Đang tải... (xem toàn văn)
Phương trình nước va trong ống có áp khi có thao tác đóng mở nhanh các cửa van đã được biết đến từ đầu thế kỷ XX nhưng trong các sách thủy lực chỉ cho các công thức đã được thiết lập và ít được diễn giải. Để làm rõ việc này chúng tôi trình bày cách lập các phương trình này trên cơ sở lý thuyết về dạng bất biến thứ ba của hệ phương trình thủy động lực. Không chỉ lập ra các phương trình đã biết mà trong cách làm mới còn đưa vào một số điều chỉnh trong các phương trình này, có hướng để phát triển các phương pháp số.
LẬP PHƯƠNG TRÌNH NƯỚC VA TRÊN CƠ SỞ LÝ THUYẾT DẠNG BẤT BIẾN THỨ BA CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH THỦY ĐỘNG LỰC. FORMULATION OF EQUATIONS FOR WATER HAMMER BASED ON THE THEORY OF THE INVARIANT FORM OF HYDRODYNAMIC EQUATIONS GS.TSKH Nguyễn Ân Niên ThS. Nguyễn Bình Dương Viện Khoa học Thủy lợi miền Nam Tóm tắt: Phương trình nước va trong ống có áp khi có thao tác đóng mở nhanh các cửa van đã được biết đến từ đầu thế kỷ XX nhưng trong các sách thủy lực chỉ cho các công thức đã được thiết lập và ít được diễn giải. Để làm rõ việc này chúng tôi trình bày cách lập các phương trình này trên cơ sở lý thuyết về dạng bất biến thứ ba của hệ phương trình thủy động lực. Không chỉ lập ra các phương trình đã biết mà trong cách làm mới còn đưa vào một số điều chỉnh trong các phương trình này, có hướng để phát triển các phương pháp số. Abstract The equations for water hammer in pipes when valves are rapidly shut down or turn on were formulated in the beginning of the XX century. Whenever they are given in hydraulic books usualy without detail explaination. In this paper, based on so-called the theory of the third invariant form of hydrodynamic equations, we will formulate the problem not only by formulation of the well-known equations, but some corrections are involved, more over the direction for deeply research is noticed in aspect of nummerical solution for the problem. I.MỞ ĐẦU. Hệ phương trình thủy động lực học (Navier-Stokes) có thể được viết dưới vài dạng bất biến. - Dạng bất biến thứ nhất: Không phụ thuộc vào hệ tọa độ quy chiếu với việc đưa vào các toán tử Hamilton ( ∇ , div, rot…). - Dạng bất biến thứ hai: không phụ thuộc vào đơn vị đo lường các đại lượng từ đó có hệ phương trình không thứ nguyên với các số đặc trưng như Reynolds (Re), Strouhal (Sh), Froude (Fr), Peclet (Pe),… - Dạng bất biến thứ ba: là dạng không phụ thuộc vào số chiều không gian n (n=0,1,2,3) từ đó suy ra hệ phương trình cho bài toán 1D,2D,3D và cho thể tích chứa (0D). Dạng bất biến thứ ba được tác giả Nguyễn Ân Niên lập ra và manh nha từ 1978, phát triển 1982, hoàn thiện 1998 [3] – nguyên lý của lý thuyết này là với n bất kỳ đối chiếu với không gian thông thường thì vật thể có thứ nguyên cao nhất (n) được gọi là siêu thể tích, với thứ nguyên n-1 là siêu mặt; n-2 là siêu đường,v.v…Từ đó mà lập ra các đại lượng tương ứng của không gian này lồng ghép (nhúng vào) không gian thông thường. Ví dụ cho bài toán thủy lực một chiều (1D) thì - Siêu thể tích là diện tích mặt cắt A. - Siêu đường – điểm trong không gian thông thường,tọa độ của mặt cắt. Từ đây các siêu đại lượng (được viết với dấu sao) sẽ là - Mật độ ρ*=ρA; - Vận tốc v*- lưu tốc điểm trong 1D tức lưu tốc v trung bình mặt cắt. - Áp suất ApPp c ==* – với c p là áp suất ở tâm mặt cắt A. 1 - Hệ số khuếch tán D*=DA (với D-hệ số khuếch tán trung bình mặt cắt) - e- đơn vị thể tích của không gian 1D (e=A). Hệ phương trình thủy lực tổng quát viết dưới dạng bất biến thứ ba là - Phương trình liên tục ( ) 0*** * * 1 =− ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑ = ερρ ρ ε v xt n i i (1) Với ε* - cường độ nguồn (thể tích) * ε ρ - mật độ của nguồn. - Phương trình chuyển động 0 * )/*( ** ** * 1 * 1 ** =− ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ∑∑ == i e j n j j i j n j ij j F x p x eu D x uu xt u ρ ρ ρ (2) trong đó * i e F -vector ngoại lực tác động lên dòng chảy (tính cho một đơn vị siêu thể tích). - Tốc độ riêng truyền ảnh hưởng (tốc độ âm) * * * ρ ∂ ∂ = p C (3) Từ các phương trình trên ta triển khai áp dụng cho nước va trong ống có áp và hạn chế cho trường hợp ống trụ tròn đường kính D với chiều dày ống e. II- THIẾT LẬP CHẾ ĐỘ TRUYỀN SÓNG NƯỚC VA (SÓNG ÂM) Từ phương trình (3) ở trên tốc độ truyền sóng nước va được tính thông qua dp*=d(pA) p là áp suất tại tâm mặt cắt. dρ*=d(ρA) Ta có dρ*=Adρ+ρdA (4) Tính đến tính nén được (tuy rất khó đối với nước)với môđun nén K ta có K dp d ρρ = (5) Việc biến đổi diện tích mặt cắt A phụ thuộc vào việc biến đổi áp suất p (ở đây là áp suất dư vì phía ngoài thành ống là áp suất khí quyển). Với biến đổi áp suất dρ thành ống bị ứng suất kéo dτ được xác định như trong hình vẽ 1. Ddpd 2 1 = τ 2 Và thành ống bị kéo dẫn theo chu vi với lượng dχ. Ddp Ee D d 2 2 π χ = trong đó E-môđun (Hook) đàn hồi của vật liệu ống với chiều dày e. Như vậy đường kính ống bị dãn ra một lượng. dp Ee D dp Ee Dd dD 2 1 2 22 =×== π π π χ tất nhiên dD/D <<1 Sự biến đổi của diện tích mặt cắt dA là [ ] dp Ee AD Ee dpD DdDDdDDdA ==≅−+= 42 1 )( 4 1 2 22 π πππ (6) Trong công thức trên ta bỏ qua số hạng bậc hai của dD do dD/D<<1. Từ đó (4) có thể viết thành (kết nối (5) và (6)) Adp Ee D K dp Ee AD dp K A d ρρρρ +=+= 1 * (7) Tiếp theo từ pAPp == * nên AdppdAdp += * với dA từ (6) ta được Adp Ee Dp Adpdp Ee ADp dp +=+= 1* (8) Bây giờ tốc độ truyền sóng nước va MC CC = * trong công thức (3) được viết thành ( ) EeKD EeDKpK EeDK EeDp d dp C /1 // //1 /1 * * + + = + + == ρρ ρρ (9) Công thức (9) khác với các công thức trong các tài liệu về nước và đã có là ở tử số trong căn có thêm thành phần EeDKp ρ / mà thường được bỏ qua so với ρ /K . Thực vậy, tử số trong căn (9) có thể viết thành ( ) EeDpK + 1 ρ thông thường bậc của các thành phần là 1)( = Do 4 10)()( == atmoo ρ 8 10)( = Eo - vật liệu thép. 2 10)( − = eo Bấy giờ 2 10)( − = EeDpo và có thể có thể bỏ qua so với (1) và bấy giờ công thức gần đúng (9) là [1] EeKD C EeKD K C /1 /1 / 0 + = + = ρ (10) Trong đó ρ / 0 KC = - tốc độ âm trong chất lỏng. 3 III-PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC VÀ CÔNG THỨC TÍNH ÁP SUẤT NƯỚC VA. Một điều có vẻ nghịch lý là từ phương trình liên tục lại có thể tìm đặc trưng động lực (biến đổi áp suất). Thực ra từ công thức biến đổi tổng khối lượng nước chứa trên mặt cắt A ρρ = * khi khai triển ta được biểu thức liên quan đến biến đổi áp suất dp như trong công thức (7). Trước hết cần phải nói là hiện tượng nước va là hiện tượng tăng giảm các đặc trưng động lực học ( ) vp, một cách đột ngột và điều này thể hiện biến đổi lớn của các đặc trưng này qua mặt cắt sóng va. Bởi vậy đạo hàm riêng của đại lượng ϕ nào đó tại mặt cắt sóng va ∂ ∂ ∂ ∂ xt ϕϕ , có giá trị nhiều bậc cao hơn đạo hàm toàn phần của ϕ đi theo sóng va Dt D ϕ và có thể bỏ qua so với trị số của các đạo hàm riêng. ∂ ∂ ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = xtx c tDt D ϕϕ ε ϕϕϕ , ≈ 0 với 1<<< ε - như vậy gần đúng có thể xem tại mặt cắt sóng va x c t ∂ ∂ −= ∂ ∂ ϕϕ (11) nếu xem các bước nhảy qua mặt cắt sóng va là )()(' tdtt ϕϕϕ −+=∆ )()( xdxx ϕϕϕ −+=∆ thì (11) có thể viết thành ϕϕ ∆−=∆ c' (12) Phương trình liên tục (1) cho bài toán 1D được viết thành (xem lượng bổ sung ngang * ε ở đây là q bằng 0) 0= ∂ ∂ + ∂ ∂ x Q t A ρρ qua mặt sóng với các bước nhảy ∆ ta có ( ) ( ) 0=∆+∆− vAAc ρρ (13) Từ (7) ta có thể viết (dạng bước nhảy thay cho vi phân) ( ) pA Ee D K A ∆ +=∆ ρρ 1 (14) với A, ρ là các đại lượng trước khi xảy ra nước va (trước khi sóng nước va đi qua mặt cẳt đang xét). Tiếp theo ( ) ( ) vAAvvA ∆+∆=∆ ρρρ do đó (13) được viết lại là ( ) ( ) 0=∆+∆− vAAcv ρρ chuyển vế và sử dụng (14) ta có ( ) +− ∆ =∆ Ee D K vc v p 1 vì v<<c nên v 2 <<<c 2 nên nếu ta nhân tử và mẫu số với (c+v) và bỏ qua v 2 so với c 2 ta có ( ) + ∆+ =∆ Ee D K c vvc p 1 2 Trở lại công thức tính c nguyên thủy (9), tức chưa biến đổi ta đã lập được 4 + + = Ee D K EeDp c 1 1 2 ρ Từ đó ta được ( ) EeDp vvc p + ∆+ =∆ 1 ρ (15) Phần trên ta đã phân tích và đánh giá 1<<EeDp nên gần đúng có thể viết ( ) vvcp ∆+=∆ ρ (16) và nếu bỏ qua cả v so với c thì ta được công thức quen thuộc [1,2] vcp ∆=∆ ρ (17) Trong phần phát triển tiếp theo chúng tôi sẽ sử dụng phương trình chuyển động (2) để một lần nữa tìm lại công thức biến đổi p∆ trong nước va, và lần này là có tính đến ngoại lực F e (tác động tại các khúc gãy của ống dẫn hoặc các lưỡi chắn ngang…) cũng như sự có mặt của các tháp điều áp, van thoát áp v.v…[3] IV. THẢO LUẬN Lý thuyết về dạng bất biến thứ ba của hệ phương trình thủy động lực lại được củng cố thêm khi áp dụng cho nước va trong ống có áp khi có việc đóng cửa van nhanh (tức thời hoặc kéo dài trong một khoảng thời gian đủ ngắn). - Ở đây chúng tôi không những lập được tốc độ truyền sóng nước va mà cả trị số biến đổi áp suất trong nước va đồng thời có thể chỉ ra những phần điều chỉnh nhỏ mà trong các công thức cuối cùng đã bỏ qua đó là trị số phụ thuộc vào áp suất ban đầu p và lưu tốc ban đầu v. - Việc lập các công thức các đặc trưng nước va được giới hạn cho ống trụ tròn song phương pháp nghiên cứu mới về nước va có thể ứng dụng cho ống dẫn có các dạng khác như hình ellipse, chữ nhật, hoặc một hình chỉnh thể nào đó. - Còn một hướng áp dụng tính toán qua phương trình chuyển động dưới dạng bất biến thứ ba để đánh giá tác động của các ngoại lực tập trung và các biến đổi của ống dẫn. V.KẾT LUẬN. Dạng bất biến thứ ba của hệ phương trình thủy động lực có thể áp dụng cho trường hợp nước va, không những tìm ra các đặc trưng nước va như tốc độ truyền sóng, biến đổi áp suất và trị số biến đổi áp suất nước va. Chúng ta cũng thấy có khả năng mở rộng nghiên cứu theo hướng này. 10/2009 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1-Nguyễn Cảnh Cầm, Vũ Văn Tảo và nnk – Giáo trình thủy lực NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp-Tập 1. Tái bản 1978. 2-Nguyễn Thống. Tính toán nước va trong đường ống chảy có áp. Báo cáo sinh hoạt học thuật lần II/2009. Khoa Kỹ thuật Xây dựng ĐHBK Tp.HCM. 3-Nguyễn Ân Niên. The third invariant form of fluid dynamic equations and its application for solving hydraulic and mass transfer problem in the Mekong Delta JSAEM-Applied Electromagnetism and Mechanics-Tokyo 1998. 4-Handbook of applied hydraulics (1952)- McGrawhill Book Company, Inc- NY 5 . Reynolds (Re ), Strouhal (Sh ), Froude (Fr ), Peclet (Pe ), - Dạng bất biến thứ ba: là dạng không phụ thuộc vào số chiều không gian n (n= 0,1 , 2,3 ) từ đó suy ra hệ phương trình cho bài toán 1D,2D,3D và. this paper, based on so-called the theory of the third invariant form of hydrodynamic equations, we will formulate the problem not only by formulation of the well-known equations, but some. thì - Siêu thể tích là diện tích mặt cắt A. - Siêu đường – điểm trong không gian thông thường,tọa độ của mặt cắt. Từ đây các siêu đại lượng (được viết với dấu sao) sẽ là - Mật độ ρ*=ρA; - Vận