Chuyên đề số nguyên tố Ngời thực hiện : Lê Huy Toàn Học sinh chuyên toán khoá 09-12 THPT Chuyên Thái Bình __________________________________________________________________________ __________ Từ trớc Công Nguyên, Ơclít đã khẳng định số nguyên tố và số nguyên là 2 phạm trù cơ bản của Số học. Thực tế đã chứng minh, Toán học dù phát triển đến đâu thì vai trò của số nguyên tố cũng không hề thay đổi. Nó vẫn là 1 vùng đất kì lạ du bao năm qua đã có nhiều ngời thám hiểm. Số nguyên tố- 3 tiếng đó đã thôi thúc trong tôi từ khi đọc đợc định lí Ơle-Gônbach và rồi cứ ngỡ mình đã giải đợc bài toán mà cha nha bác học nào giải đợc. Bởi vì khi đó tôi chi biết đến tập số tự nhiên mà không biết con nhiêu tập số khác nữa. Viết chuyên đề về số học, lại mới chỉ là 1 học sinhtrung bình trong đội tuyển, tôi đã suy nghĩ rất nhiều về việc lựa chọn đề tài. Và hình ảnh định lí ngày nào lại hiện về trong tôi. Và tôi quyết định chọn số nguyên tố làm đề tài. Với rất ít tài liệu trong tay, cùng với tầm hiểu biết ít, nhng mong rằng chuyên đề này sẽ không nhàm chán chỉ là những kiến thức mà chúng ta đã đợc học mà nó còn có thể hữu ích 1 phần nhỏ cho mọi ngời. Mục lục: 1. Định nghĩa 2 2. Lịch sử xuyên suốt thiên niên kỉ và một vài định lí 3 3. Một số dạng số nguyên tố 7 4. Các cặp số nguyên tố 12 5. Các dạng bài tập cơ bản 14 6. ứng dụng số nguyên tố trong đời sống 30 I/ Định nghĩa : ! "#$%&'()%*+,!$& '()%*#--.! -/$0$ 1 023#4" %5"6s nguyờn t& '78#4149"#1:51;*<=& '(:5s nguyờn t c nh ngha l mt s lớn hơn 1 ch cú 2 c s l 1 v chớnh nú. Có thể thấy 1 điều định nghĩa rất dễ hiểu. Nhng vấn đề nằm ở chỗ làm sao ta có thể dựa vào định nghĩa mà xác định 1 số có phải số nguyên tố hay không? 1 Từ xa đã có sàng lọc những số nguyên tố gọi là sàng Eratosthenes . Nhng với những số lớn thì việc sử dụng sàng này không hiệu quả. Dựa vào định nghĩa ta có thể thấy cách chứng minh đơn giản nhất là chia số đó cho các số nguyên tố nhỏ hơn nó nhng việc này tốn không ít thời gian nh việc sử dụng sàng Eratosthenes . Do đến ngày nay cha tìm đợc công thức của số nguyên tố nên ta chỉ có thể hạn chế việc thử chứ không có phơng pháp nào hữu hiệu nếu không sử dụng máy vi tính. Ta sẽ chứng minh 1 bài toán nhỏ : n N* n khụng chia ht cho mi s nguyờn t nh hn hoc bng CM: n l s nguyờn t Giải: >?#=#4"%*#4! 3 @A-: B1(:3?*?+ Ta cũng có những nhận xét cơ bản sau đây: C3D#4EF#4G*H*:*)I"=E$J#4 "K"%3:#4147"3HGL23DM8N#O1P o QD#4R(72S$2T& o QD#4MIU(7S$T& o QD#4V#4:#4$(7S$T& o QD#4$ (7 & o QD#4V#4:#4WR"XU(7 S$T& o Y+*FD#414HGL2& o G,?:*N*-/$!G"#414& Tuỳ thuộc vào kinh nghiệm , khi nhìn 1 số chúng ta sẽ co thể đoán đó là số nguyên tố hay không ma chỉ cần vài phép thử. Do trong các đề thi ít khi ngời ta ra những con số khổng lồ nên việc này coi nh không đáng ngại. II/ Lịch sử xuyên suốt thiên niên kỉ và một vài định lí: Với phần này ta sẽ đến với các định lí nhng không phải bằng cách thông thờng. Ta sẽ dọc theo dòng lịch sử để không chỉ biết về Toán mà còn biết nguồn gốc cái ta đang nghiên cứu. Số nguyên tố có quê hơng ở vùng Hi Lạp cổ đại . Ngời có công gây dựng và chứng minh 1 định lí cơ bản của số nguyên tố là Ơclit. Ông đã chứng minh tập hợp số nguyên tố là vô hạn. Đây là định lí đầu tiên và rất dễ để chúng ta có thể chứng minh. Công biểu diễn sô nguyên tố thuộc về Eratosthenes với sàng số nguyên tố. Số nguyên tố thực sự có bớc phát triển vợt bậc khi vào năm 18/10/1640 , Fermat gửi cho bạn ông 1 bức th . Trong đó có định lí Fermat nhỏ . Nguyên văn bức th nh sau: 2 Z[*(*##NN("(#*((####(# *((#\]^#(#"N#(#^_**(N#_((*"&` G một thói quen lạ kì của nha Toán học này. Ông không chứng minh định lí ông đa ra. Và đến tận năm 1736 , Euler mới công bố công trình chứng minh của mình . Nhng theo 1 tài liệu mật , Leibniz đã có bản thảo chứng minh với ý tởng tơng tự trớc năm 1683. Lạ kì là 1 cách độc lập các nhà toán học Trung Quốc trớc đó đã đa ra giả thiết (Up"6#414 0 &B$"p"#414! & BO1"()%*A;Ja"bJc(&'1%"S !p"#414T"#& Định lí nhỏ Fermat đợc phát biểu nh sau: Zp -p"14a"#414I3p& p -p"14a"#414I3p&` @ột cách tổng quát hơn : Gp"#414mn":#41H9 ! &` Bên cạnh đó , Euler khi nghiên cứu cũng đã dựa vào định lí trên để xây dựng 1 định lí mới : Z3"n,-d#41a,-d"#414I3En (eSnT"-b;J*["(#4:#41Dn14I 3n`BO1"V]:Ja"bc(!nfp"#414! eSpTfpg& ở đây eSnTf& 2 & &&&&&&&&&& k p p p ữ ữ ữ ới n= i k i i p = Bây giờ ta sẽ chứng minh định lí Fermat nhỏ theo nhiều cách khác nhau: YPh1*& Gf!K+"$&>?#=;$3f-ij kI?]1* & Y2PYl6:+Da"bc(N"IV%*#P '?:#P@6)(l%*U&m :/:Unm:/%]6*N*]1%" 4& 3 Q)?P':#4:7*&G-/E*N*]1! :/: &GE*N*]1!o6:/2(W"#pU("3*3* :/-:&Y:/0I&C!#4:/#p" C!#4:/*?"6#41*?+& Y:+"&q?-/:n Yl:--:"8N;AK1J/r*&GS*Tf!8#p1 ];AK1J*-81];AK1J*&B<": +a"b["(S1;AK1JU;A5T& Có thể còn rất nhiều cách khác. Mong mọi ngời bổ sung thêm Đứng trớc 1 định lí ta thờng đặt câu hỏi định lí đó đa ra để làm gì. ở đây cũng vậy. Là 1 định lí nổi tiếng, định lí Fermat nhỏ có những ứng dụng nh thế nào va định lí tông quát của nó ra sao. Ta cùng xét 1 vài ví dụ về định lí Fermat Ta xét 1 bài thi trong đề thi HSG lớp 12 tỉnh Bình Định năm vừa rồi : VD2: Y"#41H# &Y@sP GiảPtN &'a"Ec( %P fi A S3 uN T& k,1 "3H *?+& Ta tiếp tục với bài toán tiếp theo: VD3: Y@s3*"#414vS*rTwxy* um()%**f2"$SU:-+T u'#p+()%**i2&z*"#4"X& ':*Fa"bcP3*14"#41H# S*Tf&z p a S*T C!*14S*Tf\S2*Tf\&&&&S*r*Tf\ {*Fa"bcP S*rT p S*T S*r2T p S*T &&&& 4 2 p S*T\ p rS*rTS@*T\ GO%P vS*rTwy p rS*rTS*T s$5P vS*rTwy 2p yvS*r2Twy p y rS*T QBQc! SS*r2Tw*Tf fivS*r2Twy p S*TP vS*rTwy 2p rS*T\ k*"XS*r2T<"XfiS*rTwfrS*T G:-:!S*rTwxhết* B"*?+& Tiếp theo thành công của định lí Fermat , có thêm hàng loạt định lí khác ra đời . Trong đó kể đến định lí Wilson, Trêbsep, * Định lí Wilson: Đợc công bố vào năm 1773 bởi John Wilson . Yp"#4|"3H-*"#414-0-SprTwx p& * Định lí Trêbsep: Y5#4G1i"/'}6#4G14UD2r2 &CEFffi2r2f~fiqf vG14y &Y5#4G1i"/'}6#4G142 &CEFf~fi2ffiqfqfvG14y ua"b1"#(P Gi-!(:4x&&&xv-ry64"_6#4_J64G1 4qvqi-y &CEFf -fqf & f xfjf2&v"6#4Jqfy * Định lí Chen P5#4J"3%3VJ#41 4AJ6#4146#4=14SEJ#414T& Định lí Chen là 1 phần nhỏ của 1 giả thiêt mà đến ngày nay cha 1 nhà toán học nào có thể chứng minh hoàn toàn . Đó là giả thuyết Euler Goldbach . G. 2:5B+ >"["((U/(:P@5#4|"3 H%3VJ#414&["((?")(U/5 #4"3H2%3VJ2#414&G+ %6(;!#p+%;l"&2jj.#. :5Qt/C(9?]1K(5:U: +(U5#4"XJ"3%3VJ#41 4&G;J["("$91+;>"& 5 >?PY#4|i#p+(U%3VJ#4 14&tNP & '()%*PG!f2x3i&!#4i2-*" I"i!%3V2#414& 2& '()%*2P"X!fx3i2&';["( i2%3V#414&k%3 VJ#414& u>?1>"( G91:#414+|7N"3S?#4KT&BK W+,",1:(a1;4J;2#414"*&'*",1: (a1;4J;#4"*W+,&&&D"KM14 I#pM%"#4& Đây là 1 giả thuyết mới . Rất khó hiểu. Ta cùng xem biểu diễn giả thuyết qua hình học 'ùng đến với 1 số bài tập sử dụng các định lí trên. 2&Y+}vô số các cặp 2#4E*HE,jjj#414W D. B1I định lí: Y#4|!(v\2y"/}E,#41 4 tNjjjv\2y\v2\y\v y 5"#4E*Hthì ta có n và jjj 2 .n là số chính phơng . 3.CMR: G#4c( "#414!*?"3J 6 'c-/ A c"#414!*?-/ E*HScT& CM1 1( B?"?#= 1( >5",*Jc 1(cr1 fi S3 G ! k SOT CM1 C! 1(cr ficrf #1(c"#414 & "#414+ &>?#=3 P &Y+ (UP Từ fi 2 2 2 &&&&& n n P P P P+ + + + + & áp dụng định lí Trêbsep : Y5#4G1i"/'}6#4G14UD 2r2 fi 2 2 n n P P + + fiđpcm III/ Một số dạng số nguyên tố : 1. Số nguyên tố Fermat: - 414c2 2 n xSGT Trong 1 thời gian dài, ngời ta đã lầm tởng Fermat đã tìm ra công thức cho số nguyên tố . Thế nhng chính nhà toán học Euler đã chứng minh với n=5 thì số Fermat không còn là số nguyên tố nữa . Nhng điều đó không có nghĩa số nguyên tố dạng Fermat không còn giá trị . ta cùng xét bài toán : Tìm k sao cho : k. 2 n + 1 là hợp số un N Đặt 2 2 m m F = + thì j 2 F F F F F P và F =641.p ( p P ) , p > F Xét : x 2 S2 T& và x S Tp => x k = thoả mãn ta sẽ chứng minh với k > p thoả mãn bài toán Đặt n = 2 &S2 T m t m t N+ +) Nếu m { } j2 thì k. 2 n + 1 2 &S2 T 2 2 S 2 T n t+ + Dễ thấy 2 2 j2 m F m =M và 2 &S2 T 2 2 2 j2 m m t m + + + =M nên k.2 n + m FM lại có k.2 n + >k> F => k.2 n +1 là hợp số +)Nếu m=5 : tơng tự k.2 n + M , k.2 n + >641 +)Nếu m 6 : tơng tự k.2 n + M p , k.2 n + >p ta có đpcm 7 2. Sè nguyªn tè Mersenne : 6số MersenneS#4"<17J2(7P2  g6 #4aŠ1K"<17ST*?"#414T"6#414 B-;K@  "#414"n"#4142 ƒ rf"%*#4!ƒ-/" 14%"-/$PEF#4@(#2jƒ f2  g-/"1 4!~†2AI#4"#414& m;1:#414"3,%!,1)"#414@(#& Y:#414@(#];Ap3:#4;Š":#4U V:3OEJ&'("a#=;+:#414@(# 97a1V:"]1\-‹ƒ'YG["*:(U@" #414@(#!@S@xTL2"#4&C-‹~Q(["(+ (U,?:#4;…1&z/6#4;"X %))(U$-/}& *) T×m sè nguyªn tèMersenne : BR+ (UM n "#4140En"#414"? "%3;!:#414@(#&@;?(UM n "#414 n"#414"#&•4,EF1"2ŒŒrf2•~†"%*#4& B9:M:!#414@(#;19:#4 14@(#(,"3& 4#414@(#KM 2 fM  f M  fM f2 9% 7V8&•4+.M  f~†%!,1(3.ƒ•\#4* SM  M † T!,1WY".~~&•H6-‹M  %-( W["(. j&•4*S("a#=-/+|#4T"M 2  Q#!,1.~ •#M • q(#!.~~&m#4D SM ~† M j T%!,1-‹2jWqŽ(#.††ƒ& '7-‹ :#41%:5q:*@(@(#)9 +6":#414@(#3#4<"42 &k#:J /9•6#4#"K}?M • M 2 ]M • M ~† M j & qH*:*4,-(E14J:#4@(#%|#| E:691K%*:KWQ#.~ ~+ WQ(D.†j&m;1%5"-(Q#rQ( 3#414@(#&BA;+(US3ni2TM n f2 n g "#4140M n S n-2 (S j fƒ3ki j & 8 B}a#4:D#4J#414@(#"3,97 .J-‹1;=&Y$b(U(F69%"(& C;!:#414@(#|#|%:W::1E;= #4&'/KJW16#414@(#M 2 )o "|-N"N"$jPjjq&@&1jr†2-#=F:1E|6•#( ‘&•&G"(’•(#S••„YT“#’(G(" „"1##6B5Y"’(Q#„"#3#|-(|* JQ(#=FH(!1W>•s&@&s#&G"#41 4@(#K!,1#~.\#4*M •j 9%!,1 *(1#K)1:1&#4*”M 2 † M 22j M 22~ ”9% !,13IH(!(#:D&M ƒ2 "#414@(# K"#414#"3S(jjjD#4M**OrTM ƒƒƒ† "#4 14•(j&jjjD#4M**OST& B:†.2jj~03ƒ•#414@(#\#4"3,9"#4 S2 ƒ2•j† gT&Y<#414@(#(3%!()| :E:*O:(“(%35Tìm kiếm số nguyên tố Mersenne khổng lồ trên InternetS>(“(@(#q(•(r>“@q•T& *) C¸c ®Þnh lÝ :  xTGn"#41Ha"ba+P  1 )Acf2 a dfnfb chứng minh 9 fa n rb n xTG2 n r"#414!n"#414& Chứng minh k Gn-/"14Anfab(–ab–n&k2 a g"3J2 n g A2 n g-/"14& T•—G>‘˜™G'—>„‘•• @6#4G1>##"6#4q+3*K'|*Kš®":#4G1&'M* :#4G1>##"6@1)›%zb;"œviy& Y:qK=G14Jœviy<›%5":#4G14>##&@6#4 G14/)S®/-›*O;$›%5":•#4G14mD‹•T -/*?":#4G14>##& YR2fSxiTSriTfS2xiTS2riT& Y:#4G14mD‹›}3SƒT"#4G14>##&Yl:#4G1 4mD‹®}SƒT!-/& €"!#4G14ƒkx"/3'VJ#4! *žS®a"bc(T® *f 2 x 2 fSxTSrT& GY•J#4G1>##Ÿ"6#4G14!Ÿ<"#4G14>##! 5‘3-/'K)JŸ<"‘3-/'K)JY•& YR2x"6#4G14>##!Y•J"ƒx†f& ƒT•—G>‘˜™G'—Ym[G •4G14p®%5"#4G14YS'(KTpx2<"#4G14A "'EJ#4G14& C9†••'(KY?GMSChen JingrunT›9Y+(UC/#4G1 4M1& @6#4•414Y®K" 10 [...]... 2k+1 => y 2 2 y + 4 = 4k 2 + 3 nên nó phải có ớc nguyên tố lẻ dạng 4m +3 => x 2 + 1 có ớc nguyên tố dạng 4m+3 , trái với bổ đề 26 Vậy pt không có nghiệm nguyên Bài toán 2 : Tìm tất cả các cặp số ( x,y) N * sao cho Giả sử x2 + y2 N * và là ớc của 1995 x y x2 + y 2 = k nguyên dơng và k la ớc số của 1995 = 5.3.7.19 = 5n với n=3.7.19 x y Các số nguyên tố có dạng 2(2m+1)+1= 4m+3 Gọi ƯCLN của x và y là... Cú lý do gỡ hn ta khụng bc n tht gn nhau? Kết : Vậy đấy! Những con số khô khan cung những biểu thức khó hiểu phải chăng là tất cả của toán học? Một nhà văn có thể tìm ra vẻ đẹp mà sao ta không tìm ra? Số nguyên tố nói riêng hay số học nói chung đều có những nét thú vị riêng, độc đáo riêng Tập chuyên đề này hay muôn ngàn tập chuyên đề khác sẽ không có giá trị nếu nh bản thân mỗi ngời không tìm đợc... cỏc s t nhiờn n : b, tỡm tt ca cỏc s t nhiờn a,b : l s nguyờn t l s nguyờn t 29 VI/ ứ ng dụng số nguyên tố trong đời sống : Toán học không chỉ là lí thuyết Nó có vai trò rất lớn trong khoa học ngày nay Trớc khi kết thúc chuyên đề ta cùng th giãn một chút và cũng để hiểu từ đầu đến giờ ta học số nguyên tố để lam gì Đầu tiên là trong ngành bảo mật Chc hn rt nhiu ngi ó tng nghe qua vic dựng toỏn hc... ta u bit, cho trc 1 s t nhiờn, vic phõn tớch thnh tha s nguyờn t ũi hi 1 khoang thi gian rt ln (vi nhng thut toỏn hin 31 Số nguyên tố còn là đề tài văn chơng Điều này cho thấy toán học không hề khô khan chút nào Một cảm nhận cá nhân về tiểu thuyết : Nỗi cô đơn của các số nguyên tố Trc khi bc sang tui 30, bn s cũn cú nhiu c hi nhỡn v tui th v bt u cú v th mụ ta li i sng trng thnh ca mỡnh trc ú Cun... s nguyờn khỏc 0 sao cho l s nguyờn v l c ca 1978 Chng minh rng x=y (Chn i tuyn QG CHLB c 1979) *) Bổ đề 2: Giả sử (a,b)=1 thì mọi ớc nguyên tố lẻ của a 2 + b 2 chỉ có dạng 4m+1 m N * Chứng minh: Xét ớc nguyên tố p= 4m+3 = 2(2m+1)+1 theo bổ đề 1 => p = 1 => mâu thuẫn => đpcm Bài toán 1: Gpt nghiệm nguyên x2 y3 = 7 (1) pt (1) x 2 + 1 = y 3 + 23 x 2 + 1 = ( y + 2)( y 2 2 y + 4) (2) Nếu y chẵn thì... 2(2m+1)+1= 4m+3 Gọi ƯCLN của x và y là d= (x,y) thì x=du và y = dv với (u,v)=1 Từ giả thiết => d( u 2 + v 2 )= k(u-v) (1) Xét 2 Trờng hợp : 1) nM thì k có ớc nguyên tố dạng 4m+3 k áp dụng bổ đề vào (1) => u 2 + v 2 không chứa các ớc nguyên tố của k nên k là ớc số của d => d= kt t.( u 2 + v 2 ) = u-v => u 2 + v 2 < u- v => (1) vô nghiệm 2) k=5m với m là ớc của n Lúc đó (1) trở thành d( u 2 + v 2 ) = 5m(u-v)... no l khụng mt tớnh tng quỏt gia s t a n = khi ú cm v Bài tập vận dụng : 1 Tỡm cỏc s nguyờn t p,q sao cho: 2 (Iran 2008) Chng minh rng tn ti vụ hn s nguyờn t tha món Dạng 4: áp dụng một số bổ đề của số nguyên tố *) Bổ đề 1: Gias ls nguyờn t l vi t, k l cỏc s t nhiờn, k l s t nhiờn l Khi ú, nu cỏc s t nhiờn x,y sao cho thỡ x v y ng thi chia ht cho p Chng minh b : Ta s dng phộp chng minh bng phan chng... + 5) 2 -50 12 + 72 50 0 => A 0 => A = 0 Dễ dàng giải tiếp Bài toán 3: Tìm số nhỏ nhất trong tập hợp các số chính phơng có dạng 15a+16b và 16a-15b a, b N * Giả sử 15a+ 16b = m 2 và 16a- 15b = n 2 (1) m, n N * => m 4 + n 4 = (15a + 16b) 2 + (16a 15b) 2 = 481( a 2 + b 2 )=13.37 ( a 2 + b 2 ) Thấy 13 và 37 là sô nguyên tố có dạng p = 22 k + 1 với k lẻ Giả sử (m,n) = d => m = du , n=dv với (u,v) =... chứa ớc nguyên tố 13 và 37 do đó 481 là ớc của d => d = 481t Để m,n nhỏ nhất ta lấy t = 1 Lúc đó (3) trở thành 481 3 ( u 4 + v 4 )= a 2 + b 2 (4) Từ (1) có : m 2 n 2 = 31b a hay 481 2 ( u 2 + v 2 ) = 31b a Chọn u = v =1 để m , n nhỏ nhất => m=n= 481 Bài tập áp dụng : 1 Tìm nghiệm nguyên dơng của pt : a, x 2 + y 2 = 585 b, x 2 + y 2 = 1210 27 c, 4xy x y = z 2 d, x 2 + y 2 = 3z 2 2 Tìm nghiệm nguyên. .. 27 c, 4xy x y = z 2 d, x 2 + y 2 = 3z 2 2 Tìm nghiệm nguyên dơng của hệ phơng trình : x 2 +13 y 2 = z 2 2 2 2 13x + y = t 3.( Chọn đội tuyển quốc gia Đức ) Giả sử x và y là các số nguyên khác 0 sao cho x2 + y 2 là số nguyên và là ớc của 1978 x+ y CMR : x=y Dạng 5 : Các dạng khác Bi toỏn 1: Tỡm 3 s nguyờn t sao cho tớch ca chỳng gp 5 ln tng ca chỳng Giai: Gi 3 s nguyờn t ú l a, b, c lỳc ú ta cú: . hàng loạt định lí khác ra đời . Trong đó kể đến định lí Wilson, Trêbsep, * Định lí Wilson: Đợc công bố vào năm 1773 bởi John Wilson . Yp"#4|"3H-*"#414-0-SprTwx p& * Định. Chuyên đề số nguyên tố Ngời thực hiện : Lê Huy To n Học sinh chuyên to n khoá 09-12 THPT Chuyên Thái Bình __________________________________________________________________________ __________ . P5#4J"3%3VJ#41 4AJ6#4146#4=14SEJ#414T& Định lí Chen là 1 phần nhỏ của 1 giả thiêt mà đến ngày nay cha 1 nhà to n học nào có thể chứng minh hoàn to n . Đó là giả thuyết Euler Goldbach . G. 2:5B+ >"["((U/(:P@5#4|"3 H%3VJ#414&["((?")(U/5 #4"3H2%3VJ2#414&G+ %6(;!#p+%;l"&2jj.#.