BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH —————— —————– ——————– —————— NGUYỄN VĂN ĐỨC PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 62.46.01.01 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC VINH - 2011 Luận án hoàn thành tại: Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đinh Nho Hào PGS.TS Đinh Huy Hoàng Phản biện 1: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Phản biện 2: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn Viện Toán học - Viện KH&CN Việt Nam Phản biện 3: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận án cấp Trường họp Vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm đọc luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Thư viện trường Đại học Vinh MỞ ĐẦU Phương trình parabolic ngược thời gian thường xuyên xuất lý thuyết truyền nhiệt, Địa vật lý, toán nước ngầm, khoa học vật liệu, thủy động học, xử lý ảnh Đó tốn cho phương trình parabolic điều kiện ban đầu mà ta phải xác định biết điều kiện cuối Các toán nghiên cứu nhiều, nhiên cho lớp phương trình đặc biệt; việc đề xuất phương pháp số hữu hiệu để giải gần tốn ln vấn đề thời Phương trình parabolic ngược thời gian tốn đặt khơng chỉnh theo nghĩa Hadamard Một toán gọi đặt chỉnh thỏa mãn ba điều kiện: a) có nghiệm, b) nghiệm nhất, c) nghiệm phụ thuộc liên tục (theo tơpơ đó) theo kiện tốn Nếu ba điều kiện khơng thỏa mãn ta nói tốn đặt khơng chỉnh Hadamard cho tốn đặt khơng chỉnh khơng có ý nghĩa vật lý Tuy nhiên, nhiều toán thực tiễn khoa học cơng nghệ dẫn đến tốn đặt khơng chỉnh Chính lý mà từ đầu thập niên 50 kỷ trước, nhiều công trình nghiên cứu đề cập tới tốn đặt khơng chỉnh Các nhà tốn học A N Tikhonov, M M Lavrent’ev, F John, C Pucci, V K Ivanov người tiên phong lĩnh vực Từ năm 1955, John công bố kết phương pháp số để giải tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian Sau Krein cộng công bố kết đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình parabolic ngược thời gian tính ngược cho toán Năm 1963, Tikhonov đề xuất phương pháp chỉnh hóa, ứng dụng cho hầu hết tốn đặt khơng chỉnh tốn ngược Đặc biệt, phương pháp Franklin ứng dụng thành cơng cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian vào năm 1974 Ngoài phương pháp trên, nhiều tác giả sử dụng phương pháp tựa đảo (phương pháp QR), phương pháp ổn định tựa đảo (phương pháp SQR), phương pháp phương trình dầm ngược (the backward beam equation approach), phương pháp tốn giá trị biên khơng địa phương, phương pháp lặp, phương pháp biểu diễn nghiệm dạng chuỗi, phương pháp sai phân, phương pháp làm nhuyễn (mollification method) cho phương trình parabolic ngược thời gian Tuy nhiên, khơng có phương pháp đa giải thấu đáo tất loại toán Chẳng hạn phương pháp Tikhonov phương pháp tựa đảo đòi hỏi phải giải phương trình bậc cao gấp đơi phương trình có việc tìm tham số hiệu chỉnh khơng dễ dàng Ngồi ra, khó sử dụng phương pháp Tikhonov khơng gian Banach, hay nói chung việc nghiên cứu phương pháp chỉnh hóa khơng gian Banach chưa phát triển Cho đến nay, hàng trăm cơng trình có giá trị phương trình parabolic ngược thời gian công bố tập trung vào hướng nghiên cứu là: 1) Tính ngược (backward uniqueness), 2) Đánh giá ổn định, 3) Phương pháp chỉnh hóa, phương pháp số ổn định hữu hiệu Trong luận án này, tập trung nghiên cứu đánh giá ổn định chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian Chúng tơi chỉnh hóa toán ut + Au = 0, < t < T, u(T ) − f ε (0.1) cách sử dụng phương pháp tốn giá trị biên khơng địa phương vαt + Avα = 0, < t < aT, αvα (0) + vα (aT ) = f với a (0.2) tham số chỉnh hóa α > Chúng đưa cách chọn tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm hậu nghiệm để phương pháp chỉnh hóa bậc tối ưu Ngồi ra, phương pháp thử nghiệm máy tính cho kết khả quan Theo chúng tôi, Vabishchevich người sử dụng phương pháp cho phương trình parabolic ngược thời gian vào năm 1981 Ơng đề xuất phương pháp tiên nghiệm cho tốn (0.1) khơng đưa tốc độ hội tụ chúng tơi làm luận án Ngồi ra, ông đề xuất phương pháp hậu nghiệm cho toán (0.1) sau: Giải toán đặt chỉnh uαt + Auα = 0, < t < T, αuα (0) + uα (T ) = f, α > chọn α cho uα (T ) − f = ε Tuy nhiên, chứng minh cách làm kéo theo phương pháp bậc tối ưu Do đó, chúng tơi đề xuất sử dụng phương pháp Cố định số a > Xét toán đặt chỉnh vαt + Avα = 0, < t < aT, αvα (0) + vα (aT ) = f, α > (0.3) lấy vα ((a − 1)T + t) xấp xỉ u(t) Chúng đề xuất cách chọn tham số α cách tiên nghiệm hậu nghiệm, sau chứng minh cách làm cho ta phương pháp chỉnh hóa bậc tối ưu cho toán (0.1) Phương pháp tiên nghiệm đưa Định lý 1.2.1, 1.2.3, 1.2.5, 1.3.1, phương pháp hậu nghiệm phát biểu sau: Giả sử ε < f , lấy τ > thỏa mãn điều kiện τ ε < f Chọn α > cho vα (aT ) − f = τ ε Trước đây, Showalter, Clark, Oppenheimer Mel’nikova chỉnh hóa tốn (0.1) tốn giá trị biên không địa phương ut + Au = 0, < t < T, αu(0) + u(T ) = f, α > (0.4) Kết đạt trường hợp a = xác số đánh giá sai số họ Ngoài ra, Denche Bessila xấp xỉ toán (0.1) toán ut + Au = 0, < t < T, −αut (0) + u(T ) = f, α > (0.5) Họ đạt đánh giá sai số kiểu logarithm t = với điều kiện ngặt Au(0) bị chặn, có nghĩa u(0) phải nằm miền xác định A Điều không thường gặp thực tế Chúng chứng minh luận án ta khơng cần địi hỏi ut tồn tại t = tác giả trên, mà cần sử dụng tốn (0.4) ta nhận đánh giá ổn định so sánh với kết họ Khác với trường hợp tốn tử A khơng phụ thuộc thời gian, trường hợp toán tử A phụ thuộc thời gian phức tạp nhiều ta khơng có cơng thức biểu diễn tường minh nghiệm tốn có kết đánh giá ổn định chỉnh hóa tốn trường hợp Trong luận án, cải tiến phương pháp Agmon Nirenberg để nhận đánh giá ổn định tốt tác giả Ngồi ra, chúng tơi cịn số trường hợp đánh giá ổn định cịn tốt trường hợp hệ số không phụ thuộc thời gian Điều đặc biệt cách sử dụng tốn giá trị biên khơng địa phương, với cách chọn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm để chỉnh hóa phương trình parabolic với hệ số biến thiên ngược thời gian, nhận đánh giá sai s kiu Hălder o õy l kt qu nht từ trước đến phương pháp chỉnh hóa cho tốc độ hội tụ toán Trong phần luận án, sử dụng phương pháp làm nhuyễn để chỉnh hóa phương trình dẫn nhiệt ngược thời gian không gian Banach Lp (R), < p < ∞ Cụ thể nghiên cứu toán sau đây: Cho p ∈ (1, ∞), ϕ ∈ Lp (R) ε, E số thỏa mãn < ε < E < ∞, xét phương trình truyền nhiệt ngược thời gian ut = uxx , x ∈ R, t ∈ (0, T ), u(·, T ) − ϕ(·) Lp (R) ε với ràng buộc u(·, 0) Lp (R) E (0.6) (0.7) Chúng nhận thấy rằng, trường hợp p = khó nhiều, khơng có đẳng thức Parseval biến đổi Fourier hàm Lp (R) với p > nói chung hàm suy rộng Đinh Nho Hào đưa đánh giá ổn định kiểu Hălder vi p (1, ] nh sau: o Nu u1 u2 hai nghiệm tốn, tồn số c∗ cho với t ∈ √ [0, T ] ta có u1 (·, t) − u2 (·, t) Lp (R) ≤ 3((c∗ E)1−t/T εt/T + (c∗ E)1−t/(4T ) εt/(4T ) ) Trong luận án này, cải tiến đánh giá với p ∈ (1, ∞) Cụ thể, với p ∈ (1, ∞), chứng tỏ tồn số c > cho u1 (·, t) − u2 (·, t) Lp (R) cεt/T E 1−t/T , ∀t ∈ [0, T ] Do phương trình truyền nhiệt ngược thời gian tốn đặt khơng chỉnh: nhiễu nhỏ kiện Cauchy gây lỗi lớn nghiệm nên để vượt qua khó khăn này, Đinh Nho Hào đề xuất phương pháp nhuyễn để giải toán cách ổn định chng minh cỏc ỏnh giỏ n nh kiu Hălder ca nghiệm o Trong luận án, sử dụng kỹ thuật để chỉnh hóa tốn (0.6)–(0.7) Tuy nhiên, thay sử dụng nhân de la Vallée Poussin để làm nhuyễn kiện Cauchy ϕ, sử dụng nhân Dirichlet kiện làm nhuyễn cách lấy tích chập nhân với ϕ Dữ kiện làm nhuyễn thuộc khơng gian hàm có băng giới nội (band-limited functions), mà tốn Cauchy đặt chỉnh với cách chọn tham số nhuyễn thích hợp đạt đánh giá sai số kiểu Hălder o Cỏc ỏnh giỏ n nh cho nghim ca toán (0.6)–(0.7) hệ trực tiếp đánh giá sai số bất đẳng thức tam giác Trong luận án, bổ sung vào kết Đinh Nho Hào trường hợp p = 2, thit lp ỏnh giỏ n nh kiu Hălder cho tt đạo hàm x t o nghiệm Để ý rằng, đánh nhận lý thuyết toán đặt không chỉnh Như biết, với điều kiện (0.7), khơng hy vọng có phụ thuộc liên tục nghiệm t = vào điều kiện cuối Tuy nhiên, ta nhận tính chất này, có thêm điều kiện độ trơn nghiệm thời điểm ban đầu u(x, 0) (xem Định lý 3.2.7) Để đạt mục đích này, hệ số chỉnh hóa thường chọn phụ thuộc vào tham số điều kiện nguồn độ trơn, tham số nhìn chung Để vượt qua hạn chế này, Định lý 3.2.6 3.2.10, đề xuất cách chọn tham số làm nhuyễn sử dụng điều kiện (0.7) mà đảm bảo đánh giá sai s kiu Hălder o (0, T ] v s phụ thuộc liên tục nghiệm vào kiện toán t = điều kiện độ trơn điều kiện ban đầu thỏa mãn tham số điều kiện cụ thể Cách chọn tham số làm nhuyễn lý thú hiệu cho việc giải số tốn (0.6)–(0.7) Khi p = 2, biến đổi Fourier kiện làm nhuyễn có giá compact, có hai dạng tương đương phương pháp làm nhuyễn: dạng gốc nó, hai dạng chặt cụt tần số Hai dạng dẫn tới hai phương pháp số khác dễ dàng thực máy tính nhờ kỹ thuật biến đổi Fourier nhanh (FFT) Với p = 2, phương pháp không áp dụng được, nên đề xuất sơ đồ sai phân tiến ổn định cho toán (0.6) Chúng thử nghiệm phương pháp ví dụ số khác thấy chúng ổn định, nhanh hiệu Luận án bao gồm phần Mở đầu, chương, Kết luận Tài liệu tham khảo Chương trình bày kết chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số khơng phụ thuộc thời gian không gian Hilbert Các Định lý 1.2.1, 1.2.3, 1.2.5 trình bày kết cho cách chọn tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm trường hợp a = Các Định lý 1.3.1, 1.3.3 trình bày kết cho cách chọn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm trường hợp a > Phần cuối chương 1, ví dụ số đưa để minh chứng cho phần lý thuyết Chương trình bày kết đánh giá ổn định chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert Chương trình bày kết ổn định cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian không gian Hilbert Banach, cụ thể không gian Lp (R) với p ∈ (1, +∞) Các Định lý 3.2.1, 3.2.3 cho ta kết ổn định chỉnh hóa khơng gian Banach với tốc độ hội tụ đạt phương trình không gian Hilbert Một hiệu chỉnh nhỏ cách chọn tham số ν Định lý 3.2.1 đảm bảo cho ta mt ỏnh giỏ n nh kiu Hălder vi mi t ∈ (0, T ] phụ thuộc o ˜ liên tục kiểu logarithm t = với E γ khơng biết cụ thể trình bày Định lý 3.2.6 Trong trường hợp p = 2, Định lý 3.2.7 đưa đánh giá sai số cho tất đạo hàm nghiệm x t Một hiệu chỉnh nhỏ việc chọn tham số ν Định lý 3.2.7 đảm bảo phụ thuộc liên tục kiểu logarithm ˜ t = (3.7) với E γ cụ thể trình bày Định lý 3.2.10 Phần cuối chương dành cho việc trình bày sơ đồ sai phân tiến ổn định ví dụ số CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ KHƠNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN Xét phương trình parabolic ngược thời gian ut + Au = 0, < t < T, u(T ) − f ε (1.1) với A tốn tử dương tự liên hợp khơng bị chặn có sở gồm vectơ riêng trực chuẩn {φi }i không gian Hilbert H với chuẩn · , tương ứng với giá trị riêng {λi }i cho < λ1 λ2 ., lim λi = +∞ ε > i→+∞ cho Để chỉnh hóa tốn, ta giả thiết thêm rằng, u(0) (1.2) E với số thực E thỏa mãn E > ε > Trong chương này, chúng tơi chỉnh hóa tốn (1.1), (1.2) tốn giá trị biên không địa phương đặt chỉnh vαt + Avα = 0, < t < aT, αvα (0) + vα (aT ) = f với a (1.3) tham số chỉnh hóa α > Bằng cách chọn tham số chỉnh hóa thích hợp, chúng tơi thu đánh giá sai số có bậc tối ưu Chương tổng hợp kết cơng bố tạp chí Journal of Mathematical Analysis and Applications IMA Journal of Applied Mathematics 1.1 Một số khái niệm bổ đề sở Định nghĩa 1.1.1 Cho H khơng gian Hilbert thực với tích vô hướng ·, · chuẩn · , a T số thực dương Không gian C([0, aT ]; H) bao gồm tất hàm liên tục u : [0, aT ] → H với chuẩn u C([0,aT ];H) = max t aT u(t) < ∞ Không gian C ((0, aT ); H) bao gồm tất hàm khả vi liên tục u : (0, aT ) → H Kí hiệu D(A) ⊂ H miền xác định toán tử A : D(A) ⊂ H → H Định nghĩa 1.1.2 Hàm vα : [0, aT ] → H gọi nghiệm (1.3) vα ∈ C ((0, aT ); H) ∩ C([0, aT ]; H), vα (t) ∈ D(A), ∀t ∈ (0, aT ), thỏa mãn phương trình vαt + Avα = khoảng (0, aT ) điều kiện giá trị biên αvα (0) + vα (aT ) = f Định nghĩa 1.1.3 Hàm số H(η) xác định H(η) = η η (1 − η)1−η , 1, η ∈ (0, 1), η = (1.4) Rõ ràng rằng, H(η) ≤ với η ∈ [0, 1] Hàm số C(x, y) với > x 0, y > xác định C(x, y) = 1.2 y 1−x y e1−x−y (1.5) Chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian tốn giá trị biên khơng địa phương trường hợp a = Trong phần này, chúng tơi hiệu chỉnh tốn (1.1), (1.2) tốn giá trị biên khơng địa phương vt + Av = 0, < t < T, αv(0) + v(T ) = f, α > (1.6) Để đơn giản, ký hiệu nghiệm (1.1) u(t) nghiệm (1.6) v(t) Định lý 1.2.1 Nếu u(t) thỏa mãn điều kiện (1.2), bất đẳng thức sau v(t) − u(t) Hơn nữa, chọn α = Ở Q(t, α) αt/T −1 ε + αt/T E , ∀t ∈ [0, T ] ε , v(t) − u(t) E 2Q t, E (1.7) εt/T E 1−t/T , ∀t ∈ [0, T ] Q(t, α) = min{K(t, α), H(t/T )}, t ∈ [0, T ], √ −t/T K(t, α) := H(t/T ) 2α + ∈ (0, 1), ∀t ∈ (0, T ), ∀α > 0, √ K(0, α) = 1, K(T, α) = 1/ 2α + 11 C1 (t, T, a, β) = + C t/T a, β a H + C (0, β) 1−t/T (iii) Nếu u(t) thỏa mãn điều kiện (1.9), với α = aT T +γ ε E2 với t ∈ [0, T ] ta có u(t) − vα ((a − 1)T + t)  t+γ t+γ  T +γ 1− T +γ 2ε E , < γ (a − 1)T,    aT aT t/T T γ  1− T +γ 1−t/T T +γ E T +γ E T +γ ε 2ε (1 + o(1)), ε → 0+ , 2 nếu (a − 1)T < γ aT,    aT 1− aT  ε T +γ E T +γ (1 + o(1)), ε → 0+ , γ > aT Chọn tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm Định lý 1.3.3.Giả sử ε < f Chọn τ > cho < τ ε < f Khi tồn số αε > thỏa mãn (1.10) vαε (aT ) − f = τ ε Hơn nữa, (i) u(t) nghiệm toán (1.1) (1.2), u(t) − vαε ((a − 1)T + t) (τ + 1) 2τ − τ −1 t/T 1−t/T εt/T E 1−t/T , ∀t ∈ [0, T ], (ii) u(t) nghiệm toán (1.1) (1.8), ε → 0+ , u(t) − vαε ((a − 1)T + t) t/T C2 (τ, t, T, a, β)ε t T 1−t/T E1 t β(1− T với C2 (τ, t, T, a, β) = (τ + 1) a ) E1 ln T ε −β(T −t)/T (1 + o(1)), C(1/a, β)H(1/a) + C(0, β) τ −1 t 1− T (iii) u(t) nghiệm tốn (1.1) (1.9), với t ∈ [0, T ] ta có u(t) − vαε ((a − 1)T + t) t+γ 1− T +γ C3 (τ, t, T, a, β)ε E2 , < γ t t 1− a (1− T ) E a (1− T ) , γ > C4 (τ, t, T, a, β)ε t+γ T +γ với C3 (τ, t, T, a, β) = (τ + 1) t T (τ + 1) γ (T +γ) (a − 1)T, (a − 1)T, + (1/(τ − 1)) T T +γ t 1− T C4 (τ, t, T, a, β) = (τ + 1) t T (τ + 1) γ T +γ ε (γ−(a−1)T ) a(T +γ) − (γ−(a−1)T ) E2 a(T +γ) + (1/(τ − 1)) a t 1− T 12 Nhận xét 1.3.5 (a) Trong trường hợp thứ thứ hai, phương pháp chúng tơi có bậc tối ưu (b) Trong trường hợp thứ ba, phương pháp chúng tơi có bậc tối ưu với γ ∈ (0, (a − 1)T ] 1.4 Ví dụ số Chúng tơi thử nghiệm máy tính phương pháp chọn hậu nghiệm Mục 1.3 với hai ví dụ thấy phương pháp ổn định hữu hiệu 1.5 Kết luận Chương Phương trình parabolic ngược thời gian ut + Au = 0, < t < T, u(T ) − f ε với ràng buộc u(0) E (E > ε > 0) chỉnh hóa tốn giá trị biên không địa phương đặt chỉnh vαt + Avα = 0, < t < aT, αvα (0) + vα (aT ) = f, a 1, α > - Trong trường hợp a = 1, cách chọn tham số tiên nghiệm đề xuất kéo theo đánh giỏ n nh kiu Hălder cho tt c t (0; T ], đánh giá ổn định kiểu o logarithm hoc kiu Hălder ti t = cú thờm điều kiện nguồn Khi khơng có o thơng tin độ trơn nghiệm thời điểm ban đầu, cách chọn tham số hậu nghiệm kéo theo đánh giá n nh kiu Hălder cho tt c t (0; T ] với bậc tối o ưu đạt - Trong trường hợp a > 1, cách chọn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm đề xuất kéo theo phương pháp chỉnh hóa bậc tối ưu - Trình bày kết số để minh chứng cho tính hữu hiệu phần lý thuyết CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC NGƯỢC THỜI GIAN VỚI HỆ SỐ PHỤ THUỘC THỜI GIAN Trong chương này, chúng tơi trình bày kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian ut + A(t)u = 0, u(T ) − f ε thỏa mãn ràng buộc A(t) (0 t u(0) < t < T, (2.1) (2.2) E, T ) : D(A(t)) ⊂ H → H tốn tử dương tự liên hợp khơng bị chặn, H khơng gian Hilbert có tích vơ hướng ·, · chuẩn · , f ∈ H , E > ε > biết Chương tổng hợp kết công bố tạp chí Inverse Problems 2.1 Các kết ổn định A Kết Agmon Nirenberg Để tiện theo dõi, chúng tơi trình bày lại kết Agmon Nirenberg Giả sử rằng: (i) A(t) : D(A(t)) ⊂ H → H toán tử đóng, xác định trù mật với t ∈ [0, T ] u(t) thuộc vào miền xác định A∗ (t) A(t) (ii) A(t) trơn theo biến t A(t) "tự liên hợp hầu khắp nơi" Giả thiết biểu diễn điều kiện đơn giản: u(t) nghiệm phương trình Lu = du + A(t)u = 0, dt tồn số dương k, c cho d A(t)u(t), u(t) ≥ (A(t) + A∗ (t))u(t) − dt 2 −c t T, (2.3) (A(t) + k)u(t), u(t) 14 Định lý 2.1.1 (Agmon Nirenberg) Nếu điều kiện (i)–(ii) thỏa mãn hàm log |e−kt u(t)| lồi theo biến s = ect Các kết sau hệ trực tiếp Định lý 2.1.1 Mệnh đề 2.1.2 (Đánh giá ổn định) Nếu điều kiện (i)–(ii) thỏa mãn với t ∈ [0, T ], ta có u(t) ≤ ekt−kT µ(t) u(T ) µ(t) u(0) 1−µ(t) ect − µ(t) = cT e −1 với , (2.4) (2.5) Trong trường hợp A(t) toán tử tự liên hợp, ta có kết sau: Mệnh đề 2.1.3 Giả sử (i) A(t) toán tử tự liên hợp với t u(t) thuộc miền xác định A(t) (ii) Tồn số dương k, c cho với u(t) nghiệm phương trình (2.3), ta có bất đẳng thức − d A(t)u(t), u(t) ≥ A(t)u dt − c (A(t) + k)u(t), u(t) (2.6) Khi đó, nghiệm u(t) (2.3) thỏa mãn bất đẳng thức sau với t ∈ [0, T ] u(t) ≤ ekt−kT µ(t) u(T ) µ(t) u(0) 1−µ(t) (2.7) t , ∀t ∈ (0, T ) Do đó, kết đánh giá ổn định T Agmon Nirenberg không tốt kết trường hợp hệ số khơng phụ Nhận xét 2.1.4 µ(t) < thuộc thời gian B Cải tiến kết Agmon Nirenberg Định lý 2.1.5 Giả sử (i) A(t) toán tử tự liên hợp với t ∈ [0, T ] u(t) thuộc miền xác định A(t) (ii) Tồn số k, c cho với u(t) nghiệm (2.3) ta có bất đẳng thức − d A(t)u(t), u(t) ≥ A(t)u dt − c (A(t) + k)u(t), u(t) (2.8) 15 Chọn a1 (t) hàm khả tích Riemann [0, T ] cho a1 (t) c, ∀t ∈ [0, T ] − d A(t)u(t), u(t) ≥ A(t)u dt − a1 (t) (A(t) + k)u(t), u(t) (2.9) Với t ∈ [0, T ], đặt t a2 (t) = exp t a1 (τ )dτ , a3 (t) = a2 (ξ)dξ, ν(t) = a3 (t) a3 (T ) (2.10) Khi đó, nghiệm u(t) phương trình (2.3) thỏa mãn đánh giá sau với t ∈ [0, T ]: u(t) ≤ ekt−kT ν(t) u(T ) ν(t) u(0) 1−ν(t) (2.11) Nhận xét 2.1.7 Nếu A(t) = A tốn tử tự liên hợp khơng phụ thuộc vào t, t ta chọn a1 (t) = 0, ∀t ∈ [0, T ] ν(t) = , ∀t ∈ [0, T ] T t Nhận xét 2.1.8 Nếu a1 (t) < 0, ∀t ∈ (0, T ) ν(t) > , ∀t ∈ (0, T ) T Mệnh đề 2.1.9.Với t ∈ [0, T ], ta có ν(t) µ(t) Ví dụ 2.1.11 Ta xét toán chiều ut = (a(x, t)ux )x , < x < π, < t < T, u(0, t) = u(π, t) = 0, ≤ t ≤ T (2.12) với hệ số a(x, t) ∈ C ([0, π] × [0, T ]) a(x, t) ≥ a > Trong trường hợp này, ¯ at (x, t) ta chọn k = a1 (t) = supx∈[0,π] , t ∈ [0, T ] Một ví dụ cụ thể a(x, t) Tπ a(x, t) hàm số a(x, t) = + x, ∀t ∈ [0, T ], ∀x ∈ [0, π], ta có T +t t t t T + ln(1 + T ) ν(t) = > , ∀t ∈ (0, T ) + ln2 T 2.2 Hiệu chỉnh toán Trong phần này, ta giả sử rằng: (H1 ) Với miền hình quạt t T , phổ A(t) chứa σ(A(t)) ⊂ Σω = {λ ∈ C; |argλ| < ω}, với góc ω cố định cho < ω < (λ − A(t))−1 π tồn số M M , |λ| λ ∈ Σω , t t T, (2.13) cho T (2.14) 16 (H2 ) Miền xác định D(A(t)) độc lập với t A(t) khả vi liên tục mạnh (H3 ) Với t ∈ [0, T ], A(t) tốn tử khơng bị chặn, tự liên hợp, xác định dương tồn hàm số a1 (t) khả tích Riemann [0, T ] với số không du âm k cho u(t) nghiệm phương trình + A(t)u = 0, < t ≤ T dt d − A(t)u(t), u(t) ≥ A(t)u − a1 (t) (A(t) + k)u(t), u(t) (2.15) dt Nhận xét 2.2.1 Nếu giả thiết (H1 ) − (H2 ) thỏa mãn tồn số N > cho Đặt A(t)(A(t)−1 − A(s)−1 ) B(t) = N |t − s|, A(t), t T, A(2T − t), T < t s, t T (2.16) (2.17) 2T Khi B(t) = B(2T − t), ∀t ∈ [0, 2T ] Hơn nữa, B(t) (0 t 2T ) tốn tử khơng bị chặn tự liên hợp xác định dương, miền xác định D(B(t)) độc lập với t, B(t) (0 t 2T ) thỏa mãn điều kiện (2.13), (2.14) (2.16) Ký hiệu w(t) nghiệm phương trình parabolic thuận thời gian wt + B(t)w = 0, T w(T ) = f t 2T, (2.18) Đặt g = w(2T ) Xét toán giá trị biên không địa phương vt + B(t)v = 0, < t 2T, αv(0) + v(2T ) = g, α > (2.19) Trong chương này, ta ký hiệu u(t) nghiệm (2.1)–(2.2) vα (t) nghiệm toán (2.19) Định nghĩa 2.2.2 Hàm vα : [0, 2T ] → H gọi nghiệm (2.19) vα ∈ C ((0, 2T ); H) ∩ C([0, 2T ]; H), vα (t) ∈ D(A), ∀t ∈ (0, 2T ), thỏa mãn vαt + B(t)vα = khoảng (0, 2T ) với điều kiện giá trị biên αvα (0)+vα (2T ) = g A Luật chọn tham số hiệu chỉnh tiên nghiệm ε ta có đánh E ∀t ∈ [0, T ], Định lý 2.2.3 Bài toán (2.19) toán đặt chỉnh Với α = giá u(t) − vα (t) ≤ 2ekt−kT ν(t) ε ν(t) E 1− ν(t) xác định theo công thức (2.10) ν(t) , 17 B Luật chọn tham số hiệu chỉnh hậu nghiệm Định lý 2.2.11.Giả sử ε < g Chọn τ > cho τ ε < g Khi đó, tồn số αε > cho (2.20) vαε (2T ) − g = τ ε Hơn nữa, u(t) nghiệm tốn (2.1) (2.2), với t ∈ [0, T ] ta có 2.3 u(t) − vαε (t) (1 + τ )(τ − 1) ν(t) −1 ekt−kT ν(t) ε ν(t) E 1− ν(t) (2.21) Các ví dụ Giả sử Ω miền bị chặn Rn với biên đủ trơn, < T < ∞ Đặt Q := Ω × (0, T ) Với đa số p = (p1 , p2 , , pn ), ta định nghĩa |p| = p1 + p2 + · · · + pn Dp = ∂ |p| p1 p2 ∂x1 x2 ···xpn n Các kết phần 2.1 2.2 ứng dụng cho phương trình parabolic bậc 2m (m ≥ 1) ut = − (−1)|p| Dp (apq (x, t)Dq u), (x, t) ∈ Q (2.22) |p|,|q|≤m với hệ số apq ∈ C ([0, T ]; L∞ (Ω)) hàm thực thỏa mãn apq = aqp điều kiện elliptic ξ p apq (x, t)ξ q ≥ δ|ξ|2m , ∀(x, t) ∈ Q, ξ ∈ Rn \ {0} (2.23) |p|,|q|=m số dương δ độc lập với t điều kiện biên Dirichlet điều kiện biên chuẩn 2.4 Kết luận chương Kết Chương bao gồm: - Đưa kết đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian (Định lý 2.1.5) - Đưa phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian Các phương pháp chọn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm đề xuất để đảm bảo cỏc ỏnh giỏ sai s kiu Hălder (nh lý 2.2.3, Định lý o 2.2.11) CHƯƠNG CÁC KẾT QUẢ ỔN ĐỊNH CHO PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT NGƯỢC THỜI GIAN Trong chương này, chúng tơi trình bày kết ổn định cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian ut = uxx , x ∈ R, t ∈ (0, T ), với ràng buộc u(·, 0) Lp (R) u(·, T ) − ϕ(·) Lp (R) ε (3.1) (3.2) E T > 0, ϕ ∈ Lp (R), < ε < E, < p < ∞ cho Các kết chương cơng bố tạp chí Journal of Mathematical Analysis and Applications 3.1 Các kết bổ trợ Định nghĩa 3.1.1 Hàm g(z), z ∈ C gọi hàm nguyên dạng mũ ν thỏa mãn tính chất sau: (i) Nó hàm nguyên, nghĩa là, phân tích thành chuỗi lũy thừa g(z) = k ak z k với hệ số số ak chuỗi hội tụ tuyệt tất số phức z ∈ C (ii) Với ε > tồn số dương Aε cho với số phức z ∈ C bất đẳng thức |g(z)| Định nghĩa 3.1.2 Aε exp((ν + ε)|z|) thỏa mãn Mν,p := Mν,p (R) (1 dạng mũ ν giới hạn x ∈ R thuộc Lp (R) p ∞) tập hợp hàm nguyên 19 sin(νx) gọi nhân Dirichlet có x Định nghĩa 3.1.5 Hàm Dν (x) = tính chất sau đây: (i) Nó hàm nguyên dạng mũ ν thuộc vào L2 (R) (ii) Dν = π (iii) π +∞ −∞ Dν (x)dx [−ν, ν], bên [−ν, ν] = (ν > 0) 1 +∞ Dν ∗ f = Dν (y)f (x − y)dy π π −∞ cp f p , cp số phụ thuộc (iv) Với f ∈ Lp (R), p ∈ (1, ∞), Sν (f )(x) = thuộc vào Mν,p Dν ∗ f p vào p (v) Nếu ω ∈ Mν,p Sν (ω) = ω (vi) F [Dv ∗ f ] = f [−ν, ν] (vii) f − Sν (f ) 3.2 p (1 + cp )Eν (f )p , Eν (f )p := inf g∈Mν,p f − g p Phương pháp nhuyễn kết ổn định Chúng làm nhuyễn kiện bị nhiễu ϕ xét toán làm nhuyễn uν = uν , x ∈ R, t ∈ (0, T ), xx t ν (x, T ) = S (ϕ)(x) u ν (3.3) Định lý 3.2.1 Cho ϕ ∈ Lp (R) với p ∈ (1, ∞) Khi tốn (3.3) có nghiệm Hơn nữa, với t ∈ [0, T ], hàm uν (·, t) thuộc vào uν (·, t) p cp (T −t)ν e ϕ p π Nếu toán (3.3) ta chọn ν= E ln , T ε Mν,p 20 uν (·, t) − u(·, t) cp + cp εt/T E 1−t/T , ∀t ∈ [0, T ] ˜ π p √ Ở u nghiệm toán (3.1)–(3.2) cp = (1 + cp )(1 + 3)e3/2 ˜ Định lý 3.2.3.Cho p ∈ (1, ∞) u1 , u2 hai nghiệm tốn (3.1)–(3.2) Khi u1 (·, t) − u2 (·, t) cp + cp εt/T E 1−t/T , ˜ π p t ∈ [0, T ] Định lý 3.2.6.Giả sử điều kiện Định lý 3.2.1 thỏa mãn Lấy β ∈ (0, 1) Nếu u nghiệm toán (3.1)–(3.2) toán (3.3) ta chọn ν= β E ln , T ε uν (·, t) − u(·, t) p cp β−1 1−β E ε + cp εβt/T E 1−βt/T , ∀t ∈ [0, T ] ˜ π ˜ Hơn nữa, tồn số dương E , γ , khơng biết cụ thể, cho ω(u(·, 0), h)p ˜ Ehγ , ∀h > 0, (3.4) t = ta có ν u (·, 0) − u(·, 0) p cp β 1−β E E ε + cp E β ln ˜ ˜ π T ε −γ/2 đánh giá kiểu logarithm Định lý 3.2.7 Giả sử p = u nghiệm toán (3.1)–(3.2), uν nghiệm tốn (3.3) Khi đó, với ν= E ln T ε (3.5) 21 ta có ∂ m+n uν (·, t) ∂ m+n u(·, t) − ∂tn ∂xm ∂tn ∂xm  (m+2n)/2   t/T 1−t/T E 2ε E  ln m + 2n 2t, t ∈ [0, T ],   T ε  m + 2n (m+2n)/2 E (m+2n)/2 t/T 1−t/T  1+ ln ε E ,   2t T ε     m + 2n > 2t, t ∈ (0, T ], (3.6) m, n ∈ N Nếu thay u(·, 0) E ta có điều kiện mạnh +∞ u(·, 0) Hs := 1/2 |u(ξ, 0)|2 (1 + ξ )s dξ Es −∞ (3.7) với s > Es > 0, cách chọn ν= ln Es ε T Es ln ε s − 2T , (3.8) ta đạt được, ε → 0+ , ∂ m+n uν (·, t) ∂ m+n u(·, t) − ∂tn ∂xm ∂tn ∂xm  Es −(T −t)s/(2T )+n+m/2 ( )m/2+n εt/T E 1−t/T (ln )  T (1 + T s/2 + o(1)),   ε    m + 2n − s 2t, t ∈ [0, T ],  m/2+n t/T 1−t/T (T ) ε E (ln Es )−(T −t)s/(2T )+n+m/2 × ε  (m+2n−s)/2   s/2 m + 2n − s × + T + o(1)    2t  m + 2n − s > 2t, t ∈ (0, T ] (3.9) Định lý 3.2.10 Chọn β số tuỳ ý (0, 1) Giả sử u nghiệm toán (3.1)–(3.2) uν nghiệm tốn (3.2.1) Khi đó, với ν= β E ln T ε 22 ta có ∂ m+n uν (·, t) ∂ m+n u(·, t) − ∂tn ∂xm ∂tn ∂xm  β ( T ln E )m/2+n εβt/T E 1−βt/T (1 + E β−1 ε1−β ),  ε   m + 2n 2t, t ∈ [0, T ], β E m/2+n βt/T 1−βt/T m+2n (m+2n)/2 ( T ln ε ) ε E (( 2t ) + E β−1 ε1−β )    m + 2n > 2t, t ∈ (0, T ] (3.10) Hơn nữa, tồn số dương s Es khơng biết cụ thể cho +∞ u(·, 0) Hs := 1/2 |u(ξ, 0)|2 (1 + ξ )s dξ −∞ Es , (3.11) ∂ m+n uν (·, t) ∂ m+n u(·, t) − ∂tn ∂xm ∂tn ∂xm   β m/2+n −s/2  β  ln E  T εβt/T E 1−βt/T Es T ln E + E β−1 ε1−β ,  ε E ε       m + 2n − s 2t, t ∈ [0, T ],   m/2+n β E εβt/T E 1−βt/T × T ln ε      × m+2n−s (m+2n−s)/2 Es β ln E −s/2 + E β−1 ε1−β   2t E T ε      m + 2n − s > 2t, t ∈ (0, T ], (3.12) với m + 2n − s < ∂ m+n uν (·, 0) ∂ m+n u(·, 0) − ∂tn ∂xm ∂tn ∂xm β E ln T ε m + 2n − s Es + β E ln T ε m + 2n ε(1−β) E β đánh giá kiểu logarithm 3.3 Sơ đồ sai phân tiến ổn định Để cho đơn giản, đặt U := uν , Ψ := ϕν (3.13) 23 Khi ta có hệ Ut = Uxx , x ∈ R, t ∈ (0, T ), U (x, T ) = Ψ, x ∈ R (3.14) (3.15) Trên R × [0, T ], ta lấy lưới xn = nh, τk = kτ n = 0, ±1, ±2, ; k = 0, 1, , N ; N τ = T k Với hàm f (x, t) định nghĩa R × [0, T ], ta đặt fn = f (nh, kτ ) Ta rời rạc hóa (3.14)-(3.15) thành sơ đồ sai phân tiến N Un = Ψ n , m−1 Un n = 0, ±1, m m m Un+1 − 2Un + Un−1 m , = Un − τ h2 n = 0, ±1, ; m = N, N − 1, , (3.16) (3.17) Định lý 3.3.1 Sơ đồ sai phân (3.16)–(3.17) xấp xỉ toán (3.14)–(3.15) với bậc O(h2 + τ ) Hơn nữa, h 3.4 π/ν , sơ đồ ổn định khơng điều kiện Ví dụ số Chúng tơi thử nghiệm máy tính bốn ví dụ với độ khó khác Kết cho thấy rằng, phương pháp ổn định hữu hiệu 3.5 Kết luận chương Chương giải vấn đề sau: - Chứng minh đánh giá ổn định dạng Hălder v hiu chnh phng trỡnh o truyn nhit ngc thời gian không gian Banach Lp (R), p ∈ (1; +∞) với tốc độ hội tụ đạt không gian Hilbert L2 (R) - Khi xét phương trình khơng gian Hilbert L2 (R), đánh giỏ n nh dng Hălder t c khụng ch cho nghiệm phương trình truyền nhiệt ngược o thời gian mà cho tất đạo hàm x t nghiệm - Đưa sơ đồ sai phân tiến ổn định khơng điều kiện ví dụ số để minh họa cho phần lý thuyết 24 Kết luận chung kiến nghị I Kết luận chung Luận án đạt kết sau: Hiệu chỉnh phương trình parabolic ngược thời gian có hệ số không phụ thuộc thời gian không gian Hilbert phương pháp tốn giá trị biên khơng địa phương Đưa luật chọn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm cho phương pháp chứng minh đánh giá sai số có bậc tối ưu Phương pháp thử nghiệm máy tính cho thấy ổn định hữu hiệu Đưa kết đánh giá ổn định chỉnh hóa cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian không gian Hilbert Kết đánh giá ổn định tốt kết Agmon Nirenberg Các luật chọn tham số tiên nghiệm hậu nghiệm cho phương pháp chỉnh hóa phương pháp tốn giá trị biên khơng địa phương đề xuất dn n cỏc ỏnh giỏ sai s dng Hălder o Đây kết cho phương pháp chỉnh phương trình parabolic ngược thời gian có hệ số phụ thuộc thời gian có đánh giá sai số dạng Hălder o a cỏc kt qu ỏnh giỏ ổn định chỉnh hóa phương trình truyền nhiệt ngược thời gian không gian Lp (R), p ∈ (1, +) Cỏc ỏnh giỏ thu c cú dng Hălder v có bậc kết đạt không gian Hilbert o Trong trường hợp p = 2, cỏc ỏnh giỏ n nh dng Hălder cho tt đạo hàm đối o với x t nghiệm đạt Các kết số đưa để minh họa cho phần lý thuyết II Kiến nghị Trong thời gian tới nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian không gian Banach Nghiên cứu phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian 25 Danh mục cơng trình NCS có liên quan đến luận án Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and H Sahli (2008), "A non-local boundary value problem method for parabolic equations backwards in time", Journal of Mathematical Analysis and Applications, No 345, pp 805-815 Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc (2009), "Stability results for the heat equation backward in time", Journal of Mathematical Analysis and Applications , No 353, pp 627-641 Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and D Lesnic (2009), "A non-local boundary value problem method for the Cauchy problem for elliptic equations", Inverse Problems, Vol 8, No 25, 055002, 27 pp Dinh Nho Hào, Nguyen Van Duc and D Lesnic (2010), "Regularization of parabolic equations backward in time by a non-local boundary value problem method", IMA Journal of Applied Mathematics, No 75, pp 291-315 Dinh Nho Hào and Nguyen Van Duc (2011), "Stability results for backward parabolic equations with time dependent coefficients", Inverse Problems, Vol 27, No 2, 025003, 20 pp Các kết luận án báo cáo - Seminar phịng Phương trình vi phân, Viện Tốn học, Viện Khoa học Cơng nghệ Việt Nam - Seminar tổ Giải tích, Khoa Tốn trường Đại học Vinh - Hội thảo tối ưu tính tốn khoa học lần thứ Ba Vì - Hà Nội, 04/2008 - Hội nghị quốc tế phương trình vi phân ứng dụng Hà Nội, 05/2009 - Hội nghị khoa học kỷ niệm "Nửa kỷ trường Đại học Vinh anh hùng" - Các Hội nghị NCS trường Đại học Vinh năm 2006 - 2009 - Ngồi ra, kết luận án cịn GS.TSKH Đinh Nho Hào báo cáo trường Đại học Potsdam, Đại học Siegen, Đại học Frankfurt, Đại học Bremen (CHLB Đức), Đại học Leeds (Vương Quốc Anh) ... sau: Nghiên cứu phương trình parabolic ngược thời gian khơng gian Banach Nghiên cứu phương trình parabolic phi tuyến ngược thời gian 25 Danh mục cơng trình NCS có liên quan đến luận án Dinh Nho... chỉnh hóa phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian khơng gian Hilbert Chương trình bày kết ổn định cho phương trình truyền nhiệt ngược thời gian không gian Hilbert Banach,... Kết luận chương Kết Chương bao gồm: - Đưa kết đánh giá ổn định cho phương trình parabolic ngược thời gian với hệ số phụ thuộc thời gian (Định lý 2.1.5) - Đưa phương pháp chỉnh hóa phương trình parabolic