BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN GIANG NAM TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 62.46.05.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC VINH - 2011 Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: 1. PGS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TUYẾN 2. PGS. TS. NGÔ SỸ TÙNG Phản biện 1: GS. TSKH. Ngô Việt Trung Viện Toán học, Hà Nội Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Tiến Quang Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 3: TS. Hoàng Đình Hải Trường Đại học Hồng Đức Thanh Hóa Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tại Trường Đại học Vinh Vào hồi . . . . . . giờ . . . . . . ngày . . . . . . tháng . . . . . . năm . . . . . . Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia, Hà Nội. - Trung tâm thông tin-thư viện Nguyễn Thúc Hào, Trường Đại học Vinh. 1 Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver vào nằm 1934, là tổng quát hóa khái niệm vành không giao hoán theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng của phép cộng. Kể từ đó, nửa vành được quan tâm nghiên cứu cả về phương diện lý thuyết lẫn áp dụng bởi nhiều nhà toán học. Nhiều tính chất và áp dụng của nửa vành đã được trình bày trong một số tài liệu như K. Glazek (2002), J. S. Golan (1999), U. Hebisch - H. J. Weinert (1996), Luận án này quan tâm đến khái niệm nửa vành như là một tổng quát hóa khái niệm vành có đơn vị không giao hoán theo nghĩa nói trên. Một phương pháp để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta tìm cách đưa nó về các đối tượng khác dễ hơn và nghiên cứu các đối tượng này. Chẳng hạn, để nghiên cứu các hình hình học người ta thường cắt chúng bởi các siêu phẳng và nghiên cứu các siêu diện. Điều này cũng được tiến hành một cách tương tự cho các nửa vành, ở đây các siêu phẳng được thay thế bằng các tương đẳng và các siêu diện chính là các nửa vành thương tương ứng. Với mỗi nửa vành R, luôn có một tương đẳng ρ trên R để nửa vành thương R/ρ là không có tương đẳng không tầm thường. Do đó, nghiên cứu nửa vành tương đẳng tự do giúp ta hiểu một phần nào cấu trúc của nửa vành R. Với mỗi tương đẳng ρ trên nửa vành R, lớp tương đương 0 ρ của phần tử 0 theo quan hệ ρ, là một iđêan của R; ngược lại, với mỗi iđêan I của R, nó cảm sinh một tương đẳng Bourne ≡ I trên R. Nói cách khác, ta có hai tương ứng ρ −→ 0 ρ và I −→ ≡ I lần lượt là ánh xạ từ tập các tương đẳng trên R đến tập các iđêan của R và ngược lại. Từ đây, ta có thể hiểu được nửa vành không có tương đẳng không tầm thường R thông qua dàn các iđêan của nó; chẳng hạn, khi R là một vành, hai ánh xạ nói trên là các ánh xạ ngược của nhau, do đó, vành R là không có tương đẳng không tầm thường nếu và chỉ nếu 0 và R chỉ là hai iđêan của nó. Điều này không còn đúng cho các nửa vành. Vì thế, nửa vành chỉ chứa các iđêan tầm thường, được gọi là không có iđêan không tầm thường. Cấu trúc của các nửa vành giao hoán không có tương đẳng tự do và iđêan không tầm thường đã được mô tả. Cụ thể, Sidney S. Mitchell - Paul B. Fenoglio (1988) chứng minh được rằng các nửa vành giao hoán không có tương đẳng 2 không tầm thường chỉ là các trường, hoặc là nửa vành Boole B; dễ thấy rằng các nửa vành giao hoán không có iđêan không tầm thường chỉ là các nửa trường. Gần đây, R. El Bashir - J. Hurt - A. Janˇcaˇrík - T. Kepka (2001) đã mở rộng hai kết quả trên cho nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không và đơn vị. C. Monico (2004) đã mô tả các nửa vành (không đòi hỏi phần tử không và đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường; nhưng sự mô tả này là không đầy đủ. Sau đó, J. Zumbragel (2008) đã phân loại một cách đầy đủ các nửa vành (không đòi hỏi phần tử đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường. Việc mô tả một cách đầy đủ nửa vành không có tương đẳng không tầm thường bất kỳ vẫn chưa làm được. Bourne - Zassenhaus (1957) đã mô tả được cấu trúc của nửa vành nửa đơn không có tương đẳng không tầm thường và không chứa các iđêan một phía lũy linh khác không; cụ thể hơn, các nửa vành này chỉ là các nửa vành ma trận trên các nửa thể. Steinfeld - Wiegandt (1967) chỉ ra rằng kết quả này vẫn đúng cho nửa vành nửa đơn không có tương đẳng không tầm thường. Sau đó, Stone (1977) mở rộng kết quả trên cho nửa vành mà nó có thể nhúng được vào một vành nào đó. Weinert (1984) nghiên cứu không có tương đẳng không tầm thường nửa vành ma trận và nửa vành nửa nhóm. Khái niệm nửa vành mà Weinert xem xét là không đòi hỏi phần tử đơn vị. Tính đến thời điểm hiện tại, việc phân loại nửa vành iđêan tự do vẫn là một câu hỏi mở. Một cách khác để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta cố gắng hiểu cách nó tác động lên các đối tượng khác. Nói cách khác, chúng ta có thể hiểu được đối tượng toán học nhờ vào phạm trù các biểu diễn của nó. Lý thuyết biểu diễn (lý thuyết môđun) của nhóm, vành và đại số có thể soi sáng nhiều thông tin về cấu trúc của chúng. Việc dùng phạm trù những biểu diễn thích hợp để mô tả cấu trúc nửa vành cũng đã được nghiên cứu. Phạm trù các biểu diễn của nửa vành được gọi là phạm trù các nửa môđun. Cũng giống như vành, vị nhóm và dàn phân phối, các khái niệm nửa môđun thường được sử dụng để đặc trưng nửa vành là xạ ảnh, phẳng và nội xạ. Ở đây khái niệm nửa môđun xạ ảnh và nội xạ được định nghĩa theo cách thông thường, còn nửa môđun trái G là phẳng (đơn-phẳng) nếu hàm tử − ⊗ R G bảo toàn giới hạn ngược hữu hạn (bảo toàn tính đơn cấu của các đồng cấu). Mọi nửa môđun xạ ảnh là phẳng; chiều ngược lại là không đúng. O. Sokratova (2002) đã chỉ ra rằng tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng lũy đẳng là phân biệt. Y. Katsov (2004) mở rộng kết quả này cho các nửa vành cộng chính quy như sau: Nếu R là một nửa vành cộng chính quy sao cho tồn tại một đồng cấu nửa vành từ R lên B, thì tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên R là phân biệt; hệ quả rút ra từ khẳng định này là: tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành giao hoán cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn chỉnh. Đồng thời, Y. Katsov (2004) còn phát biểu giả thuyết dưới đây: 3 Giả thuyết. Tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên một nửa vành cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn chỉnh. Đối với các nửa môđun, tính phẳng suy ra tính đơn-phẳng, nhưng chiều ngược lại nói chung là không đúng. Bulman-Fleming và McDonwell (1978) chỉ ra rằng một B-nửa môđun trái A là phẳng khi và chỉ khi A là đơn-phẳng, và khi và chỉ khi A là một nửa dàn phân phối. E. B. Katsov (1986) mở rộng kết quả này cho các nửa môđun trên Đại số Boole hữu hạn. Gần đây nhất, Y. Katsov (2004) chứng minh được rằng khẳng định trên vẫn còn đúng đối với các nửa môđun trên Đại số Boole bất kỳ. Đồng thời, Y. Katsov (2004) cũng nêu ra bài toán sau: Bài toán. Mô tả lớp của các nửa vành sao cho tính phẳng và tính đơn-phẳng của các nửa môđun trên chúng là tương đương. Tính đến thời điểm này, giả thuyết và bài toán nêu trên vẫn chưa có lời giải. Mặt khác, việc dùng khái niệm nửa môđun nội xạ để nghiên cứu nửa vành cũng đã được quan tâm bởi một số nhà toán học và họ nhận được một số kết quả đáng chú ý sau: H. Wang (1994) chỉ ra rằng mỗi nửa môđun trên nửa vành cộng lũy đẳng đều nhúng được vào nửa môđun nội xạ nào đó. Y. Katsov (1997) mở rộng kết quả này cho nửa vành cộng chính quy. S. N. Il’in (2008) chứng minh được rằng các nửa vành thỏa mãn điều kiện Baer và mọi nửa môđun trên đó đều nhúng được vào nửa môđun nội xạ chỉ là các vành. Cuối cùng, Ahsan - Shabir - Weinert (1998) đặc trưng được nửa vành chính quy von Neumann thông qua các nửa môđun cyclic p-nội xạ. Nói chung, các kết quả theo hướng này vẫn còn ít. Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Tương đương Morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành” làm đề tài luận án tiến sĩ. Những vấn đề sau của đề tài được tập trung nghiên cứu: (1) Mô tả cấu trúc của nửa vành không có tương đẳng không tầm thường và nửa vành không có iđêan không tầm thường; (2) Dùng các nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ để nghiên cứu nửa vành nửa đơn, đặc biệt là hướng đến giải quyết giả thuyết và bài toán nêu trên của Y. Katsov. 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích của Luận án là đặc trưng các tính đơn, không có tương đẳng không tầm thường và không có iđêan không tầm thường cho các lớp nửa vành chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh, nửa vành cô lập một phía, nửa vành đầy đủ và nửa vành sắp thứ tự dàn; đặc trưng nửa vành nửa đơn thông qua các nửa môđun phẳng, xạ ảnh, nội xạ; đồng thời, trả lời giả thuyết và bài toán nêu trên của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy. 4 3 Đối tượng nghiên cứu Nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan không tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn. 4 Phạm vi nghiên cứu Đại số kết hợp. Lý thuyết nửa vành và nửa môđun. 5 Phương pháp nghiên cứu Sử dụng tương đương Morita để nghiên cứu những vấn đề đặt ra của Luận án. 6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn Mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành. Mô tả cấu trúc nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan không tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn cho một số lớp nửa vành đặc biệt. Đồng thời, trả lời giả thuyết và bài toán nêu trên của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy. 7 Tổng quan và cấu trúc luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận án được chia làm bốn chương. Chương 1 của Luận án mở rộng lý thuyết tương đương Morita cho nửa vành. Trong Mục 1.1, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm, tính chất và ví dụ về nửa vành và nửa môđun. Trong Mục 1.2, thiết lập điều kiện cần và đủ để một nửa môđun hữu hạn sinh là xạ ảnh (Mệnh đề 1.2.4), hoặc là một vật sinh (Mệnh đề 1.2.8) và đặc trưng vật sinh xạ ảnh cho phạm trù nửa môđun (Định lý 1.2.9). Trong Mục 1.3, chúng tôi giới thiệu khái niệm tương đương Morita cho nửa vành (Định nghĩa 1.3.1). Chúng tôi đặc trưng được các hàm tử (hiệp biến) giữa các phạm trù nửa môđun có phù hợp phải (Định lý 1.3.5) và qua đó mô tả được tương đương Morita thông qua phạm trù nửa môđun (Định lý 1.3.12). Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu áp dụng của lý thuyết tương đương Morita cho tính không có tương đẳng không tầm thường, tính không có iđêan không tầm thường và tính đơn của nửa vành. Trong Mục 2.1, chúng tôi trình 5 bày lại các khái niệm và một số kết quả về nửa vành không có tương đẳng không tầm thường và nửa vành không có iđêan không tầm thường. Đồng thời, chúng tôi đặc trưng được nửa vành không có iđêan không tầm thường thông qua vành đơn và nửa vành đơn cộng lũy đẳng (Mệnh đề 2.1.6). Đặc trưng tính không có iđêan không tầm thường, tính đơn của nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán cộng lũy đẳng (Định lý 2.1.9). Trong Mục 2.2, chúng tôi chỉ ra rằng tính không có tương đẳng không tầm thường, tính không có iđêan không tầm thường và tính đơn của nửa vành bảo toàn qua tương đương Morita (Định lý 2.2.6). Trong Mục 2.3, chúng tôi mô tả cấu trúc của nửa vành đơn thông qua các iđêan một phía của nó (Định lý 2.3.1) và qua đó mô tả được cấu trúc nửa vành đơn chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.2). Kết hợp Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 2.3.2, chúng tôi đưa ra một biểu diễn cho nửa vành không có iđêan không tầm thường chứa iđêan một phía tối tiểu xạ ảnh (Định lý 2.3.4). Chương 3 của Luận án nghiên cứu tính không có tương đẳng không tầm thường, tính không có iđêan không tầm thường và tính đơn cho một số lớp nửa vành đặc biệt. Trong Mục 3.1, Luận án mô tả cấu trúc nửa vành Artin trái (phải) xích không có iđêan không tầm thường và nửa vành Artin trái (phải) xích đơn (Định lý 3.1.4); cũng như, mô tả cấu trúc nửa vành không có tương đẳng không tầm thường sắp thứ tự dàn (Định lý 3.1.5). Trong Mục 3.2, chúng tôi đặc trưng nửa vành nửa đơn cô lập một phía (Định lý 3.2.4 và Định lý 3.2.6) và qua đó phân loại được nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không có iđêan không tầm thường (Định lý 3.2.7) và nửa vành Artin trái (phải) cô lập trái (phải) không có tương đẳng không tầm thường (Định lý 3.2.10). Trong Mục 3.3, chúng tôi phân loại nửa vành đầy đủ không có tương đẳng không tầm thường (Định lý 3.3.6). Dùng Định lý 2.2.6, chúng tôi đặc trưng nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng (Định lý 3.3.9) và qua đó biểu diễn được nửa vành không có iđêan không tầm thường chứa phần tử vô cùng (Định lý 3.3.10). Chương 4 của Luận án nhằm đặc trưng nửa vành nửa đơn và nửa vành nửa đơn cô lập dựa vào các khái niệm nửa môđun phẳng, nửa môđun xạ ảnh, nửa môđun nội xạ ; đặc biệt là trả lời giả thuyết và bài toán của Y. Katsov cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy. Trong Mục 4.1, chúng tôi chứng minh các tính xạ ảnh, nội xạ, nội xạ ổn định, phẳng và đơn-phẳng đều bất biến qua phép tương đương phạm trù giữa các phạm trù nửa môđun. Áp dụng các kết quả này và Định lý 1.3.12, chúng tôi đặc trưng được nửa vành nửa đơn thông qua các nửa môđun nêu trên (Định lý 4.1.6). Kết hợp Định lý 3.2.4 và Định lý 4.1.6 cho phép ta đặc trưng được nửa vành nửa đơn cô lập thông qua nửa môđun xạ ảnh và nội xạ ổn định (Định lý 4.1.10). Trong Mục 4.2, chúng tôi chỉ ra rằng giả thuyết của Y. Katsov là đúng cho các nửa vành nửa đơn cộng chính quy (Định lý 4.2.1), và mô tả cấu trúc nửa vành nửa đơn cộng chính quy mà trên đó tính phẳng và đơn-phẳng của các nửa môđun là tương đương (Định lý 4.2.4). 6 Chương 1 TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA 1.1 Kiến thức chuẩn bị Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại một số khái niệm, tính chất của nửa vành, nửa môđun; khái niệm tích tenxơ cho các nửa môđun theo quan điểm của Y. Katsov (1997). Từ đây trở đi, ta ký hiệu M R và R M lần lượt là phạm trù các nửa môđun phải và phạm trù các nửa môđun trái trên nửa vành R, một cách tương ứng. 1.2 Vật sinh xạ ảnh Trong tiết này, dựa trên những hiểu biết về vật sinh xạ ảnh của hai phạm trù môđun và vị nhóm, Luận án giới thiệu và nghiên cứu chi tiết khái niệm vật sinh xạ ảnh cho phạm trù nửa môđun. Để làm điều này ta phải cần đến vật xạ ảnh hữu hạn sinh và vật sinh trong phạm trù nửa môđun. Gọi S = R M(P, P ) := End ( R P ) là một nửa vành các tự đồng cấu của R-nửa môđun trái R P ∈ | R M|. Khi đó, P trở thành một R-S-song nửa môđun với cấu trúc S-nửa môđun phải trên P. Chúng ta viết Q = P ∗ := R M( R P, R R) với S-R-song nửa môđun đối ngẫu P ∗ của R-S-song nửa môđun P . Ta xác định một tự đồng cấu qp ∈ S bởi p  (qp) = (p  q)p với mọi p, p  ∈ P và q ∈ Q. Khi đó, chúng ta nhận được khẳng định dưới đây: Bổ đề 1.2.2. Các tương ứng (p, q) −→ pq và (q, p) −→ qp lần lượt xác định (R, R)-đồng cấu α : P ⊗ S Q −→ R và (S, S)-đồng cấu β : Q ⊗ R P −→ S, một 7 cách tương ứng. Kết quả dưới đây cho ta một đặc trưng của các R-nửa môđun trái xạ ảnh hữu hạn sinh R P ∈ | R M| nhờ vào đồng cấu β : Q ⊗ R P = P ∗ ⊗ R P −→ S = End ( R P ) được xác định trong Bổ đề 1.2.2. Mệnh đề 1.2.4. Một R-nửa môđun trái R P ∈ | R M| là xạ ảnh và hữu hạn sinh khi và chỉ khi β : Q ⊗ R P −→ S là một toàn cấu. Bây giờ chúng ta chuyển sang xem xét vật sinh trong phạm trù các nửa môđun. Luận án này quan tâm đến khái niệm vật sinh theo nghĩa dưới đây. Định nghĩa 1.2.6. Nửa môđun trái R P ∈ | R M| được gọi là một vật sinh (generator) của phạm trù các nửa môđun trái R M nếu nửa môđun trái R R là một phép co của một tổng trực tiếp hữu hạn ⊕ i P của nửa môđun R P . Mệnh đề 1.2.8. Một nửa môđun trái hữu hạn sinh R P ∈ | R M| là một vật sinh của R M khi và chỉ khi (R, R)-đồng cấu α : P ⊗ S Q −→ R là một toàn cấu. Hơn nữa, nếu α là một toàn cấu, thì nó là đẳng cấu. Một nửa môđun trái R P ∈ | R M| được gọi một vật sinh xạ ảnh (progenerator) của phạm trù các nửa môđun R M nếu nó vừa là một vật sinh, vừa là xạ ảnh hữu hạn sinh. Kết quả dưới đây là một đặc trưng vật sinh xạ ảnh trong phạm trù các nửa môđun. Định lý 1.2.9. Một R-nửa môđun R P ∈ | R M| là một vật sinh xạ ảnh nếu và chỉ nếu các đồng cấu α : P ⊗ S Q −→ R và β : Q ⊗ R P −→ S là các đẳng cấu. 1.3 Tương đương Morita Trong tiết này, dựa trên những hiểu biết về lý thuyết tương đương Morita của các vành và các vị nhóm, chúng tôi nghiên cứu lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành. Định nghĩa 1.3.1. Nửa vành R được gọi là tương đương Morita với nửa vành S, ký hiệu là R ≈ S, nếu tồn tại một vật sinh xạ ảnh R P ∈ | R M| của R M sao cho S ∼ = End ( R P ). 8 Kết quả sau mô tả các hàm tử (hiệp biến) giữa các phạm trù nửa môđun có phù hợp phải. Định lý 1.3.5. Với mỗi hàm tử F : M R −→ M S các phát biểu sau đây là tương đương: (i) F có một phù hợp phải; (ii) F là khớp phải và bảo toàn đối tích; (iii) Tồn tại duy nhất (sai khác đẳng cấu tự nhiên) một R-S-song nửa môđun P ∈ | R M S | sao cho các hàm tử − ⊗ R P : M R −→ M S và F là đẳng cấu tự nhiên, tức là, F ∼ = − ⊗ R P. Áp dụng Định lý 1.3.5, ta nhận được kết quả dưới đây, nó cho biết tương đương Morita giữa các nửa vành có ý nghĩa gì về mặt phạm trù. Định lý 1.3.12. Với hai nửa vành R và S, các điều kiện sau là tương đương: (i) R và S là tương đương Morita; (ii) Hai phạm trù nửa môđun M R và M S là tương đương; (iii) Hai phạm trù nửa môđun R M và S M là tương đương. 1.4 Kết luận Chương 1 Trong chương này, Luận án đã giải quyết được những vấn đề sau. - Thiết lập điều kiện cần và đủ để một nửa môđun hữu hạn sinh là xạ ảnh (Mệnh đề 1.2.4), hoặc là một vật sinh (Mệnh đề 1.2.8). - Đặc trưng vật sinh xạ ảnh cho phạm trù nửa môđun (Định lý 1.2.9). - Giới thiệu khái niệm tương đương Morita cho các nửa vành (Định nghĩa 1.3.1). Mô tả được các hàm hiệp biến giữa các phạm trù nửa môđun có phù hợp phải (Định lý 1.3.5). Đặc trưng được tương đương Morita của các nửa vành thông qua phạm trù nửa môđun (Định lý 1.3.12). [...]... về đặc trưng của nửa thể và đặc trưng vành nửa đơn cho nửa vành cô lập thông qua nửa môđun xạ ảnh và nửa môđun nội xạ ổn định Định lý 4.1.10 Với mỗi nửa vành cô lập trái R, các phát biểu sau là tương đương: (i) R là một vành nửa đơn; (ii) Mọi R -nửa môđun trái là xạ ảnh; (iii) Mọi R -nửa môđun trái là nội xạ ổn định 21 4.2 Nửa vành nửa đơn cộng chính quy Trong tiết này, chúng tôi mô tả lớp nửa vành nửa. .. một biểu diễn cho nửa vành không có iđêan không tầm chứa iđêan trái (phải) tối tiểu xạ ảnh và nửa vành không có iđêan tầm thường chứa phần tử vô cùng 5 Dùng công cụ tương đương Morita cho các nửa vành, Luận án đặc trưng được nửa vành nửa đơn thông qua các lớp nửa môđun xạ ảnh hữu hạn, nội xạ hữu hạn, phẳng hữu hạn, đơn-phẳng hữu hạn, và đặc trưng được nửa vành nửa đơn cô lập trái (phải) thông qua nửa. .. Chương 2 BẤT BIẾN MORITA VÀ ÁP DỤNG 2.1 Nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán lũy đẳng Trong tiết này, chúng tôi trình bày lại các khái niệm và một số kết quả về các nửa vành không có tương đẳng và iđêan không tầm thường Mặt khác, Luận án đặc trưng được nửa vành không có iđêan không tầm thường thông qua vành đơn và nửa vành đơn cộng lũy đẳng và nghiên cứu các tính đơn cho nửa vành tự đồng cấu của... môđun trên nửa vành giao hoán cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn chỉnh Đồng thời, Ông còn nêu ra giả thuyết rằng: tính xạ ảnh và tính phẳng của các nửa môđun trên nửa vành cộng chính quy R là tương đương khi và chỉ khi R là một vành hoàn chỉnh Định lý dưới đây cho thấy giả thuyết này là đúng cho nửa vành nửa đơn cộng chính quy Định lý 4.2.1 Với mỗi nửa vành nửa đơn cộng... nửa vành R, các phát biểu sau là tương đương: (i) R là một nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng; (ii) R tương đương Morita với nửa vành Boole B; (iii) R ∼ End(M ), trong đó M là một dàn hữu hạn phân phối; = (iv) R là một nửa vành đơn đầy đủ 18 Kết hợp Mệnh đề 2.1.6 và Định lý 3.3.9 cho ta một biểu diễn của nửa vành không có iđêan không tầm thường chứa phần tử vô cùng Định lý 3.3.10 Cho R là một nửa vành. .. đẳng không tầm thường và tính đơn của nửa vành đều được bảo toàn qua tương đương Morita Đồng thời, chúng tôi còn đưa ra một cách để xây dựng ba lớp nửa vành nêu trên Kết quả sau cho thấy rằng tính không có iđêan không tầm thường, tính không có tương đẳng không tầm thường và tính đơn của nửa vành đều bất biến qua tương đương Morita Định lý 2.2.6 Cho R và S là hai nửa vành tương đương Morita với nhau Khi... rộng lý thuyết tương đương Morita cho phạm trù nửa vành 2 Chứng minh các tính không có tương đẳng không tầm thường, không có iđêan không tầm thường và đơn của nửa vành được bảo toàn qua tương đương Morita Ứng dụng kết quả này, Luận án đưa ra cấu trúc của nửa vành đơn chứa iđêan trái (phải) tối tiểu xạ ảnh, và đặc biệt là cấu trúc của nửa vành đơn hữu hạn 3 Mô tả cấu trúc của nửa vành nửa đơn cô lập... là một nửa thể và được gọi là nửa vành "max–plus" Kết quả dưới đây mô tả cấu trúc của nửa vành Artin trái (phải) xích không có iđêan không tầm thường và nửa vành Artin trái (phải) xích đơn Định lý 3.1.4 (i) Một nửa vành Artin trái (phải) xích R là không có iđêan không tầm thường khi và chỉ khi R là một nửa vành" max–plus" (ii) Một nửa vành Artin trái (phải) xích R là đơn khi và chỉ khi R ∼ B = Một nửa. .. ra b ∈ I Các iđêan phải và iđêan cô lập cũng được định nghĩa theo một cách tương tự Một nửa vành R được gọi là cô lập trái (phải) nếu mọi iđêan trái (phải) của nó đều cô lập Kết quả sau đây sẽ cho ta một số đặc trưng về nửa vành nửa đơn cô lập một phía Định lý 3.2.4 Với mỗi nửa vành cô lập trái R, các phát biểu sau là tương 16 đương: (i) R là một nửa vành nửa đơn; (ii) R là một tổng hữu hạn của các... Định lý 3.3.6 Với mỗi nửa vành đầy đủ R là không có tương đẳng không tầm thường khi và chỉ khi R đẳng cấu với một nửa vành con đầy đủ S của nửa vành đầy đủ CEnd(M ) sao cho FM ⊆ S, trong đó M là một dàn đầy đủ khác không Một phần tử a của một nửa vành R được gọi là vô cùng nếu r + a = a với mọi r ∈ R Định lý sau cho ta cấu trúc của nửa vành đơn chứa phần tử vô cùng, đặc biệt là nửa vành đơn đầy đủ Định . tương đương Morita cho phạm trù nửa vành. Mô tả cấu trúc nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, nửa vành không có iđêan không tầm thường, nửa vành đơn và nửa vành nửa đơn cho một số lớp. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH TRẦN GIANG NAM TƯƠNG ĐƯƠNG MORITA CHO NỬA VÀNH VÀ ĐẶC TRƯNG MỘT SỐ LỚP NỬA VÀNH Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 62.46.05.01 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN. Tương đương Morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành làm đề tài luận án tiến sĩ. Những vấn đề sau của đề tài được tập trung nghiên cứu: (1) Mô tả cấu trúc của nửa vành không có tương