Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai Bổ đề D.S - Trang 1 BỔ ĐỀ D.S – BỔ ĐỀ ĐOẠN CHIA Nguyễn Ngọc Duy – Học sinh lớp 11 Toán. Khóa 10TO, Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, TP. Biên Hòa, Tỉnh Đồng Nai. Bổ đề D.S (Divided Segment), hay bổ đề đoạn chia, là một bổ đề hình học với một số ứng dụng đẹp trong nhiều bài toán hình học sơ cấp. Nếu như biết ứng dụng một cách thông minh, linh động, thì đây quả là một công cụ hữu ích trong việc giải quyết các bài toán hình. Hôm nay tôi xin giới thiệu bổ đề này cùng một số ứng dụng thú vị của nó.  Bổ đề D.S: Cho tam giác ABC. Điểm M nằm trên cạnh BC. Khi đó ta có hệ thức: sin sin . sin sin BM BAM ACM CM CAM ABM  . Chứng minh: Gọi R 1 , R 2 lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM và ACM. Trong tam giác ABM, ta có: sin sin BM AM BAM ABM  ( 1 2 R  ) sin sin BM BAM AM ABM   (1) Tương tự, ta có được hệ thức trong tam giác ACM: sin sin AM ACM CM ACM  (2) Từ (1) và (2) suy ra sin sin . sin sin BM BAM ACM CM CAM ABM  .  Một số ứng dụng: Ta sẽ cùng tìm hiểu một số ứng dụng của bổ đề D.S:  Bài toán 1: Cho tam giác ABC. Các điểm M, N, P lần lượt thuộc các đoạn BC, CA, AB. Khi đó, các đường AM, CP, BN đồng quy khi và chỉ khi sin sin sin . . 1 sin sin sin BAM ACP CBN CAM BCP ABN  (Định lý Ceva dạng sin). Bài làm: Trong tam giác ABC, theo định lý Ceva, ta có các đường AM, CP, BN đồng quy khi và chỉ khi . . 1 MB NC PA MC NA PB  . Theo Bổ đề D.S, ta có: sin sin . sin sin MB BAM ACM MC CAM ABM  . sin sin . sin sin NC CBN BAN NA ABN BCN  . sin sin . sin sin PA ACP CBP BCP P PB CA  . Nhân các vế với nhau của ba đẳng thức trên, ta có được điều phải chứng minh: sin sin sin . . 1 sin sin sin BAM ACP CBN CAM BCP ABN  .  A B C M Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai Bổ đề D.S - Trang 2  Bài toán 2: Một đường tròn tâm Q tiếp xúc với đoạn thẳng AB tại điểm C nằm giữa A và B. Tia Ax tiếp xúc với đường tròn (Q) tại D (D khác C). Trên tia Ax lấy điểm M. Đường thẳng qua Q và vuông góc với BM cắt CD tại E. Tia AE cắt BM tại F. Chứng minh điểm F luôn nằm trên một tia cố định khi M (M khác A) di động trên tia Ax. Bài làm: Gọi EQ BM N   Áp dụng bổ đề D.S cho tam giác ACD và QCD, ta có: sin sin . sin sin sin sin . sin sin DE DAE ACE CE CAE ADE DQE QCE CQE QDE   Dễ có     , ADE ACE QDE QDE   sin sin sin sin DAE DQE CAE CQE   Lại có tứ giác MDQN và BCQN nội tiếp nên suy ra     , DQE DMN CQE CBN   Như vậy ta có: sin sin sin sin DAE DMN CAE CBN  Áp dụng bổ đề D.S cho tam giác ABM, ta có: sin sin . 1 sin sin FM DAE CBN FB CAE DMN   , hay F là trung điểm BM. Như vậy, dễ có điểm F luôn nằm trên đường thẳng đi qua trung điểm của AB, và song song với Ax cố định.   Bài toán 3: Cho tam giác ABC nội tiếp (O). I là trung điểm BC. Trên đoạn IC lấy điểm M bất kỳ ( , M C I  ). AM cắt (O) tại điểm thứ hai D. Trên đoạn BD lấy điểm E sao cho   BME MAI  . Đường thẳng EM và CD cắt nhau tại F. Chứng minh: CF BE CD BD  . (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 409) Bài làm: Xét tam giác BDC có 3 điểm E, M, F thẳng hàng nên theo định lý Menelaus, ta có: . . 1 (1) CF BD ME CD BE MF  . Ta có :    DEF DBC BME      DAC MAI CAI   .         180 o MCF MCA ACF BCA ABD BDA ABD BAD         . Lại do      180 o MCF CMF CFM    . Nên suy ra    CMF CFM BAD   . Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai Bổ đề D.S - Trang 3 Lại có    CMF BME MAI   . Do đó:   CFM BAI  . Sử dụng Bổ đề D.S cho ABC  , điểm I BC  : sin sin . sin sin sin sin . . sin i 1 s n IB BAI ACI IC CAI ABI CFM MDE DEF MDF    Lại do theo Bổ đề D.S trong EDF  với điểm M EF  : sin sin . sin sin CFM MDE ME DEF MDF MF  . Từ đó suy ra 1 (2) ME MF  . Từ (1) và (2) suy ra CF BE CD BD  .   Bài toán 4: Cho tam giác ABC có O là tâm đường tròn nội tiếp, đường tròn này tiếp xúc các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm A 1 , B 1 , C 1 . Các đường thẳng A 1 O, B 1 O, C 1 O tương ứng cắt các đoạn thẳng B 1 C 1 , C 1 A 1 , A 1 B 1 tại các điểm A 2 , B 2 , C 2 . Chứng minh rằng ba đường thẳng AA 2 , BB 2 , CC 2 đồng quy. Bài làm: Kí hiệu , ,    là các góc đỉnh A, B, C của tam giác ABC. Suy ra các góc 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 , , , A B C B A A C C B C C C có số đo tương ứng là , , , 2 2 2 2         . Theo Bổ đề D.S trong 1 1 1 A B C  , ta có: 1 2 1 2 sin sin 2 2 . sin sin 2 2 A C B C          . Nguyễn Ngọc Duy 10TO, trường THPT chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai Bổ đề D.S - Trang 4 Gọi , B A   lần lượt là số đo  1 2 A CC và  1 2 B CC ; C 3 là giao điểm của đường thẳng CC 2 với cạnh AB. Ta có CA 1 =CB 1 , sử dụng Bổ đề D.S, ta được: 3 1 2 3 1 2 sin sin sin sin sin sin 2 2 . . . . sin sin sin sin sin sin 2 2 A B AC B C C B A C                    . Tương tự: 3 3 sin sin sin 2 2 . . sin sin sin 2 2 BA A C            , 3 3 sin sin sin 2 2 . . sin sin sin 2 2 CB B A            . Ở đây, A 3 , B 3 định nghĩa tương tự như C 3 . Từ ba đẳng thức trên ta có 3 3 3 3 3 3 . . 1 AC BA CB C B A C B A  . Từ đó, theo định lý Ceva, ta suy ra ba đường thẳng AA 2 , BB 2 , CC 2 đồng quy.   Kết luận: Sau các bài toán trên, ta thấy rằng việc ứng dụng bổ đề D.S trong hình học sẽ giúp cho nhiều bài tập hình học phức tạp sẽ trở nên đơn giản, dễ hơn rất nhiều so với những cách làm khác.  Tham khảo:  Những định lý chọn lọc trong Hình Học Phẳng qua các kỳ thi Olympic (ThS Nguyễn Văn Nho).  Bài tập nâng cao va một số chuyên đề Hình học 10 (Nguyễn Minh Hà).  Tài liệu giáo khoa chuyên Toán Hình Học 10 (Đoàn Quỳnh).  MathLinks Contest (http://mathlinks.ro).  MathScope Forum (http://mathscope.org).  MathClub Forum (http://math.look.in).  . A) di động trên tia Ax. Bài làm: Gọi EQ BM N   Áp d ng bổ đề D. S cho tam giác ACD và QCD, ta có: sin sin . sin sin sin sin . sin sin DE DAE ACE CE CAE ADE DQE QCE CQE QDE   D có. đề D. S cho ABC  , điểm I BC  : sin sin . sin sin sin sin . . sin i 1 s n IB BAI ACI IC CAI ABI CFM MDE DEF MDF    Lại do theo Bổ đề D. S trong EDF  với điểm M EF  : sin sin . sin. CA 1 =CB 1 , s d ng Bổ đề D. S, ta được: 3 1 2 3 1 2 sin sin sin sin sin sin 2 2 . . . . sin sin sin sin sin sin 2 2 A B AC B C C B A C                    . Tương tự: 3 3 sin sin sin 2