Thông tin tài liệu
FB T *su tÇm* BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN x, y, z ≥ x y z+ + = x y z y z x + + ≥ + + + GIẢI x y z y z x y z x + + + + + + + + ! " " x x y VT y y + ⇔ + = + + + + " y y z z z + + + + + + " z z x x x + + + + + + ! ! ! ! " ! ! ! x y z VT + ≥ + + ! # $ VT x y z⇒ + ≥ + + = ! # # VT VP⇒ ≥ − = − = = %& '()*+,-./0/,1 2)Cho x, y, z là các số thực dương lớn hơn 1 và thoả mãn điều kiện xy + yz + zx ≥ 2xyz Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = (x - 1)(y - 1)(z - 1). GIẢI xy yz xz xyz x y z + + ≥ ⇔ + + ≥ 2 y z y z x y z y z yz − − − − ≥ − + − = + ≥ 3454 x z x z y x z x z xz − − − − ≥ − + − = + ≥ x y x y y x y x y xy − − − − ≥ − + − = + ≥ FB T 67898:;;4%< $ x y z− − − ≤ => , $ x y z⇔ = = = 3. Với mọi số thực x, y thỏa điều kiện ( ) x y xy+ = + . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức " " x y P xy + = + . G ?@4 t xy = ( ) ( ) " xy x y xy xy xy+ = + − ≥ − ⇒ ≥ − ( ) ( ) " xy x y xy xy xy+ = − + ≥ ⇒ ≤ ?A t− ≤ ≤ B). ( ) ( ) C " x y x y t t P xy t + − − + + = = + + '% ( ) ( ) C D t t P t − − = + ; D ; P t th t kth= ⇔ = = − P P − = = ÷ ÷ ( ) " P = AEFE6G " F66G BE4.2%H I − 4)Với mọi số thực dương I Ix y z thỏa điều kiện x y z+ + ≤ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P x y z x y z = + + + + + ÷ . G J&KLM?NOP $ x x + ≥ '()*+,Q./ x = 345 $ y y + ≥ $ z z + ≥ R ( ) C Cx y z− + + ≥ − "S;;;";4 #P ≥ # P x y z= ⇔ = = = AEF66:PG # 5. Chứng minh ( ) a b c ab bc ca a b c a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + với mọi số dương I Ia b c . G a ab ab a a a ab a b a b ab = − ≥ − = − + + 345 b b bc b c ≥ − + ; c c ca c a ≥ − + FB T S;;;4 ( ) a b c ab bc ca a b c a b b c c a + + + + + ≥ + + + + + 6)Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn " x y z + + = . CMR: x y z x y z x y z + + ≤ + + + + + + " .( ) x y z x y z ≤ + + + + I " ( ) x y z y x z ≤ + + + + I " ( ) x y z z y x ≤ + + + + EH I , " , ≤ + + I 1 " 1 ≤ + + I , 1 " , 1 ≤ + + SM?4%<%& 7.Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , 1 , , 1 1 1+ + + + + + + ≤ + . Giải: T-4844 , ,,11 ⇔ ,,1"1 ?@4,*,1 U* U1 *"1 R@4/ * * U** ≤ ( ) * * * + − + ( ) * * * * − + − + ( ) 1 1 1 "1 − + − + ( ) 1 "1 1 + + + ≤ ( ) " 1 1 1 + + = + GH ,11,11 ≤ 1 11 S4T84%V)&- FB T 8. Cho các số thực dương a,b,c thay đổi luôn thoả mãn : a+b+c=1.Chứng minh rằng : a b b c c a b c c a a b + + + + + ≥ + + + GIẢI a b c b c a A B b c c a a b b c c a a b + + + + + = + + + + + + + [ ] # A a b b c c a a b b c c a a b b c c a a b b c c a A + = + + + + + + + + + + ≥ + + + = + + + ⇒ ≥ a b c a b c a b b c c a a b b c c a B B = + + ≤ + + + + + + + + + + ⇔ ≤ ⇔ ≥ T%4 VP≥ + = = '()%W4,-./*X 9. Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn : x +3y+5z ≤ .Chứng minh rằng: "! " +zxy + " " +xyz + "$ " +yzx ≥ 45 xyz. GIẢI Bất đẳng thức ⇔ " x x + + # " # y y + + " z z + ≥ " VT ≥+++++≥ zyx zyx ! # zyx zyx + . ?@44 zyx 4 = ++ ≤ zyx zyx K%4 ≤ ?V)/YZ4 ≤ [\P]^4 t# t ! ! ! ! C ! Ct t t t t = + − ≥ − 45 '()*+,-./t=1 x=1; y= ; z= . 10. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng FB T xy yz zx x y z + + ≤ + + + + + GIẢI Để ý rằng ( ) ( ) ( ) ( ) xy x y x y+ − + = − − ≥ ; và tương tự ta cũng có yz y z zx z x + ≥ + + ≥ + Vì vậy ta có: ( ) 1, x y z x y z xy yz zx yz zx xy x y z yz xy z z y x yz zx y xy z z y x z y y z + + + + ≤ + + + + + ÷ + + + + + + ≤ + + + + + = − − + ÷ + + + ≤ − − + ÷ + + = 11.Cho a, b, c là ba cạnh tam giác. Chứng minh b c a a b a c a b c a c a b + + + + < ÷ + + + + + + GIẢI _;*;G*H42 a b c b c a c a b + > + > + > ?@4 ( ) ; ; ; ; ; ; a b c a x y a z x y z x y z y z x z x y + + = = = > ⇒ + > + > + > 84.84GH a b a c a VT a c a b a b c x y z y z z x x y + + = + + + + + + = + + + + + ( ) ( ) z z x y z z x y z z x y x y z x y + > ⇔ + + < + ⇔ > + + + 345 I x x y y y z x y z z x x y z < < + + + + + + '% ( ) x y z x y z y z z x x y x y z + + + + < = + + + + + G b c a a b a c a b c a c a b + + + + < ÷ + + + + + + 12. Cho hai số dương ;x y thỏa mãn: x y+ = . FB T Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: " " x y x y P xy + − = + GIẢI P]K3 ;x y 4`Q x y+ = " " " " " " x y x y x y y x y P xy y x y x + − = + = + + − = + + + − y x= − %< " " " " " " y x x y y P x x y x y x y x − = + + + − = + + + − ≥ + − = P *+ / I "x y= = =Ra Lưu ý: 4b4 y x= − P)%4_4.c*d(4:P] " x x g x x x + − = + − 13. Cho x, y, z ≥ thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) !x y z P x y z + + = + + GIẢI .9844 ( ) " x y x y + + ≥ *8%e43%3 ( ) ( ) x y x y⇔ ⇔ − + ≥ ?@4,1A% ( ) ( ) ( ) !" !" " !" x y z a z z P t t a a + + − + ≥ = = − + 94 z a ; t ≤ ≤ [d4P]^4U4 !"4 94 [ ] I∈ ( ) [ ] D !" ; D I # f t t t f t t = − − = ⇔ = ∈ E=&*-*842 ( ) [ ] I !" ^ $ t M t ∈ ⇒ = ⇒ F66:aG ! $ %H4%</,"1f 14. Chứng minh: ( ) x y z x y z + + + + ≤ ÷ với mọi số thực x , y , z thuộc đoạn [ ] I . GIẢI ( ) ( ) " "t t t t t t t ≤ ≤ ↔ − − ≤ ↔ − + ≤ ↔ + ≤ B). " I " I "x y z x y z + ≤ + ≤ + ≤ ( ) Q x y z x y z → = + + + + + ≤ ÷ FB T ( ) ( ) ! Q x y z x y z x y z x y z + + + + ≤ ≤ → + + + + ≤ ÷ ÷ 15.Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y x ln x = − . GIẢI [? ( ) ID = + ∞ I D G x y x x − = + g x ↔ = I_ G x y x x − = + GB?M AZ,Z D y → < I/,f D y → > AE x ↔ = 16. Cho x, y, z là 3 số thực thuộc (0;1]. Chứng minh rằng xy yz zx x y z + + ≤ + + + + + GIẢI ?bh.+ ( ) ( ) ( ) ( ) xy x y x y+ − + = − − ≥ I 43454i yz y z zx z x + ≥ + + ≥ + _=4 ( ) 1, x y z x y z xy yz zx yz zx xy x y z yz xy z z y x yz zx y xy z z y x z y y z + + + + ≤ + + + + + ÷ + + + + + + ≤ + + + + + = − − + ÷ + + + ≤ − − + ÷ + + = vv 17. Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x 2 + y 2 + z 2 ≤ 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P xy yz zx = + + + + + Giải X [ ] # xy yz zx xy yz zx + + + + + + + ≥ ÷ + + + # # P xy yz zx x y z ⇔ ≥ ≥ + + + + + + =F66GP /xyz ⇒ # ! P ≥ = FB T 18. Cho a, b, c là các số thực thoả mãn a b c+ + = Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức " # ! # ! " ! " # a b c a b c a b c M = + + + + + + + + GIẢI jNUP ! b c a b c+ + + + ≥ = 345k ?@4 ( ) ( ) ( ) I I" ; I I" ; l I I" l a b c c a b b c a u v M u v= = = ⇒ = + + r r uur r r uur ( ) ( ) ( ) l " " " a b c a b c a b c M u v≥ + + = + + + + + + + + r r uur = #M ≥ '()*+,-./ a b c= = = 19. Cho x, y, z ≥ thoả mãn x+y+z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) !x y z P x y z + + = + + GIẢI .9844 ( ) " x y x y + + ≥ ( ) ( ) x y x y⇔ ⇔ − + ≥ ?@4,1A% ( ) ( ) ( ) !" !" " !" x y z a z z P t t a a + + − + ≥ = = − + 94 z a ; t≤ ≤ [d4P]^4U4 !"4 94 [ ] I∈ ( ) [ ] D !" ; D I # f t t t f t t = − − = ⇔ = ∈ E=&*-*842 ( ) [ ] I !" ^ $ t M t ∈ ⇒ = ⇒ F66:aG ! $ %H4%</,"1f 20.Xét các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: , 1 1 , 1 , a 1 1, ,1 + + + = + + GIẢI , , 1 1 a 1 1 , , = + + + + + m 6=4(, U,≥,∀,;∈ ¡ '%, ≥,,∀,;f , , , + ≥ + ∀,;f 345;4 1 1 1 + ≥ + ∀;1f 1 , 1 , , 1 + ≥ + ∀,;1f S4T8**(4%W4T=%<n4.2;/84<&9m;4%< a≥,1∀,;;1f,1 FB T 3o;4GHa/,1 _=;a 21. Cho x, y, z lµ 3 sè thùc d¬ng tháa m·n xyz=1. Chøng minh r»ng x y y z z x + + ≤ + + + + + + pq4, * 1 4r,;;1fs*Q * * * O* ≥ **;K*fs * O* ≥ * ⇒ * ≥ *****f ⇒ ( ) * * * ≤ + + + + t4u4Q ( ) * * b ≤ + + + + ; ( ) * c ≤ + + + + d4jv4Q x y y z z x + + + + + + + + * + + b + + c + + ≤ ( ) * ab bc ca + + ÷ + + ( ) ( ) * c a b+ + = + + X¶y./,1 22.Cho a,b,c là ba số thực dương. Chứng minh: ( ) b c c a a b a b c a b c a b c + + + + + + + ≥ + + ÷ ÷ m9;*f * ≥ ** m =4=m ⇔ * O** O** ≥ ⇔ *O* ≥ %w ?W4,x./* mTm ⇒ * ≥ ** * ≥ ** ≥ ⇒ * ≥ **** mJ&KLM?PP]K34 a a a ≥ a b c 3 abc m67898:4%<M? ?W4,x./* FB T 23. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi và thỏa mãn: xyzzyx ≤++ . Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: xyz z zxy y yzx x P + + + + + = . xyz z zxy y xyx x P + + + + + = _ II >zyx ;J&KLM?NP4 xyz z zxy y yzx x P ++≤ ++= xyzxyz " ++ ≤ ++ = +++++≤ xyz zyx xyz xyzxyz yxxzzy " = ≤ xyz xyz '()*+,-. ===⇔ zyx =R,a 24. Cho x,y ∈ R và x, y > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của ( ) ( ) x y x y P x y + − + = − − ?@44,I4fJ&KLM?",≤, 4 " t xy ≤ t t xy t P xy t − − − = − + '4Of " t xy− ≥ − 24 " " t t t t t P t t t − − − ≥ = − − + [d4P] " I D I t t t f t f t t t − = = − − ^g4⇔44" 4 " ∞ ^g4 O ^4 ∞ ∞ $ '%a I f t +∞ ^"$%H4%</ " " x y x xy y + = = ⇔ = = [...]... 2 9 1 f '(t) = t − 2 > 0 ∀ t ≥ 2 2 1 9 ⇒ f (t) ≥ f ( ) = 2 16 9 1 khi x = y = Vậy : A min = 16 2 26.Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy f (t) = G S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy = 16x2y2...FB Thầy Hưng Toán 25. Cho x > 0, y > 0, x + y = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T= x y + 1− x 1− y π ÷ khi đó 2 cos 2 a sin 2 a cos3 a + sin 3 a ( sin a + cos a ) ( 1 − sin a.cos a ) T= + = = sin a cos a sina.cos a sin a.cos a π t2 −1 ... – 3xy) + 34xy = 16x2y2 – 2xy + 12 Đặt t = x.y, vì x, y ≥ 0 và x + y = 1 nên 0 ≤ t ≤ ¼ Khi đó S = 16t2 – 2t + 12 1 S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 ⇔ t = 16 25 1 191 S(0) = 12; S(¼) = ;S( )= Vì S liên tục [0; ¼ ] nên : 2 16 16 25 1 Max S = khi x = y = 2 2 FB Thầy Hưng Toán 2+ 3 2− 3 x = x = 191 4 4 Min S = khi hay 2− 3 2+ 3 16 y = y = 4 4 . FB T *su tÇm* BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIÁ TRI LN NN x, y, z ≥ x y z+ + = . rằng: "! " +zxy + " " +xyz + "$ " +yzx ≥ 45 xyz. GIẢI Bất đẳng thức ⇔ " x x + + # " # y y + + " z z + ≥ " VT ≥+++++≥ . ! = = = 26.Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x 2 + 3y)(4y 2 + 3x) + 25xy. G. B", " ,
Ngày đăng: 22/08/2014, 16:25
Xem thêm: 25 bài Bất đẳng thức ôn thi Đại hoc môn toán (thầy Hưng), 25 bài Bất đẳng thức ôn thi Đại hoc môn toán (thầy Hưng)
