) dòng i dòng k trong đó 2 ≥n . Mà đ nh th c (*1) có hai dòng gi ng nhau nên đ nh th c b ng không ị ứ ố ị ứ ằ ⇒ n kj ij j 1 a A 0 = = ∑ 9.3  Đi u ki n c n: Cho ề ệ ầ ( ) nn ij aA × = có 0 ≠Adet , ta c n ch ng minh h véc t dòngầ ứ ệ ơ (ho c ặ c t) c a ma tr n là đ c l p tuy n tính. Gi s ng c l i h véc t dòng (ho c c t)ộ ủ ậ ộ ậ ế ả ử ượ ạ ệ ơ ặ ộ c a maủ tr n là ph thu c tuy n tínhậ ụ ộ ế , theo h qu 9.3.5 thì ệ ả 0Adet = , mâu thu n v i giẫ ớ ả thi t. Mâu thu n đó ch ng t ế ẫ ứ ỏ h véc t dòng (ho c c t) c a ma tr n là đ c l p tuy n tính.ệ ơ ặ ộ ủ ậ ộ ậ ế – Đi u ki n đ : Gi s h n véc t dòng (ho c c t) c a ma tr n là đ c l p tuy n tính, theoề ệ ủ ả ử ệ ơ ặ ộ ủ ậ ộ ậ ế đ nh nghĩa c a h ng c a h véc t thì ị ủ ạ ủ ệ ơ ( ) nA, ,A,Arank n21 = , theo đ nh lý 9.5.1 thìị nrankA= , theo đ nh nghĩa h ng c a ma tr n thì ị ạ ủ ậ 0 ≠Adet . □ 9.5  Do B là ma tr n không suy bi n nên t n t i ậ ế ồ ạ 1 B − . Xét ma tr n ghép ậ ( ) 1 BA − , nhân vào bên trái c a ma tr n này v i B, ta đ c ủ ậ ớ ượ ( ) ( ) ( ) EA.BB.BA.BBA.B 11 == −− . Đó chính là phép kh toàn ph n th c hi n trên ma tr n ử ầ ự ệ ậ 1 B − ⇒ nó là các phép bi n đ i sế ổ ơ c p th c hi n trên ma tr n A đ đ c B.A ấ ự ệ ậ ể ượ ⇒ ( ) rankAA.Brank = . Đ ch ng minh ể ứ ( ) rankAB.Arank = , ta l y chuy n v ấ ể ị B ′ , ( ) mn ji 1 aAvµ)B( × − = ′′ . Xét ma tr n ghép ậ ( ) )B(A 1 ′′ − , nhân vào bên trái c a ma tr n này v i ủ ậ ớ B ′ , ta đ cượ ( ) ( ) ( ) E)AB()B.(BAB)B(A.B 11 ′ = ′′′′ = ′′′ −− (vì E)B.B()B.(B 11 = ′ = ′′ −− ). Nh v y t ma tr n A,ư ậ ừ ậ nh các phép chuy n v và các phép bi n đ i s c p, ta đã thu đ c ma tr n A.B ờ ể ị ế ổ ơ ấ ượ ậ ⇒ ( ) rankAB.Arank = □ 9.7  Ta có ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] det A E A E det A E det A E+ − = + ⋅ − (*1) Vì AE EA= nên ( ) ( ) [ ] ( ) 2 2 det A E A E det A E+ − = − , do 2 A = Ο nên ( ) ( ) 2 2 2 n det A E det E ( 1) 0− = − = − ≠ ⇒ ( ) det A E 0+ ≠ và ( ) det A E 0− ≠ ⇒ các ma tr n ậ A E+ và A E− là nh ng ma tr n không suy bi n.ữ ậ ế 9.8 a/ Vi c đ i d u t t c các ph n t c a đ nh th c c p n đ ng nghĩa v i vi c đ iệ ổ ấ ấ ả ầ ử ủ ị ứ ấ ồ ớ ệ ổ d u t t c n dòng c a đ nh th c. Ta đã bi t vi c đ i d u các ph n t trên m t dòngấ ấ ả ủ ị ứ ế ệ ổ ấ ầ ử ộ c a đ nh th c làm cho đ nh th c đ i d u. Vì v y vi c đ i d u t t c các ph n t c aủ ị ứ ị ứ ổ ấ ậ ệ ổ ấ ấ ả ầ ử ủ đ nh th c c p n làm cho đ nh th c đ c nhân v i ị ứ ấ ị ứ ượ ớ n ( 1)− . b/ Đ i v i đ nh th c c p ch n (ố ớ ị ứ ấ ẵ n 2k= ) thì vi c vi t các dòng (hay các c t c a nó)ệ ế ộ ủ theo th t ng c l i đ ng nghĩa v i vi c đ i ch k c p dòng: dòng 1 và dòng ứ ự ượ ạ ồ ớ ệ ổ ỗ ặ 2k cho nhau; dòng 2 và dòng 2k 1− cho nhau; … dòng k và dòng k 1+ . Ta cũng đã bi t:ế khi đ i ch 2 dòng nào đó cho nhau thì đ nh th c đ i d u. Do đó khi vi t các dòngổ ỗ ị ứ ổ ấ ế c a đ nh th c c p ủ ị ứ ấ 2k theo th t ng c l i, đ nh th c đ c nhân v i ứ ự ượ ạ ị ứ ượ ớ k ( 1)− . Ch ngẳ 6 Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ h n khi làm nh v y đ i v i đ nh th c c p 2 thì đ nh th c đ i d u, còn v i đ nh th cạ ư ậ ố ớ ị ứ ấ ị ứ ổ ấ ớ ị ứ c p 4 thì đ nh th c không đ i d u.ấ ị ứ ổ ấ Đ i v i đ nh th c c p l (ố ớ ị ứ ấ ẻ n 2k 1= + ) thì vi c vi t các dòng (hay các c t c a nó)ệ ế ộ ủ theo th t ng c l i đ ng nghĩa v i vi c đ i ch k c p dòng: dòng 1 và dòng ứ ự ượ ạ ồ ớ ệ ổ ỗ ặ 2k 1+ cho nhau; dòng 2 và dòng 2k cho nhau; … dòng k và dòng k 2+ . Do đó khi vi t cácế dòng c a đ nh th c c p ủ ị ứ ấ 2k 1+ theo th t ng c l i, đ nh th c cũng đ c nhân v iứ ự ượ ạ ị ứ ượ ớ k ( 1)− . Ch ng h n khi làm nh v y đ i v i đ nh th c c p 3 thì đ nh th c đ i d u, cònẳ ạ ư ậ ố ớ ị ứ ấ ị ứ ổ ấ v i đ nh th c c p 5 thì đ nh th c không đ i d u.ớ ị ứ ấ ị ứ ổ ấ Nh v y khi vi t các dòng (hay các c t) c a đ nh th c theo th t ng c l i thì cácư ậ ế ộ ủ ị ứ ứ ự ượ ạ đ nh th c c p ị ứ ấ 4k và 4k 1+ không thay đ i, các đ nh th c c p ổ ị ứ ấ 4k 1 vµ 4k 2− − sẽ đ i d u (k nguyên d ng).ổ ấ ươ 9.9 Vì n det(kA) k detA= nên n k detA detA= . N u ế detA 0= thì det(kA) detA= đúng v i m i k. Còn n u ớ ọ ế detA 0≠ thì n k 1= ⇒ k 1= n u n l ; ế ẻ k 1= ± n u n ch n.ế ẵ 9.10 Ch ng minh r ng: N u ứ ằ ế 1 AA − = thì ,3,2,1,0nAA;EA 1n2n2 =∀== +  T gi thi t ừ ả ế 1 AA − = ⇒ 2 1 A A A E − = = ⇒ 2n n A E E= = n∀ nguyên d ng ươ ⇒ 2n 1 A A + = n∀ nguyên d ng. ươ □ 9.11 Ch ng minh r ng: N u A, B là các ma tr n vuông cùng c p tho mãnứ ằ ế ậ ấ ả BAAB = và 0Adet ≠ thì 11 BABA −− = .  1 1 1 1 1 1 A B A BAA A ABA BA − − − − − − = = = . □ 9.12 Ch ng minh r ng: N u ứ ằ ế 2Adet = thì các ph n t c a ma tr n ngh ch đ oầ ử ủ ậ ị ả không th g m toàn các s nguyên.ể ồ ố  Do detA 2 0= ≠ ⇒ t n t i ma tr n ngh ch đ o ồ ạ ậ ị ả 1 A − ⇒ 1 A.A E − = ⇒ 1 1 (detA).(detA ) det(A.A ) detE 1 − − = = = vì 2Adet = ⇒ 1 1 detA 2 − = ⇒ 1 A − không thể toàn các s nguyên. ố 9.21 Ch ng minh r ng: không t n t i các ma tr n vuông cùng c p A và B sao choứ ằ ồ ạ ậ ấ EBAAB =− , trong đó E là ma tr n đ n v cùng c p v i A và B. ậ ơ ị ấ ớ T s t n t i c a các ma tr n AB và BA kéo theo A và B là các ma tr n vuông cùngừ ự ồ ạ ủ ậ ậ c p.ấ Gi s ả ử ( ) ( ) ( ) ( ) ij ij ij ij n n n n n n n n A a ; B b ; AB c ; BA d × × × × = = = = . G i ọ AB BA V − là t ngổ các ph n t trên đ ng chéo chính c a ma tr n ầ ử ườ ủ ậ AB BA− ⇒ n AB BA ii ii 1 V (c d ) − = − = ∑ n n n ik ki ik ki i 1 k 1 k 1 a b b a = = =   = − =     ∑ ∑ ∑ n n n n ik ki ki ik i 1 k 1 k 1 i a b a b 0 = = = − = ∑∑ ∑∑ . Trong khi đó t ng các ph nổ ầ t trên đ ng chéo chính c a ma tr n đ n v E là ử ườ ủ ậ ơ ị E V n= . V y không t n t i các maậ ồ ạ tr n vuông cùng c p A và B sao cho ậ ấ EBAAB =− . 7 Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ 9.29 Ph ng trình ươ 2 3 n 2 3 n 1 1 1 1 2 3 n 2 2 2 2 2 3 n n 1 n 1 n 1 n 1 x x x . . . x a a a . . . a det 0 a a a . . . a . . . . . . . . . . . . . . . a a a . . . a − − − −       =         (v i đi u ki n aớ ề ệ 1 , a 2 , …, a n–1 là các h ng s khác nhau và khác 0) là ph ng trình b c n nên nó có t i đa là nằ ố ươ ậ ố nghi m. D dàng th y ệ ễ ấ 1 2 1 3 2 n n 1 x 0, x a , x a , , x a − = = = = là n nghi m khác nhau c aệ ủ ph ng trình, vì v y nó ch có các nghi m y mà thôiươ ậ ỉ ệ ấ □ 9.30 a/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ( 1) ( 2) ( 3) 1 ( 1) ( 2) ( 3) D 1 ( 1) ( 2) ( 3) 1 ( 1) ( 2) ( 3) 1 ( 1) ( 2) ( 3) α α + α + α + β β + β + β + = = δ δ + δ + δ + γ γ + γ + γ + η η+ η+ η + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2) 1 2 1 ( 2) ( 3) 1 2 1 ( 2) ( 3) 1 2 1 ( 2) ( 3) 1 2 1 ( 2) ( 3) 1 2 1 ( 2) ( 3) α α + α + α + α + β β + β + β + β + = δ δ + δ + δ + δ + γ γ + γ + γ + γ + η η + η + η + η + 1 4 4 4 4 4 44 2 4 4 4 4 4 4 43 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (3) 1 ( 2) ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 ( 2) ( 3) α α α + α + β β β + β + δ δ δ + δ + γ γ γ + γ + η η η + η+ 1 4 4 4 442 4 4 4 4 43 vì đ nh th c (2)ị ứ có đ c t đ nh th c (3) b ng cách c ng vào c t 3 m t t h p tuy n tính c a 2 c tượ ừ ị ứ ằ ộ ộ ộ ổ ợ ế ủ ộ đ u.ầ ⇒ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (5) 1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3) D 0 1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3) 1 ( 2) ( 3) 1 4 4 ( 3) α α α + α + α α α + α + α + β β β + β + β β β + β + β + = = = δ δ δ + δ + δ δ δ + δ + δ + γ γ γ + γ + γ γ γ + γ + γ + η η η+ η+ η η η + η + η + 1 4 4 4 4 442 4 4 4 4 4 43 Vì đ nhị th c (5) có c t 4 b ng t h p tuy n tính c a 3 c t đ u.ứ ộ ằ ổ ợ ế ủ ộ ầ b/ N u ế abcx 0≠ : a x x x D x b x x x x c x + = + + 1 x x 1 x x a 0 b x x x 1 b x x 0 x c x 1 x c x = + + + = + + 2 1 0 x 1 1 x 1 0 x 1 1 x ab 0 1 x ax 0 1 x xb 1 1 x x 1 1 x 0 0 c x 0 1 c x 1 0 c x 1 1 c x = + + + + + + + . Vì đ nh th c cu iị ứ ố cùng có hai c t gi ng nhau nên nó b ng 0. Đ nh th c đ u tiên là đ nh th c c a maộ ố ằ ị ứ ầ ị ứ ủ tr n tam giác nên ậ 1 0 x ab 0 1 x ab(c x) abc abx 0 0 c x = + = + + . L i tách hai đ nh th c gi aạ ị ứ ữ theo c t cu i, m i đ nh th c thành hai đ nh th c, ta đ c: ộ ố ỗ ị ứ ị ứ ượ 8 Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ 2 2 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 D abc abx acx 0 1 0 ax 0 1 1 xbc1 1 0 x b1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 = + + + + + , đây l i th yở ạ ấ 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 = ; 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 = (có hai c t gi ng nhau); ộ ố 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 = ; 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 = ⇒ D abc abx acx xbc= + + + N u ch ng h n ế ẳ ạ a 0= thì 1 0 x D xb 1 1 x bcx 1 0 c x = = + . N u ế x 0= thì a 0 0 D 0 b 0 abc 0 0 c = = . (Đáp s trong sách saiố ) 9.31 Ph ng trình: ươ 1 1 1 . . . 1 1 1 x 1 . . . 1 0 1 1 2 x . . . 1 . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 . . . (n 1) x − = − − − là ph ng trình b c ươ ậ n 1− nên nó có không quá n 1− nghi m khác nhau. Nh ng d th y ph ng trình có ệ ư ễ ấ ươ n 1− nghi m khác nhau là ệ 1 2 n 1 x 0; x 1; ; x n 2 − = = = − ⇒ ph ng trình ch có cácươ ỉ nghi m đó mà thôiệ (Đáp s trong sách bài t p thi u nghi m – không đi m)ố ậ ế ệ ể □ 9.33 a/ 556275363 222 654373461 D = 98 98 98 2 2 2 0 363 275 556 = = (Đ nh th c có hai dòng t l v iị ứ ỷ ệ ớ nhau thì đ nh th c b ng 0.ị ứ ằ 9.33 b/  n 0 1 1 1 1 1 0 x . x x 1 x 0 x x D . . . . . . . 1 x x . . . 0 x 1 x x . . . x 0 = L y dòng 1 nhân v i –x đ c ng vào cácấ ớ ể ộ dòng t th hai tr đi, ta đ c:ừ ứ ở ượ . n 0 1 1 1 1 1 x 0 0 0 1 0 x . 0 0 D . . . . . 1 0 0 x 0 1 0 0 0 x − − = − − Khai tri n đ nh th c theo dòng n, ta đ c:ể ị ứ ượ n 1 n 1 1 1 1 0 1 1 1 x 0 0 0 1 x 0 . . . 0 D ( 1) . x. 0 x 0 0 1 0 x . . . 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 x 0 1 0 0 x + − − = − − − − − − (*1) Khai tri n đ nh th nh t theo c t ể ị ứ ấ ộ n 1− (là đ nh th c c p ị ứ ấ n 1− ), ta đ cượ 9 Bài t p ch ng IX:ậ ươ Ma tr n và đ nh th c ậ ị ứ Tr n trung kiênầ n 2 1 1 1 1 x 0 0 0 D x 0 x 0 0 . . . . . . 0 0 . . . x 0 − − ′ = = − − ; Đ nh th c th hai ị ứ ứ 0 1 1 1 1 x 0 0 1 0 x . 0 . . . . . 1 0 0 x − − − chính là n 1 D − . Thay vào (*1), ta đ c công th c:ượ ứ n 1 n 2 n n 1 D ( 1) x x.D n − − − = − − ∀ nguyên d ng (*2)ươ Ta có 3 0 1 1 D 1 x 0 2x 1 0 x = − = − ⇒ 3 2 2 4 D ( 1) .x x.2x 3x= − − = − ⇒ Ta ch ng minhứ đ c:ượ n 1 n 2 n D ( 1) .(n 1)x n − − = − − ∀ nguyên d ng (*3) hi n nhiên công th c đãươ ể ứ đúng v i ớ n 3= . Gi s (*3) đã đúng v i n, ta ch ng minh (*3) cũng đúng v i ả ử ớ ứ ớ n 1+ . Theo (*2) thì n n 1 n 1 n D ( 1) x x.D − + = − − theo (*3) thì n n 1 n 1 n 2 n 1 D ( 1) x x.( 1) (n 1).x − − − + = − − − − = n n 1 ( 1) x (1 n 1) − − + − = n n 1 ( 1) .n.x − − , t c là (*3)ứ cũng đúng v i ớ n 1+ □ 9.34 a/  Đ nh th c có c t m t và c t 4 t l v i nhau thì đ nh th c b ng 0.ị ứ ộ ộ ộ ỷ ệ ớ ị ứ ằ 9.34 b/  x0 00a 1x 00a 00 x0a 00 1xa 00 01a D n 1n 2 1 0 1n − − − = − + khai tri n theo dòng ể n 1+ , ta đ c:ượ 0 1 n 2 n 2 n n 1 n n n 2 n 1 a 1 0 0 1 0 . . . 0 0 a x 1 . 0 x 1 . 0 0 D ( 1) .a . x. ( 1) .a .( 1) x.D 0 x 0 0 a 0 x 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 x 1 a 0 0 . . . x + + + − − − − − = − + = − − + − = n n a x.D+ n∀ nguyên d ng (*1).ươ Ta có: 0 2 1 0 2 0 1 3 1 0 1 2 2 a 1 0 D a ; D a x a ; D a x 1 a x a x a a 0 x − = = + = − = + + ⇒ d đoán:ự n n n 1 n i n 1 0 1 n 1 n i i 0 D a x a x a x a ax n − − + − = = + + + + = ∀ ∑ L nguyên d ng (*2). Hi n nhiênươ ể (*2) đã đúng v i ớ n 2= . Gi s (*2) đã đúng v i n nguyên d ng tuỳ ý, theo (*1) thìả ử ớ ươ n 2 n 1 n 1 D a x.D + + + = + , theo (*2) thì n n i n 2 n 1 i i 0 D a x. a x − + + = = + ∑ = 10 [...]... 3 9.50 Xét ma trận cấp m × n tạo bởi hệ véc tơ { A 1,A 2 ,  ,A m } , do hệ này là hệ độc lập tuyến tính nên nó có hạng là m ⇒ ma trận tương ứng có hạng là m nên nó có 16 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên ít nhất một định thức cấp m khác 0 Khi mỗi véc tơ của hệ đều bổ sung thêm thành phần thứ n + 1 thì ma trận tương ứng tăng thêm cột thứ n + 1 , nó vẫn có ít nhất định thức cấp... ,A m } < m ⇒ ma trận tương ứng có hạng nhỏ hơn m ⇒ cấp của định thức con cấp cao nhất trong số các định thức con khác không vẫn nhỏ hơn m Khi mỗi véc tơ của hệ đều bị bớt đi thành phần thứ n thì ma trận tương ứng mất đi cột thứ n ⇒ cấp của định thức con cấp cao nhất trong số các định thức con khác không không thể tăng lên được Vì vậy ma trận mới vẫn có hạng nhỏ hơn m ⇒ hệ m véc tơ mới vẫn có hạng thấp... 1 1  =   =B  0 0 0 1 1   0 0 0 0 1    Như vậy ta có đẳng thức B2 = C  1 −2 2  9.42 a/ Ma trận A =  λ 3 0  có ma trận nghịch đảo ⇔  2 1 1   det A ≠ 0 ⇔ 4λ − 9 ≠ 0 ⇔ λ ≠ 9 4 λ 2 0 b/ A =  2 λ 1  ⇒ det A = λ 3 − 5λ ≠ 0 ⇔ λ ≠ 0 ; λ ≠ ± 5 0 1 λ   13 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên  1 − 5 − 4 c/ A =  3 − 1 λ  ⇒ det A = −λ 2 − 17λ... phần b bài 9.36 chính là D5 = −2.(5 − 2)! = −12 9.37 Tổng quát, ta tính định thức cấp n mà các phần tử có dạng aii ≠ 0 ∀ i = 1,n ; ai ,i +1 ≠ 0 ∀ i = 1,n − 1; an1 ≠ 0 , còn lại đều bằng 0: 0 0   a11 a12 0 0 0   0 a22 a23  0 0 a33 0 0  D=  , khai triển định thức theo cột 1, ta được:  0 0 0 an−1,n−1 an−1,n  a 0 ann   n1 0 0  12 Bài tập chương IX: Ma trận... dễ thấy một ma trận (khác ma trận không) mà tất cả các cột của nó tỷ lệ với nhau (tức là chỉ khác nhau bởi một hằng số nhân) đều có hạng là 1” Giả sử A = (A 1,A 2 ,  ,A n ) là ma trận mà A j là cột thứ j của ma trận A ( j = 1,n ) Do rankA = rank { A 1,A 2 ,  ,A n } = r ⇒ tồn tại hệ r véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của hệ véc tơ { A 1,A 2 ,  ,A n } ( r ≤ n ) Không mất tính tổng quát, có thể giả... khác 0, định thức này vẫn chính là định thức trên Vì vậy ma trận mới vẫn có hạng là m ⇒ hệ m véc tơ mới vẫn có hạng là m ⇒ hệ véc tơ mới vẫn độc lập tuyến tính 9.51 Cách 1: Cho { A 1,A 2 ,  ,A m} là hệ m véc tơ n chiều phụ thuộc tuyến tính Nếu mỗi véc tơ của hệ đều bớt đi thành phần thứ n thì hệ m véc tơ n − 1 chiều mới là phụ thuộc tuyến tính Vì nếu hệ mới là độc lập tuyến tính thì theo bài 9.50,... A 3} ⇔ tồn tại các số thực thì rank { A 1,A 2 ,A 3 } = rank { A 1,A 2 ,A 3,X } Nhưng rank { A 1,A 2 ,A 3,X } = 2 3 1  2 3 1 1 = rank  3 7 −6 3  = 3 vì có định thức cấp 3: 3 7 3 = 11 ≠ 0 ⇒  5 8 λ 5 5 8 5   15 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên 2 3 1 2 3 1  rank { A 1,A 2 ,A 3 } = rank  3 7 −6  = 3 ⇒ 3 7 −6 ≠ 0 ⇔ 5λ − 5 ≠ 0 ⇔ λ ≠ 1 5 8 λ  5 8 λ   Ngược lại, nếu λ... Cũng vậy, rankB = s ⇒ rank { B1,B2 ,  ,Bn } = s ⇒ có hệ s j =1 véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của { B1,B2 ,  ,Bn } là { B1,B2 ,  ,Bs } (s ≤ n) ⇒ s Bk = ∑ zjk B j ∀ k = 1,n ⇒ A k + Bk biểu diễn tuyến tính được qua hệ véc tơ j =1 { A 1,A 2 ,  ,A r ,B1,B2 ,  ,Bs} ∀ k = 1,n ⇒ rank { A 1,A 2 ,  ,A n ,B1,B2,  ,Bn } ≤ 14 Bài tập chương IX: Ma trận và định thức Trần trung kiên ≤ r + s = rankA + rankB... ,A 3,A 4} = rankA = rankB = 3 , hạng của hệ véc tơ { A 1,A 2 ,A 3,A 4} ít hơn số véc tơ của hệ ⇒ hệ véc tơ { A 1,A 2 ,A 3,A 4} là hệ véc tơ phụ thuộc tuyến tính Cách giải như trong sách bài tập không được coi là cách giải mẫu mực, vì có phải ai cũng thấy được dòng A3 bằng tổng các dòng A1 và A4 đâu Chẳng hạn, chỉ cần sửa a41 = 1 là ta được hệ 4 véc tơ mới, làm sao thấy được cái gì ở hệ véc tơ này:... 4cét4 4 4 4 4 43  1 4 4 2 ma trË r n tổng của r ma trận trên đều có hạng là 1, đó là điều phải chứng minh 9.46 Giả sử A 1,A 2 ,  ,A n là các cột ma trận A; B1,B2 ,  ,Bn là các cột của ma trận B Giả sử rankA = r ⇒ rank { A 1,A 2 ,  ,A n } = r ⇒ tồn tại hệ con r véc tơ độc lập tuyến tính cực đại của hệ { A 1,A 2 ,  ,A n } Không làm mất tính tổng quát, có thể giả thiết r véc tơ đó là hệ r véc tơ đầu . Xét ma tr n c p ậ ấ m n× t o b i h véc t ạ ở ệ ơ { } 1 2 m A ,A , ,A , do h này là hệ ệ đ c l p tuy n tính nên nó có h ng là m ộ ậ ế ạ ⇒ ma tr n t ng ng có h ng là m nên nó có ươ ứ ạ 16 Bài.  − −   9.45 Ch ng minh r ng m t ma tr n có h ng b ng r bao gi cũng vi t đ c thànhứ ằ ộ ậ ạ ằ ờ ế ượ t ng c a r ma tr n có h ng b ng 1.ổ ủ ậ ạ ằ 9.46 Cho hai ma tr n cùng c p A và B, ch ng minh. 210000 1090000 861600 151200 305043 200021 D − = 9.39 Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n ậ ị ả ủ ậ         −= 231 121 315 A 9.40 Tìm ma tr n ngh ch đ o c a các ma tr n: ậ ị ả ủ ậ a/           −−− = 4331 1241 2152 0121 A