Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 1 NĂM HỌC 2010 - 2011 S Ở GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO QUẢNG BÌNH TRƯỜNG THPT CHUYÊN QUẢNG BÌNH SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Đồng Hới, tháng 5 năm 2011 Người thực hiện: Trần Xuân Bang Tổ Toán Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 2 Phần thứ nhất. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Phương trình lượng giác là một trong những đơn vị kiến thức trọng tâm trong toàn bộ nội dung chương trình Toán THPT. Trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng, phương trình lượng giác luôn luôn có mặt. Một tập hợp các phương trình lượng giác trong các đề thi Tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng của các trường Đại học trước đây và của Bộ giáo dục và Đào tạo từ 2002 đến nay là một món quà quý cho học sinh ôn luyện thi, cũng là một tài liệu để các thầy cô giáo tâm huyết với nghề nghiệp tham khảo. Với lý do đó tôi đã cố gắng tập hợp, sữa chữa, biên tập "Phương trình lượng giác" hơn một năm nay và đã hoàn thành ở một mức độ nhất định. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC bao gồm: 1. Phương trình lượng giác cơ bản: Với 4 phương trình lương giác cơ bản, mỗi phương trình đều có trình bày cách lấy nghiệm, ví dụ minh họa và các chú ý. 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác: Với 65 phương trình có lời giải chi tiết. 3. Phương trình asinx + bcosx = c, (a 2 + b 2 > 0): Với 22 phương trình có lời giải chi tiết. 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx: Với 13 phương trình có lời giải chi tiết. 5. Phương trình a(sinx - cosx) + bsinxcosx + c = 0: Với 9 phương trình có lời giải chi tiết. 6. Phương trình asin 2 x + bcos 2 x + csinxcosx = d: Với 15 phương trình có lời giải chi tiết. 7. Phương trình: asin 3 x + bcos 3 x + csin 2 xcosx + dsinxcos 2 x + dsinx + ecosx = 0: Với 5 phương trình có lời giải chi tiết. 8. Phương trình a(tanx + cotx) + b(tan 2 x + cot 2 x) + c = 0: Với 1 phương trình có lời giải chi tiết. 9. Phương trình a(tanx - cotx) + b(tan 2 x + cot 2 x) + c = 0: Với 1 phương trình có lời giải chi tiết. 10. Các phương trình lượng giác khác: 10.1 Biến đổi về tích: Với 80 phương trình có lời giải chi tiết. 10.2 Biến đổi thẳng về phương trình lượng giác cơ bản: Với 20 phương trình có lời giải chi tiết. 10.3. C¸c ph¬ng tr×nh lîng gi¸c kh«ng mÉu mùc: Với 27 phương trình có lời giải chi tiết. 11. Các phương trình lượng giác trong các đề Dự bị thi Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2008: Với 42 phương trình có lời giải chi tiết. 12. 26 phương trình lượng giác trong các kỳ thi chính thức Tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng từ 2002 đến 2010. Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 3 13. 95 phương trình lượng giác trong bộ đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng. Phần thứ hai. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình lượng giác cơ bản 1.1. cosx = m.  1 m  : Vô nghiệm(vn)  1 m  : Gọi T = 1 2 3 0, , , , 1 2 2 2               Nếu m T  thì chọn  sao cho os c m   . Khi đó nghiệm của phương trình là: 2 x k      , ( k   ). Nếu m T  thì nghiệm của phương trình là: arccos 2 x m k     , ( k   ). VD1. a) Phương trình cosx = 1 2 2 ;( ) 3 x k k         . b) Phương trình 3 osx = - 2 ;( ) 2 6 c x k k         . c) Phương trình 5 5 osx = - arccos - 2 ;( ) 2 2 c x k k                . d) Phương trình 10 osx = - 3 c : vn vì 10 1 3   . Chú ý 1: i) Phương trình osx = 0 ;( ) 2 c x k k        . ii) Phương trình osx = 1 2 ;( ) c x k k      . 3i) Phương trình osx = - 1 2 ;( ) c x k k        . Chú ý 2: Phương trình osx = cos 2 ;( ) c x k k          . Tổng quát: Phương trình osu(x) = cosv(x) ( ) ( ) 2 ;( ) c u x v x k k        . VD2. a) Phương trình 1 os(2x-1) = 0 2 1 ;( ) 2 2 4 2 c x k x k k               . b) Phương trình 0 0 0 0 0 os(x-15 ) = 1 x-15 360 x=15 360 ;( ) c k k k      . c) Phương trình 0 1 1 1 os(x-15 ) = os x- x- arccos 2 ;( ) 3 12 3 12 3 c c k k                        . Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 4 d) Phương trình 2 6 os 2x- = cos x- 2x- x- 2 ( ) 4 12 4 12 2 9 3 x k c k k x k                                             1.2. sinx = m.  1 m  : vn  1 m  : Gọi T = 1 2 3 0, , , , 1 2 2 2               Nếu m T  thì chọn  sao cho sin m   . Khi đó nghiệm của phương trình là: 2 x k     hoặc 2 x k       ; k   . Nếu m T  thì nghiệm của phương trình là: arcsin 2 x m k    hoặc arcsin 2 x m k      ; k   . VD1. a) Phương trình sinx = 1 2 2 6 ( ) 5 2 6 x k k x k                  . b) Phương trình 2 3 3 sinx = - ( ) 4 2 2 3 x k k x k                   . c) Phương trình 5 arcsin - 2 2 5 sinx = - ( ). 2 5 arcsin - 2 2 x k k x k                                   . d) Phương trình 11 sinx = 3 : vn vì 11 1 3  . Chú ý 1: i) Phương trình sinx = 0 ;( ) x k k      . ii) Phương trình sinx = 1 2 ;( ) 2 x k k        . 3i) Phương trình sinx = - 1 2 ;( ) 2 x k k         . Chú ý 2: Phương trình 2 sinx = sin ( ) 2 x k k x k                  . Tổng quát: Phương trình ( ) 2 sinu(x) = sinv(x) ( ) ( ) 2 u x k k v x k                 . Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 5 VD2. a) Phương trình 1 sin(2x - 1) = 0 2 1 ;( ) 2 2 x k x k k           . b) Phương trình 0 0 0 0 0 0 sin(x - 15 ) = 1 x - 15 90 360 x=105 360 ;( ) k k k       . c) Phương trình 0 1 x - arcsin 2 12 3 1 1 sin(x - 15 ) = sin x - 3 12 3 1 x - arcsin 2 12 3 1 x = +arcsin 2 12 3 ( ) 13 1 x = - arcsin 2 12 3 k k k k k                                                                  d) Phương trình 2x - x - 2 4 12 sin 2x - = sin x - 4 12 2x - x + 2 4 12 2 6 ( ) 4 2 9 3 k k x k k x k                                                   1.3. tanx = m.  Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T = 1 0, , 1, 3 3           Nếu m T  thì chọn  sao cho tan m   . Khi đó nghiệm của phương trình là: x k     , k   .  Nếu m T  thì nghiệm của phương trình là: arctan x m k    , k   . VD1. a) Phương trình tan x = 3 ;( ) 3 x k k        . b) Phương trình tan x = - 1 3 ;( ) 6 x k k         . c) Phương trình tan x = 2 arctan 2 ;( ) x k k       . Chú ý: Phương trình tanx = tan ;( ) x k k         . Tổng quát: Phương trình tanu(x) = tanv(x) ( ) ( ) ;( ) u x v x k k       . Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 6 VD2. a) Phương trình tan 2x = 3 2 ;( ) ;( ) 3 6 2 x k k x k k               b) Phương trình tan (x - 45 0 ) = - 1 3 0 0 0 0 0 45 30 180 15 180 ;( ) x k x k k          c) Phương trình tan (x - 45 0 ) = 2 arctan 2 +arctan 2 ;( ) 4 4 x k x k k              e) Phương trình tan(2x + 1) = tan60 0 1 tan(2 1) tan 2 1 ;( ) 3 3 2 6 2 x x k x k k                    1.4. cotx = m.  Phương trình có nghiệm với mọi m. Gọi T = 1 0, , 1, 3 3           Nếu m T  thì chọn  sao cho cot m   . Khi đó nghiệm của phương trình là: x k     , k   .  Nếu m T  thì nghiệm của phương trình là: arcot 2 ;( ) x k k      VD1. a) Phương trình cotx = 3 ;( ) 6 x k k        . b) Phương trình cotx = - 1 3 ;( ) 3 x k k         . c) Phương trình cotx = - 2 arcot(-2) ;( ) x k k       . Chú ý: Phương trình cotx = cot ;( ) x k k         . Tổng quát: Phương trình cotu(x) = cotv(x) ( ) ( ) ;( ) u x v x k k       . VD2. a) Phương trình cot2x = 3 2 ;( ) ;( ) 6 12 2 x k k x k k               . b) Phương trình cot(x - 45 0 ) = - 1 3 0 0 0 0 0 45 60 180 15 180 ;( ) x k x k k           . c) Phương trình cot(x - 45 0 ) = 5      arcot - 5 +arcot - 5 ;( ) 4 4 x k x k k              . e) Phương trình cot(3x - 2) = cot60 0 2 cot(3 2) cot 3 2 ;( ) 3 3 3 9 3 x x k x k k                   . Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 7 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác. Dạng: ( ) 0 A x B    2 [ ( )] ( ) 0 A x B x C      .   2 3 [ ( )] ( ) ( ) 0 A x B x C x D        Trong đó, ( ) x  là sinu(x), cosu(x), tanu(x), cotu(x). VD1. Giải phương trình cos2x + 2sin 2 x + sin2x = 0. HD. Phương trình đã cho 2 2 2cos 1 2sin 2sin2x = 0 1 sin 2 0 2 2 ,( ). 2 4 x x x x k x k k                     VD2. Giải phương trình 6 6 sin x cos x sin 2x   . HD. Phương trình đã cho 2 2 3 1 sin 2x sin 2x 3sin 2x 4sin2x 4 0 4                               1 2 x arcsin k sin 2x 2 (vn) 2 3 (k ) sin 2x 2 / 3 1 2 x arcsin k 2 2 3  VD3. Giải phương trình 2 (3 2sin x)cosx (1 cos x) 1 1 sin2x      . HD. Điều kiện:   sin 2x 1 Phương trình đã cho                 2 2 cosx 1 3cos x sin2x 1 cos x 1 sin2x cos x 3cosx 2 0 cosx 2 (vn)       cosx 1 x k2 ; (k )  VD4. Giải phương trình 5cosx cos2x 2sin x 0    . HD. Phương trình đã cho 2 2 sin x 0 5cosx cos2x 2sin x 5cosx (2 cos 1) 4sin x                                                            2 2 2 sin x 0 sin x 0 5cosx (2 cos 1) 4(1 cos x) 2cos x 5cosx 3 0 sin x 0 sin x 0 x k2 ; (k ) cosx 3 (vn) 3 cosx 1/ 2 cosx 1/ 2  VD5. Giải phương trình 2 2 1 1 cos x 2 cosx 2 0 cosx cos x                  . HD. Ñieàu kieän : 0x  cos . Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 8 Phương trình đã cho 2 2 1 1 1 1 cosx 2 2 cosx 2 cosx 2 cosx cosx cosx cos x cosx                                              1 cosx 0 (1) cosx 1 cosx 2 (2) cosx . 2 (1) 1 cos 0 (vn) x   2 2 (2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 ; (k ) x x x x x k               VD6. Giải phương trình x 1 x x 1 x 2 2 cos cos cos cos  . HD. Ñieàu kieän : 0x  cos . Phương trình đã cho 2 2 1 1 1 1 cosx 2 cosx cosx cosx 2 0 cosx cosx cosx cosx                                          1 cosx 1 (1) cosx 1 cosx 2 (2) cosx . 2 (1) cos cos 1 0 (vn) x x    2 2 (2) cos 2cos 1 0 (cos 1) 0 cos 1 2 (k ) x x x x x k               VD7. Giải phương trình 2 2 1 1 cos x 2 cosx 1 cosx cos x           . HD. Ñieàu kieän : 0x  cos . Phương trình đã cho 2 1 1 cosx 2 2 cosx 1 cosx cosx                   2 1 1 cosx 2 cosx 1 0 cosx cosx                   01 x 1 x01 x 1 x 2  cos cos] cos [cos 01xx 2  coscos                   1 5 cosx (vn) 1 5 2 x arccos k2 ; (k ) 2 1 5 cosx 2  Trần Xuân Bang - Trường THPT Chuyên Quảng Bình Phương trình Lượng giác 9 VD8. Giải phương trình 2 2 1 1 2 cos x 7 cosx 2 0 cosx cos x                  . HD. Ñieàu kieän : 0x  cos . Phương trình đã cho                                              2 2 1 1 2 cosx 2 7 cosx 2 0 cosx cosx 1 1 2 cosx 7 cosx 6 0 cosx cosx              1 cosx 2 (1) cosx 1 3 cosx (2) cosx 2 . 2 cos 1 2 (1) cos 2cos 1 0 arccos( 1 2) 2 ; (k ) cos 1 2 (vn) x x x x k x                         VD9. Giải phương trình 2 2 1 1 sin x sin x 0 sin x sin x                 . HD. Ñieàu kieän : 0x  sin . Phương trình đã cho 2 1 1 sin x sinx 2 0 sin x sin x                               1 sin x 1 (1) sin x 1 sin x 2 (2) sin x . 2 (1) sin sin 1 0 (vn) x x    2 2 (2) sin 2sin 1 0 (sin 1) 0 sin 1 2 ; (k ) 2 x x x x x k                 VD10. Giải phương trình 2 2 1 1 4 sin x 4 sin x 7 0 sin x sin x                  . HD. Ñieàu kieän : 0x  sin . Phương trình đã cho 2 2 1 1 1 1 4 sin x 2 4 sin x 7 0 4 sin x 4 sin x 15 0 sin x sinx sin x sin x                                              Trn Xuõn Bang - Trng THPT Chuyờn Qung Bỡnh Phng trỡnh Lng giỏc 10 1 3 sin x (1) sin x 2 1 5 sin x (2) sin x 2 . 2 (1) 2sin 3sin 2 0 (vn) x x 2 sin x 2(vn) (2) 2sin x 5sin x 2 0 1 sin x 2 x k2 6 (k 7 x k2 6 ) VD11. Gii phng trỡnh 0 4 3 x2x2 22 cossin . HD. Phng trỡnh ó cho 03x214x214 2 )cos()cos( 03x24x2403x244x244 22 coscoscoscos 1 cos2x 2 2x k2 x k ; (k ) 3 6 3 cos2x (vn) 2 VD12. Gii phng trỡnh 03xtg4xtg 24 2 2 x k tgx 1 tg x 1 4 (k ) tg x 3 tgx 3 x k 3 VD13. Tỡm nghieọm cuỷa phửụng trỡnh : 4 4 sin x cos x cos2x (1) thoỷa maừn baỏt phửụng trỡnh : 2 1 2 1 log (2 x x ) 0 (2) HD. Phng trỡnh ó cho 4 4 2 2 1 sin x cos x cos2x 1 sin 2x cos2x cos 2x 2cos2x 1 0 2 cos2x 1 x k 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 x x 0 2 x x 0 1 log (2 x x ) 0 log (2 x x ) 1 x x 0 1 x 2 1 x 2 x 1 1 x 0 x 0 [...]... 0 khơng thoả mãn phương trình ii) cosx  0, chia hai vế của phương trình cho cos2x, ta được: 2 3 tan2x - 3 tan x   0 Phương trình đã cho có nghiệm: x= 2 3 3   k , x   k , x = arctan + k, k   4 6 3 Phương trình Lượng giác 17 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình VD39 Giải phương trình: HD Đk: x  k 3 4  2sin 2 x   2 3  2(cotg x  1) 2 sin 2 x cos x  2 Phương trình đã cho tương... Phương trình Lượng giác 16 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình 3 2  tan x + tan x – 5tanx + 3 = 0 Đặt t = tanx ta được phương trình t  1 t3 + t2 – 5t +3 = 0  (t – 1)(t2 + 2t – 3) = 0    t  3 Với t = 1, phương trình tanx = 1 có nghiệm x    k , k   4 Với t = -3, phương trình tanx = -3 có nghiệm x = arctan(-3) + k, k   Các giá trị này thỏa mãn điều kiện của phương trình đã cho Vậy phương. .. 2 2 Nghiệm của phương trình là: x = k2; x   k 2 ; x    k 2 (k  ) 3 3 VD60 Giải phương trình 2sin 2 x  5cos x  1  0  cos x  3 (loại) 2 2 2cos x  5cos x  3  0   x  k 2 (k  ) 1  cos x   3  2 2 cos 4 x  6co s 2 x  1  3cos 2 x VD61 Giải phương trình  0 cos x Phương trình Lượng giác 24 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình ĐK: x  HD   k , 2 Phương trình đã... k 2 ,( k  ) 1  cos x   (loại)  2 VD56 Giải phương trình cos2x - cosx - 2 = 0 HD Phương trình đã cho tương đương: Phương trình Lượng giác 23 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình  2 cos 2 x  cos x  3  0  cos x  1   cos x  3 (vn)  2  cos x  1  x    k 2 , (k  ) VD57 Giải phương trình cos 2 x  3cos x  2  0 HD Phương trình đã cho tương đương: 2cos 2 x  3cosx  1  0... 3 7  arcsin  k2 x  4 5 2  4 2 VD16 Giải phương trình cos 2 x  2  cos 2 x HD Phương trình đã cho  cos2 2x  1  cos 4 2x  cos2 2x  2  0   2  cos 2x  2(vn) k  sin 2 x  0  2 x  k  x  ; (k   ) 2 Phương trình Lượng giác 11 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình VD17 Giải phương trình cos 2 2x  4 sin 4 x  3  0 HD Phương trình đã cho  (1  2 sin 2 x ) 2  4 sin 4 x ... k  ) 3  5  Vì x   0; 2   nghiệm của phương trình là: x  , x  3 3 VD36 Giải phương trình: 1+sin2x = 2(cos4x + sin4x) HD Phương trình đã cho Ta có: 2(cos4x + sin4x) = 2[(cos2x + sin2x)2 – 2sin2xcos2x]   1 2   = 2  1  sin 2 2 x  = 2 – sin22x Phương trình đã cho tương đương sin22x + sin2x -1 = 0 Đặt t = sin2x với điều kiện -1  t  1 ta được phương trình: t2 + t – 1 = 0  t = 1  5... phương trình (*) có nghiệm trên khoảng  ; 2  HD Phương trình đã cho  1  2 sin 2 x  (2m  1) sin x  m  1  0  2 sin 2 x  (2m  1) sin x  m  0 a) Khi m = 2: Phương trình đã cho  2sin 2 x  5sin x  2  0 Phương trình Lượng giác 26 ; x 5 6 Trần Xn Bang - Trường THPT Chun Quảng Bình   1   x  6  k 2 s in x   ( k  ) 2   x  5  k 2 s inx = 2  6  b) Tìm m để PT (*) có nghiệm. .. t Phương trình đã cho tương đương 2t  (2m  1)t  m  0, t  [-1; 0)   2  t  m 2 Vậy ta phải có : m   1; 0  3 Phương trình asinx + bcosx = c, (a2 + b2 > 0) Chia hai vế cho a 2  b 2 Phương trình đã cho trở thành a 2 a b Đặt b 2 a b 2  cos , a 2 a  b2 2 b s inx  2 a b 2 cosx = c 2 a  b2  sin  c Phương trình đã cho trở thành: cos( x   )  a 2  b2 (*) Phương trình đã cho có nghiệm. .. x   )  a 2  b2 (*) Phương trình đã cho có nghiệm khi chỉ khi phương trình (*) có nghiệm  c a 2  b2 1 c2  1  a 2  b2  c 2 a 2  b2 Phương trình (*) là một phương trình lượng giác cơ bản Chú ý: i) Nếu đặt b a 2  b2  sin  , sin( x   )  a a 2  b2 c  cos thì (*) trở thành: a2  b2 b a ii) Nếu c = 0, có thể đưa phương trình đã cho về t anx   x 2t 1 t2 2t iii) Có thể đặt tan  t... cos cos2x - sin sin2x = cos  cos   2 x   1 6 6 6 3 6  VD2 Giải phương trình 2 2(sin x  c os x) cos x  3  cos 2x HD Phương trình đã cho  2 sin 2x  2 2c os 2 x  3  cos 2x  2 sin 2x  ( 2  1)c os 2x  3  2 phương trình vô nghiệm vì a2  b 2  c2 3 VD3 Giải phương trình 3sin 3x  3 cos9x  1  4 sin 3x HD Phương trình đã cho  3sin 3x  4 sin3 3x  3 cos 9x  1  sin 9x  3 cos 9x  . " ;Phương trình lượng giác& quot; hơn một năm nay và đã hoàn thành ở một mức độ nhất định. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC bao gồm: 1. Phương trình lượng giác cơ bản: Với 4 phương trình lương giác. giác 3 13. 95 phương trình lượng giác trong bộ đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng. Phần thứ hai. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1. Phương trình lượng giác cơ bản 1.1 cơ bản, mỗi phương trình đều có trình bày cách lấy nghiệm, ví dụ minh họa và các chú ý. 2. Phương trình bậc nhất, bậc hai, bậc ba đối với một hàm số lượng giác: Với 65 phương trình có lời