Đang tải... (xem toàn văn)
Môn toán là một trong những môn học cơ bản, không thể thiêú trong nhà trường phổ thông, nó còn là môn học trở thành công cụ cho một số môn học khác. Bởi vậy Toán học chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong lĩnh vực khoa học kỷ thuật cũng như trong cuộc sống hàng ngày . Thế nhưng không phải học sinh nào cũng say mê và hứng thú học Toán.đặc biệt về phân môn Hình học lại có một cái khó mà nhiều học sinh thường không dám tiếp cận và đối mặt với việc giải các bài tập hình học. Bởi cái khó của các em là không biết vận dụng lý thuyết vào làm bài tập như thế nào? Chưa hình dung được khi giải một bài tập hình là làm thế nào? Tư duy về hình học còn nhiều hạn chế. Chính vì vậy mà số học sinh yêu thích học hình còn rất ít so với số học sinh thích học đại số
ĐỀ TÀI: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG BẰNG ĐỊNH LÝ TALET ĐẢO A MỞ ĐẦU Mơn tốn môn học bản, thiêú nhà trường phổ thơng, cịn mơn học trở thành công cụ cho số môn học khác Bởi Tốn học chiếm vị trí quan trọng lĩnh vực khoa học kỷ thuật sống hàng ngày Thế học sinh say mê hứng thú học Tốn.đặc biệt phân mơn Hình học lại có khó mà nhiều học sinh thường khơng dám tiếp cận đối mặt với việc giải tập hình học Bởi khó em vận dụng lý thuyết vào làm tập nào? Chưa hình dung giải tập hình làm nào? Tư hình học cịn nhiều hạn chế Chính mà số học sinh u thích học hình cịn so với số học sinh thích học đại số Đứng trước thực trạng địi hỏi giáo viên dạy mơn Tốn cần biết giúp em tháo gỡ khó khăn phần học hình học Tạo niềm hưng phấn cho học sinh làm tốn Hình Muốn giáo viên phải sớm hình thành phương pháp giải tốn, cần giúp học sinh biết định hướng tìm lời giải theo phương pháp phân tích lên, phương pháp phân tích xuống (Tuỳ tốn) Tuy với loại tốn lại có nhiều cách giải khác Chẳng hạn để chứng minh hai đường thẳng song song chương trình Hình học cấp có nhiều phương pháp, riêng Hình học lớp 8, định lý Talet đảo giúp có thêm phương pháp để chứng minh hai đường thẳng song song Trong thực tế nhiều tập chứng minh hai đường thẳng song song cần phải nhờ vào định lý Talét đảo Trong viết này, xin đưa cách hướng dẫn học sinh giải số tập chứng minh hai đường thẳng song song dựa vào định lý Ta lét đảo B.NỘI DUNG I Cơ sở lý luận: Xuất phát từ nội dung định lý Ta lét đảo sau: Nội dung định lý: “Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tỷ lệ hai đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác” Vì đọc đến dạng tốn có chứng minh hai đường thẳng song song hình học 8, thường hướng cho học sinh nội dung định lý Talét đảo cách phát đoạn thẳng tỉ lệ tam giác II Cơ sở thực tiễn Trong thực tế giảng dạy thấy đa số học sinh tuý luý làm tốn hình, phải em khơng định hướng phương pháp chứng minh tốn đó, em chưa biết vận dụng lý thuyết vào giải toán Tức tốn ta nên vận dụng định nghĩa hay tính chất hay định lý cụ thể vào tập Muốn cho em định hướng toán chứng minh hai đường thẳng song song dựa vào định lý Talét đảo trước hết em phải nắm vững định lý Từ giả thiết định lý, nghĩa phải tìm đoạn thẳng tỉ lệ gắn vào tam giác từ kết luận hai đường thẳng song song Trong trình định hướng để tìm lời giải, giáo viên cần kết hợp thêm lược đồ phân tích, để qua học sinh hình dung bước giải từ em trình bày lời giải tốn III Q trình thực Sau số ví dụ cụ thể mà tơi hướng dẫn học sinh giải tập chứng minh hai đường thẳng song song nhờ vận dụng định lý Talét đảo Ví dụ 1: Cho ∆ ABC, trung tuyến AM, đường phân giác góc AMB cắt cạnh AB D Đường phân giác góc AMC cắt cạnh AC E Chứng minh rằng: ED// BC A Cho ∆ ABC MB=MC, ∠ BMD = ∠ AMD, D ∈ AB GT E D ∠ AME = ∠ CME, E ∈ AC KL ED //BC B Hướng dẫn cách tìm lời giải: C M Giả sử có DE// BC Thì đoạn thẳng tỉ lệ là: AD AE AD AE DB EC = ; = ; = DB EC AB AC AB AC Sơ đồ phân tích Để chứng minh DE// BC - Các đoạn thẳng có tam giác nào? - Hơn giả thiết cho đường phân giác ⇑ Phải có: AD AE = DB EC góc để làm gì? - Trong ∆ ABC có D∈ AB; E ∈ AC Và ⇑ AD AE = Sẽ suy điều gì? DB EC AD MA = (gt) DB MB Mà Từ em dễ dàng trình bày lời giải AE MA = (gt) EC MC Và MB// MC (Gt) Giải: Trong ∆ ABM có MD phân giác ∠ AMB nên ta có: AD MA = (1) (Định lý) DB MB Trong ∆ AMC có ME phân giác AMC nên ta có: AE MA = (2) (Định lý) EC MC Vì MB= MC (giả thiết) Nên từ (1) (2) suy : AD AE = DB EC Trong ∆ ABC có DE định cạnh AB, AC đoạn thẳng tỉ lệ nên DE // BC Ví dụ : Cho tứ giác ABCD, gọi K, L trọng tâm tam giác ABC tam giác BCD Chứng minh KL // AD Cho tứ giác ABCD (AB//CD) A B GT K trọng tâm tam giác ABC K L trọng tâm tam giác BCD KL M KL//AD L C D Hướng dẫn cách tìm lời giải: - Gọi M trung điểm BC Cho K, L trọng tâm ∆ ABC, BCD cho ta Sơ đồ phân tích: Để chứng minh KL //AD nghĩ tới tính chất ? (T/ c trọng tâm tam giác) - Muốn chứng minh KL// AD phải có điều ? - Từ giả thiết suy ⇑ Ta phải có: MK ML = MA MD MK ML = sao? MA MD ⇑ - Từ kết luận rút điều gì? Tại sao? Mà : - KL // AD theo định lý Talét đảo Và MK = MA ML = MD (Tính chất trọng tâm tam giác) Giải : Gọi M trung điểm BC K trọng tâm ∆ ABC nên MK= chất trọng tâm tam giác) , hay MK = (1) MA 3 Và L trọng tâm ∆ BCD nên ML = MD hay Từ (1) (2) suy MA ( Tính ML = (2) MD MK ML = nên KL //AD ( Định lý Talét đảo) MA MD Do ∆ AMD có KL định cạnh MA, MD đoạn thẳng tỷ lệ nên KL // AD ( Định lý Talét đảo) Ví dụ : Cho Hình thang ABCD (AB //CD), M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BC K giao điểm BM AC CMR : IK //AB GT Cho hình thang ABCD (AB //CD) B A DM = MC AM I BD = { I } BM I AC = { K } KL K I C D M IK //AB Hướng dẫn tìm lời giải: IK nằm tam giác nào? ∆ AMB, ∆ AMC, ∆ BMD, ∆ AIK, ∆ BIK tam giác AIK, BIK Sơ đồ phân tích lên IK //AB ⇑ IM KM = IA KB em khơng khai thác gì? - Xét tam giác cịn lại ∆ AMC, ∆ BMD ; AMB tìm xem có ⇑ IM MD = IA AB KM MC = KB AB đoạn thẳng tỉ lệ ? - Đối với tam giác xét tam giác Mà MD = MC để chứng minh IK //AB nên xét ∆ AMB ( Vì IK, AB có ∆ AMB) Đến học sinh dễ dàng thấy lời giải Giải: Ta có: Và IM MD = ( Do AB // MD hay ∆ AIB : ∆ MID) IA AB KM MC = ( Do AB // MC) Mà MD = MC ( Giả thiết) KB AB Nên: IM KM = Suy IK // AB( Điều phải chứng minh) IA KB Vì ∆ AMB có IK định cạnh MA, MB đoạn thẳng tỷ lệ nên IK// AB ( định lý Talét đảo) Ví dụ 4: Cho hình thang ABCD (AB // CD, AB< CD) Kẻ AK // BC , AK I BD = { E} ; Kẻ BI //AD; BI I AC = { F } ( K, I ∈ CD) Chứng minhn EF// AB Hình thang ABCD (AB//CD; AB< CD) GT B A AK //BC, K ∈ CD BI //AD; I ∈ CD O E AK I BD = (E) F BI I AC = (F) D KL EF //AB K C I H Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: - Xét EF nằm tam giác nào? ( ∆AKC , ∆BDI , ∆AEF , ∆B EF) - Nếu gọi thêm O giao điểm hai đường chéo AC BD - Giả sử AK BI cắt H có thêm ∆ OEF, ∆ AHB có chứa EF - Tuy vậy: ∆OEF , ∆AEF , ∆BEF , ∆ABH ta khơng khai thác gì? Ta xét ∆ lại ∆AKC , ∆BDI muốn chứng minhEF // AB ta phải chứng minh EF // KC ( Vì KC // AB) Gỉa sử ta chứng minh EF // KC nghĩa phải có điều gì? ( Các đoạn thẳng tỉ lệ nào?) - Phải chứng tỏ AE AF = cách ? EK FC - Từ giả thiết toán em rút điều ? - ( Vì I, K ∈ CD suy AB// DK nên AB // CI => AE AB = EK DK AE AF = ta phải chứng minh điều ?Vì sao? EK FC AB AB = Hay DK= CI DK CI Mà DK= DI- IK } => DK = CI Vì DI = CK = AB CI = CK- IK Sau phân tích hướng giải tốn giáo viên lập sơ đồ chứng minh sau: Để chứng minh EF // AB ⇑ Ta phải chứng minh AE AF = mà EK FC AE AB AF AB = = , ( Do AB // DK, AB //CI) EK DK FC CI Vì DI = CK ( Cùng AB) Đến học sinh trình bày lời giải dễ dàng Vì DK // AB nên CI //AB nên AE AB = EK DK AF AB = FC CI Mà DK = CI (vì AB) nên AE AF = EK FC Trong ∆ AKC có EF định hai cạnh AK AC đoạn thẳng tỷ lệ nên EF //CK suy EF // AB Ví dụ 5: Cho tứ giác ABCD Qua B vẽ Bx // CD cắt AC E Qua C vẽ Cy // BA cắt BD F, chứng minh EF // AD Tứ giác ABCD GT C BE // CD , E ∈ AC CF // AB, F ∈ BD KL EF // AD B O ̀ Hướng dẫn tìm lời giải: Gọi giao điểm AC BD O F E A D Để chứng minh EF // AD ta cần phải chứng minh tỷ lệ thức nào? OE OF , OE OF , AE DF ( Chỉ cần chứng minh tỉ lệ thức) = = = EA FD OA OD OA OD Vậy hướng giải toán có, ta khai thác giả thiết nào? Từ BE // CD ta rút điều gì? OE OB = (1) OC OD Sơ đồ phân tích Từ CF // AB rút điều ? Để EF //AD OC OF = (2) OA OB ⇑ Từ (1) (2) ta rút điều ? Hoặc OE OF = EA FD OE OC OB OF = (3) OC OA OD OB Hoặc AE DF = OA OD EF //AD sao? Hoặc OE OF = OA OD Từ (3) ta có : OE OF = suy EF //AD OA OD Khơng có ⇑ OE OC OB OF = OC OA OD OB ⇑ OE OB OC OF = = , OC OD OA OB ⇑ BE //CD ⇑ CF//AB (Gt) Từ học sinh trình bày lời giải cách dễ dàng theo sơ đồ phân tích lên Kết luận: Trong tam giác AOD có EF định hai cạnh OA, OD đoạn thẳng tỷ lệ nên EF //AD (ĐPCM) Ví dụ 6: Cho hình bình hành ABCD đường phân giác góc BAD cắt BD M, đường phân giác góc ADC cắt AC N Chứng minh MN //AD ABCD (AB//CD, BC//AD), M ∈ BD, N∈ AC GT ∠ BAM = ∠ MAD C M ∠ AND = ∠ CDN KL B N O MN//AD A D Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: Ta nghĩ tới MN nằm ∆ BOC, M, N thuộc đường thẳng chứa cạnh tam giác AOD, đoạn thẳng tỷ lệ OM ON OM ON = = , MB NC OB OC Hoặc OM ON MN = = OD OA AD Gỉa thiết tốn ? Từ AM, DN đường phân giác ∠ BAD , ∠ ADC cho ta tỉ lệ thức nào? + AM phân giác ∠BAD => + DN phân giác ∠ DAC nên MD AD = MB AB NA AD = NC CD Vì ABCD hình bình hành nên AB = CD Tỷ lệ thức MD NA = MB NC MD NA = ta suy điều ? Bằng cách ? MB NC Vận dụng tính chất tỷ lệ thức, tính chất đường chéo hình bình hành cắt trung điểm đường ta có : MD NA MD + NC NA + NC BD AC = = hay = Suy : MB NC MB NC MB NC OB OC =2 ( Do BD = 2OB, AC = OC) MB NC Suy OB OC = suy ra: MN //BC( định lý Talét đảo) MB NC Suy ra: MN //AD ( Vì BC // AD) Trong ∆ BOC có MN định cạnh OB OC đoạn thẳng tỷ lệ nên MN// BC mà BC // AD Vậy MN //AD - Sau phân tích tìm hướng giải giáo viên phân tích theo sơ đồ xuống để học sinh thấy rõ 10 Sơ đồ xuống: Từ giả thiết ABCD hình bình hành suy ra, giả thiết AM, DN đường phân giác góc ∠ BAD, ∠ ADC ta có : MD AD NA AD = ; = ; AB = CD MB AB NC CD ⇓ MD NA = MB NC ⇓ Áp dụng tỷ lệ thức MD + MB NA + NC BD AC = hay = MB NC MB NC ⇓ Suy ra: OB OC = MB NC ( Do BD= 2OB; AC= OC, ABCD hình bình hành) Nên MN // BC suy rs MN// AD (do BC//AD) Từ cách hướng dẫn sơ đồ phân tích em trình bày lời giải cách dễ dàng Lời giải: Gọi O giao điểm AC BD Vì ABCD hình bình hành nên ta có: AB= CD, BC= AD; BC// AD Vì AM phân giác góc BAD : DN phân giác góc ADC nên : Mà AB= CD nên: MD AD = MB AB NA AD = NC CD MD NA = MB NC MD + MB NA + NC BD AC = = hay MB NC MB NC 11 Do BD= OB; AC= 2OC nên: OB OC = MB NC MN//BC Mà BC// AD => MN// AD (Điều phải chứng minh) Ví dụ 7: Cho ∆ ABC Lấy điểm M tuỳ ý cạnh BC Lây N tuỳ ý cạnh AM Đường thẳng DE//BC(D ∈ AB, E ∈ AC) Gọi P giao điểm DM BN Q giao điểm CN EM Chứng minh PQ// BC Tam giácABC, M ∈ BC GT A N∈ AM, DE//BC D ∈ AB, E∈ AC BN I DM= { P} H D CN I EM = { Q} KL I E K N P Q PQ//BC B C M Hướng dẫn lời giải: Xét xem đoạn PQ nằm tam giác nào( ∆ DAE, ∆ NBC) - Phân tích để học sinh lựa chọn để ý ∆ DME - Muốn chứng minh PQ // BC ta cần có tỷ lệ thức ? PD EQ DP EQ PM QM = = = Hoặc Hoặc PM QM DM EM MD ME - Các tỷ lệ có chưa? - Ta phải khai thác giả thiết toán - Từ DE// BC suy điều ? 12 DI EI AI = (1) ( Cùng ) BM CM AM KI IH NI = (2) ( Cùng ) BM CM NM Lấy (1) cộng (2) theo vế có : DK HE = BM CM Để ý ∆ BPM ∆ QMC có DK//BM HE//CM Các em thu kết ? DP EQ = => PQ//DE => PQ//BC PM QM Lập sơ đồ phân tích xuống DE //BC(gt) ⇓ DK//BM; DI//BM IE //CM; KI// BM; IH//CM; HE//CM ⇓ ⇓ ⇓ DI AI IE AI = = BM AM CM AM ⇓ KI NI = BM MN { IH NI = CM NM { DI IE = BM CM KI IH = BM CM ⇓ DI KI IE IH = = − BM BM CM CM ⇓ DK// BM DK HE = HE //CM BM CM 13 ⇓ DP EQ = PM QM ⇓ PQ //DE ⇓ PQ//BC (Điều phải chứng minh) 14 C KẾT LUẬN: Trên số ví dụ giải tập cụ thể vận dụng định lý Talét đảo để chứng minh hai đường thẳng song song Trong định lý mà em học định lý tượng khó khăn q trình học vận dụng vào giải tập song lại vận dụng nhiều tập Nhưng việc hướng dẫn học sinh cách tìm tịi lời giải, toán chứng minh hai đường thẳng song song hình học lớp mà tơi làm qua thực tế nhiều năm giảng dạy hầu hết em tìm hướng để giải tốn Và hiệu cho thấy với cách giải bước làm cho học sinh không ngại ngần gặp tập chứng minh hai đường thẳng song song hình học Qua q trình thực tơi cho học sinh làm kiểm tra để đánh giá mức độ hiểu 80% biết giải tốn Bên cạnh cịn củng cố kiến thức việc áp dụng tính chất tỷ lệ thức khơng phần quan trọng Ngồi cịn cho em thấy định lý Ta lét đảo áp dụng nhiều vào loại toán khác thú vị hơn, chẳng hạn vận dụng tính song song để chứng minh điểm thẳng hàng (Tiên đề Ơclít) tốn tìm tập hợp… Trên số kinh nghiệm đúc rút từ thân qua nhiều năm giảng dạy, xin mạnh dạn đưa để quý vị, bạn đọc tất đồng nghiệp góp ý bổ sung thêm vào đề tài để tơi có nhiều kinh nghiệm q trình giảng dạy hồn chỉnh đề tài Tơi xin chân thành cảm ơn ! 15 ... DUNG I Cơ sở lý luận: Xuất phát từ nội dung định lý Ta lét đảo sau: Nội dung định lý: “Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tỷ lệ hai đường thẳng song song với cạnh... toán chứng minh hai đường thẳng song song dựa vào định lý Talét đảo trước hết em phải nắm vững định lý Từ giả thiết định lý, nghĩa phải tìm đoạn thẳng tỉ lệ gắn vào tam giác từ kết luận hai đường. .. ⇓ PQ//BC (Điều phải chứng minh) 14 C KẾT LUẬN: Trên số ví dụ giải tập cụ thể vận dụng định lý Talét đảo để chứng minh hai đường thẳng song song Trong định lý mà em học định lý tượng khó khăn q