Luận án tiến sĩ toán học: Sử dụng phương pháp giải tích trong bài tóan biên phi tuyến

113 1.2K 0
Luận án tiến sĩ toán học: Sử dụng phương pháp giải tích trong bài tóan biên phi tuyến

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Thông tin tài liệu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÙI TIẾN DŨNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC TP. HỒ CHÍ MINH - 2005 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH BÙI TIẾN DŨNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN Chuyên ngành : TOÁN GIẢI TÍCH Mã số : 1. 01. 01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THÀNH LONG PGS.TS. NGUYỄN HỘI NGHĨA TP. HỒ CHÍ MINH – 2005 LỜI CAM ĐOAN  Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả và số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một công trình nào khác. Tác giả luận án Lời cảm ơn W X Y Z Con xin ghi tạc công ơn sinh thành và dưỡng dục của Cha mẹ để con khôn lớn nên người. Tôi xin ghi ơn tất cả Quý Thầy, Cô đã dạy cho tôi từ thû ấu thơ cho đến ngày tôi được thành đạt hôm nay. Kính gửi đến TS. Nguyễn Thành Long, Khoa Toán – Tin của Trường Đại học Khoa học Tự Nhiên Thành phố Hồ Chí Minh, cùng PGS. TS. Nguyễn Hội Nghóa, Ban Sau Đại Học của Đại Học Quốc Gia Thành phố Hồ Chí Minh, lòng biết ơn và tất cả những tình cảm tốt đẹp nhất vì sự tận tụy dạy dỗ của Quý Thầy đã dành cho tôi, kể cả những nghiêm khắc cần thiết của Quý Thầy trong việc hướng dẫn cho tôi học tập và nghiên cứu khoa học, nhằm giúp tôi được nên người. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến Quý Thầy phản biện độc lập luận án, Quý Thầy trong Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Bộ môn, Hội đồng đánh giá luận án tiến sỹ cấp Nhà nước, đã đóng góp nhiều ý kiến quý báu, giúp cho tôi hoàn thành tốt đẹp luận án này. Chân thành cảm ơn Quý Thầy, Cô cùng các Chuyên viên ở Vụ Đại học và Sau Đại học của Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, và ở Phòng Sau Đại học của Trøng Đại học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp cho tôi hoàn tất các thủ tục học tập và bảo vệ luận án tiến sỹ. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Giám Hiệu Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí Minh cùng Qúy Thầy, Cô đồng nghiệp thuộc Khoa Khoa học Cơ Bản đã độâng viên và tạo nhiều điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn tất việc học tập, nghiên cứu khoa học. Đặc biệt xin được cảm ơn Thạc sỹ Ninh Quang Thăng, Khoa Trưởng Khoa Khoa Học Cơ Bản của Trường Đại học Kiến Trúc Thành phố Hồ Chí Minh, người lãnh đạo, người anh, và là đồng nghiệp đã luôn sát cánh bên tôi, giúp đỡ rất nhiều cho tôi trong sự nghiệp giảng dạy, quản lý tổ chức để cho tôi tập trung hoàn thành được luận án tiến sỹ này. Sau cùng, tôi xin gửi tất cả những tình cảm yêu thương và lòng biết ơn đối với gia đình, nơi đã gửi gắm ở tôi niềm tin, nơi cho tôi những an lành và sức mạnh, nhờ đó tôi có thể vượt qua khó khăn, trở ngại để học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án tiến sỹ của mình. Bùi Tiến Dũng MỤC LỤC trang Phần mở đầu 1 Chương 1 : Phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff 12 1.1 Giới thiệu 1.2 Ký hiệu và các kết quả chuẩn bò 1.3 Đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất 1.4 Đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất 1.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu đến cấp 3 theo một tham số ε 1.6 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu đến cấp N+1 theo một tham số ε 1.7 Nhận xét về các kết quả thu được Chương 2 : Phương trình sóng phi tuyến liên kết với một phương trình tích phân phi tuyến chứa giá trò biên 71 2.1 Giới thiệu 2.2 Đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm 2.3 Sự ổn đònh của nghiệm 2.4 Nhận xét về các kết quả tìm được Phần kết luận 100 A. Danh mục các công trình của tác giả có liên quan đến luận án 103 B. Tài liệu tham khảo 104 1 PHẦN MỞ ĐẦU Trong các ngành Khoa học ứng dụng như Vật lý, Hóa học, Cơ học, Kỹ thuật, thường xuất hiện các bài toán biên phi tuyến rất phong phú và đa dạng. Đây chính là nguồn đề tài không bao giờ cạn mà rất nhiều các nhà toán học từ trước đến nay quan tâm nghiên cứu. Hiện nay, với những thành tựu của Toán học hiện đại, nhiều công cụ sâu sắc dựa vào nền tảng của Giải tích hàm đã xâm nhập vào từng bài toán biên phi tuyến cụ thể ở một mức độ nào đó. Tuy nhiên, nhìn một cách tổng quát, chúng ta vẫn chưa có một phương pháp toán học chung để giải quyết cho mọi bài toán biên phi tuyến. Do đó còn rất nhiều các bài toán biên phi tuyến vẫn chưa giải hoặc giải được một phần tương ứng với số hạng phi tuyến cụ thể nào đó. Trong luận án này chúng tôi sẽ khảo sát một số bài toán biên có liên quan đến nhiều vấn đề trong các ngành Khoa học ứng dụng. Chẳng hạn các phương trình sóng phi tuyến liên kết với các loại điều kiện biên khác nhau xuất hiện trong các bài toán mô tả dao động của một vật đàn hồi ( một dây hoặc một thanh đàn hồi) với các ràng buộc phi tuyến ở bề mặt và tại biên, hoặc mô tả sự va chạm của một vật rắn với một thanh đàn nhớt tuyến tính trên một nền cứng hoặc một nền đàn nhớt với các ràng buộc đàn hồi phi tuyến ở bề mặt, các ràng buộc liên hệ với lực cản ma sát nhớt. Công cụ để khảo sát các bài toán biên trên được chúng tôi sử dụng và trình bày trong luận án là các phương pháp của Giải tích hàm phi tuyến như: phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đơn điệu, phương pháp xấp xỉ tuyến tính liên hệ với các đònh lý về điểm bất động, phương pháp tiệm cận Ngoài phần tổng quan ở chương mở đầu, kết quả chính của luận án sẽ được trình bày trong hai chương sau: Chương 1: Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff 2 ,0 ),1,0(),,,,,,() ,( 22 TtxuuuutxfuutBu txxtt <<=Ω∈∇∇=∇− (0.1) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất ,(t)),1( ),(),0(),0( 100 gtutgtuhtu x = =− (0.2) và điều kiện đầu ),( ~ )0,( ),( ~ )0,( 10 xuxuxuxu t = = (0.3) trong đó 1010 , , ~ , ~ , , gguufB là các hàm cho trước sẽ được giả thiết ở phần sau và 0 0 ≥h là hằng số cho trước. Trong phương trình (0.1) các số hạng phi tuyến ),( 2 utB ∇ và ),,,,,( 2 uuuutxf t ∇∇ phụ thuộc vào tích phân .),()( 1 2 2 ∫ ∑ Ω = ∂ ∂ =∇ N i i dxtx x u tu (0.4) Phương trình (0.1) được tổng quát hóa từ phương trình mô tả dao động của một dây đàn hồi (Kirchhoff [16]): ρ ,0 , 0 ,),( y u 2 0 2 0 TtLxudyty L E Phu xx L tt <<<< ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ += ∫ (0.5) đây u là độ võng, ρ là khối lượng riêng, h là thiết diện, L là chiều dài sợi dây ở trạng thái ban đầu, E là môđun Young và 0 P là lực căng lúc ban đầu. Tuy nhiên, trong nhiều tài liệu sau này ( xem [13, 15, 23, 24, 30, 39]) vẫn gọi phương trình thuộc dạng (0.5) là phương trình sóng chứa toán tử Carrier hoặc ghép tên chung và gọi là phương trình sóng chứa toán tử Kirchhoff-Carrier. Thật ra giữa hai bài báo gốc của Kirchhoff (1876)[16] và của Carrier (1945)[7] có sự khác biệt, bởi vì chúng tôi tìm thấy trong [7] của Carrier đã công bố năm 1945 thì phương trình không phải thuộc dạng (0.5), mà lại là ,0 , 0 ,),( 0 2 10 TtLxudytyuPPu xx L tt <<<< ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ += ∫ (0.6) trong đó 10 , PP là các hằng số dương. 3 Trong một số trường hợp riêng của B và f , bài toán Cauchy hay hỗn hợp cho phương trình (0.1) đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như Ebihara, Medeiros và Miranda[13]; Pohozaev[34]; Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36], Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39]. Trong hai công trình gần đây (xem [31, 32]), các tác giả Medeiros, Limaco, Menezes đã cho một tổng quan các kết quả về khía cạnh toán học có liên quan đến mô hình Kirchhoff- Carrier. Trong [14], Frotta chú ý nghiên cứu phương trình sóng cho miền n-chiều n I R⊂Ω ,0,),,() ,( 2 TtxtxfuuxBu tt <<Ω∈=Δ∇− (0.7) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu. Thay vì xét (0.7), Larkin[18] nghiên cứu phương trình sóng ,0 ,),,(),,())( ,,( 2 TtxtxfutxgututxBu ttt <<Ω∈=+Δ− (0.8) liên kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất và điều kiện đầu, với ∫ Ω = .),()( 22 dxtxutu Trong [37], các tác giả Santos-Ferreira-Pereira-Raposo nghiên cứu bài toán với phương trình sóng ,0 ),1,0(,0)()( 2 TtxufuuuBu ttt <<=Ω∈=+Δ−Δ∇− (0.9) liên kết với điều kiện biên hỗn hợp phi tuyến và điều kiện đầu. Trong [38], Tucsnak nghiên cứu bài toán ,0 , 10 0,),( 1 0 2 ><<= ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +− ∫ txudyty y u bau xxtt (0.10) ,0 ,0),1( ),1( ,0),0( > = − == ttututu tx α (0.11) ),( ~ )0,( ),( ~ )0,( 10 xuxuxuxu t = = (0.12) 4 trong đó 0 ,0 ,0 >≥> α ba là các hằng số cho trước. Trong trường hợp này, bài toán (0.10) - (0.12) mô tả sự kéo giãn sợi dây. Trong [30] Medeiros đã khảo sát bài toán )1.0( - )3.0( với ,)( 2 buuff −== ở đây b là một hằng số dương cho trước, Ω là một tập mở bò chận của . 3 IR Trong [15], Hosoya và Yamada đã xét bài toán với ,)( uuuff α δ −== trong đó δ > 0 , α ≥ 0 là các hằng số cho trước. Trong [8] Dmitriyeva đã nghiên cứu bài toán ),(0,),( ),,( . 2 2 TtxtxFuuuuu ttt ×Ω∈=+Δ∇−Δ+ ελ (0.13) ∑ = = ∂ ∂ = 2 1 2 2 0 ,0 i i i v x u u trên , Ω ∂ (0.14) ),( ~ )0,( ),( ~ )0,( 10 xuxuxuxu t = = (0.15) trong đó, ),,0(),0( π π ×=Ω vectơ ),( 21 vvv = là pháp tuyến đơn vò trên biên Ω ∂ hướng ra ngoài, ,6/ 22 h πλ = với ε ,h là các hằng số dương. Trong trường hợp này, bài toán (0.13)-(0.15) mô tả dao động phi tuyến của một bản hình vuông có tải trọng tónh. Trong [26], N.T Long và các tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán ),,0(),( ),,( )(. 12 2 TtxtxFuuuuBuu tttt ×Ω∈=+Δ∇−Δ+ − α ελ (0.16) 0 ,0 = ∂ ∂ = v u u trên Ω ∂ , (0.17) ),( ~ )0,( ),( ~ )0,( 10 xuxuxuxu t = = (0.18) trong đó λ > ,0 ε > ,0 0 < α < 1 là các hằng số cho trước và Ω là một tập mở bò chận của . n IR Bằng cách tổng quát kết quả của [8, 26], các tác giả N.T Long và T.M. Thuyết [27] đã xét bài toán ),,0(),( ),,(),( )(. 2 2 TtxtxFuufuuBuu ttt ×Ω∈=+Δ∇−Δ+ λ (0.19) 5 0 ,0 = ∂ ∂ = v u u trên Ω ∂ , (0.20) ).( ~ )0,( ),( ~ )0,( 10 xuxuxuxu t = = (0.21) Trong [9], Alain Phạm đã nghiên cứu sự tồn tại và dáng điệu tiệm cận khi ε → 0 của nghiệm yếu của bài toán )1.0( - )3.0( với B ≡ 1 liên kết với điều kiện biên thuần nhất Dirichlet ,0),1( ),0( = = tutu (0.22) ở đây số hạng phi tuyến có dạng ).,( 1 utff ε = Sau đó, trong [10] Alain P.N. Đònh và N.T. Long đã xét bài toán )1.0( - )3.0( với B ≡ 1 và số hạng phi tuyến có dạng ),,( 1 t uutff ε = (0.23) Trong [21] N.T. Long và T.N. Diễm đã khảo sát phương trình sóng phi tuyến ,0),1,0(),,,,,( ),,,,( 1 Ttxuuutxfuuutxfuu txtxxxtt < < ∈ + =− ε 0.24) liên kết với điều kiện đầu (0.3) và điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất 0,),0(),1(),0(),0( 10 = + =− tuhtutuhtu xx (0.25) trong đó 10 , hh là các hằng số dương cho trước. Trong trường hợp )),0[]1,0([ 32 IRCf ×∞×∈ và ),),0[]1,0([ 31 1 IRCf ×∞×∈ trong [12] thu được kết quả thu được liên quan đến khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán nhiễu đến cấp 2 theo một tham số ε đủ nhỏ. Kết quả này tiếp tục được mở rộng trong [24] với phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff: ),,,,,( ),,,,( )] (.) ([ 1 2 1 2 0 txtx xxxxtt uuutxfuuutxf uuBuBbu ε ε += ++− (0.26) liên kết với điều kiện )3.0( và )22.0( trong đó 0 0 >b là hằng số cho trước và 0 ,0 ),( ),( 1 1 1 2 ≥≥∈∈ ++ BBIRCBIRCB là các hàm cho trước. Trong chương này, chúng tôi tập trung giải quyết hai vấn đề: [...]... nhất: Chúng tôi liên kết bài toán với một dãy qui nạp tuyến tính hội tụ mạnh trong các không gian hàm thích hợp và chứng minh sự tồn tại đòa phương và duy nhất nghiệm của bài toán bằng phương pháp Galerkin thông dụng kết hợp với phương pháp compact Chú ý rằng phương pháp tuyến tính hóa trong chương này cũng như trong các bài báo [6, 10, 21, 23, 24, 33] không thể sử dụng trong các bài báo [3, 5, 9, 11,... f , v0 , v1 cho bài toán (0.31) - (0.33) cũng không áp dụng trực tiếp kết quả đã khảo sát cho bài toán (0.28) - (0.30) Điều này cho thấy rằng bài toán (0.28) - (0.30) là trường hợp riêng của bài toán (0.31) - (0.33), nhưng về kết quả thì lại là không Chính vì vậy, chúng tôi vẫn phải trình bày hai bài toán (0.1) - (0.3) tương ứng với hai điều kiện biên thuần nhất và không thuần nhất Trong vấn đề thứ... thiết lập một dãy qui nạp tuyến tính liên kết với bài toán, sau đó sử dụng xấp xỉ Galerkin và phương pháp compact để chứng minh dãy này hội tụ mạnh về nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) - (1.1.3) trong các không gian hàm thích hợp Sự duy nhất nghiệm được chứng minh nhờ vào bổ đề Gronwall sau một số các phép tính toán và đánh giá cụ thể Vấn đề thứ hai: Chúng tôi khảo sát bài toán nhiễu 13 2 2 u tt − [ B... 11 - Hội nghò Khoa học Khoa Toán – Tin học, Đại học Sư phạm Tp HCM, 22/12/2000 - Hội nghò Khoa học Khoa Toán – Tin học, Đại học Sư phạm Tp HCM, 2122/12/2002 12 Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH SÓNG PHI TUYẾN CÓ CHỨA TOÁN TỬ KIRCHHOFF 1.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình sóng phi tuyến có chứa toán tử Kirchhoff được liên kết với điều kiện biên hỗn hợp 2 2 u tt − B(t ,... cứu một trường hợp đặc biệt của bài toán (0.36), (0.38) (0.41), (0.42) với u 0 = u1 = P0 = 0 và 9 (0.43) f (u, u t ) = Ku + λ.u t , với K và λ là các hằng số dương cho trước Trong trường hợp này bài toán (0.36), (0.38), (0.41), (0.42) là mô hình toán học mô tả sự va chạm của một vật rắn và một thanh đàn nhớt tuyến tính có một đầu đặt trên một nền cứng Bằng việc giải bài toán (0.41), (0.42) ta thu được... )ds (0.50) 0 Trong chương này, chúng tôi thực hiện hai phần chính Ở phần thứ 1, chúng tôi chứng minh đònh lý tồn tại và duy nhất nghiệm yếu toàn cục của bài toán (0.36) - (0.39) Việc chứng minh dựa trên cơ sở của phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm, các kỹ thuật của phương pháp compact và phương pháp hội tụ yếu Trong phần xấp xỉ Galerkin, chúng tôi cũng sử dụng đònh lý... t ( x,0) Tuy nhiên, bài toán (1.1.10) - (1.1.13) không sử dụng được kết quả của bài toán (1.1.6) - (1.1.8) Do đó, chúng tôi tiếp tục trình bày chứng minh kết quả tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán (1.1.1) - (1.1.3) tương ứng với trường hợp không thuần nhất ( g 0 (t ) ≠ 0 ≠ g1 (t ) ) Trong vấn đề thứ hai, để xây dựng ý tưởng và cơ sở lập luận, trước tiên chúng tôi khảo sát phương trình nhiễu (1.1.5)... = u1 ( x), (0.33) 7 ~ ~ trong đó B, f , u 0 , u1 , g 0 , g1 là các hàm cho trước sẽ được giả thiết sau Bằng việc đặt ẩn phụ thích hợp, chúng tôi đưa bài toán (0.31) - (0.33) về bài toán có điều kiện biên thuần nhất thuộc dạng (0.28) - (0.30) với sự điều chỉnh lại các hàm ~ ~ ~ ~ ~ ~ B, f , u 0 , u1 trong (0.28) - (0.30) thành các hàm B , f , v0 , v1 Tuy nhiên để giải bài toán (0.31) - (0.33) thì giả... u(x,t) và giá trò biên chưa biết P(t) thỏa một phương trình tích phân phi tuyến t P (t ) = g (t ) + H (u (0, t )) − ∫ K (t − s, u (0, s ))ds, (0.39) 0 trong đó g, H và K là các hàm cho trước Bài toán (0.36) - (0.39) đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo nhiều kiểu điều kiện biên khác nhau tương ứng với các ý nghóa cơ học nào đó, chẳng hạn như : Trong [1], N.T An và N.Đ Triều và trong [20] N.T... trong hai bài báo [d1, d2] Chương 2: Chúng tôi xét phương trình sóng phi tuyến liên kết với một phương trình tích phân phi tuyến chứa giá trò biên Bài toán đặt ra là tìm một cặp hàm (u, P) thỏa u tt − u xx + f (u , u t ) = 0, x ∈ Ω = (0,1), 0 < t < T , (0.36) u x (0, t ) = P(t ), u (1, t ) = 0, (0.37) u ( x,0) = u 0 ( x), (0.38) u t ( x,0) = u1 ( x), trong đó f , u 0 , u1 là các hàm cho trước thỏa một . một phần tử của một không gian hàm Ký hiệu ⋅ để chỉ chuẩn trong 2 L và ký hiệu X ⋅ để chỉ chuẩn trong một không gian Banach X . Ta gọi X ′ là không gian đối ngẫu của X. 15 Ta. nghiên cứu bởi nhiều tác giả như Ebihara, Medeiros và Miranda[13]; Pohozaev[34]; Frota[14]; Larkin[18]; Santos[36], Tucsnak[38]; Santos-Fereira-Saposo[37]; Yamada[39]. Trong hai công trình. tôi những an lành và sức mạnh, nhờ đó tôi có thể vượt qua khó khăn, trở ngại để học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án tiến sỹ của mình. Bùi Tiến Dũng MỤC LỤC trang Phần

Ngày đăng: 28/08/2014, 12:00

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan