C¸c d¹ng to¸n th C¸c d¹ng to¸n th êng gÆp trong êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt tæ hîp - x¸c suÊt Hoán vị - Tổ hợp - Chỉnh hợp - Nhị thức Niutơn (Số 2) 1. Hoán vị ( ) . 1 2.1 n P n n= − 2. Chỉnh hợp ( ) ( ) ( ) ! 1 1 ! k n n A n n n k n k = − − + = − 0 ! 1, 1 n O A= = 0 k n≤ ≤ 3. Tổ hợp ( ) ! !. ! k n n C k n k = − ; 1 ,0 O n C k n= ≤ ≤ ; Hai t/c của số k n C là: 1) k n k n n C C − = ; 2) 1 1 k k k n n n C C C − + = + 4. Nhị thức Niu tơn ( ) 0 1 1 0 . . k n k n k k n n k n k k n n n n n n n k a b C a b C a C a b C a b C b − − − = + = = + + + + + ∑ T/c của khai triển của nhị thức Niu Tơn: Tổng có n+1 số hạng ,bậc của mỗi số hạng là n, Số hạng tổng quát thứ k là 1 . . k n k k k n T C a b − + = ,bậc của số hạng đầu và cuối cách đều số hạng đứng giữa thì bằng nhau. Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp. * ĐN: Phương trình, bất phương trình đại số tổ hợp là phương trình, bất phương trình có chứa ẩn dưới các kí hiệu: ! n , n P , k n A , k n C . * Cách giải: • Bước 1: Đặt điều kiện của ẩn. Nhớ rằng: ! n có nghĩa ⇔ ∈n N ; n P có nghĩa ⇔ ∈n N * ; k n A có nghĩa ⇔ ∈nk, N; 1 k n≤ ≤ ; k n C có nghĩa ⇔ ∈nk, N; nk ≤≤0 • Bước 2: Chuyển về giải phương trình, bất phương trình đại số thông thường nhờ các công thức tổ hợp • Bước 3: Đối chiếu với tập xác định, kết luận. Bài1. Giải các phương trình 1) 1 2 3 2 6. 6. 9 14 x x x C C C x x+ + = − ; 2) 2 1 5 5 5 25 x x x C C C − − + + = ( Đs: x=7) 3) 5 6 7 5 2 14 x x x C C C − = 4) 79 21 =++ −− x x x x o x CCC 5) xCA x xx 14 23 =+ − (TNTHPT - 98 - 99) 6) 3 3 8 6 5 x x x C A + + + = 7) xxCCC xxx 14966 2321 −=++ (ĐHNN - 99- 00) 8) 2 7 321 x CCC xxx =++ 9) 1 1 1 . 72 y x x y x A P P + + − − = 10) 1 4 2 1 1 6 711 ++ =− xxx CCC 11) ( ) 2 2 72 6 2 x x x x P A A P+ = + Bài 2.Giải hệ phương trình 1) 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C  + =  − =  (Đs:x=5,y=2) ;2)      = = − −− 1 12 35 y x y x y x y x CC CC 3) 2 5 90 5 2 80 y y x x y y x x A C A C  + =   − =   4) (TNTHPT 02- 03): 2:5:6:: 11 1 = −+ + y x y x y x CC C (Đs: (x = 8; y = 3)) 5) 1 1 1 1 1 ( ): : 10:2:1 y y y y x x x x A yA A C − − − − − + = Bài 3. Hãy tìm số nguyên dưong thỏa mãn phương trình: 4 3 2 1 1 2 5 0 4 n n n C C A − − − − − = (Đs: n=11) Bài 4. Giải các bất phương trình 1) 2 1 2 3 10 n n C n C + ≥ (Đs: 2 5 3 n − ≤ ≤ ) 2) ( ) 3 1 1 1 14 1 n n n A C n − + + + < + (Đs: 7 4 2 n− < < ( ) 4 4 143 3) 2 ! 4 n n A n P + < + ( Đs: 9,5 2,5n− < < 4) 4 3 4 1 24 23 n n n n A A C − + ≤ − (Đs: 1 5n≤ ≤ ) 5) 4 3 2 1 1 2 5 0 4 x x x C C A − − − − − ≤ (Đs: 5 11x ≤ ≤ ); 6) 2 2 3 2 1 6 10 2 x x x A A C x − ≤ + (Đs: 4x ≤ ) 6) xAA xx 215 23 ≤+ (ĐHQGHN - 98- 99) 7) 10 6 2 1 322 2 +≤− xxx C x AA 9) 3 1 4 1 3 1 14 n n n C A P − − + < 1 C¸c d¹ng to¸n th C¸c d¹ng to¸n th êng gÆp trong êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt tæ hîp - x¸c suÊt 10) 4 1 3 1 14 n n n n A P C + − − < 12) 2 2 3 2 1 6 10 2 x x x A A C x − ≤ + (Đs: 3; 4x x = = ) 11) 2 5 3 60 ( )! k n n P A n k + + + ≤ − (TNTHPT 03 – 04 ) 12) 1 2 2 2 5 2 n n n n n C C A − − + + > (TNTHPT 04 – 05 ) Chứng minh một số đẳng thức Bài 13. Sử dụng tính chất 1 1 k k k n n n C C C − + + = .CMR: 1) 1 2 3 3 3 3 3 k k k k k n n n n n C C C C C k n − − − + + + + = ≤ ≤ ; 2) 1 2 3 2 3 2 3 2 5 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C + + + + + + + + + + = + 3) 1 2 3 4 4 4 6 4 k k k k k k n n n n n n C C C C C C − + − − + + + + + = ( Với 4 k n≤ ≤ ) 4) 1 1 1 1 1 2 1 m m m m m n n n m m C C C C C − − − − − − − = + + + (Với 1 m n≤ ≤ ), HD: 1 1 k k k n n n C C C − + + = 1 1 1 k k k n n n C C C − − − ⇒ = − Tìm một số hạng hoặc hệ số của một số hạng Bài 14. Tìm hệ số của số hạng: a) chứa x 4 trong khai triển 10 1 x x   +  ÷   b) chứa x 43 trong khai triển 21 5 3 2 1 x x   +  ÷   c) chứa x 8 trong khai triển 5 3 1 n x x   +  ÷   biết ( ) 1 4 3 7 3 n n n n C C n + + + − = + d) chứa 6 2 x y trong khai triển 10 x xy y   +  ÷   e) chứa x 31 trong khai triển 40 2 1 x x   +  ÷   Bài 16.Tìm số hạng không chứa x trong k.tr a) 7 3 4 1 x x   +  ÷   b) 28 3 15 n x x x −   +  ÷   biết : 1 2 79 n n n n n n C C C − − + + = c) Biết tổng hệ số của ba số hạng đầu tiên trong khai triển 3 15 28 1 n x x x   +  ÷   bằng 79 . Bài 17 Cho khai triển 3 3 2 3 n x x   +  ÷   .Biết tổng của ba số hạng đầu tiên trong khai triển bằng 631 .Tìm hệ số của số hạng có chứa x 5 0 1 2 3 9 631 n n n C C C+ + = Bài 18.Biết trong khai triển 1 3 n x   −  ÷   Có hệ số của số hạng thứ 3 bằng 5 Hãy tính số hạng đứng giữa trong khai triển Bài 19. Biết tổng các hệ số : a) trong khai triển ( ) 2 1 n x+ bằng 1024 .Tìm hệ số của x 12 b) trong khai triển ( ) 1 2 n x+ bằng 6561.Tìm hệ số của x 4 Bài 20.Trong k.triển ( ) 12 2 3 xy xy+ .Tìm số hạng chứa x và y sao cho số mũ của x và y là các số nguyên dương Bài 21.Tìm các hạng tử là số nguyên trong khai triển a ) ( ) 19 3 3 2+ b) ( ) 125 3 3 7+ Bài 22.Có bao nhiêu hạng tử là số nguyên trong khai triển a) ( ) 124 4 3 5+ b) ( ) 64 3 4 7 3− Bài 23. Khai triển đa thức ( ) ( ) ( ) ( ) 9 10 14 14 0 1 14 1 1 1 P x x x x A A x A x = + + + + + + = + + + . Tính A 9 Bài 24. Cho khai triển : 1 3 2 2 2 n x x − −   +  ÷   /Biết 3 1 5 n n C C= và số hạng thứ 4 bằng 20n .Tìm x và n Bài 25. Trong khai triển : 3 3 n a b b a   +  ÷  ÷   tìm số hạng chứa a,b có số mũ bằng nhau Tìm hệ số lớn nhất trong khai triển Bài 26.Tìm hệ số lớn nhất trong các hệ số của các số hạng của khai triển 2 C¸c d¹ng to¸n th C¸c d¹ng to¸n th êng gÆp trong êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt tæ hîp - x¸c suÊt a) ( ) 101 1 x+ b) ( ) 30 1 2x+ . c) 40 1 2 3 3 x   +  ÷   c) ( ) 30 1 2x+ (HD: a)Hệ số của số hạng tổng quát 1 k k n T C + = 0 101k≤ ≤ ,Xét ( ) ( ) ( ) 1 101 1 101 101! !. 101 ! 101! 1 ! 102 ! k k k k k k T C T C k k + − − = = − − ; 1 102 1 0 51 k k T k k T k + − = ≥ ⇔ ≤ ≤ ; k=51 51 101 C ) Các đề thi ĐH từ 2002 - 2008 1. (CĐ_Khối D 2008)Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển 18 5 1 2         + x x ,(x>0).ĐS: 6528 2. (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức 2048 12 2 3 2 1 2 =+++ −n nnn CCC  . ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: n=6 3. (ĐH_Khối D 2007) Tìm hệ số của x5 trong khai triển thành đa thức của x(1−2x) 5 +x2(1+3x) 10 .ĐS: 3320 4. (ĐH_Khối D 2005)Tính giá trị biểu thức ( ) !1 3 34 1 + + = + n AA M nn , biết rằng 14922 2 4 2 3 2 2 2 1 =+++ ++++ nnnn CCCC (n là số nguyên dương, k n A là số chỉnh hợp chập k của n phần tử và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử) ĐS: 4 3 =M 5. (ĐH_Khối D 2004) Tìm số hạng không chứa x rtrong khai triển 7 4 3 1         + x x với x>0. ĐS: 35 3 C¸c d¹ng to¸n th C¸c d¹ng to¸n th êng gÆp trong êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt tæ hîp - x¸c suÊt 6. (ĐH_Khối D 2003) Với n là số nguyên dương, gọi a 3n − 3 là hệ số của x 3n − 3 trong khai triển thành đa thức của (x 2 +1) n (x+2) n . Tìm n để a 3n − 3 =26n. ĐS: n=5 7. (ĐH_Khối D 2002) Tìm số nguyên dương n sao cho 2048242 210 =++++ n n n nnn CCCC  . ĐS: n=5 8. (ĐH_Khối B 2008)Chứng minh rằng k n k n k n CCC n n 111 2 1 1 11 =         + + + + ++ (n, k là các số nguyên dương, k≤n, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 9. (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số của số hạng chứa x 10 trong khai triển (2+x) n , biết: ĐS: 22 4 C¸c d¹ng to¸n th C¸c d¹ng to¸n th êng gÆp trong êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt tæ hîp - x¸c suÊt 3 n C n 0 −3 n − 1 C n 1 +3 n − 2 C n 2 −3 n − 3 C n 3 + … +(−1) n C n n =2048 (n là số nguyên dương, k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 10. (ĐH_Khối B 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n≥4). Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm k∈{1,2,…,n} sao cho số tập con gồm k phần tử cua A lớn nhất.ĐS: k=9 11. (ĐH_Khối B 2003) Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnn C n CCC 1 12 3 12 2 12 1 2 3 1 2 0 + − ++ − + − + +  , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ĐS: 1 23 11 + − ++ n nn 12. (ĐH_Khối B 2002) Cho đa giác đều A 1 A 2 …A n (n≥2, n nguyên) nội tiếp đường tròn tâm (O). Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A 1 A 2 …A n , tìm n. ĐS: n=8 13. (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x) n =a 0 +a 1 x+ … +a n x n , trong đó n∈N* và các hệ số a 0 , a 1 ,…a n thỏa mãn hệ thức 4096 2 2 1 0 =+++ n n a a a  . Tìm số lớn nhất trong các số a 0 , a 1 ,…a n . ĐS: a 8 =126720 5 C¸c d¹ng to¸n th C¸c d¹ng to¸n th êng gÆp trong êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt tæ hîp - x¸c suÊt 14. (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh rằng 1 2 2 12 2 5 2 3 2 1 2 12 12 2 1 6 1 4 1 2 1 n n n nnnn C n C n CCC + − =++++ −  , ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). 15. (ĐH_Khối A 2006) Tìm số hạng chứa x 26 trong khai triển nhị thức Newton của n x x       + 7 4 1 , biết rằng 12 20 12 2 12 1 12 −=+++ +++ n nnn CCC  , (n nguyên dương và k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 210 16. (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n sao cho ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử). ( ) 20052.122.42.32.2 12 12 24 12 33 12 22 12 1 12 =+++−+− + +++++ n n n nnnn CnCCCC  , ĐS: n=1002 17. (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số của x 8 trong khai triển thành đa thức của [1+x 2 (1−x)] 8 . ĐS: 238 6 C¸c d¹ng to¸n th C¸c d¹ng to¸n th êng gÆp trong êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt tæ hîp - x¸c suÊt 18. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của n x x       + 5 3 1 , biết rằng ( ) 37 3 1 4 +=− + + + nCC n n n n , (n nguyên dương, x>0, ( k n C là số tổ hợp chập k của n phần tử).ĐS: 495 19. (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức ĐS: n=7, x=4 n x n n n x x n n x n x n n x n n x x CCCC         +                 ++                 +         =         + − − − − − − − −− − − 3 1 3 2 1 1 3 1 2 1 1 2 1 0 3 2 1 22222222  (n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó 13 5 nn CC = và số hạng thứ 4 bằng 20n, tìm n và x. Cách giải bài toán xác suất lớp 11 1. Áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất: Bước 1: Tính số phần tử của không gian mẫu(số khả năng xảy ra). Bước 2: Tính số phần tử của tập hợp mô tả biến cố đang xét (số kết quả thuận lợi). Bước 3: Lấy số kết quả thuận lợi chia cho số khả năng xảy ra: ( ) . A P A Ω = Ω Chú ý: 1) Khi tính số phần tử của không gian mẫu và tập hợp mô tả biến cố cần nắm chắc kiến thức về tổ hợp để tìm. 2) Khi áp dụng định nghĩa cổ điển của xác suất cần thoả mãn hai điều kiện: - Không gian mẫu chỉ có hữu hạn các phần tử(số phần tử đếm được) - Các kết quả của phép thử phải là đồng khả năng. Ví dụ: Khi gieo con súc sắc hoặc đồng tiền phải cân đối đồng chất để khả năng xuất hiện các mặt là như nhau, khi chọn quả cầu trong hộp thì khả năng chọn mỗi quả là như nhau đó chính là tính đồng khả năng. Khi gieo con súc sắc số lần gieo hữu hạn, số quả cầu trong hộp hữu hạn đó chính là tính hữu hạn của các phần tử của không gian mẫu. 2. Áp dung các qui tắc tính xác suât: * Bước 1: Đặt tên cho biến cố cần tính xác suất là A, các biến cố liên quan đến biến cố A là: 1 2 ; ; n A A A sao cho: - Biến cố A biểu diễn được theo các biến cố : 1 2 ; ; n A A A . - Xác xuất của các biến cố : 1 2 ; ; n A A A là tính được(dễ hơn so với A) - Xác định được mối quan hệ giữa các biến cố 1 2 ; ; n A A A . * Bước 2: Biểu diễn biến cố A theo các biến cố 1 2 ; ; n A A A . * Bước 3: Xác định mối quan hệ giữa các biến cố và áp dụng qui tắc: 1) Nếu 1 2 ,A A xung khắc: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 P A A P A P A∪ = + 7 C¸c d¹ng to¸n th C¸c d¹ng to¸n th êng gÆp trong êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt tæ hîp - x¸c suÊt 2) Nếu 1 2 ,A A đối nhau: ( ) ( ) 1 2 1P A P A= − 3) Nếu 1 2 ,A A độc lập: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 P A A P A P A= Chú ý: A và B độc lập thì & ; & ; &A B A B A B cũng độc lập. A và B độc lập ( ) ( ) ( ) P AB P A P B⇔ = Bài1:Trong một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi đen. Lần lượt lấy ra 3 bi từ hộp.Tính xác suất để trong 3 bi lấy ra có 2 bi màu đỏ. Giải: Cách1: ĐN cổ điển của xác suất Gọi A là biến cố: “Trong 3 bi lấy ra có 2 bi màu đỏ” Vì sự lựa chọn không phân biệt thứ tự lấy nên số kết quả của quá trình lựa chọn là một tổ hợp chập 3 của 5+6=11 phần tử 3 11 C⇒ Ω = . Trong 3 bi lấy ra: Chọn 2 bi màu đỏ trong 5 bi đỏ có 2 5 C cách, còn 1 bi (màu đen) chọn trong 6 bi có 1 6 C cách ( ) 2 1 2 1 5 6 5 6 3 11 4 11 A C C C C P A C ⇒ Ω = ⇒ = = Cách 2: Gọi i A là biến cố lần thứ i lấy được bi màu đỏ, i=1,2,3 Có: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 A A A A A A A A A A= ∪ ∪ 1 2 3 ; ;A A A độc lập nên: 1 2 3 , ,A A A độc lập; 1 2 3 , ,A A A độc lập; 1 2 3 , ,A A A độc lập Ba biến cố: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 , ,A A A A A A A A A xung khắc Vậy: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 6 5 6 4 6 5 4 4 1110 9 1110 9 1110 9 11 P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A= + + = + + = Bài toán:Trong một hộp có 5 bi đỏ, 6 bi đen, 7 bi vàng. Lần lượt lấy ra 4 bi từ hộp. Tính xác suất để trong 4 bi lấy ra không có đủ 3 màu: HD: Gọi A là biến cố “ Trong 4 bi lấy ra không đủ 3 màu” A ⇒ là biến cố “ Trong 4 bi lấy ra có đủ 3 màu” Các trường hợp chọn 4 bi đủ 3 màu: 2 đỏ, 1 xanh, 1 vàng 1 đỏ, 2 xanh, 1 vàng 1 đỏ, 1 xanh, 2 vàng ( ) ( ) 2 1 1 1 2 1 1 1 2 5 6 7 5 6 7 5 6 7 4 18 33 1 1 68 C C C C C C C C C P A P A C + + ⇒ = − = − = Bài2:(Sách BTCB11)Có 2 hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 3 quả đỏ và 2 quả xanh, hộp thứ hai chứa 4 quả đỏ và 6 quả xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp 1 quả. Tính xác suất sao cho lấy được hai quả khác màu Giải: Cách 1: Gọi C là biến cố: “ lấy ra 2 quả khác màu” Lấy từ hộp thứ nhất 1 quả, hộp thứ hai 1 quả ⇒ Số phần tử của không gian mẫu là: 1 1 5 10 50C CΩ = = Có 2 khả năng lấy được hai quả khác màu: Hộp 1 lấy được quả đỏ, hộp 2 lấy được quả xanh số khả năng: 1 1 3 6 18C C = Hộp 1 lấy được quả xanh, hộp 2 lấy được quả đỏ số khả năng: 1 1 2 4 8C C = ( ) 26 26 0,52 50 A P A⇒ Ω = ⇒ = = Cách 2: Gọi A là biến cố lấy được từ hộp 1 quả màu đỏ Gọi B là biến cố lấy được từ hộp 2 quả màu đỏ Có: C AB AB= ∪ A và B độc lập thì & ; &A B A B cũng độc lập, ,AB AB xung khắc nên: 3 6 2 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,52 5 10 5 10 P C P A P B P A P B= + = + = Chú ý: Gọi D là biến cố: “ lấy ra 2 quả cùng màu” D C⇒ = 8 C¸c d¹ng to¸n th C¸c d¹ng to¸n th êng gÆp trong êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt tæ hîp - x¸c suÊt ( ) ( ) ( ) 1 0,48P D P C P C⇒ = = − = Bài 3:Có 3 xạ thủ cùng bắn vào tấm bia. Xác suất trúng đích lần lượt là: 0,6; 0,7; 0,8. Tính xác suất để có ít nhất một người bắn trúng bia? Giải: Gọi i A là biến cố người thứ i bắn trúng bia, i=1,2,3 A là biến cố có ít nhất một người nào bắn trúng bia A⇒ là biến cố không có người nào bắn trúng bia 1 2 3 1 2 3 ( ) ( ) ( ) ( ) 0,4.0,3.0,2 0,024A A A A P A P A P A P A⇒ = ⇒ = = = ( ) ( ) 1 0,976P A P A⇒ = − = . Chú ý: 1.Bài toán trên nhưng nếu 3 xạ thủ bắn lần lượt cho đến khi bắn trúng bia thì thôi. Tính xác suất để mục tiêu bị bắn trúng ở viên đạn thứ 5? Giải: Gọi A là biến cố mục tiêu bị bắn trúng ở viên đạn thứ 5 Ta có: ( ) 1 2 3 1 2 1 2 3 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,4 .0,3.0,2. 0,4. 0,7 0,00672 A A A A A A P A P A P A P A P A P A= ⇒ = = = 2.Bài toán: Có 1 xạ thủ bắn vào tấm bia. Xác suất trúng đích 0,2. Tính xác suất để trong 3 lần bắn có: a) ít nhất một lần bắn trúng bia? b) Bắn trúng bia đúng 1 lần? Giải: a.Gọi A là biến cố có ít nhất 1 lần bắn trúng bia ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 A 0,8.0,8.0,8 0,512 1 0,488P P A A A P A P A⇒ = = = ⇒ = − = b. Gọi i A là biến cố người đó bắn trúng bia ở lần thứ i, i=1,2,3 A là biến cố trong 3 lần bắn người bắn trúng bia 1 lần ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3.0,128 0,384A A A A A A A A A A P A⇒ = ∪ ∪ ⇒ = = 3. Hiển nhiên khi đọc bài toán trên không thể giải theo định nghĩa cổ điển của xác suất vì không thể tìm được số phần tử của không gian mẫu. Bài 4: Trường THPT Đội Cấn có 2 đội bóng chuyền thi đấu. Họ thoả thuận với nhau rằng đội nào đầu tiên thắng 5 séc thì được nhận toàn bộ giải thưởng. Đang thi đấu thì trời mưa nên trận đấu phải dừng lại khi đội thứ nhất thắng 4 ván, đội thứ hai thắng 3 ván. Vậy cần phải chia giải thế nào thì hợp lí? (Dựa theo nghịch lí chia giải thưởng cho hai đấu thủ) Sai lầm thường gặp:Nhiều người cho rằng cần chia giải thưởng theo tỉ lệ 4:3, cũng có người cho rằng cần chia theo tỉ lệ 3:2 (với lập luận Đội 1 thắng nhiều hơn 1 ván bằng 1 5 của 5 nên Đội 1 nhận 1 5 giải, phần còn lại chia đôi mỗi người một nửa).Tất cả các ý kiến trên đều sai. Bài giải: Nếu tiếp tục chơi thêm 2 ván “giả tạo” nữa thì xác suất chiến thắng của Đội 2 (nhận toàn bộ giải) là: 1 1 1 . 2 2 4 = và do đó xác suất thắng cuộc của Đội 1 là 3 4 . Vì vậy phải chia giải thưởng theo tỉ lệ 3:1 là hợp lí nhất. ( Bài toán này được dựa trên bài toán "Nghịch lí chia giải thưởng cho hai đấu thủ" ) LOẠI 1: TÍNH XÁC SUẤT BẰNG ĐỊNH NGHĨA 1. Một lô hàng gồm 100 sản phẩm , trong đó có 30 sản phẩm xấu. Lấy ngẩu nhiên 1 sản phẩm từ lô hàng. a. Tìm xác suất để sản phẩm lấy ra là sản phẩm tốt b. Lấy ra ngẫu nhiên (1 lần) 10 sản phẩm từ lô hàng. Tìm xác suất để 10 sản phẩm lấy ra có đúng 8 sản phẩm tốt 2. Một hộp chứa 30 bi trắng, 7 bi đỏ và 15 bi xanh. Một hộp khác chứa 10 bi trắng , 6bi đỏ và 9 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp bi. Tìm xác suất để 2 bi lấy ra cùng màu. 3. Gieo đồng thời 2 con xúc xắc cân đối đồng chất. Tìm xác suất sao cho : a.Tổng số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng 8. b. Hiệu số chấm trên mặt hai con xúc xắc có trị tuyệt đối bằng 2. c. Số chấm trên mặt hai con xúc xắc bằng nhau 4. Một lô hàng có n sản phẩm trong đó có k sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên từ lô hàng k sản phẩm. Tìm xác suất để k sản phẩm lấy ra có đúng s sản phẩm xấu. 5. Chia 12 tặng phẩm cho 3 người . Tìm xác suất để : a.Người thứ nhất được 3 sản phẩm b.Mỗi người được 4 sản phẩm 6. 12 hành khách lên ngẩu nhiên 4 toa tàu. Tìm xác suất để : a.Mỗi toa có 3 hành khách b.Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách các toa còn lại có 1 hành khách. 9 C¸c d¹ng to¸n th C¸c d¹ng to¸n th êng gỈp trong êng gỈp trong tỉ hỵp - x¸c st tỉ hỵp - x¸c st 7. Lấy ngẫu nhiên lần lược 3 chữ số từ 5 chữ số {0,1,2,3,4} xếp thành hàng ngang từ trái sang phải. Tìm xác suất để nhận được số tự nhiên gồm 3 chữ số. 8. Một học sinh vào thi chỉ thuộc 18 câu trong 25 câu hỏi. Tìm xác suất để học sinh đó trả lời được 3 câu hỏi mà học sinh đó rút được 9. Trong đề cương môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết và 30 bài tập. Mỗi đề thi gồm có 1 câu hỏi lý thuyết và 3 bài tập được lấy ngẫu nhiên trong đề cương. Một học sinh A chỉ học 4 câu lý thuyết và 12 câu bài tập trong đề cương. Khi thi học sinh A chọn 1 đề thò một cách ngẫu nhiên. Với giả thiết học sinh A chỉ trả lời được câu lý thuyết và bài tập đã học. Tính xác suất để học sinh A : a/ không trả lời được lý thuyết. b/ chỉ trả lời được 2 câu bài tập. c/ đạt yêu cầu. Biết rằng muốn đạt yêu cầu thì phải trả lời được câu hỏi lý thuyết và ít nhất 2 bài tập. 11. Một khách sạn có 6 phòng trọ phục vụ khách, nhưng có tất cả 10 khách đến xin nghỉ trọ, trong đó có 6 nam và 4 nữ. Khách sạn phục vụ theo nguyên tắc “ai đến trước phục vụ trước và mỗi phòng nhận 1 người”. a/ Tìm xác suất để cho cả 6 nam đều được nghỉ trọ. b/ Tìm xác suất để 4 nam và 2 nữ được nghỉ trọ. c/ Tìm xác suất sao cho ít nhất 2 trong số 4 nữ được nghỉ trọ. 12.Có 2 lô hàng : Lô 1 : Có 90 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 10 phế phẩm Lô 2 : Có 80 sản phẩm đạt tiêu chuẩn và 20 phế phẩm.Lấy ngẫu nhiên mỗi lô hàng một sản phẩm. Tính xs: a/ Có một sản phẩm đạt tiêu chuẩn. b/ Có hai sản phẩm đạt tiêu chuẩn. c/ Có ít nhất một sản phẩm đạt tiêu chuẩn. 13.Giả sử có 10 khách hàng vào một cửa hàng có 3 quầy, mỗi người chỉ tối một quầy. Tìm các xác suất : a/ có 4 người đến quầy số 1; b/ có 4 người đến một quầy nào đó; c/ có 4 người đến quầy 1 và 3 người đến quầy 2. 14. Có 5 khách hàng không quen biết nhau và cùng vào mua hàng ở một cửa hàng có 4 quầy hàng. Biết sự lựa chọn quầy hàng của các khách hàng là độc lập và như nhau. Hãy tìm xác suất của các sự kiện sau: a. Cả 5 khách hàng vào cùng 1 quầy hàng b. Có 3 người vào cùng 1 quầy. c. Có 5 người vào 2 quầy tức là có đúng 2 quầy có khách. d. Mỗi quầy đều có người tới mua 15 .Một cơ quan ngoại giao có 25 nhân viên trong đó có 16 người biết nói tiếng Anh, 14 người biết nói tiếng Pháp, 10 người biết nói tiếng Nha, 10 người biết nói tiếng Anh và Pháp, 5 người biết nói tiếng Anh và Nga, 3 người biết tiếng Pháp và Nha, không có ai biết nói cả 3 thứ tiếng trên. Có 1 người trong cơ quan ấy đi công tác. Tính xác suất để người ấy : a/ biết nói tiếng Anh hay Pháp. b/ biết nói ít nhất 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên. c/ chỉ biết nói 1 ngoại ngữ trong 3 ngoại ngữ trên. 16. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ bài tú – lơ – khơ : a. Tính xác suất sao cho trong 5 qn bài đó có đúng 3 qn bài đó thuộc 1 bộ ( ví dụ : có 3 con 4) b. Tính xác suất sao cho trong 5 qn bài đó có 4 qn bài thuộc một bộ 17. Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố “ tổng số chấm trên mặt của hai con xúc xắc bằng 4 “ a. Liệt kê các kết quả thuận lợi của biến cố A b. Tính xác suất của biến cố A 18. Một vé số có 5 chữ số. Khi quay số nếu vé của bạn mua có số trúng hồn tồn với kết quả thì bạn trúng giải nhất. Nếu vé bạn trúng 4 chữ số sau thì bạn trúng giải nhì. a. Tính xác suất để bạn trúng giải nhất. b. Tính xác suất để bạn trúng giải nhì. 19. Xếp 5 người ngồi vào bàn tròn. Tính xác suất để A, B ngồi gần nhau. 5. Một lớp có 50 học sinh trong đó 20 em sinh vào ngày chẵn. Chọn ngẩu nhiên 3 học sinh. Tính xác suất để 3 học sinh được chọn có tổng các số ngày sinh là số chẵn. 20. Kết quả (b,c) của việc gieo hai con xúc xắc cân đối hai lần, được thay vào phương trình x 2 + bx+ c =0. Tính xác suất để : a. Phương trình vơ nghiệm b. Phương trình có nghịêm kép c, Phương trình có hai nghiệm phân biệt 21. Gieo một con xúc xắc 2 lần . Tính xác suất để : a. Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên b. Mặt 4 chấm xuất hiện ở ít nhất 1 lần 22. Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầu đỏ khác nhau. Lấy ra 2 quả cầu. Tính xác suất để : a. Hai quả cầu lấy ra màu đen b. Hai quả cầu lấy ra cùng màu 23. Sắp xếp 5 người ngồi vào 5 ghế thẳng hàng. Tính xác suất để : a. A, B ngồi cạnh nhau b. A,B ngồi cách nhau một ghế. 24. Gieo 3 con đồng xu. Tính xác suất để 10 [...]... tra theo thứ tự lẻ là xấu LOẠI 3 : BÀI TẬP VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC Bài1 : Một hộp có 3 quả cầu trắng và 2 quả cầu đen.Lấy ngẫu nhiên từng quả cầu cho đến khi lấy được quả cầu trắng.Hãy lập bảng phân phối xác suất của các quả cầu được lấy ra Bài2 : Một phòng thi vấn đáp có 20 câu hỏi lý thuyết và 10 câu bài tập. Mỗi người vào thi được lấy 1 câu lý thuyết và 1 câu bài tập. Trả lời đúng được 5 điểm,trả lời... thùng hàng thứ I Tính xác suất : a/ sản phẩm lấy ra cuối cùng là phế phẩm b/ sản phẩm lấy ra cuối cùng thuộc thùng hàng thứ II ở lúc ban đầu Bài 31 : Tỉ số khách nội tỉnh, ngoại tỉnh và ngoại quốc vào 1 cửa hàng A trong 1 ngày là 8 : 4 : 1 Xác suất để khách nội tỉnh, ngoại tỉnh và ngoại quốc vào cửa hàng và mua hàng lần lượt là 0,4 ; 0,3 và 0,2 a/ Tính xác suất để có 1 khách hàng vào cửa hàng mua hàng... lời câu lý thuyết và câu bài tập là độc lập.Khi vào thi hcọ sinh A thuộc 12 câu lý thuyết và có thể làm được 6 câu bài tập a/Tính xác suất để A đạt điểm 0 (P= 4/25) b/Gọi X là số điểm A đạt được.CMR: X là một biến ngẫu nhiên rời rạc - Lập bảng phân bố xác suất của X - Tính xác suất để A đạt từ 5 điểm trở lên (P= 21/25) c/Tính số điểm trung bình mà A có thể đạt được (Kỳ vọng E(X)=6) Bài3 : Một thiết bị... của hai người như nhau Bài 16 : Một căn phòng điều trò có 3 bệnh nhân bệnh nặng với xác suất cần cấp cứu trong vòng một giờ của các bệnh nhân tương ứng là 0,7 ; 0,8 và 0,9 Tìm các xác suất sao cho trong vòng một giờ : a/ có hai bệnh nhân cần cấp cứu b/ có ít nhất một bệnh nhân không cần cấp cứu Bài 17: Một công ty đầu tư 2 dự án A và B Xác suất thua lỗ dự án A là 10% và xác suất thua lỗ dự án B là... mục tiêu một cách độc lập Xác suất trúng mục tiêu của quả tên lửa thứ nhất và quả tên lửa thứ 2 tương ứng là 70% và 80% Nếu có 1 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bò diệt với xác suất là 80% Nếu cả 2 quả trúng mục tiêu thì mục tiêu bò diệt với xác suất là 90% a Tìm xác suất để mục tiêu bò diệt b Biết mục tiêu đã bò tiêu diệt Tìm xác suất để quả tên lửa thứ nhất trúng mục tiêu Bài 50: Một hộp có 10 sản... 2 lấy ra 2 bi a Tìm xác suất 2 bi lấy ra từ hộp là 2 bi đỏ b Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ Tìm xác suất để 2 bi đỏ là 2 bi của hộp 1 bỏ vào c Biết 2 bi lấy ra từ hộp 2 là 2 bi đỏ và không bỏ 2 bi đó trở lại mà lấy ra tiếp thêm 1 bi Tìm xác suất bi lấy ra tiếp đó là bi đỏ Bài 46 Có 3 chiếc hộp: Hộp 1: Có 3 bi đỏ và 2 bi xanh Hộp 2: Có 7 bi đỏ và 3 bi xanh Hộp 3: Có 4 bi đỏ và 3 bi xanh Lấy ngẫu... bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp 1 ra 2 bi và từ hộp 2 ra 1 bi đem bỏ vào hộp 3 trộn đều Sau đó lấy từ hộp 3 ra 1 bi a Tìm xác suất bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ b Biết bi lấy ra từ hộp 3 là bi đỏ Tìm xác suất để bi đỏ lấy 5 2 Bài 47 : Tỷ số xe vận tải và ô tô con đi qua đường phố có trạm bơm dầu là Xác suất để cho một xe tải qua phố được nhận dầu là 0,1 Còn xác suất để một xe con qua phố được đến nhận... dầu Tìm xác suất để xe đó là xe tải Bài 48: Một nhà máy sản xuất bút máy có 90% sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật Trong quá trình kiểm nghiệm, xác suất để chấp nhận một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật là 0,95 và xác suất để chấp nhận một sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật là 0,08 Tìm xác suất để một sản phẩm đạt tiêu chuẩn kỹ thuật qua kiểm nghiệm được chấp nhận Bài 49: Có 2 quả tên lửa bắn vào một... người bắn trượt (P=0,02) 11 C¸c d¹ng to¸n th êng gỈp trong tỉ hỵp - x¸c st Bài6 : Bắn liên tiếp vào 1 mục tiêu đến khi viên đạn đầu tiên trúng mục tiêu thì dừng.Tính xác suất sao cho phải bắn đến viên đạn thứ 6.Biết rằng xác suất trúng mục tiêu của mỗi viên đạn là 0,2 .Và các lần bắn độc lập với nhau (P=0,065536) Bài7 : Gieo 2 con xúc xắc đối xứng và đồng chất.Gọi A là biến cố tổng số chấm xuất hiện là... được điểm âm Bài 22 Một hộp có 7 thành phẩm và 3 phế phẩm Lẫy ngẫu nhiên lần lượt từng sản phẩm một không hoàn lại cho tới khi lấy được hai thành phẩm thì dừng lại a Tìm xác suất để chỉ lấy ra sản phẩm ở lần thứ tư thì dừng lại b Tìm xác suất để việc dừng lại khi không lấy quá 4 sản phẩm 2 3 1 3 Bài 23 : Một chiếc máy bay có thể xuất hiện ở vò trí A với xác suất và ở vò trí B với xác suất Có ba phương . ngẩu nhiên 4 toa tàu. Tìm xác suất để : a.Mỗi toa có 3 hành khách b.Một toa có 6 hành khách, một toa có 4 hành khách các toa còn lại có 1 hành khách. 9 C¸c d¹ng to n th C¸c d¹ng to n th êng. 2 (nhận to n bộ giải) là: 1 1 1 . 2 2 4 = và do đó xác suất thắng cuộc của Đội 1 là 3 4 . Vì vậy phải chia giải thưởng theo tỉ lệ 3:1 là hợp lí nhất. ( Bài to n này được dựa trên bài to n "Nghịch. 238 6 C¸c d¹ng to n th C¸c d¹ng to n th êng gÆp trong êng gÆp trong tæ hîp - x¸c suÊt tæ hîp - x¸c suÊt 18. (ĐH_Khối A 2003) Tìm số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Newton của n x x       + 5 3 1 ,