www.VNMATH.com www.vnmath.com Giáo viên hướng dẫn: thầy ĐỖ KIM SƠN www.vnmath.com www.VNMATH.com www.vnmath.com Lời nói đầu Trang Phần 1: Các phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Phương pháp 1:Xét số dư vế Phương pháp 2: Đưa dạng tổng .5 Phương pháp 3: Dùng bất đẳng thức Phương pháp 4: Dùng tính chia hết, tính đồng dư .8 Phương pháp 5: Dùng tính chất số phương .11 Phương pháp 6: Lùi vô hạn, nguyên tắc cực hạn .14 Phương pháp 7: Xét chữ số tận 15 Phương pháp 8: Tìm nghiệm riêng 15 Phương pháp 9: Hạ bậc 16 Phần 2: Các dạng phương trình có nghiệm ngun .18 Dạng 1: Phương trình bậc hai ẩn .19 Dạng 2: Phương trình bậc hai có hai ẩn 19 Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn .21 Dạng 4: Phương trình đa thức có ba ẩn trở lên 23 Dạng 5: Phương trình dạng phân thức .24 Dạng 6: Phương trình dạng mũ 25 Dạng 7: Hệ phương trình vô tỉ 26 Dạng 8: Hệ phương trình với nghiệm nguyên 28 Dạng 9: Hệ phương trình Pytago .28 Dạng 10: Phương trình Pel .30 Dạng 11: Điều kiện để phương trình có nghiệm ngun 32 Phần 3: Bài tập áp dụng 33 Phụ lục .48 Lời cảm ơn 52 www.vnmath.com www.VNMATH.com www.vnmath.com Phương trình tốn với nghiệm ngun đề tài lý thú Số học Đại số, từ tốn tính loại trâu Trăm trâu trăm cỏ đến chuyên gia toán học lớn với toán định lý lớn Fecma Được nghiên cứu từ thời Điôphăng kỉ thứ III, phương trình nghiệm ngun cịn đối tượng nghiên cứu tốn học Phương trình nghiệm ngun vơ đa dạng, thường khơng có quy tắc giải tổng quát Mỗi toán, với số liệu riêng nó, địi hỏi cách giải riêng phù hợp Thời gian qua, nhờ hướng dẫn giáo viên môn, chúng em xin giới thiệu chuyên đề “Phương trình nghiệm nguyên” Chuyên đề tập hợp phương pháp dạng phương trình khác phương trình nghiệm nguyên, chúng em sưu tầm từ nguồn kiến thức khác Chúng em mong muốn chuyên đề giúp ích phần cho việc tìm hiểu bạn học sinh vấn đề nêu Quyển chuyên đề gồm có phần Đầu tiên chúng em xin giới thiệu phương pháp thường dùng để giải phương trình với nghiệm ngun, sau việc tìm hiểu cách giải dạng phương trình khác cuối phần tập Trong trình biên soạn, sưu tầm tập hợp phương pháp ví dụ, tập, chúng em cố gắng nhiều thiếu sót điều khó tránh khỏi Vì vậy, chúng em mong thầy bạn xem xong chuyên đề đóng góp ý kiến để giúp chuyên đề sau hoàn thành tốt Xin chân thành cảm ơn! Nhóm biên tập www.vnmath.com www.VNMATH.com www.vnmath.com www.vnmath.com www.VNMATH.com www.vnmath.com 1) PHƯƠNG PHÁP XÉT SỐ DƯ CỦA TỪNG VẾ Ví dụ 1: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm nguyên: a) x  y  1998 b) x  y  1999 Giải: a) Dễ chứng minh x , y chia cho có số dư nên x  y chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải 1998 chia cho dư Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun b) x , y chia cho có số dư 0, nên x  y chia cho có số dư 0, 1, Còn vế phải 1999 chia cho dư Vậy phương trình khơng có nghiệm ngun Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình 9x   y2  y Giải Biến đổi phương trình: x   y ( y  1) Ta thấy vế trái phương trình số chia hết cho dư nên y ( y  1) chia cho dư Chỉ có thể: y  3k  , y   3k  với k nguyên Khi đó: x   (3k  1)(3k  2)  x  9k ( k  1)  x  k ( k  1) Thử lại, x  k ( k  1) , y  3k  thỏa mãn phương trình cho  x  k (k  1) với k số nguyên tùy ý  y  3k  Đáp số  2) PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ DẠNG TỔNG Biến đổi phương trình dạng: vế trái tổng bình phương, vế phải tổng số phương Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2  y2  x  y  (1) Giải: (1)  x  y  x  y  32  (4 x  x  1)  (4 y  y  1)  34 | x  |2  | y  |2  32  52 Bằng phương pháp thử chọn ta thấy 34 chì có dạng phân tích thành tồng hai số phương 32 ,52 Do phương trình thỏa mãn hai khả năng: | x  | | x  |   | y  | | y  | www.vnmath.com www.VNMATH.com www.vnmath.com Giải hệ  phương trình (1) có bốn nghiệm nguyên là: (2 ; 3), (3 ; 2), (  ;  2), (  ;  1) 3) PHƯƠNG PHÁP DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC Trong giải phương trình nghiệm nguyên cần đánh giá miền giá trị biến, số giá trị mà biến số nhận khơng nhiều dùng phương pháp thử trực tiếp để kiểm tra Để đánh giá miền giá trị biến số cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, bất đẳng thức … a) Phương pháp thứ tự ẩn Ví dụ 4: Tìm ba số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng Giải: Cách 1: Gọi số ngun dương phải tìm x, y, z Ta có: x  y  z  x y z (1) Chú ý ẩn x, y, z có vai trị bình đẳng phương trình nên xếp thứ tự giá trị ẩn, chẳng hạn:  x  y  z Do đó: xyz  x  y  z  3z Chia hai vế bất đảng thức xyz  3z cho số dương z ta được: xy  Do xy  {1;2;3} Với xy = 1, ta có x = 1, y = Thay vào (1) + z = z (loại) Với xy = 2, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = Với xy = 3, ta có x = 1, y = Thay vào (1) z = loại y  z Vậy ba số phải tìm 1; 2; Cách 2: Chia hai vế (1) cho xyz  được: 1   1 yz xz xy Giả sử x  y  z  ta có 1 1 1 1    2 2  yz xz xy z z z z Suy  z  nên z = Thay z = vào (1): z x  y   xy  xy  x  y   x ( y  1)  ( y  1)   ( x  1)( y  1)  Ta có x   y   nên x–1 y–1 Suy x y Ba số phải tìm 1; 2; Ví dụ 5: Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau : 5(x + y + z + t) + 10 = 2xyzt www.vnmath.com www.VNMATH.com www.vnmath.com Giải Vì vai trị x, y, z, t nên giả thiết x ≥ y ≥ z ≥ t Khi : 2xyzt = 5(x + y + z + t) +10 ≤ 20x + 10  yzt  15  t  15  t  Với t = ta có : 2xyz = 5(x + y + z) +15 ≤ 15x + 15  yz  30  z  30  z  Nếu z = 2xy = 5(x + y) + 20 hay 4xy = 10(x + y) + 40 hay (2x – 5)(2y – 5) = 65 Dễ thấy phương trình có nghiệm (x = 35; y = 3) (x = 9; y = 5) Giải tương tự cho trường lại trường hợp t = Cuối ta tìm nghiệm nguyên dương phương trình cho (x; y; z; t) = (35; 3; 1; 1); (9; 5; 1; 1) hoán vị số b) Phương pháp xét khoảng giá trị ẩn Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1   x y Giải: Do vai trị bình đẳng x y, giả sử x  y Dùng bất đẳng thức để giới hạn khoảng giá trị số nhỏ (là y) 1 Hiển nhiên ta có  nên y  (1) y 1 Mặt khác x  y  nên  Do đó: x y 1 1      nên y  (2) x y y y y Ta xác định khoảng giá tri y  y  1 1 Với y = ta được:    nên x = 12 x 12 1 loại x khơng số ngun Với y = ta được:    x 15 1 1 Với y = ta được:    nên x = x 6 Các nghiệm phương trình là: (4 ; 12), (12 ; 4), (6 ; 6) c) Phương pháp nghiệm ngun Ví dụ 7: Tìm số tự nhiên x cho: x  3x  x Giải: Viết phương trình dạng: www.vnmath.com www.VNMATH.com www.vnmath.com x x    3 (1)     1  5  5 Với x = vế trái (1) 2, loại Với x = vế trái (1) 1, x x  3 2 Với x     ,    nên:  5 5 x x    3         loại 5  5 5 Nghiệm phương trình x = d) Sử dụng diều kiện  để phương trình bậc hai có nghiệm Ví dụ 8: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y  xy  x  y (1) Giải Viết (1) thành phương trình bậc hai x: x  ( y  1) x  ( y  y )  (2) Điều kiện cần để (2) có nghiệm   ( y  1)  4( y  y )  3 y  y    3y2  y    3( y  1)  Do  ( y  1)  suy ra: y–1 -1 y Với y = thay vào (2) x  x   x1  0; x2  Với y = thay vào (2) x  x   x3  0; x4  Với y = thay vào (2) x  3x    x5  1; x6  Thử lại, giá trị nghiệm với phương trình (1) Đáp số: (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1), (2 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 2) 4) PHƯƠNG PHÁP DÙNG TÍNH CHIA HẾT, TÍNH ĐỒNG DƯ Khi giải phương trình nghiệm nguyên cần vận dụng linh hoạt tính chất chia hết, đồng dư, tính chẵn lẻ,… để tìm điểm đặc biệt biến số biểu thức chứa phương trình, từ đưa phương trình dạng mà ta biết cách giải đưa phương trình đơn giản a) Phương pháp phát tính chia hết ẩn: Ví dụ 9: Giải phương trính với nghiệm nguyên: 3x + 17y = 159 Giải: Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn phương trình Ta thấy 159 2x chia hết 17y  y  ( 17 nguyên tố nhau) Đặt y = 3t ( t  ) Thay vào phương trình ta được: www.vnmath.com www.VNMATH.com www.vnmath.com 3x + 17.3t = 159  x + 17t = 53  x  53  17t ( t )  y  3t Do đó:  Đảo lại, thay biểu thức x y vào phương trình ta nghiệm Vậy phương trình (1) có vơ số nghiệm ngunđược xác định công thức:  x  53  17t (t số nguyên tùy ý)   y  3t Ví dụ 10: Chứng minh phương trình : x  y  27 (1) khơng có nghiệm số nguyên Giải Một số nguyên x biểu diễn dạng x = 5k x = 5k ± x = 5k ± k  Nếu x = 5k :  (1)  (5k )  y  27  5(5k  y )  27 Điều vơ lí, vế trái chia hết cho với k y số ngun, cịn vế phải khơng chia hết cho Nếu x = 5k ± :  (1)  (5k  1)  y  27  25k  10k   y  27  5(5k  4k  y )  23 Điều vô lí, vế trái chia hết cho với k y số ngun, cịn vế phải khơng chia hết cho Nếu x = 5k ± :  (1)  (5k  2)  y  27  25k  20k   y  27  5(5k  4k  y )  23 Lập luận tương tự trên, điều vơ lí Vậy phương trình cho khơng có nghiệm số ngun Ví dụ 11: Tìm nghiệm ngun dương phương trình sau : 19x2 + 28y2 = 729 Giải Cách Viết phương trình cho dạng (1) (18x2 + 27y2) + (x2 + y2) = 729 2 Từ (1) suy x + y chia hết 3, x y chia hết cho Đặt x = 3u, y = 3v (u, v  ) Thay vào phương trình cho ta : 19u2 + 28v2 = 81 (2) Từ (2) lập luận tương tự ta suy u = 3s, v = 3t ( s, t  ) (3) Thay vào (2) ta có 19s2 + 28t2 = Từ (3) suy s, t khơng đồng thời 0, www.vnmath.com www.VNMATH.com www.vnmath.com 19s2 + 28t2 ≥ 19 > Vậy (3) vơ nghiệm phương trình cho vô nghiệm Cách Giả sử phương trình có nghiệm Từ phương trình cho ta suy x2 ≡ -1 (mod 4), điều không xảy với số nguyên x Vậy phương trình cho vơ nghiệm b) Phương pháp đưa phương trình ước số Ví dụ 12: Tìm nghiệm ngun phương trình: xy – x – y = Giải: Biến đổi phương trình thành: x(y – 1) – y =  x(y – 1) – (y – 1) =  (y – 1)(x – 1) = Ta gọi phương trình phương trình ước số: vế trái tích thừa số nguyên, vế phái số Ta có x y số nguyên nên x – y – số nguyên ước 23 Do vai trị bình đẳng x y phương trình nên giả sử x  y, x – 1y – Ta có: x–1 -1 y–1 -3 Do đó: x y -2 Nghiệm nguyên phương trình: (4 ; 2), (2 ; 4), (0 ; -2), (-2 ; 0) Ví dụ 13: Tìm nghiệm ngun phương trình : x + xy + y = Giải Phương trình cho đưa dạng : (x + 1)(y + 1) = 10 (1) Từ (1) ta suy (x + 1) ước 10 hay ( x  1)  {1; 2; 5; 10} Từ ta tìm nghiệm phương trình : (1, 4), (4, 1), (-3, -6), (-6, -3), (0, 9), (9, 0), (-2, -11), (-11, -2) Ví dụ 14: Xác định tất cặp nguyên dương (x; n) thỏa mãn phương trình sau x  3367  2n Giải Để sử dụng đẳng thức a3 – b3 = (a – b)(a2 + ab + b2) ta chứng minh n chia hết cho Từ phương trình cho ta suy x  2n (mod 7) www.vnmath.com 10 www.VNMATH.com www.vnmath.com Từ ta tìm x Đáp số : (x; y) = (9; -6) , (9; -21) , (8; -10) , (-1; -1) (m; 0) với m Bài 17: Tìm số nguyên không âm x, y cho : x2  y  y  Hướng dẫn: Nếu y = x = Nếu y  từ phương trình cho ta suy y < x < y + 1, vơ lí Bài 18: Tìm số nguyên x, y, z, t cho : a) x  y  z  x y b) x  y  z  xyz c) x  y  z  t  xyzt Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp xuống thang a) Phương trình cho : x  y  z  x y (1) Nếu x y lẻ từ (1) suy z chẵn Khi đó, x  y  z  2(mod 4) x y  1(mod 4) : vơ lí Vậy biến x, y phải chẵn Giả sử x chẵn, từ (1) suy y  z  y z phải chẵn Đặt x  x1 , y  y1 , z  z1 ( x1 , y1 , z1  ) Thay vào (1) ta có x12  y12  z12  x12 y12 (2) Từ (2) lại lập luận ta suy x1 , y1 , z1 chẵn Cứ tiếp tục dẫn đến x  2k , y  2k , z  2k , k  Điều xảy x = y = z = b) , c) tương tự Bài 19: Tìm số nguyên x, y, z, t thỏa mãn:  xy  zt 1 xz  yt  Hướng dẫn: xy  3zt   Ta có xz  yt  ( xy  zt )  3( xz  yt )  12 Cộng theo vế ta có ( x  3t )( y  z )  13 Đáp số : (x; y; z; t) = (1; 1; 2; 0) , (-1; -1; -2; 0) , (1; 1; 0; 2) , (-1; -1; 0; -2) Bài 20: Tìm nghiệm nguyên dương hệ phương trình :  x y z x3  y  z Hướng dẫn: Khử z đưa đến phương trình : y  ( x  1) y  x  x  www.vnmath.com 38 www.VNMATH.com www.vnmath.com Xem phương trình bậc 2, biến y, từ điều kiện tồn nghiệm ta suy x = x=2 Đáp số : (x; y; z) = (1; 2; 3) , (2; 1; 3) , (2; 2; 4) Bài 21: Tìm nghiệm nguyên phương trình : 7(x + y) = 3(x2 – xy + y2) Hướng dẫn: Đáp số : (x, y) = (4, 5) (5,4) Cách 1: Đổi biến u = x + y, v = x – y ta đưa phương trình: 28u = 3(u2 + 3v2) (*) Từ (*) chứng minh u chia hết cho ≤ u ≤ suy u = u = Cách 2: Xem phương trình cho phương trình bậc hai x 3x2 – (3y + 7)x + 3y2 – 7y = (1) Để (1) có nghiệm biệt thức  phải số phương Từ tìm y Bài 22: Tìm tất cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) Hướng dẫn: Đáp số (x, y) = (0, 0) ; (1, 8) ; (-1, 10) Phương trình : 12x2 + 6xy + 3y2 = 28(x + y) (*) Cách Ta đánh giá miền giá trị x : Từ (*) suy 142 14  196  2 x  3( x  y )  28( x  y )   ( x  y )    3   x   x  {0,1, 4} Cách : tương tự Bài 24 Bài 23: Tìm x, y  Z  thỏa mãn : x2000 + y2000 = 20032000 (1) Hướng dẫn: Đáp số: phương trình vơ nghiệm Giả sử x ≥ y Từ (1) suy x < 2003 x + < 2003 Ta có 20032000 ≥ (x + 1)2000 > x2000 + 2000.x1999  y2000 > 2000.x1999 ≥ 2000.y1999  2003 > x ≥ y > 2000 Vậy x = 2002, y = 2001 Thử lại không thỏa mãn (1) Bài 24: Tìm x  : x  x   x  3x  x Hướng dẫn: Đáp số : x = x = Xét trường hợp x đánh giá hai vế Bài 25: Tìm x, y, z  Z : x3  x  x   y y3  y  y   z z3  z  8z   x www.vnmath.com 39 www.VNMATH.com www.vnmath.com Hướng dẫn: Đáp số : x = y = z =1 x= y = z = Đặt ƒ(t) = 2t  7t  8t  sử dụng tính chất ƒ(a) – ƒ(b)  (a  b)a  b Bài 26: Tìm x, y  Z : x  y  2001 (*) Hướng dẫn: Điều kiện x, y  Từ (*) suy y  2001  x Bình phương hai vế ta y  2001  x  2001.x  2001.x  Vì 2001 = × 667, ta lại có 667 số nguyên tố nên x = × 667 × a2 = 2001.a2 (trong a  ) Lập luận tương tự ta có y = 2001.b (b  ) Thay x  2001a , y  2001b vào (*) cà rút gọn ta suy : a + b =1 Từ có hai nghiệm : (x; y) =(2001; 0) (0; 2001) a2  Bài 27: Tìm tất cặp số nguyên dương (a, b) cho số nguyên ab  Hướng dẫn: Từ giả thiết suy 2(a  b) (ab  2)  2(a  b)  k (ab  2) (1) Từ (1) chứng tỏ k = suy a = 4, b = Đáp số : (a; b) = (4; 3) Bài 28: Tìm n nguyên dương cho phương trình x3 + y3 + z3 = nx2y2z2 có nghiệm nguyên dương Với giá trị vừa tìm n, giài phương trình Hướng dẫn: Đáp số : n = n = Bài 29: Cho phương trình : x3 – 3xy2 + y3 = n a) Giả sử phương trình cho có nghiệm nguyên (x, y) Chứng minh phương trình cho có ba nghiệm ngun b) Giải phương trình tìm nghiệm nguyên với n = 2002 Hướng dẫn: a) Ta có x  3xy  y  ( y  x)3  3( y  x) x  ( x)3  ( y )3  3( y )( x  y )  ( x  y )3 b) Từ phương trình cho ta suy x3  y  1(mod 3) Suy x  1(mod 3) y  0(mod 3) x  0(mod 3) y  1(mod 3) Cả hai trường hợp ta có x3  3xy  y  1(mod 9) Do phương trình cho khơng cị nghiệm n = 2002 Bài 30: Chứng minh n  * , phương trình x1  x2   xn  x1.x2 xn ln có nghiệm * Hướng dẫn: Cho x1  x2   xn   ta đến phương trình ( xn 1  1)( xn  1)  n  (1) www.vnmath.com 40 www.VNMATH.com www.vnmath.com Dễ thấy xn  n xn 1  thỏa mãn (1) Vậy phương trình cho có nghiệm ngun dương ( x1 ; x2 ; ; x n )  (1;1; ; 2; n) Bài 31: Chứng minh phương trình x3 + y3 + z3 – 3xyz = 2001n ln có nghiệm ngun với n ≥ Hướng dẫn: Đặt 2001n  9m Bộ ba số (m; m – 1; m + 1) nghiệm phương trình cho Bài 32: Chứng minh phương trình x2 + y5 = z3 có vơ số nghiệm nguyên (x, y, z) thỏa mãn xyz ≠ Hướng dẫn: Dễ thấy ba sau nghiệm phương trình cho (3; -1; 2) (10; 3; 7) Ta thấy (x; y; z) nghiệm phương trình cho (k 15 x, k y, k 10 z ) nghiệm phương trình cho Từ có điều phải chứng minh Bài 33: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm ngun?: a )3x  y  13 b)19 x  28 y  2001 c) x  y  y  d ) x  x  x  24(5 y  1) e)3x  x  x  18 x  2001 Hướng dẫn: dùng phương pháp xét số dư vế Từ ta thấy số dư hai vế phương trình khơng Điều dẫn tới phương trình vơ nghiệm Bài 34: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: 1   x y 1 Hướng dẫn: Giả sử  x  y  x y 1     x8 x y x 1  x4 x Vậy  x  , thử chọn để tìm nghiệm Đáp số: (5 ; 20), (20 ; 5), (6 ; 12), (12 ; 6), (8 ; 8) Bài 35: Tìm ba số ngun dương cho tích chúng gấp đôi tổng chúng Hướng dẫn: xyz  2( x  y  z ) Giải sử x  y  z Ta có xyz  2( x  y  z )  2.3z  z Suy xy  , thử chọn xy = 1; 2; 3; 4; 5; Đáp số: (1 ; ; 8), (1 ; ; 5), (2 ; ; 4) hoán vị Bài 36: Tìm bốn số nguyên dương cho tổng chúng tích chúng www.vnmath.com 41 www.VNMATH.com www.vnmath.com Hướng dẫn: x  y  z  t  xyzt Giả sử z  t  z  y  x Ta có xyzt  x  y  z  t  4t nên xyz  Thử chọn xy = 1; 2; 3; Đáp số: ; ; ; Bài 37: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: a ) x  xy  y  x  y b) x  xy  y  x  y c) x  3xy  y  y d ) x  xy  y  y  Hướng dẫn: đưa phương trình vể dạng phương trình bậc hai theo ẩn x, tìm điều kiện ∆ để phương trình có nghiệm nguyên Đáp số: a) (1 ; -1), (2 ; -1), (0 ; 0), (2 ; 0), (0 ; 1), (1 ; 1) b) (0 ; 0), (1 ; 0), (0 ; 1) c) (0 ; 0), (0 ; 1), (3 ; 1), (3 ; 3), (6 ; 3), (6 ; 4) d) (1 ; 0), (-1 ; 0) Bài 38: Tìm số tự nhiên x cho: x  3x  35 Hướng dẫn: Thế x = 0, 1, 2, vào phương trình Với x > 3, phương trình vơ nghiệm Đáp số: x = Bài 39: Tìm số nguyên x y cho: x3  x2  x   y3 Hướng dẫn: Chứng minh y > x xét hai trường hợp: y = x + y > x + Bài 40: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: x! + y! = (x + y)! Hướng dẫn: Giả sử x  y x !  y ! Do ( x  y )!  x ! y !  x !   ( x  1)( x  2) ( x  y ) Chỉ có x = 1, y = thỏa mãn Đáp số (1 ; 1) Bài 41: Chứng minh phương trình sau khơng có nghiệm nguyên dương: x17  y17  1917 Hướng dẫn: giả sử x17  y17  1917  x  y  19 Ta có: 1917  ( y  1)17  1917  y17  17 y16 Vậy x > 17, x = y = 18 Thử lại, x = y = 18 không thỏa Vậy phương trình cho khơng có nghiệm ngun dương Bài 42: Tìm nghiệm nguyên dương phương trình: www.vnmath.com 42 www.VNMATH.com www.vnmath.com 3x  y  x  13 Hướng dẫn: biến đổi 3x  x   16  y 3( x  1)  4(4  y ) Đáp số: (3 ; 1), (3 ; -1), (-1 ; 1), (-1 ; -1), (1 ; 2), (1 ; -2) Bài 43: Có tồn hay khơng hai số nguyên dương x y cho x  y y  x số phương? Hướng dẫn: giả sử y  x Ta có: x  x  y  x  x  ( x  1) Vậy không tồn hai số thỏa mãn đề Bài 44: Chứng minh có vơ số số nguyên x để biểu thức sau số phương: (1      x )(12  2  32    x ) Hướng dẫn: Đặt (1      x )(12  2  32  42   x )  y x ( x  1) x ( x  1)(2 x  1)  y2 Ta có:  x ( x  1)  x    y   Phương trình có vơ số nghiệm ngun: x  6n  6n  Bài 45: Tìm số nguyên x để biểu thức sau số phương: x4  x3  x2  x  Hướng dẫn: giả sử x  x  x  x   y Biến đổi dạng: (2 y )2  (2 x  x )2  x  ( x  2)  (2 x  x ) Nên (2 y )2  (2 x  x  1)  1  x  Xét x = -1; 0; 1; 2; Đáp số: x = -1; x = 0; x = Bài 46: Tìm nghiệm nguyên phương trình : a) x3 – 3y3 – 9z3 = b) 8x4 – 4y4 + 2z4 = t4 Hướng dẫn: a) Dễ thấy x, y, z chia hết cho Đặt x = x1, y = y1, z = z1 (x1, y1, z1 € Z), ta : x13 + 3y13 – 9z13 = Suy x = y = z = b) Đáp số : x = y = z = t = Bài 47: Tìm năm sinh Nguyễn Du, biết vào năm 1786 tuổi nhà thơ tổng chữ số năm ông sinh Hướng dẫn: Gọi năm sinh nhà thơ 17xy www.vnmath.com 43 www.VNMATH.com www.vnmath.com Ta có: 1786 -17xy = + + x + y (0 ≤ x ≤8, ≤ y ≤ 9)  11x +2y = 78 Đáp số: 1766 Bài 48: Ba người câu số cá Trời tối người mệt lả, họ vứt cá bờ sơng, người tìm nơi lăn ngủ Người thứ thức dậy, đếm số cá thấy chia thừa con, vứt xuống sông xách nhà Người thứ hai thức dậy, tưởng hai bạn cịn ngủ, đếm số cá vứt xuống sông xách nhà Người thứ thức dậy , tưởng dậy sớm nhất, lại vứt xuống sơng mang nhà Tính số cá chàng trai câu được? biết họ câu tồi… Hướng dẫn: 2 2      x  1  1  1  y 3 3   8x - 27y = 38 ( x, y  N) x = -2 + 27t , y = -2 + 8t Cho t =  x = 25, y = Bài 49: giải phương triình nghiệm nguyên: a) x2 - 4y2 = b) x2 - y2 = 91 c) 2x3 + xy = d) x2 + y2 = 2z2 e) x2 + 2y2 = z2 f) x2+ y2 = z2 + g) 2x2 + 3y2 = z2 h) x2 - y2 + x = i) x3 +7y = y3 + 7x j) 3x2 + 10xy + 8y2 = 96 k) 19x2 + 28y2 = 729 l) xy + 3x -5y = -3 m) x + y = xy n) x + y +1 = xyz o) x3 - 2y3 - 4z3 = p) y2 = x3 + q) x2 + y2 + z2 = 2xyz r) x2 + y2 + z2 + u2 = 2xyzu s) 8x4 + 4y4 + 2z4 = t4 t) x(x + 1)(x +7)(x + 8) = y2 u) ( x + 2)4 - x4 = y3 v) x14 + x24 + …….+ x144 =1599 Hướng dẫn www.vnmath.com 44 www.VNMATH.com www.vnmath.com b) ( x + y)( x - y) = 91, mà 91= (± 1)(± 91) = (± 13)(± 7) c) x(2x2 + y) = = (±1)(±7) d) x y phải chẳn lẻ, suy x + y x - y chẵn Đặt x + y = 2u, x -y = 2v, có 4u2 + 4y2 = 2( x2 + y2) giải phương trình u2 + v2 = z2, lấy x = u + v, y = u - v e) x = 2m2 - 1, y = 2m, z = 2m2 + Có thể áp dụng pp giải phương trình x2 + y2 =z2 để giải phương trình ax2 + y2 = z ( a > 0) f) Dùng đẳng thức n  n  1  [2n  4n  1]2  16n  1   2n  16n  1  n  n  1   1  16n  2n   2 g) Có thể gỉa thuyết ( x, y,z) = x = dx’, y = dy’, z= dz’( d> 1) có 2x’2 + 3y’2 =z’2 x z bội 3( x = 3u, z =3v y =3t) Ta có 2x2 = z2 _ 3y2, chứng tỏ 2x2 z2 có số dư ( 0) chia cho 3, điều naỳ khơng thể xảy Phương trình vơ nghiệm h) x(x +1) = y2,mà (x, x+1) = j)x = y x2 +xy + y2 = 7( với x  y) (x - y)2 = - 3xy suy xy < (x =1, y =2) (x = 2, y = 1) (x + 2y)(3x + 4y) = 96 Chú ý (x +2y ) +( 3x +4y ) = 2( 2x +3y) , chứng tỏ x + 2y 3x + 4y chẵn k) (18x2 + 27y2) + ( x2 + y2) =3243 suy x2 + y2 chia hết cho suy x = 3u, y =3v suy 19u2 + 28q2 = 81 Tương tự u =3s, v =3r suy 19s2 + 28r2 = s =3p, r =3q suy 19q2 + 28p2 = Phương trình vô nghiệm l) Giả sử x ≤ y x = y 2x +1 + x2 z x(xz - 2) =1 (x = y = 1, z = 3) x < y xyz < 2y + xyz ≤ 2y xz ≤ Đs: x = y = z = 2, x = y = z = m,n) tưong tự o) x3 = 2(y3 + 2z3) suy x3 chẵn Do x chẵn: x = 2x’, suy 8x’3 = 2(y3 + 2z ) hay y3 = 4x’3 - 2z3 Do Đó y = 2y’, z = 2z’ Vậy x’3 = 2(y’3 +2z’3) Q trình tiếp tục mãi, phương trình có nghiệm nguỵên (0,0,0) p) y2 = z3 + 7, chứng minh x lẻ y2 + 1= x3 + = (x + ) ( x2 - 2x + 4) = (x -1)2 + có dạng 4k +3 Suy y2 + khơng phải bội Vậy phương trình vơ nghiệm q,r,s ) tương tự p t) y2 = (x2 + 8x)( x2 +8x + 7) = z2 +7z (với z = x2 +8x) Chứng minh z > y thỏa Suy x2 + 8x ≤  -9 ≤ x ≤ thử trực tiếp chọn gía trị y u) y3 = 8(x3 + 3x2 + 4x + 2) Đặt y = 2z, có z3 = x3 + 3x2 + 4x + Thấy : x = -1, y = nghiệm Chứng minh phương trình khơng có nghiệm khác v)Với n = 2k, n4 = 16k4 chia hết 16 Với n = 2k +1, n4 -1 = (n -1)(n +1)(n2 +1)chia hết cho 16 Như chia x + x +….+ x cho 16,có số dư số lẻ dãy x, x,……,x, tức không vượt 14 1599 = 1600 -1, chia 16 dư -1, tức 15 phương trình vơ nghiệm www.vnmath.com 45 www.VNMATH.com www.vnmath.com Bài 50: Tìm điều kiện cần đủ cho số k để phương trình có nghiệm ngun x2 - y2 = k Hướng dẫn: Nếu x2 -y2 =k có nghiệm ngun k  4t +2 Xét trường hợp k chẵn k lẻ Bài 51: Chứng minh phương trình : 1 1 có số hữu hạn nghiệm nguyên dương    x y z 1991 Hướng dẫn: 1 1 Gỉa sử n www.vnmath.com 50 www.VNMATH.com www.vnmath.com Pytago sinh khoảng năm 580 khoảng năm 500 trước Cơng ngun Ơng sinh trưởng gia đình q tộc đảo Xa- mơt, đảo giàu có ven biển Ê - giê thuộc địa trung hải Mới 16 tuổi , cậu bé Pytago tiếng trí thơng minh khác thường Cậu theo học nhà toán học tiếng Talét Talét phải kinh ngạc trí thơng minh, tài cậu Để tìm hiểu khoa học văn học dân tộc, Pytago dành nhiều năm đến Ấn Độ, Babilon, Ai Cập trở nên uyên bác hầu hết lĩnh vực quan trọng: số học, hình học, thiên văn, địa lý âm nhạc, y học, triết học Vào tuổi 50, ông trở tổ quốc Ơng thành lập trường miền nam Ý, nhận hàng trăm môn sinh, kể phụ nữ, với thời gian học năm gồm mơn: hình học, tốn học, thiên văn, âm nhạc Chỉ học sinh giỏi vào cuối năm thứ ông trực tiếp dạy Trường phái Pytago đóng vai trị quan trọng phát triển khoa học giới cổ đại, đặc biệt số học hình học Pytago chứng minh hệ thức độ dài cạnh tam gíac vng Hệ thức đựơc nguời Ai Cập, người Babilon, Trung Quốc, Người Ấn Độ biết đền từ trước, Pytago người chứng minh hệ thức Trường phái Pytago khảo sát hình vng có cạnh dài đơn vị nhận biểu thị độ dài đường chéo cùa số nguyên hay phân số, tức tồn đoạn thẳng không biểu thị theo đoạn thẳng đơn vị sồ hữu tỉ Sự kiện so sánh với việc tìm hình học Ơclit kỉ XIX Trường phái Pytago nghiên cứu âm nhạc Họ giaỉ thích độ cao âm tỉ lệ nghịch với chiều dài dây ba sợi dây đàn có chiều dài tỉ lệ với 6, 4, cho hợp âm êm tai Pytago nghiên cứu kiến trúc thiên văn Ơng cho trái đất có hình cầu tâm vũ trụ Pytago môn đệ cũa ông tôn thờ sồ gán cho số ý nghĩa thần bí : họ cho số nguồn gốc số, số lẻ số nam, số chẵn số nữ, số biểu thị việc xây dựng gai đình, số mang tính chất sức khỏe, số biểu thị cho tình yêu… Trước lúc vào nghe giảng, học trò Pytago đọc câu kinh như: “Hãy ban ơn cho chúng tôi, số thần linh sáng tạo loài người” Pytago có câu thơ nêu lên phương châm xử thế: Hãy sống giản dị, không xa hoa Hãy tôn trọng cha mẹ Hãy tập chiến thắng đói khát, lười biếng giận Chớ coi thường sức khỏe Hãy cung cấp cho thể lúc đồ ăn thức uống luyện tập cần thiết Chưa nhắm mắt chưa soát lại việc làm ngày Đừng thấy bóng trơ tường mà tưởng vĩ đại www.vnmath.com 51 www.VNMATH.com www.vnmath.com Trong trình biên soạn chuyên đề này, chúng em tham khảo trích dẫn từ nhiều nguồn sách, báo tài liệu khác - Phương trình tốn với nghiệm nguyên, tác giả Vũ Hữu Bình - Một số chuyên đề mơn tốn trung học sở, tác giả Vũ Dương Thụy Nguyễn Ngọc Đạm - Một số chuyên đề số học, tác giả Hà Nội - Tạp chí báo Tốn Tuổi Thơ 2, nhà xuất giáo dục - Một số tài liệu từ mạng Cảm ơn tác giả sách, báo nói có sách hay giúp chúng em hồn thành tốt chuyên đề Chân thành cảm ơn thầy bạn dành thời gian xem chuyên đề Nhóm biên tập hân hạnh đón nhận đóng góp từ thầy bạn./ Nhóm biên tập Nguyễn Hồng Anh Thư Trương Thanh Thư Lê Thị Thu Thảo Phạm Ngọc Xuân Đào Nguyễn Thị Mỹ Huyền www.vnmath.com 52 ... chun đề ? ?Phương trình nghiệm nguyên? ?? Chuyên đề tập hợp phương pháp dạng phương trình khác phương trình nghiệm nguyên, chúng em sưu tầm từ nguồn kiến thức khác Chúng em mong muốn chuyên đề giúp... đủ phương trình năm 1766 Phương trình Pel có vơ nghiệm ngun Ngồi nghiệm tầm thường x  1; y  , để tìm nghiệm nguyên phương trình, ta cần tìm nghiệm nguyên dương Ta gọi ( x1 , y1 ) nghiệm nguyên. .. (3) vơ nghiệm phương trình cho vơ nghiệm Cách Giả sử phương trình có nghiệm Từ phương trình cho ta suy x2 ≡ -1 (mod 4), điều không xảy với số ngun x Vậy phương trình cho vơ nghiệm b) Phương pháp