Đang tải... (xem toàn văn)
Trong chương trình toán THPT, mà cụ thể là phân môn Đại số 10, các em học sinh đã được tiếp cận với phương trình chứa ẩn dưới dấu căn và được tiếp cận với một vài cách giải thông thường đối với những bài toán cơ bản đơn giản. Tuy nhiên trong thực tế các bài toán giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn rất phong phú và đa dạng và đặc biệt là trong các đề thi Đại học Cao đẳng THCN, các em sẽ gặp một lớp các bài toán về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn mà chỉ có số ít các em biết phương pháp giải nhưng trình bày còn lủng củng chưa được gọn gàng, sáng sủa thậm chí còn mắc một số sai lầm không đáng có trong khi trình bày
BM 01-Bìa SKKN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG & Mã số :……………… SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Người thực : NGUYỄN THỊ BÍCH DIỄM Lĩnh vực nghiên cứu : Quản lý giáo dục : Phương pháp dạy học môn :…………… Phương pháp giáo dục : Lĩnh vực khác :…………………………… Có đính kèm : Mơ hình Phần mềm Phim ảnh SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC Năm học : 2011- 2012 Hiện vật khác BM02-LLKHSKKN SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN : Họ tên : NGUYỄN THỊ BÍCH DIỄM Ngày tháng năm sinh : Nam, nữ : 01 - 09 - 1982 NỮ Địa : Ấp – xã Xuân Hưng, huyện Xuân Lộc, tỉnh Đồng Nai Điện thoại : 01677732182 Fax : - E-mail : Chức vụ : Đơn vị công tác : Trường THPT Xuân Hưng II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO : - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học - Năm nhận : - Chuyên ngành đào tạo : 2004 Toán-Tin học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC : - Lĩnh vực chuyên mơn có kinh nghiệm : Giảng dạy Tốn - Số năm có kinh nghiệm : 04 năm - Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần : Tên sáng kiến kinh nghiệm: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Trong năm học qua, phân công trực tiếp giảng dạy lớp 10 Đa số học sinh nhận thức cịn chậm giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt - Trong chương trình tốn THPT, mà cụ thể phân môn Đại số 10, em học sinh tiếp cận với phương trình chứa ẩn dấu tiếp cận với vài cách giải thông thường toán đơn giản Tuy nhiên thực tế tốn giải phương trình chứa ẩn dấu phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Đại học - Cao đẳng -THCN, em gặp lớp toán phương trình chứa ẩn dấu mà có số em biết phương pháp giải trình bày cịn lủng củng chưa gọn gàng, sáng sủa chí cịn mắc số sai lầm khơng đáng có trình bày Tại lại vậy? - Lý là: Trong chương trình SGK Đại số lớp 10 hành trình bày phần đầu chương III (Giữa học kỳ I) hạn hẹp có tiết lý thuyết sách giáo khoa, giới thiệu sơ lược ví dụ đưa cách giải rườm rà khó hiểu dễ mắc sai lầm, phần tập đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy, giáo viên đưa đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế, để biến đổi giải xác phương trình chứa ẩn dấu đòi hỏi học sinh phải nắm vững nhiều kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi tốn học nhanh nhẹn Vì tơi tổng hợp số phương pháp giải tập để giúp em học sinh lớp 10 tự học để nâng cao kiến thức, đặc biệt hy vọng chuyên đề giúp em học sinh lớp 12 tự ôn tập để giải tốt đề thi Đại học - Cao đẳng –THCN II THỰC TRẠNG TRƯỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI Thuận lợi Có nhiều tài liệu để tham khảo làm chuyên đề Được hỗ trợ thành viên tổ Khó khăn Một số áp dụng địi hỏi tính tư cao Do chưa thể phổ biến cho toàn thể học sinh III NỘI DUNG ĐỀ TÀI Cơ sở lí luận - Nhiệm vụ trung tâm trường học THPT hoạt động dạy giáo viên hoạt động học học sinh, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thông đặc biệt mơn tốn học cần thiết khơng thể thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt mơn tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic cách biến đổi Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu mơn tốn học cách có hệ thống chương trình học phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Do vậy, mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm với mục đính giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp toán giải phương trình chứa ẩn dấu -Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh giải hai dạng phương trình thường gặp dạng số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu nâng cao Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: Đưa số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu căn, có ví dụ cho học sinh tham khảo tự học A DẠNG CƠ BẢN: 1.Phương trình f ( x ) = g(x) (1) a) Phương pháp: pt g ( x) ≥ f ( x ) = g(x) ⇔ f ( x) = g ( x ) g(x) ≥ điều kiện cần đủ f(x)= g2(x) ≥ Khơng cần đặt thêm điều Điều kiện kiện f(x) ≥ b) Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình 3x − = x - (1) x≥3 x = + 29 x−3≥ x≥3 + 29 (1) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔x= 2 3 x − = ( x − 3) x − x + 13 = x = − 29 + Ví dụ 2: Giải phương trình 3x − x − = 3x + (2) −1 x≥ −1 3x + ≥ x≥ −1 (2) ⇔ ⇔ ⇔ x = −1 ⇔ x = 3 3 x − x − = (3 x + 1) 3x + x + = −1 x = 2.Phương trình : f ( x) = g ( x) (2) a Phương pháp: f ( x) ≥ 0( g ( x ) ≥ 0) f ( x) = g ( x ) pt(2) ⇔ Chú ý: Không cần đặt đồng thời g(x) ≥ f(x) ≥ f(x)=g(x) b Các ví dụ: + Ví dụ 1: Giải phương trình −3 x + = 2x +1 , (1) −1 x ≥ 2x +1 ≥ (1) ⇔ ⇔ ⇔x= −3 x + = x + x = + Ví dụ 2: Giải phương trình x + 3x − = x + , (2) Nhận xét: Biểu thức dấu vế trái biểu thức bậc hai nên ta đặt điều kiện cho vế phải không âm −7 −7 x≥ 7x + ≥ x≥ (2) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ x=3 x = −1 2 x + 3x − = x + 2 x − x − = x = Trong thực tế giảng dạy thấy đa số học sinh nắm nhớ phương pháp giải hai dạng đa số em lại giải sai kết Lí em khơng nhớ khơng khai triển biểu thức bình phương tổng bình phương hiệu,và giải sai phương trình bậc hai Do trước giảng dạy phần tơi thường phát tài liệu cho học sinh tự ôn tập trước kiến thức sau: Nhắc lại hai đẳng thức (a + b)2 = a + 2ab + b ; (a − b)2 = a − 2ab + b Bài tập áp dụng: Khai triển biểu thức sau (x-3)2; (3x-4)2; (4x+5)2; (3-2x)2 2.Cách giải cơng thức nghiệm phương trình bậc hai: a x + bx + c = (a ≠ 0) (*) +Tính ∆ = b − 4ac (hoặc ∆ ' = (b' )2 − ac ) -Nếu ∆ 0 pt (*) có hai nghiệm phân biệt x1,2 = −b ± ∆ 2a +Tính nhẩm nghiệm pt bậc hai: ax2 +bx +c = a) a +b +c = nghiệm x1= 1, b) a –b +c = nghiệm x1= -1, x2 = x2= c a −c a Bài tập áp dụng: Giải phương trình sau: 1) x − x − = 2) x + 3x − = 3) 3x − x − = 4) x − ( + 1) x + = Qua hai năm áp dụng cách thấy đạt kết tốt Đa số học sinh khai triển hai dạng đẳng thức giải tốt phương trình bậc hai giảng phương trình chứa ẩn dấu nhẹ nhàn nhiều Ta cần đưa phương pháp giải hai dạng em giải tốt phương trình Sau dạy xong phần lí thuyết tơi đưa số phương pháp giải số phương trình nâng cao để học sinh tự học hình thành kỹ giải phương trình chứa ẩn dấu B GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC (Phương trình khơng tường minh) + Ví dụ 1: Giải phương trình x + + x + - x + = (1), (ĐH-CĐ Khối D năm 2005) Điều kiện phương trình x ≥ -1 , (*) Nhận xét: Biểu thức dấu x + + x + có dạng đẳng thức (a + b)2 = a2 +2ab + b2 nên ta biến đổi sau pt(1) ⇔ ( x + + 1) - x + = ⇔ x + +2 ⇔ x +1 = x + = ⇔ x + = ⇔ x = (thoả mãn điều kiện (*) ) Vậy, nghiệm phương trình x = + Ví dụ 2: Giải phương trình x − + x − = x − + x − 16 Lời giải : Ta có Pt ⇔ x − + x − = x − + x − x − ≥ ⇔ x −1 = 2x − x − ≥ ⇔ x −1 ≥ x −1= x − x ≥ ⇔ x = Vậy phương trình cho vơ nghiệm A+ B = Chú ý rằng: A ≥ A+ C ⇔ B= C + Ví dụ 3: Giải phương trình x2 – 7x + 12 = ( x − 3) ( x − x − 6) Lời giải: Ta có x2 – 7x + 12 = ( x − 3) ( x − x − 6) ⇔ (x-3)(x-4) = ( x − 3)( x − 3)( x − 2) ⇔ (x-3)(x-4) = ( x − 3) ( x − 2) ( x − 3) x + = ( x − 3)( x − 4) ⇔ −( x − 3) x + = ( x − 3)( x − 4) (1) ( 2) Giải (1) ⇔ ( x − 3) x + = (x-3)(x-4) x = ⇔ x+2 = x−4 ( ) x+2−x+4 =0 x = ⇔ x = Giải (2) ⇔ − ( x − 3) x + = (x-3)(x-4) x = ⇔ x + = 4− x ⇔ ( x − 3) ⇔ − ( x − 3) ( ) x+2 + x−4 =0 x = ⇔ x = Vậy phương trình cho có nghiệm : x = v x = v x = Chú ý rằng: 0 A = A2 B = A B = A B A > − A B A < C PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐƯA VỀ DẠNG CƠ BẢN Trường hợp phương trình cho có nhiều thức -Ta bình phương nhiều lần để khử dấu -Mỗi lần bình phương hai vế, cần đặt điều kiện: • Điều kiện có nghĩa thức • Điều kiện dấu hai vế để phương trình tương đương với phương trình trước a) Ví dụ: Giải phương trình − x + x x + = − x − x (*) Giải: −3 ≤ x ≤ −3 ≤ x ≤ − x − x2 ≥ (*) ⇔ ⇔ ⇔ x ( x + 2) ≤ 2 x x + = −2( x + 2) 7 − x + x x + = − x − x x ( x + 5) = 4( x + 2) −2 ≤ x ≤ −2 ≤ x ≤ ⇔ ⇔ ⇔ x = −1 2 ( x + 1)( x − 16) = x + x − 16( x + 1) = b) Bài tập áp dụng Giải phương trình:1 x + x + = x − + D GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ VÀ THỬ LẠI + x − x + = x + a) Ví dụ: Giải phương trình x + x + 16 = 40 x + 16 (*) Giải: 2 2 (*) ⇒ x x + 16 + x + 16 = 40 ⇒ x x + 16 = − x + 24 ⇒ x ( x + 16) = x − 48 x + 24 ⇒ 64 x = 242 ⇒ x = ⇒ x = ±3 Thử lại: thay x = ±3 vào phương trình (*), ta nhận nghiệm x = b) Bài tập áp dụng Giải phương trình :1 x +5 = x+ 2 x −3 x2 + − x − =x E PHƯƠNG PHÁP DÙNG ẨN PHỤ Đơi qua trình biến đổi đưa dạng bản, ta phương trình bậc cao phức tạp Trong trường hợp ta tìm cách biến đổi phương trình cho thành phương trình tích số đặt ẩn phụ Đặt ẩn phụ t = ϕ ( x) dẫn đến phương trình theo t Điều kiện t điều kiện làm cho phương trình t = ϕ ( x) có nghiệm a) Ví dụ: Giải phương trình x + x + + x + x + = x + x + 9(*) Giải: Đặt t = x + x + Phương trình (*) trở thành t≥0 t≥0 t≥0 t + + t = 2t + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ t =1 2t + + t (t + 3) = 2t + t (t + 3) = t + 3t − = x=0 x = −1 với t = ta có x2+x+1=1 ⇔ b) Bài tập áp dụng Giải phương trình 3x − x + 15 + 3x − x + = x + x − 3x + = 3x + x + x + + x + x + = 3x + 3x + 19 x + 3x − x + 3x + + = Đặt ẩn phụ t = ϕ ( x) dẫn đến phương trình theo t với x tham số Ta giải phương trình, tính t theo x.Từ suy x a) Ví dụ: Giải phương trình (4 x − 1) x + = x + x + 1(*) Giải: Đặt t = x + 1(t ≥ 1) (*) ⇔ (4 x − 1) x + = 2( x + 1) + x − Phương trình trở thành t = (loai) 2t -(4x-1)t+2x-1=0 ⇔ t = 2x −1 với t= 2x-1 ta có: 2x −1 ≥ x ≥1 ⇔ ⇔x= x2 + = 2x − ⇔ 2 x +1 = 4x − 4x +1 3x − x = b) Bài tập áp dụng Giải phương trình x + x + 11 = (2 x + 3) x + Đặt ẩn phụ t = ϕ ( x) dẫn đến hệ hai ẩn x t a) Ví dụ: Giải phương trình x = x + + 5(*) Giải: x ≥ −5 t ≥0 Đặt t = x + ⇒ t = x + Điều kiện x2 = t + x2 = t + x2 = t + (*) ⇔ ⇔ 2 ⇔ x − t = t − x t = x + ( x − t )( x + t + 1) = + 21 x = x + 5( x ≥ 0) x= x =t +5 ⇔ ⇔ ⇔ x = − x + 4( x ≤ −1) −1 + 17 t = x ∨ t = − x − 1(t ≥ 0) x = b) Bài tập áp dụng Giải phương trình x + x + = x + 17 − x + x 17 − x = F PHƯƠNG PHÁP CHẶN HAI VẾ Giả sử ta có phương trình f(x)=g(x) tìm số C cho f ( x) ≤ C ≤ g ( x) với x thuộc miền xác định phương trình f ( x) = C g ( x) = C Khi f ( x) = g ( x) ⇔ a) Ví dụ: Giải phương trình x − + − x = x − x + 11 (*) Giải: Điều kiện ≤ x ≤ 2 x − + − x ≤ 2.2 = x − x + 11 = x − x + + = ( x − 3) + ≥ Ta có ⇒ x − + − x ≤ ≤ x − x + 11 x−2 + 4− x = ⇔ x=3 ( x − 3) + = (*) ⇔ b) Bài tập áp dụng Giải phương trình x + + x = 3x + x + + x + 10 x + 14 = − x − x G ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĂN THỨC Nhắc lại kiến thức phương trình đường thẳng 1) Phương trình tổng quát r Đường thẳng qua điểm M(x0;y0) có vectơ pháp tuyến n = ( A; B) có phương trình tổng qt là: A(x-x0)+B(y-y0) = ⇔ Ax+By+C=0 2) Phương trình tham số r Đường thẳng qua điểm M(x0;y0) có vectơ phương u = (u1 ; u2 ) có phương trình tham x = x0 + u1t số là: y = y + u t +Ví dụ 1: Giải phương trình x + + 12 − x = 10 x + = + 3t Đặt điều kiện ( − ≤ t ≤ ) 12 − x = − t x + = (1 + 3t ) (1) ⇔ Lấy (1)+(2) ta có 20+10t2=10 ⇔ t = ⇔ t = t=-1(loại) 12 − x = (3 − t ) (2) Với t = ⇒ x3 + = ⇔ x3 = ⇔ x = Thuật tốn giúp ta nhìn thấy cách đặt ẩn t? Khơng phải ngẫu nhiên mà tơi trình bày lại vấn đề dường thẳng , vấn đề tưởng chừng chẳng liên quan đến đại số.Nhưng thực “đường thẳng” “tuyệt chiêu” để giải phương trình chứa thức.Mấu chốt là: B1: Đặt X = x3 + Y = 12 − x3 Từ ta có phương trình đường thẳng: X+3Y = 10 X = + 3t Y = 3−t B2:Ta viết lại phương trình X+3Y = 10 theo tham số t: Lúc phương trình quy ẩn t việc giải phương trình khơng khó +Ví dụ2: Giải phương trình x +3 + x + =1 x + = 1− t x + = − 2t + t (1) Đặt ( t ≤ 1) ⇔ x + = t (2) x+2 =t Lấy phương trình (2) trừ pt (1) ta có t3-t2+2t=0 ⇔ t = Với t=0 ⇔ x = −2 Bài tập tự luyện: 1) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x + mx + = x + (ĐH-CĐ Khối B năm 2006) 2) Giải phương trình x − + x − 3x + = ( x ∈ ¡ ), (ĐH-CĐ Khối D năm 2006) 3) Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x + x − = m ( x − ) (Khối B – 2007) 4) Giải phương trình 3x − + − x − = (ĐH năm 2009) 5) Giải phương trình 3x + − − x + x − 14 x − = 0( x ∈ ¡ ) (ĐH Khối B năm 2010) 6) Giải phương trình + x − − x + 4 − x = 10 − 3x( x ∈ ¡ ) , (ĐH Khối B năm 2011) IV KẾT QỦA - Chuyên đề áp dụng cho học sinh ôn thi sau V BÀI HỌC KINH NGHIỆM - Cần đưa thêm nhiều dạng tập - Cập nhật thêm số vấn đề liên quan đến phương trình chứa ẩn dấu VI KẾT LUẬN Giúp học sinh có thêm tài liệu tham khảo phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu Tài liệu tham khảo + Sách giáo khoa đại số 10 - Nhà xuất giáo dục + Các giảng luyện thi mơn tốn - Nhà xuất giáo dục + Báo Toán học tuổi trẻ- Nhà xuất giáo dục + Các đề thi đại học năm trước Xuân Hưng, ngày tháng năm 2012 Nguyễn Thị Bích Diễm SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG THPT XUÂN HƯNG Độc lập – Tự – Hạnh phúc Xuân Hưng, ngày tháng PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Năm học : 2011 – 2012 năm 2012 Tên sáng kiến kinh nghiệm : Phương trình chứa ẩn dấu Họ tên tác giả : NGUYỄN THỊ BÍCH DIỄM.Đơn vị (Tổ) : Toán-Tin Lĩnh vực : Giảng dạy Quản lý giáo dục Phương pháp dạy học môn :……………… Phương pháp giáo dục : Lĩnh vực khác :……………………………… Tính mới: - Có giải pháp hồn tồn : - Có giải pháp cải tiến, đổi từ giải pháp có Hiệu quả: - Hồn tồn triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng tồn ngành có hiệu cao - Hoàn toàn triển khai áp dụng đơn vị có hiệu cao - Có tính cải tiến đổi từ giải pháp có triển khai áp dụng đơn vị có hiệu Khả áp dụng: - Cung cấp luận khoa học cho việc hoạch định đường lối, sách : Tốt Khá Đạt - Đưa giải pháp khuyến nghị có khả ứng dụng thực tiễn, dễ thực dễ vào sống : Tốt Khá Đạt - Đã áp dụng thực tế đạt hiệu có khả áp dụng đạt hiệu phạm vi rộng : Tốt Khá Đạt XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ ... pháp giải gặp tốn giải phương trình chứa ẩn dấu -Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh giải hai dạng phương trình thường gặp dạng số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu nâng cao Nội dung,... giải phương trình chứa ẩn dấu B GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC (Phương trình khơng tường minh) + Ví dụ 1: Giải phương trình x + + x + - x + = (1), (ĐH-CĐ Khối D năm 2005) Điều kiện phương. .. bậc hai giảng phương trình chứa ẩn dấu nhẹ nhàn nhiều Ta cần đưa phương pháp giải hai dạng em giải tốt phương trình Sau dạy xong phần lí thuyết tơi đưa số phương pháp giải số phương trình nâng