Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong MỤC LỤC Trang Phần Mở đầu 1 Chương 1 Ký hiệu và đònh nghóa 4 Chương 2 Sự tồn tại và duy nhất lời giải 6 Chương 3 Xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn với Ω có biên đa giác 22 Chương 4 Xấp xỉ bài toán biên cong bởi bài toán biên đa giác 33 Chương 5 p dụng tính toán số 47 Phần Kết luận 59 Tài liệu tham khảo 60 Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 1 PHẦN MỞ ĐẦU Trong luận văn này chúng tôi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn để giải bài toán elliptic phi tuyến hai chiều : (0.1) () () ()( ) () () () ,y,x,y,xGy,xusiny,xu,y,xg y,x y u ,y,xM y y,x x u ,y,xM x 21 Ω∈=+         ∂ ∂ ∂ ∂ −       ∂ ∂ ∂ ∂ − liên kết với điều kiện biên hỗn hợp (0.2) ()() ,1x0,0x,xu ≤≤=ϕ (0.3) () , yx,,y)(x,H y u ,y,xM x u ,y,xM 12211 Γ∈=ν         ∂ ∂ +ν       ∂ ∂ với () () { } ,xy0,1x0IRy,x 2 ϕ<<<<∈=Ω () () { } ,xy,1x0,IRy,x 2 0 ϕ=≤≤∈=Γ Γ 1 = Ω \ Γ 0 , ϕ ∈ C[0,1] . trong đó ν = ( ν 1 , ν 2 ) là pháp vectơ đơn vò trên Γ 1 hướng ra ngoài đối với miền Ω . M 1 , M 2 , g, G, H là các hàm số cho trước thỏa mãn một số điều kiện sẽ chỉ ra sau. Hàm ϕ xác đònh trên Ω thỏa điều kiện : (0.4) ϕ liên tục trên [ 0 , 1 ] và C 1 -từng khúc trên (0 , 1) , ϕ (x) > 0 ∀ x ∈ (0 , 1) . Trường hợp một chiều với Ω = (0 , 1), bài toán tương tự(0.1) – (0.3) đã được khảo sát bởi Tucsnak [6], và N.T. Long, T.V. Lăng [5]. Trong [6], Tucsnak đã xét bài toán: (0.5) ()() ( )()()()() () () () () () .01usin1G1'uM ,00u ,1x0,0xusin1'GxFx'uM dx d 1 10 =γ+ = <<=−γ−γ+λ−+− Bài toán (0.5) mô tả sự uốn của một thanh đàn hồi phi tuyến có khối lượng riêng γ 0 được nhúng trong một chất lỏng có khối lượng riêng γ 1 , trong đó λ > 0 là hằng số, F(x) và G(x) là các hàm số cho trước có một ý nghóa cơ học nào đó, u là góc giữa tiếp tuyến của thanh ở trạng thái bò uốn tại điểm có hoành độ cong x và trục thẳng đứng. Trong [5], các tác giả đã xét bài toán: Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 2 (0.6) ()() ()()() () ()() () .01usinb1'u,1M ,00u ,1x0,0xusinxu,xgx'u,xM dx d =+ = <<=+− Để giải bài toán (0.6), các tác giả trong [5] sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn cấp 1, một chiều. Bài toán (0.1)-(0.3) mà chúng tôi khảo sát ở đây là trường hợp hai chiều với miền Ω có biên ∂Ω gồm ba cạnh thẳng OA, AB, OC và một phần biên cong Γ 0 = BC , trong đó O (0,0), A(1,0), B(1, ϕ (1)), C(0, ϕ (0)) (xem hình vẽ). O Ω C B Vì vậy để sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn với các đa thức xấp xỉ cấp 1 cần xấp xỉ biên cong Γ 0 thành biên có “hình răng cưa” (đường gấp khúc). A Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành 5 chương. Chương 1 giới thiệu một số ký hiệu và các kết quả chung chuẩn bò để khảo sát trong các chương sau. Trong chương 2 chúng tôi chứng minh sự tồn tại duy nhất lời giải của bài toán (0.1)-(0.3). Kết quả thu được ở chương này đã tổng quát hóa tương đối các kết quả trong [5],[6]. Trong chương 3 chúng tôi sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn tam giác để xấp xỉ lời giải chính xác bài toán (0.1)-(0.3) trong trường hợp Ω xác đònh bởi hàm ϕ liên tục và bậc nhất từng khúc trên [0 , 1], tức là biên ∂Ω là đa giác. Kết quả thu được trong phần này là đánh giá sai số giữa lời giải xấp xỉ và lời giải chính xác theo một cấp độ phụ thuộc vào tính “trơn” của lời giải chính xác. Cũng trong phần này chúng tôi cho kết quả cụ thể ứng với trường hợp riêng M 1 (x,y,z) = M 2 (x,y,z) = z. Kết quả trong phần này tổng quát hóa các kết quả trong [5]. Chương 4 áp dụng kết quả của chương 3 cho miền Ω n , trong đó Ω n ⊂ Ω và biên ∂Ω n đònh bởi ba cạnh thẳng OA, AB, OC và đường gấp khúc xác đònh bởi hàm ϕ n liên tục và bậc nhất từng khúc trên [0 , 1], ϕ n “xấp xỉ” ϕ trên [0 , 1]. Kết quả của chương này là các đánh giá sai số giữa lời giải phần tử hữu hạn và lời giải chính xác trong trường hợp Ω n . Ngoài ra chúng tôi cũng đánh giá được sai số giữa lời giải xấp xỉ bằng phần tử hữu hạn trên Ω n và lời giải chính xác trên Ω . Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 3 Chương 5 cho một ví dụ với M 1 , M 2 , G, H, g, ϕ cụ thể. Trong chương này chúng tôi đã tính toán cụ thể cho ra các kết quả số. Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 4 C HƯ ƠNG 1 : KÝ HIỆU VÀ ĐỊNH NGHĨA 1. CÁC KÝ HIỆU VÀ ĐỊNH NGHĨA Cho + →ϕ IR]1,0[: () () { } 1x0,xy0:IRy,x 2 <<ϕ<<∈=Ω ∂Ω : biên Ω () () { } 1x 0 , xy : IRy,x 2 0 ≤≤ϕ=∈=Γ 01 \ ΓΩ∂=Γ Chúng ta bỏ qua các đònh nghóa của các không gian hàm thông dụng C m ( Ω ), L p ( Ω ), H m ( Ω ), W 1,p ( Ω ). Cần thiết ta có thể tham khảo trong [1], [2], [4]… Ta ký hiệu p : số thực , p > 1 p’ : liên hợp của p, nghóa là 1 'p 1 p 1 =+ X . : chuẩn trên không gian đònh chuẩn X . : chuẩn trên L 2 ( Ω ) Ω,q,m . : nửa chuẩn trên W m,p ( Ω ) X .,. : tích vô hướng trên không gian Hilbert X .,. : tích vô hướng trên L 2 ( Ω ) hoặc cặp tích đối ngẫu của một phiếm hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của một không gian hàm V ⊂ L 2 ( Ω ) mes( Ω ) : độ đo Lebesgues của tập Ω mes( Γ ) : độ đo Lebesgues của tập Γ () { } 0v : W vV 0 p1, =Ω∈= Γ 2. MỘT SỐ CÁC BỔ ĐỀ QUAN TRỌNG Trên V ta đònh nghóa nửa chuẩn Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 5 () () p 1 p L p L V p p y u x u u         ∂ ∂ + ∂ ∂ = Ω Ω . Bổ đề 1.1: (Xem [1], [3], [4] ) (i) V là không gian Banach phản xạ, khả ly (với chuẩn () Ω p,1 W . ). (ii) Nửa chuẩn trên V (như đònh nghóa trong (1.3)) là một chuẩn trên V và tươ ng đương với chuẩn () Ω p,1 W . . Bổ đề 1.2: (Đònh lý vết) (Xem [1], [4]) Cho Ω là tập mở bò chặn trong IR N , có biên Γ = ∂Ω “đủ trơn”. Khi đó tồn tại : , () ( Γ→Ωγ pp,1 0 LW: ) γ 0 tuyến tính liên tục sao cho ( ) Ω∈∀=γ Γ 1 0 Cvvv . γ 0 được gọi là ánh xạ vết. (Đôi khi người ta vẫn viết v  Γ thay cho γ 0 v mặc dù v ∈ W 1,p ( Ω )). Bổ đề 1.3: (Bổ đề Brouwer) (Xem [4] ) Cho V m là không gian hữu hạn chiều với chuẩn m V . tương ứng với tích vô hướng m V .,. và cho P m : V m → V m liên tục , thỏa : Tồn tại sao cho 0 ~ >ρ () 0u , uP ~ u , Vu mm V m V m ≥⇒ρ=∈∀ . Khi đó có u 0 ∈ V m , ρ≤ ~ u m V 0 thỏa phương trình P m (u 0 ) = 0 . Bổ đề 1.4: (Xem [4]) Cho Q là tập mở bò chặn trong IR N và G m , G ∈ L q (Q), 1 < q < ∞ sao cho () CG q L m ≤ Ω , C là hằng số không phụ thuộc m và G m → G hầu hết x ∈ Q. Khi đó G m → G yếu trong L q (Q). Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 6 C HƯ Ơ NG 2 : SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI 1. CÁC GIẢ THIẾT Với p > 1 đặt 1p p 'p − = (H1) ϕ [] ()() [] ,1,0x,0x , 0,1C ∈∀>ϕ∈ ϕ là C 1 từng khúc trên [0,1]. (H2) G ∈ V’. (H3) H ∈ L p’ ( Γ 1 ). (H4) IRIR:M, 21 →×Ω M , IRIR : g →×Ω là các hàm thỏa điều kiện Caratheodory, nghóa là: ∀ z ∈ IR, các hàm M i (. , . , z), g (. , . , z) đo được trên Ω , và với hầu hết (x, y) ∈ Ω các hàm M i (x, y, .) và g (x, y, .) liên tục theo z, i=1,2. (H5) M 1 , M 2 đơn điệu tăng theo biến thứ 3, tức là: ()()()() 2 ,1i y,xe.a,z ~ z,IRz ~ ,z,0z ~ zz ~ ,y,xMz,y,xM ii = Ω∈≠∈∀>−− () ) (H6) Tồn tại ba hằng số dương và hàm sao cho 2 ' 11 C,C,C ( Ω∈ 'Lh p (i) () IR,z , C- zCz,y,xzM ' 1 p 1i ∈∀≥ () ; 1,2i , yx, a.e =Ω∈ (ii) () () ( ) IR,z,zy,xhCz,y,xM 1p 2i ∈∀+≤ − () .1,2i , yx, a.e =Ω∈ (H7) Tồn tại hằng số dương p 0 1 3 C C C < thỏa: () ( ) () , yx, a.e , IRz,z1Cz,y,xg 1p 3 Ω∈∈∀+≤ − trong đó           ≠∈= 0v,Vv, v v supC V W 0 p,1 . (H8) p > 2 thỏa: Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 7 () () p 0 p 031 ' 1 'p p o31 L 0 'V 'p 1 03 'p CC3 CCC C4 CCC HC ~ CGCC p 2 1p 1 'p       π < − Ω +           − ++Ω         − Γ trong đó () ,dxxmes 1 0 ∫ ϕ=Ω=Ω () () { } ,1v,Wv:vsupC p,1 W p,1 C =Ω∈= Ω ( C tồn tại do phép nhúng ⊂ () Ω p,1 W → ( ) ΩC là compact) CÕ là hằng số trong đònh lý vết chương I, () () .1v,Cv:vsupC ~ p,1 W 1       =Ω∈= Ω Γ (H9) Với mỗi α ∈ (0, π /3) có hai hằng số dương g α và k α sao cho: (i) k α ≤ g α cotg α ; (ii) g(x,y,z) ≥ g α , ∀ z ∈ [- α , α ], a.e. (x,y) ∈ Ω ; (iii) g(x,y,z 1 ) –g(x,y,z 2 ) ≤ k α z 1 – z 2  , ∀ z 1 , z 2 ∈ [- α , α ], a.e. (x,y) ∈ Ω . Bài toán (0.1)-(0.3) được đưa về bài toán biến phân như sau: Bài toán (P): Tìm u ∈ V sao cho (2.1) () V.w , Hwdsw,G w,usinu,y,xg y w , y u ,y,xM x w , x u ,y,xM 1 21 ∈∀+= ++ ∂ ∂         ∂ ∂ + ∂ ∂       ∂ ∂ ∫ Γ 2. ĐỊNH LÝ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT LỜI GIẢI Đònh lý 2.1: Giả sử M 1 , M 2 , g, G, H thỏa (H1)-(H7). Khi đó bài toán (P) có lời giải . Hơn nữa, nếu thêm vào các giả thiết (H8) và (H9) thì lời giải của (P) là duy nhất . Chứng minh: Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 8 Đònh lý được chứng minh qua nhiều bước: Bước 1: Xấp xỉ Galerkin Vì V tách được nên tồn tại một “cơ sở” đếm được { } , 2,1j j w = theo nghóa: • w j ∈ V, • ∀ m, { } m,1 w ,w độc lập tuyến tính, • Tập các tổ hợp tuyến tính hữu hạn các w j trù mật trong V . Ta tìm lời giải xấp xỉ dưới dạng: (2.2) , () () ∑ = = m 1j jmm y,xwcy,xu j trong đó các thỏa hệ phương trình phi tuyến sau j m c (2.3) () .m1, ,j dsHww,G w,usinu,y,xg y w , y u ,y,xM x w , x u ,y,xM 1 jjjmm j m 2 j m 1 =+=+ ∂ ∂         ∂ ∂ + ∂ ∂       ∂ ∂ ∫ Γ Trước hết ta chứng minh hệ (2.3) có lời giải. Đặt V m là không gian hữu hạn chiều sinh bởi w j , j = 1 m. Coi P m : V m → V m xác đònh bởi (2.4) , () () ∑ = = m 1j jmmmm wuPuP j (2.5) () () ,m1, ,j , dsHww,Gw,usinu,y,xg y w , y u ,y,xM x w , x u ,y,xMuP 1 j jjjmm j m 2 j m 1mm =−−+ ∂ ∂         ∂ ∂ + ∂ ∂       ∂ ∂ = ∫ Γ ∑ = = m 1j jmm wcu j . Khi đó (2.3) tương đương với: (2.6) . () 0uP mm = Ta có thể nghiệm lại không khó khăn rằng: (2.7) P m : V m → V m liên tục. Để áp dụng bổ đề Brouwer (bổ đề 1.3, chương 1) ta chỉ cần chứng minh tồn tại ~ ρ sao cho 0 m > Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 9 (2.8) () 0u,uP ~ u mm V mmmm V m ≥⇒ρ= . Chú ý rằng trên V m ta lấy tích vô hướng sau (2.9) ∑ = = m 1j mm V mm jj m dcv,u với , . ∑ = = m 1j jmm wcu j ∑ = = m 1j jmm wdv j Chuẩn trên V m sinh bởi tích vô hướng < . , . > Vm được ký hiệu m V . . Ta có (2.10) () () () dsHuu,Gu,usinu,y,xg y u , y u ,y,xM x u , x u ,y,xM cuPu,uP 1 jj m mmmmm mm 2 mm 1 m 1j mmm V mmm ∫ ∑ Γ = −−+ ∂ ∂         ∂ ∂ + ∂ ∂       ∂ ∂ = = Từ giả thiết (H6)(i), ta được: (2.11) C2uC y u , y u ,y,xM x u , x u ,y,xM ' 1 p V m1 mm 2 mm 1 Ω−≥ ∂ ∂         ∂ ∂ + ∂ ∂       ∂ ∂ . Từ giả thiết (H7) suy ra: (2.12) () p V m p 03 V m 'p 1 03mmm uCCuCCu,usinu,y,xg +Ω≤ . Sử dụng đònh lý vết (bổ đề 1.2 , chương 1) ta thu được: (2.13) ∫ Γ 1 dsHu m () () 1 p 1 'p L m0 L uH ΓΓ γ≤ () V m L 0 uHCC ~ 1 'p Γ ≤ . Từ (2.10)-(2.13) và do G ∈ V’ suy ra: (2.14) () () () ( ) V m L 0 'V 'p 1 03 ' 1 p V m p 031 V mmm uHCC ~ GCC C2uCCCu,uP 1 'p m Γ ++Ω− Ω−−≥ [...]... giá hai số hạng thứ hai và thứ ba của vế trái (2.93) như sau: (2.94) (g(x, y, u ) − g(x, y, v ))sin u, u − v + g(x , y, v )(sin u − sin v ), u − v ≥ (g α cos α − k α sin α ) u − v ≥ 0 2 Tổ hợp (2.93) và (2.94) ta thu được u − v Đònh lý được chứng minh g 2 1 ≤ 0 hay u = v Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 22 CHƯ Ơ NG 3 : XẤP XỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHẦN TỬ HỮU HẠN VỚI Ω... Γ0), (K, IPk, ∑K) là phần tử   K∈τ  h  hữu hạn tam giác loại k ứng với K ∈ τh ( xem [2 ] P.G.Ciarlet) Ta xác đònh toán tử tuyến tính rh : Vh → Vh ( phép chiếu trên Vh) bởi hạn chế của nó ( ) trên tập trù mật V I D Ω (3.5) của V như sau (rh u )(x, y ) = ∑ u (x j , y j )w j (x, y ) mh j=1 ( ) u ∈ VI D Ω , (x , y ) ∈ Ω , Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 23 (xem... dụng bất đẳng thức Cauchy cho số hạng đầu của vế phải (3.61) suy ra (3.63) eh 1 2 ≤ C9 + 8 E h p dụng bổ đề 3.1 ta có (3.53) Đònh lý được chứng minh g 1 32 Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 33 CHƯ Ơ NG 4 : XẤP XỈ BÀI TOÁN BIÊN CONG BỞI BÀI TOÁN BIÊN ĐA GIÁC I SỰ HỘI TỤ CỦA LỜI GIẢI BÀI TOÁN BIÊN ĐA GIÁC VỀ LỜI GIẢI BÀI TOÁN BIÊN CONG: Cho { ϕn } là dãy các hàm liên... m (x , y ) = ∑ c m j w j (x , y ) , j=1 trong đó các c m j thỏa hệ phương trình phi tuyến sau Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 17 a (u m , w j ) + g(x, y, u m ) sin u m , w j = G, w j + ∫ Hw j ds (2.58) Γ1 j = 1, , m Trước hết ta chứng minh hệ (2.58) có lời giải bò chặn Đặt V m là không gian hữu hạn chiều sinh bởi wj , j = 1 m Coi Pm : V m → V m m Pm (u m ) = ∑... Đònh lý được chứng minh g Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 15 3 TRƯỜNG HP RIÊNG Trong trường hợp riêng với (2.50) M1 (x,y,z) = M2 (x,y,z) = z , bài toán (0.1)-(0.3) trở thành (2.51) − ∆u + g(x, y, u ) sin u = G , (2.52) u Γ = 0, 0 ∂u ∂ν (x , y ) ∈ Ω , =H Γ1 Bài toán biến phân tương ứng với (2.50)-(2.51) là: Bài toán (P’):   v Γ = 0 sao cho 0  Tìm u ∈ V =  v ∈... qua giới hạn Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 19 Từ (2.61) và (2.68) ta suy ra: (2.72) um 1 ≤ρ , với ρ > 0 cho bởi (2.70) Từ (2.72) và giả thiết (H5’) ta suy ra g(x , y, u m ) sin u m (2.73) ≤C , C là hằng số độc lập với m Chú ý rằng phép nhúng V ⊂→ L2 (Ω) là compact, khi đó từ (2.72) và (2.73) suy ra tồn tại một dãy con của {um } vẫn ký hiệu là {um } sao cho: (2.74)... Γ0 n = (x , ϕ n (x )) : ~ = v n vn  0 Khi đó võn ∈ VÕn Xét hai bài toán sau } =0 , p > 2, 0 ≤ x ≤ 1} ~ Vậy với mỗi v n ∈ Vn ta có v n Γ0 n Ωn ∈ Vn và ngược lại, với vn ∈ Vn ta xét mở rộng (x , y ) ∈ Ω n , (x , y ) ∈ Ω \ Ω n Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong 34 Bài toán (PÕn): Tìm ũn ∈ VÕn sao cho ∂~ n  ∂w n ∂~  ∂w n u u    x , y, n  , + M2 M 1  x , y,... Γ1 ) Ta sẽ chứng minh rằng bài toán (P’) có lời giải duy nhất trong H2(Ω)∩V (2.91) u v C ≤α≤ (Ω ) π 3 C ≤α≤ (Ω ) π 3 , Khi đó u – v thỏa (2.92) a (u − v, u − v ) + g (x , y, u ) sin u − g(x , y, v ) sin v , u − v = 0 hay ) đủ nhỏ sao cho α ≤ π/3 Thật vậy, giả sử u, v ∈ H2(Ω)∩V là hai lời giải của (P’) thỏa L2 ( Γ1 ) Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong (2.93) u−v... dụng bất đẳng thức Cauchy cho số hạng cuối của vế phải (3.58) ta được (3.59) dh 2 1 2 ≤ 2C 0 (k α sin α + g max ) e h 1 Mặt khác ta còn có (3.60) eh 2 1 ≤ 2 Eh 2 1 + 2 dh 2 1 Do đó từ (3.59) và (3.60) ta được: (3.61) eh 2 1 ≤ C9 e h 1 Eh 1 + 4 Eh Trong đó (3.62) 2 C 9 = 4C 0 (k α sin α + g max ) 2 1 Eh 1 + Eh 2 1 31 Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong Tiếp tục áp... compact, khi đó từ (2.23), (2.25), (2.26) suy ra tồn tại một dãy con của {um } vẫn ký hiệu là {um } sao cho (2.28) um → u trong W1,p (Ω) yếu, (2.29) um → u trong Lp (Ω) mạnh, (2.30) um → u a.e (x,y) ∈ Ω, (2.31) M1(x,y,∂um/ ∂x) → χ1 trong Lp’ (Ω) yếu, Phương pháp phần tử hữu hạn cho bài toán elliptic phi tuyến biên cong (2.32) M2(x,y,∂um/ ∂y) → χ2 12 trong L p’ (Ω) yếu Mặt khác từ giả thiết (H4) suy . ∈ Ω . Đònh lý 2.2: Giả sử các giả thi t (H1’)-(H5’) là đúng. Khi đó bài toán (P’) có lời giải . Hơn nữa, nếu thay thế giả thi t (H2’) bởi giả thi t (H2’’) G ∈ L 2 ( Ω ) thì bài toán. toán (P’) có lời giải u ∈ H 2 ( Ω ) ∩ V . Hơn nữa, nếu bổ sung thêm giả thi t (H6’) và thay giả thi t (H2’) bởi giả thi t (H2’’) sao cho (H7’) () () 1 2 L 2 1 1 0 HGdxx Γ ++      ϕ ∫  . giờ ta thay giả thi t (H2’) bởi giả thi t (H2’’). Chú ý rằng lời giải u ∈ V của (P’) thỏa mãn phương trình sau đây: (2.79) . () ( Ω−=∆ 'DtrongGusinu,y,xgu ) Từ các giả thi t (H2’’) ,(H5’)