Mục lục Trang Mục lục Lời nói đầu Chương - Kiến thức cần dùng 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian định chuẩn 10 1.3 Khơng gian Banach có cấu trúc đặc biệt 11 1.4 Không gian tô pô tuyến tính lồi địa phương 14 Kết luận chương 16 Chương - Điểm bất động ánh xạ đơn trị 17 2.1 Điểm bất động ánh xạ dạng co 17 2.2 Điểm bất động ánh xạ liên tục 23 2.3 Điểm bất động ánh xạ không giãn 36 Kết luận chương 40 Chương - Điểm bất động ánh xạ đa trị 41 3.1 Định lý điểm bất động ánh xạ đa trị co 41 3.2 Định lý điểm bất động Ky Fan 51 Kết luận chương 61 Chương - Một số ứng dụng 62 4.1 Ứng dụng định lý điểm bất động Caristi 63 4.2 Bài toán tựa cân tổng quát loại I 64 Kết luận chương 76 Kết luận chung 77 Tài liệu tham khảo 78 Lời nói đầu Đến nay, lý thuyết điểm bất động đời khoảng kỷ phát triển mạnh mẽ năm thập kỷ gần Sự đời Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) ánh xạ co Banach (1922) hình thành hướng lý thuyết điểm bất động: tồn điểm bất động ánh xạ liên tục tồn điểm bất động dạng co Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng như: chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân phương trình tích phân (định lý Picard định lý Peano), chứng minh nguyên lý -biến phân Ekeland, chứng minh tồn điểm cân mơ hình kinh tế, tồn nghiệm tối ưu nhiều toán lý thuyết tối ưu Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) kết khởi đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co, phải đến năm 60 kỷ 20 phát triển mạnh mẽ Nó cho phép ta xây dựng thuật tốn tìm nghiệm toán Các nhà toán học mở rộng Nguyên lý ánh xạ co Banach theo hai hướng: đưa khái niệm mới, ánh xạ đa trị mở rộng ánh xạ co đến ánh xạ không giãn Các kết tiêu biểu kể đến như: M.Edelstein, D.Boyd, A.Meir, E.Keeler cho ánh xạ đơn trị; Caristi, S.Nadler, Ky Fan cho ánh xạ đa trị Một quan hệ ánh xạ co ánh xạ không giãn là: ánh xạ khơng giãn xấp xỉ dãy ánh xạ co tập C lồi, đóng, bị chặn 1 không gian Banach, xác định công thức Tn x = n x0 + (1 − n )T x, x0 điểm cố định C Vì vậy, tồn điểm bất động ánh xạ co kéo theo tồn điểm bất động -xấp xỉ ánh xạ không giãn (x điểm bất động -xấp xỉ ánh xạ T d(x, T x) ≤ ) tập lồi, đóng, bị chặn khơng gian Banach Tuy nhiên, tồn điểm bất động ánh xạ không giãn thường gắn liền với cấu trúc hình học khơng gian Banach Lý thuyết điểm bất động ánh xạ khơng giãn mở đầu cơng trình F.E.Browder, K.Goebel W.A.Kirk vào năm 1965 Kết quan trọng W.A.Kirk trình bày chương luận văn Mở rộng tự nhiên cho lý thuyết điểm bất động ánh xạ không giãn nghiên cứu tồn điểm bất động ánh xạ Lipschitz với hệ số lớn Tuy nhiên, Kakutani ánh xạ Lipschitz với hệ số đủ gần hình cầu đóng đơn vị khơng gian Hilbert khơng có điểm bất động Ngun lý điểm bất động Brouwer mở rộng theo giai đoạn Ban đầu, người ta mở rộng kết lớp không gian tổng quát như: định lý Schauder (1930) không gian định chuẩn, định lý Tikhonov (1935) khơng gian lồi địa phương, Sau mở rộng đến ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, mở đầu kết Kakutani (1941), tiêu biểu Ky Fan (1952) Một điều thú vị vào năm 1929 ba nhà toán học Knaster, Kuratowski Mazurkiewicz dựa kết tổ hợp Sperner đưa bổ đề KKM Bổ đề cách chứng minh đơn giản Nguyên lý điểm bất động Brouwer mà trước cách chứng minh phức tạp dựa vào công cụ tô pô lý thuyết bậc ánh xạ Hơn bổ đề KKM tương đương với Nguyên lý Brouwer Sự xuất bổ đề KKM mở hướng nghiên cứu Lý thuyết KKM Ky Fan (1961) tạo bước ngoặt phát triển lý thuyết KKM ông chứng minh dạng tương tự bổ đề KKM cho không gian vô hạn chiều gọi Nguyên lý ánh xạ KKM Đây xem trung tâm lý thuyết KKM Sau đó, Shih chứng minh bổ đề KKM cho tập mở Bổ đề cho ta cách chứng minh đơn giản định lý điểm bất động Ky Fan (đối với ánh xạ nửa liên tục trên) Các cơng trình nghiên cứu sâu sắc Ky Fan như: Nguyên lý ánh xạ KKM, Bất đẳng thức Ky Fan tác động lớn đến phát triển lý thuyết KKM Nó sử dụng rộng rãi lý thuyết điểm bất động, lý thuyết biến phân, toán kinh tế Cho đến lý thuyết KKM phát triển rộng rãi gắn liền với tên tuổi nhà toán học như: W.A.Kirk, M.A.Khamsi, Với phát triển không ngừng lý thuyết điểm bất động, gần xuất tạp chí dành riêng cho nghiên cứu chẳng hạn tạp chí "Fixed point theory and Application", năm 2007 nhà xuất Springer Tầm quan trọng lý thuyết điểm bất động Lý thuyết KKM ngành tốn học ứng dụng lý chọn đề tài nghiên cứu "Lý thuyết điểm bất động ứng dụng" Trong luận văn đề cập đến tồn điểm bất động ánh xạ co, ánh xạ không giãn, ánh xạ liên tục ứng dụng nguyên lý ánh xạ KKM Luận văn trình bày ứng dụng lý thuyết điểm bất động để chứng minh Nguyên lý -biến phân Ekeland tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại I Cấu trúc luận văn gồm: phần mở đầu, chương (chương 1-4), kết luận tài liệu tham khảo Nội dung tóm tắt sau: Chương dành cho việc trình bày kiến thức cần dùng như: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach có cấu trúc đặc biệt khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Chương trình bày số kết điểm bất động ánh xạ đơn trị Cụ thể là: ánh xạ co, ánh xạ không giãn ánh xạ liên tục Chương nghiên cứu ánh xạ đa trị, trình bày số khái niệm liên quan ánh xạ đa trị định lý điểm bất động ánh xạ đa trị như: Định lý điểm bất động Caristi, Định lý điểm bất động Nadler, Định lý điểm bất động Ky Fan Chương đưa hai nhiều ứng dụng lý thuyết điểm bất động là: chứng minh Nguyên lý -biến phân Ekeland tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại I Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình, chu đáo GS.TSKH Nguyễn Xuân Tấn Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giúp đỡ nhiệt tình thầy suốt q trình tơi thực luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường THPT Cẩm Thủy 3, toàn thể bạn đồng nghiệp trường tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Viện tốn học, Phịng giải tích tốn học, thầy Viện tốn tạo điều kiện thuận lợi cho thực tốt kế hoạch học tập Cuối cùng, tơi xin bày tỏ biết ơn tới gia đình tơi ln bên cạnh ủng hộ động viên tạo điều kiện tốt cho tơi học tập hồn thành luận văn Do điều kiện thời gian khả thân có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn để luận văn hoàn thiện Chương Kiến thức cần dùng Nghiên cứu khơng gian tính chất khơng gian nhiệm vụ quan trọng giải tích tốn học Trong phần nhắc lại định nghĩa số không gian số tính chất liên quan đến lý thuyết điểm bất động mà ta tìm hiểu chương sau Các không gian nhắc tới phần gồm: không gian metric, không gian định chuẩn, khơng gian Banach có cấu trúc đặc biệt khơng gian tơ pơ tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp, hàm ρ : X × X → R+ thỏa mãn điều kiện sau: (i) ρ(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X, ρ(x, y) = ⇔ x = y; (ii) ρ(x, y) = ρ(y, x), ∀x, y ∈ X; (iii) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), ∀x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác); gọi metric X Tập X với metric ρ gọi không gian metric (X, ρ) Định nghĩa 1.1.2 Trong không gian metric (X, ρ), dãy {xn } ⊂ X gọi hội tụ tới điểm x không gian ρ(xn , x) → n → ∞ Khi x gọi giới hạn dãy {xn } Định nghĩa 1.1.3 Một hình cầu tâm a, bán kính r (r > 0) khơng gian metric (X, ρ) tập S(a, r) = {x : ρ(x, a) < r} S(a, r) gọi r - lân cận điểm a tập X bao hàm r - lân cận điểm a gọi lân cận a Xét tập A không gian metric X điểm x ∈ X Nếu: (i) Có lân cận x nằm trọn A x gọi điểm tập hợp A (ii) Bất lân cận x có điểm A lẫn điểm khơng thuộc A x gọi điểm biên tập A Định nghĩa 1.1.4 Một tập A không gian metric X gọi tập mở khơng chứa điểm biên cả; đóng chứa tất điểm biên Định nghĩa 1.1.5 Một tập M không gian metric X gọi tập compact dãy {xn } ⊂ M tồn dãy {xnk } hội tụ tới điểm thuộc M Định nghĩa 1.1.6 Cho (X, ρ) không gian metric, dãy {xn } ⊂ X gọi dãy (dãy Cauchy) lim ρ(xn , xm ) = 0, tức là: n,m→∞ (∀ > 0) (∃N ) (∀n, m ≥ N ) ρ(xn , xm ) < Dĩ nhiên dãy hội tụ dãy Một khơng gian metric (X, ρ) dãy hội tụ tới phần tử X gọi khơng gian metric đủ Ví dụ 1.1.7 (i) Không gian Rn với khoảng cách Euclid không gian metric đầy đủ (ii) Không gian C[a,b] hàm liên tục đoạn [a, b] không gian metric đầy đủ Tiếp theo, ta nhắc lại Định lý Hausdorff Heine - Borel điều kiện cần đủ để tập hợp tập compact Cụ thể sau: Định lý 1.1.8 (Hausdorff)1 Một tập compact đóng hồn tồn bị chặn Ngược lại, tập đóng hồn tồn bị chặn khơng gian metric đủ compact Định lý 1.1.9 (Heine - Borel)2 Một tập M tập compact họ tập mở {Gα } phủ lên M : M ⊂ ∪α Gα , chứa họ hữu hạn: Gα1 , Gα2 , , Gαm phủ M : M ⊂ ∪m Gαj j=1 Chú ý: Giao số hữu hạn tập mở tập mở Hợp họ tập mở tập mở Do đó, khơng gian metric có cấu trúc mới: cấu trúc tơ pơ Định nghĩa 1.1.10 Cho không gian metric (X, ρ), M họ tất tập đóng, bị chặn, khác rỗng X Với A, B ∈ M, ta đặt: d(A, B) = sup {ρ(a, B) : a ∈ A} , đó: ρ(a, B) = inf {ρ(a, b) : b ∈ B} (khoảng cách từ điểm đến tập hợp) Xem Chương 2, tiết 4, Định lý sách "Hàm thực giải tích hàm" GS Hoàng Tụy, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 Xem Chương 2, tiết 4, Định lý 10 sách "Hàm thực giải tích hàm" GS Hoàng Tụy, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2005 Kí hiệu: D(A, B) = max {d(A, B), d(B, A)} gọi khoảng cách Hausdorff Mệnh đề 1.1.11 D metric M Chứng minh (i) Với A, B ∈ M hiển nhiên D(A, B) ≥ Ta có D(A, B) = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ d(A, B) = d(B, A) = ρ(a, B) = 0, ∀a ∈ A ρ(b, A) = 0, ∀b ∈ B ¯ a ∈ B = B, ∀a ∈ A ¯ b ∈ A = A, ∀b ∈ B A⊂B B⊂A ⇔ A = B (ii) Hiển nhiên D(A, B) = D(A, B) (iii) Giả sử A, B, C ∈ M Từ định nghĩa khoảng cách Hausdorff ta có ρ(a, B) ≤ D(A, B), ∀a ∈ A Vì với > 0, ∀a ∈ A tồn ba ∈ B cho ρ(a, ba ) ≤ D(A, B) + Tương tự ca ∈ C cho ρ(ba , ca ) < D(B, C) + Như vậy, với a ∈ A tồn ca ∈ C cho ρ(a, ca ) ≤ ρ(a, ba ) + ρ(ba , ca ) < D(A, B) + D(B, C) + hoạch lãnh đạo công ty thép A chiến lược y tập chiến lược bán hàng cửa hàng B cho việc sản xuất lưu thông ổn định với kế hoạch lãnh đạo công ty thép A Lưu ý: Trong suốt phần X, Y Z không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff (trừ trường hợp có định) Cho D ⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng Các ánh xạ đa trị S, T F Trước hết chứng minh tồn lời giải toán tựa cân tổng quát loại I Cụ thể ta có định lý sau: Định lý 4.2.3 Cho D ⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng, lồi, compact S, T, F ánh xạ đa trị Nếu điều kiện sau thỏa mãn: (i) S ánh xạ đa trị compact, liên tục với giá trị đóng; (ii) T ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục với giá trị lồi; (iii) Với điểm cố định (x, y) ∈ D × K, tồn t ∈ S(x, y) cho ∈ F (y, x, t, z) với z ∈ S(x, y); (iv) Với (y, x) ∈ K × D, tập hợp A = {t ∈ S(x, y) | ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)} tập hợp lồi; (v) F ánh xạ đa trị đóng Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: 1/ x ∈ S(x, y); 2/ y ∈ T (x, y); 3/ ∈ F (y, x, x, z), ∀z ∈ S(x, y) Chứng minh Chúng ta định nghĩa ánh xạ đa trị M : D × K → 2D M (y, x) = {t ∈ S(x, y) | ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y), (x, y) ∈ D × K} Theo điều kiện (iii) (iv) M (y, x) tập lồi, khác rỗng 65 Bây ta chứng minh M ánh xạ đa trị đóng Thật vậy, giả sử xν → x, yν → y, tν ∈ M (yν , xν ), tν → t, ta chứng minh t ∈ M (y, x) Từ tν ∈ S(xν , yν ), S liên tục với giá trị đóng nên kéo theo t ∈ S(x, y) Với tν ∈ M (yν , xν ), ta tìm ∈ F (yν , xν , tν , z), ∀z ∈ S(xν , yν ) Do S liên tục xν → x theo z ∈ S(x, y) tồn zν ∈ S(xν , yν ) cho zν → z Vì ∈ F (yν , xν , tν , zν ), ∀zν ∈ S(xν , yν ) Từ (yν , xν , tν , zν ) → (y, x, t, z) F ánh xạ đa trị đóng nên ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y) Điều có nghĩa t ∈ M (y, x) M ánh xạ đa trị đóng Cuối cùng, định nghĩa ánh xạ đa trị P : D × K → 2D×K xác định P (x, y) = M (y, x) × T (x, y), (x, y) ∈ D × K Rõ ràng M ánh xạ đa trị compact với giá trị lồi, đóng, khác rỗng T ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục với giá trị lồi Vì ánh xạ P tích hai ánh xạ: ánh xạ compact, nửa liên tục với giá trị lồi M T Áp dụng định lý điểm bất động Ky Fan (Định lý 3.2.7), có điểm (x, y) ∈ D × K với (x, y) ∈ P (x, y) = M (y, x) × T (x, y) Do đó: 1/ x ∈ S(x, y); 2/ y ∈ T (x, y); 3/ ∈ F (y, x, x, z), ∀z ∈ S(x, y) Định lý chứng minh 66 Tiếp theo, gọi ánh xạ đa trị H : D → 2X ánh xạ KKM, với tập hữu hạn {t1 , t2 , , tn } ⊂ D kéo theo co {t1 , t2 , , tn } ⊆ ∪n H(tj ) j=1 Hệ 4.2.4 Cho D tập khác rỗng, lồi, compact không gian vectơ tôpô lồi địa phương X K tập lồi, compact không gian vectơ tôpô lồi địa phương Z Cho: T : D × K → 2K , G : K × D → 2X ánh xạ đa trị Nếu điều kiện sau thỏa mãn: (i) T ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục với giá trị lồi; (ii) Với điểm cố định (x, y) ∈ D×K, ánh xạ đa trị G(y, x, ) : D → 2D ánh xạ KKM; (iii) G ánh xạ đa trị đóng với giá trị khác rỗng, với điểm (x, y) ∈ D × K tập A = {t ∈ D | t ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D} tập hợp lồi Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: 1/ y ∈ T (x, y); 2/ x ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D Chứng minh Chúng ta định nghĩa ánh xạ đa trị F : K × D × D × D → 2X xác định F (y, x, t, z) = t − G(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D 67 Từ G(y, x, ) ánh xạ KKM, theo định lý KKM - Ky Fan có G(y, x, z) = ∅ z∈D Do đó, tồn t ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D Điều có nghĩa ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ D Hơn nữa, thấy tập {t ∈ D | ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ D} = {t ∈ D | t ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D} = A tập hợp lồi Từ G ánh xạ đa trị đóng, suy F ánh xạ đa trị đóng Áp dụng Định lý 4.2.3 có điểm (x, y) ∈ D × K cho 1/ y ∈ T (x, y); 2/ ∈ F (y, x, x, z), ∀z ∈ D Điều có nghĩa x ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D Hệ 4.2.5 Cho D, K, T hệ G : K × D × D → 2X ánh xạ đa trị Nếu điều kiện sau thỏa mãn: (i) T ánh xạ đa trị compact, nửa liên tục với giá trị lồi; (ii) Với điểm (y, x) ∈ K × D, ánh xạ đa trị x − G(y, x, ) : D → 2D KKM; (iii) G ánh xạ đa trị đóng với giá trị khác rỗng điểm cố định (x, y) ∈ D × K tập A = {t ∈ D | t ∈ x − G(y, x, z), ∀z ∈ D} tập hợp lồi Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: 68 1/ y ∈ T (x, y); 2/ ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D Chứng minh Định nghĩa ánh xạ đa trị F : K × D × D × D → 2X xác định F (y, x, t, z) = t − x + G(y, x, z), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D Từ định nghĩa ánh xạ đa trị x − G(y, x, ) : D → 2D ánh xạ KKM có (x − G(y, x, z)) = ∅ z∈D Vì vậy, tồn t ∈ D, t ∈ (x − G(y, x, z)), ∀z ∈ D Do ta có ∈ t − x + G(y, x, z), ∀z ∈ D Vì vậy, tồn t ∈ D cho ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ D Tập {t ∈ D | ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ D} = {t ∈ D | t ∈ x − G(y, x, z), ∀z ∈ D} = A tập hợp lồi Hơn nữa, G ánh xạ đa trị đóng nên F ánh xạ đa trị đóng Do điều kiện Định lý 4.2.3 thỏa mãn Vì vậy, tồn (x, y) ∈ D×K cho: 1/ y ∈ T (x, y); 2/ ∈ F (y, x, x, z), ∀z ∈ D Điều có nghĩa ∈ G(y, x, z), ∀z ∈ D Hệ 4.2.6 Cho D, K, S, T định lý (4.2.3) Giả sử Y = R, ϕ : K×D×D → R hàm liên tục Với điểm cố định (y, x) ∈ K×D, hàm ϕ(x, y, ) : D → R tựa lồi ϕ(y, x, x) = Thì tồn (x, y) ∈ D × K 69 cho x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) ϕ(y, x, z) ≥ 0, ∀z ∈ S(x, y) Chứng minh Chúng ta định nghĩa M : K × D → 2X , F : K × D × D × D → 2X xác định bởi: M (y, x) = {t ∈ S(x, y) | ϕ(y, x, z) ≥ ϕ(y, x, t), ∀z ∈ S(x, y)} , (y, x) ∈ K×D; F (y, x, t, z) = t − M (y, x), (y, x, t, z) ∈ K × D × D × D Với điểm (y, x) ∈ K × D, S(y, x) tập compact, ϕ(y, x, ) hàm liên tục Vì vậy, tồn điểm t ∈ S(x, y) cho ϕ(y, x, t) ≤ ϕ(y, x, z), ∀z ∈ S(x, y) Điều kéo theo M (y, x) khác rỗng với (y, x) ∈ K × D Từ điểm (y, x) ∈ K × D, ϕ(y, x, ) hàm tựa lồi, kéo theo M (y, x) tập lồi Hơn dễ dàng chứng minh M ánh xạ đa trị đóng với giá trị lồi, khác rỗng, F Tập A = {t ∈ D | ∈ F (y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)} = {t ∈ D | t ∈ M (y, x)} = M (y, x) Do A tập lồi Áp dụng định lý (4.2.3) tồn (x, y) ∈ D × K với x ∈ S(x, y), y ∈ T (x, y) ∈ F (y, x, x, z), ∀z ∈ S(x, y) Điều có nghĩa ϕ(y, x, z) ≥ 0, ∀z ∈ S(x, y) Chú ý: Cho X, Z tập hợp khác rỗng, D ⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng Cho: P : D × K → 2D , Q : D × K → 2K , F : K × D → 2X 70 ánh xạ đa trị Bài tốn tìm (x, y) ∈ D × K cho: 1/ x ∈ P (x, y); 2/ y ∈ Q(x, y); 3/ ∈ F(y, x); gọi toán tựa cân Hệ 4.2.7 Cho X không gian vectơ tôpô lồi địa phương, D tập khác rỗng X F : D → 2D ánh xạ nửa liên tục với giá trị đóng, khác rỗng Thì với p ∈ X ∗ hàm Cp : D → R+ định nghĩa Cp (x) = sup p, v , x ∈ D v∈F(x) nửa liên tục Chứng minh Do F nửa liên tục x nên với lân cận gốc V X với sup p, v ≤ , v∈V tồn lân cận mở U x cho F(x) ⊆ F(x) + V, ∀x ∈ U ∩ domF Vì vậy, sup p, v ≤ v∈F(x) sup p, v ≤ sup p, v + sup p, v v∈F(x)+V v∈F(x) v∈V Từ sup p, v ≤ , ta có Cp (x) ≤ Cp (x) + v∈V Do đó, Cp hàm nửa liên tục Cuối ta chứng minh định lý sau tương đương với Định lý 4.2.3 theo nghĩa từ Định lý 4.2.3 suy Định lý 4.2.8 ngược lại 71 Định lý 4.2.8 Cho X, Z không gian vectơ tôpô lồi địa phương, D ⊆ X, K ⊆ Z tập khác rỗng, lồi, compact Giả sử rằng: (i) P : D × K → 2D ánh xạ compact liên tục với giá trị đóng, khác rỗng; (ii) Q : K × D → 2K ánh xạ compact, nửa liên tục với giá trị lồi, khác rỗng; (iii) F : K × D → 2X ánh xạ đa trị nửa liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng; (iv) Với (x, y) ∈ P (x, y) × Q(x, y), F(y, x) ∩ TP (x,y) (x) = ∅ Thì tồn (x, y) ∈ D × K cho: 1/ x ∈ P (x, y); 2/ y ∈ Q(x, y); 3/ ∈ F(y, x) Chứng minh Đặt B = {(x, y) | x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y)} Chúng ta chứng minh B tập hợp đóng Thật vậy, giả sử (xβ , yβ ) ∈ B, (xβ , yβ ) → (x, y), xβ ∈ P (xβ , yβ ), yβ ∈ Q(xβ , yβ ) Từ P, Q ánh xạ nửa liên tục với giá trị đóng, suy x ∈ P (x, y), y ∈ Q(x, y), (x, y) ∈ B Do tập B đóng Hơn nữa, với (x, y) ∈ B, ∈ F(y, x) Sử dụng định lý tách, / kết luận tồn p ∈ X ∗ thỏa mãn sup p, v < v∈F(y,x) Cho p ∈ X ∗ , ta định nghĩa hàm Cp : D × K → R xác định Cp (x, y) = sup p, v , (x, y) ∈ D × K v∈F (y,x) 72 Theo mệnh đề trên, ta có Cp hàm nửa liên tục Với (x, y) ∈ B tồn p ∈ X ∗ cho Cp (x, y) < Do Cp hàm nửa liên tục nên tập Up = {(x, y) ∈ D × K | Cp (x, y) < 0} mở D × K {Up }p∈X ∗ phủ mở B Do B tập compact nên tồn p1 , p2 , , pn ∈ X ∗ cho B ⊆ ∪n Upj j=1 Từ D × K tập compact, Up0 = D × K \ B tập mở Up0 , , Upn phủ D × K Do tồn phân hoạch đơn vị ψi : D × K → R (i = 0, 1, , s) cho: (i) ≤ ψi (x, y) ≤ 1, (ii) s i=1 ψi (x, y) = 1, ∀(x, y) ∈ D × K, (iii) Với i ∈ {0, 1, , s} tồn j(i) ∈ {0, 1, , n} cho suppψi (x, y) ⊆ Upj (i) , (suppψ0 (x, y) ⊆ (D × K) \ B) Cho s pj(i) ψi (x, y), t − x , (y, x, t) ∈ K × D × D ϕ(y, x, t) = i=0 Hiển nhiên ϕ : K × D × D → R thỏa mãn tất điều kiện Hệ 4.2.6 Do tồn (x, y) ∈ D × K cho x ∈ P (x, y), ϕ(y, x, x) ≥ 0, ∀x ∈ P (x, y) Điều kéo theo s s ∗ ψi (x, y)pj(i) , x − x ≥ 0, ∀x ∈ P (x, y) Đặt p = i=0 ψi (x, y)pj(i) , ta có i=0 73 ϕ(y, x, x) = p∗ , x − x ≥ 0, ∀x ∈ P (x, y) Do p∗ , v ≥ 0, ∀v ∈ TP (x,y) (x) Từ F(y, x) ∩ TP (x,y) (x) = ∅, tồn v ∈ F(y, x) ∩ TP (x,y) (x) với p∗ , v ≥ Điều kéo theo Cp (x, y) = sup p∗ , v ≥ (4.3) v∈F(y,x) Ký hiệu I(x, y) = {i ∈ {0, 1, , s} | ψi (x, y) > 0} Từ s ≤ ψi (x, y) ≤ 1, ψi (x, y), nên I(x, y) = ∅ i=0 Vì vậy, với i ∈ I(x, y), (x, y) ∈ suppψi ⊆ Upj (i) s Cp (x, y) = sup v∈F(y,x) ∗ p , v = sup v∈F(y,x) ψi (x, ypj(i) ), v < i=0 Điều mâu thuẫn với (4.3) Định lý chứng minh Chúng ta thấy rằng, chứng minh định lý trên, ta sử dụng Hệ 4.2.6, trường hợp đặc biệt Định lý 4.2.3 Ngược lại, định nghĩa ánh xạ đa trị M : K × D → 2D xác định M (y, x) = {t ∈ S(x, y) | ∈ F(y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)} giả sử tất điều kiện Định lý 4.2.3 thỏa mãn, M ánh xạ đa trị đóng Hơn nữa, định nghĩa F : K × D → 2D xác định F(y, x) = x − M (y, x), (x, y) ∈ D × K Chúng ta chứng minh F ánh xạ nửa liên tục với giá trị compact, lồi, khác rỗng M lồi F(y, x) = x − M (y, x) ⊆ x − S(x, y) ⊆ TS(x,y) (x) 74 Điều cho thấy F(y, x)∩TS(x,y) (x) = ∅ Theo định lý tồn (x, y) ∈ D × K cho: 1/ x ∈ P (x, y); 2/ y ∈ Q(x, y); 3/ ∈ F(y, x) Do suy ∈ F (y, x, x, z), ∀z ∈ S(x, y) Như vậy, Định lý 4.2.3 chứng minh Định lý 4.2.8 Do đó, nói Định lý 4.2.3 tương đương với Định lý 4.2.8 trường hợp với (y, x) ∈ K × D tập A = {t ∈ S(x, y) | ∈ F(y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)} tập hợp lồi 75 Kết luận chương Như Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng Trong chương ứng dụng là: chứng minh Nguyên lý -biến phân chứng minh tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại I Việc ứng dụng định lý điểm bất động Caristi làm cho việc chứng minh Nguyên lý -biến phân Ekeland trở nên đơn giản dễ hiểu Định lý điểm bất động Ky Fan (Định lý 3.2.7) ứng dụng việc chứng minh tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại I Luận văn điều kiện để tốn tựa cân có nghiệm Điều thú vị ta chứng minh Định lý 4.2.3 tương đương với Định lý 4.2.8 trường hợp với (y, x) ∈ K × D tập A = {t ∈ S(x, y) | ∈ F(y, x, t, z), ∀z ∈ S(x, y)} tập hợp lồi 76 Kết luận chung Lý thuyết điểm bất động hình thành từ cơng trình Brouwer Banach Brouwer với cơng trình điểm bất động cho ánh xạ đơn trị liên tục năm 1912 Banach nghiên cứu điểm bất động cho ánh xạ co năm 1922 Hai cơng trình khởi đầu cho hai hướng khác nhau, vạch hướng phát triển cho lý thuyết quan trọng trở thành công cụ ứng dụng ngành khoa học khác Nằm hai hướng điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn Phần đầu luận văn trình bày kiến thức cần dùng, phần trình bày lý thuyết điểm bất động cho ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị Phần cuối luận văn trình bày hai nhiều ứng dụng định lý điểm bất động là: chứng minh Nguyên lý -biến phân Ekeland tồn nghiệm toán tựa cân tổng quát loại I Luận văn trình bày đầy đủ cơng trình quan trọng nghiên cứu điểm bất động định lý: Banach, Brouwer, Nadler, Caristi, Ky Fan, Browder-Ky Fan, Ngày lý thuyết điểm bất động nghiên cứu tổng quát hóa mở khả ứng dụng điểm bất động nhiều toán thực tế, đặc biệt tốn mơ hình kinh tế Qua luận văn thấy rõ tầm quan trọng việc nghiên cứu điểm bất động ứng dụng thực tế 77 Tài liệu tham khảo [1] Hồng Tụy, Hàm thực giải tích hàm (Trong sách toán cao cấp Viện toán học), Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà nội, 2005 [2] Nguyễn Đơng n, Giáo trình giải tích đa trị (Trong sách toán cao cấp - Viện toán học), Nhà xuất Khoa học tự nhiên Công nghệ, 2007 [3] F E Browder, The fixed point theory of mutivalued mappings in topological vector spaces, Math, Ann.117 (1968), 283 - 301 [4] K Fan, A generalization of Tychonoffs fixed point theorem, Math Ann.142 (1961), 305 - 310 [5] W A Kirk, A fixed point theorem for mappings which not increase distance, Amer Math Monthly, 72 (1965), 1004 - 1006 [6] B Knaster, C Kuratowski, S Mazurkiewicz, Ein Beweis des Fixpunktsatzes fur n-dimentional simplexe, Fund Math 14 (1929), 132 - 137 [7] T C Lim, Afixed point theorem for multivalued nonexpansive mappings in uniformy convex Banach spaces , Bull Amer Math Soc., 80 (1974), 1123 - 1126 [8] A Meir, E Keeler, A theorem Math.Anal.Appl, 28 (1969), 326-326 78 contractive mappings, J [9] Nguyen Xuan Tan, Truong Thi Thuy Duong, On the Generalized Quasi-equilibrium Problem of Type I and Related Problem, Vol 13 (2010), 29 - 47 (This work was supported by Nasfosted of Vietnam) [10] Nguyen Xuan Tan, Truong Thi Thuy Duong, On the existence of solutions to generalized quasi-equilibrium problem of type II and Related Problem (This work was supported by Nasfosted of Vietnam) 79 ... trị như: Định lý điểm bất động Caristi, Định lý điểm bất động Nadler, Định lý điểm bất động Ky Fan Chương đưa hai nhiều ứng dụng lý thuyết điểm bất động là: chứng minh Nguyên lý -biến phân Ekeland... cứu điểm bất động ánh xạ đơn trị 16 Chương Điểm bất động ánh xạ đơn trị Trong lý thuyết điểm bất động ánh xạ đơn trị, người ta phân loại điểm bất động theo dạng ánh xạ, bao gồm: điểm bất động. .. Lý thuyết KKM ngành tốn học ứng dụng lý chọn đề tài nghiên cứu "Lý thuyết điểm bất động ứng dụng" Trong luận văn đề cập đến tồn điểm bất động ánh xạ co, ánh xạ không giãn, ánh xạ liên tục ứng dụng