MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN LÊ HỒ QUÝ (GV THPT Duy Tân – Kon Tum) Trong những năm gần đây, bài toán lập phương trình đường thẳng trong không gian thỏa mãn các điều kiện cho trước, xuất hiện trong các Đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng khá nhiều. Nhằm giúp các bạn chuẩn bị thi vào Đại học nắm vững kiến thức phần này, bài viết giới thiệu một số dạng toán thường gặp và phương pháp để giải các bài toán đó. Bài toán 1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng ( ).P Phương pháp. Vectơ chỉ phương (VTCP) của ∆ là vectơ (VTPT) của ( ).P Thí dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ ,Oxyz cho hai điểm (1;4;2)A và ( 1;2;4).B − Viết phương trình đường thẳng d đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mặt phẳng ( ).OAB (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối D - 2007) Lời giải. Trọng tâm tam giác OAB là (0;2;2).G Ta có (1;4;2), ( 1;2;4).OA OB= = − uuur uuur Vì ( )d OA B⊥ nên d nhận , (12; 6;6) 6(2; 1;1)n OA OB   = = − = −   ur uuur uuur làm VTCP. Vậy d có phương trình 2 2 . 2 1 1 x y z− − = = −  Bài toán 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng 1 2 , d d (ở đây 1 d và 2 d không cùng phương). Phương pháp  Xác định VTCP của ∆ là [ ] = r uur uur 1 2 , ,u u u trong đó uur uur 1 2 , u u thứ tự là VTCP của 1 2 , .d d  Hoặc giả sử VTCP của ∆ là ( ; ; ),u a b c= r từ điều kiện 1 d∆ ⊥ và 2 d∆ ⊥ ta tìm được , , .a b c Thí dụ 2. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm −(2; 1;1)M và vuông góc với hai đường thẳng − + − = = − − 1 1 2 2 : , 1 1 2 x y z d  = +   = − −   =   2 2 : 3 2 0. x t d y t z 1 Lời giải Cách 1. Đường thẳng 1 d có vectơ chỉ phương 1 ( 1;1; 2)u = − − uur ; đường thẳng 2 d có vectơ chỉ phương 2 (1; 2;0).u = − uur Vì 1 2 , d d∆ ⊥ ∆ ⊥ (hơn nữa 1 2 ,u u uur uur không cùng phương), nên ∆ có vectơ chỉ phương 1 2 , ( 4; 2;1).u u u   = = − −   r uur uur Do ∆ còn đi qua M(2; -1; 1) nên có phương trình 2 1 1 . 4 2 1 x y z− + − = = − − Cách 2. Giả sử ( ; ; )u a b c= r , với 2 2 2 0a b c+ + > là vectơ chỉ phương của ∆. Ta có 1 d∆ ⊥ nên 1 1 . 0 2 0.u u u u a b c⊥ ⇔ = ⇔ − + − = r uur r uur (1) 2 d∆ ⊥ nên 2 2 . 0 2 0.u u u u a b⊥ ⇔ = ⇔ − = r uur r uur (2) Từ (1) và (2), ta có 2 , . 2 b a b c= = − Do 2 2 2 0a b c+ + > nên ta có thể chọn 2, 4, 1.b a c= − = − = Vậy phương trình của ∆ là 2 1 1 . 4 2 1 x y z− + − = = − −  Lưu ý. Trường hợp 1 1 //d d thì (0;0;0);u = r ta viết phương trình mp ( )P chứa 1 2 , .d d Khi đó ∆ là đường thẳng qua A và vuông góc với ( ).P Bài toán 3. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng d và cắt cả hai đường thẳng 1 2 , .d d Phương pháp  Xác định các giao điểm ,M N của ∆ với 1 2 , .d d Khi đó đường thẳng ∆ đi qua ,M N hoặc đi qua M (hoặc N ) và song song với .d  Hoặc ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P và ( ),Q trong đó ( )P chứa 1 d và song song với ;d còn ( )Q chứa 2 d và song song với .d Thí dụ 3. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng − − = = − 1 5 : 3 1 1 x y z d và cắt cả hai đường thẳng  = +   = − +   = +   1 1 : 2 4 2 3 x t d y t z t và + + = = 2 4 7 : . 5 9 1 x y z d Lời giải Cách 1. Giả sử 1 2 , d M d N∆ ∩ = ∆ ∩ = thì 2 (1 ; 2 4 ;2 3 ), N( 4 5 '; 7 9 '; ').M t t t t t t+ − + + − + − + Suy ra (5 5 ';5 4 9 ';2 3 ').NM t t t t t t= + − + − + − uuuur Vì ∆ // d nên NM uuuur và u r cùng phương ( u r là vectơ chỉ phương của d) 5 5 ' 5 4 9 ' 2 3 ' 3 1 1 t t t t t t+ − + − + − ⇔ = = − 24 13 32 ' 0 35 142 58 94 ; ; . 7 10 ' 7 49 47 47 47 ' 94 t t t A t t t  − =   − + =     ⇔ ⇔ ⇒ −    ÷ − = −      =   Vậy đường thẳng ∆ có phương trình 35 142 58 47 47 47 . 3 1 1 x y z− + − = = − Cách 2. Gọi (P) là mặt phẳng chứa d 1 và song song với d. Ta có 1 (1;4;3)u = uur và (3; 1;1)u = − r tương ứng là các vectơ chỉ phương của d 1 và d. Khi đó vectơ pháp tuyến 1 n uur của (P) là 1 1 , (7;8; 13).n u u   = = −   uur uur r Do (P) còn đi qua 1 (1; 2;2)M − (do 1 1 M d∈ và 1 ( )d P⊂ ) nên (P) có phương trình 7( 1) 8( 2) 13( 2) 0x y z− + + − − = 7 8 13 35 0.x y z⇔ + − + = 2 d đi qua điểm 2 ( 4; 7;0)M − − và có vectơ chỉ phương 2 (5;9;1).u = uur Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d 2 và song song với d. Lúc này, (Q) có vectơ pháp tuyến 2 2 , (10; 2; 32)n u u   = = − −   uur uur r cùng phương với (5; 1; 16).v = − − r Vậy (Q) có phương trình 5( 4) 1( 7) 16( 0) 0x y z+ − + − − = 5 16 13 0.x y z⇔ − − + = Rõ ràng (P) và (Q) cắt nhau (do 7 : 8 : 13 5 : 1 : 16− ≠ − − ). Giả sử ( ) ( )P Q∆ = ∩ thì 7 8 13 35 0 : 5 16 13 0. x y z x y z + − + =   ∆  − − + =   Do ∆ // d nên có thể lấy (3; 1;1)u = − r làm vectơ chỉ phương cho ∆. Trong (P), do u r và 1 u uur không cùng phương (vì 3 : 1 : 1 1 : 4 : 3− ≠ ) nên ∆ và d 1 cắt nhau. Tương tự trong (Q), ∆ và d 2 cũng cắt nhau. Vậy ∆ chính là đường thẳng cần tìm.  Lưu ý. Phải kiểm tra xem ∆ có cắt d 1 , ∆ có cắt d 2 không ? Vì phép dựng ∆ ở trên mới chỉ là điều kiện cần. 3 Bài toán 4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M và cắt hai đường thẳng 1 2 ,d d cho trước (với M không nằm trên cả 1 d lẫn 2 d ). Phương pháp  ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng : mp 1 ( , )M d và mp 2 ( , ).M d  Lập phương trình mp 1 ( , );M d xác định giao điểm 2 1 ( , ).N d mp M d= ∩ Khi đó ∆ là đường thẳng qua , .M N  Xác định các giao điểm ,A B của ∆ với 1 2 , .d d Lúc đó ∆ là đường thẳng qua ,M A hoặc đường thẳng qua , .M B Thí dụ 4. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(1; -1; 1) và cắt cả hai đường thẳng sau đây :  = +   =   = −   1 1 2 : 3 ; x t d y t z t + − = = − 2 1 2 : . 1 2 1 x y z d Lời giải. Dễ thấy 1 2 , A .A d d∉ ∉ Cách 1. d 1 đi qua điểm 1 (1;0;3)M và có vectơ chỉ phương 1 (2;1; 1)u = − uur . d 2 đi qua điểm 2 (0; 1;2)M − và có vectơ chỉ phương 2 (1; 2;1).u = − uur Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng : mp(A, d 1 ) và mp(A, d 2 ). mp(A, d 1 ) có vectơ pháp tuyến 1 1 1 , ( 3;4; 2).n A M u   = = − −   uur uuuuur uur mp(A, d 2 ) có vectơ pháp tuyến 2 2 2 , (2;2;2)n A M u   = =   uur uuuuur uur cùng phương với (1;1;1).v = r Vậy đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương 1 , (6;1; 7).u n v   = = −   r uur r Do đó ∆ có phương trình là : 1 1 1 . 6 1 7 x y z− + − = = − Trong mp 1 ( , ),A d do u r và 1 u ur không cùng phương nên ∆ và 1 d cắt nhau. Tương tự ∆ cắt 2 .d Cố nhiên ∆ qua A (vì 1 2 ( , ) ( , )mp A d mp A d∩ = ∆ mà 1 2 ( , ) ( , )A mp A d mp A d∈ ∩ ). Tóm lại ∆ đi qua ,A cắt cả 1 d và 2 d nên là đường thẳng cần tìm. Cách 2. mp(A, d 1 ) có vectơ pháp tuyến 1 ( 3;4; 2)n = − − uur nên có phương trình là 3 4 2 9 0.x y z− + − = Gọi 2 1 ( , )B d mp A d= ∩ , ta có : 2 ( ; 1 2 ;2 )B s s s d− − + ∈ 1 1 ( , ) 3 4( 1 2 ) 2(2 ) 9 0 . 13 B mp A d s s s s∈ ⇔ − − − + + − = ⇔ = Suy ra 1 15 27 ; ; . 13 13 13 B   −  ÷   Khi đó 12 2 14 ; ; 13 13 13 A B   = − −  ÷   uuur cùng phương với ( 6; 1;7).u = − − r Vậy ∆ đi qua A và B có phương trình : 4 1 1 1 . 6 1 7 x y z− + − = = − − Cách 3. Phương trình tham số của d 2 là 1 2 2 . x s y s z s  =  = − −   = +  Giả sử 1 2 , N .M d d= ∆ ∩ = ∆ ∩ Khi đó (1 2 ; ; 3 ), N( ; 1 2 ;2 ).M t t t s s s+ − − − + Ta có A, M, N thẳng hàng hay A M uuuur và A N uuuur cùng phương. Ta có (2 ;1 ;2 ), ( 1 ; 2 ;1 ).A M t t t A N s s s= + − = − + − + uuuur uuuur Do đó : 1 2 2 2 2 1 , ; ; 2 1 1 1 1 -2s (1 5 ; 2 2 3 ;1 5 ). t t t t t t A M AN s s s s s t s ts t s ts t s ts   + − − +    ÷ =    ÷ − + + − + − +   = + + − − − + − + − − uuuur uuuur A M uuuur và A N uuuur cùng phương , 0A M AN   ⇔ =   uuuur uuuur r 1 5 0 2 2 3 0 1 5 0. t s ts t s ts t s ts  + + − =  ⇔ − − + − =   + − − =  Khử số hạng ts từ các phương trình trên, ta được hệ : 3 4 13 5 2 4 26 4 1 . 13 t t s t s s  = −   + = −   ⇔   + = −    =   Khi đó 1 7 3; ; 2 2 A M   = − −  ÷   uuuur cùng phương với vectơ ( 6; 1;7).u = − − r Vậy đường thẳng ∆ đi qua A và M có phương trình : 1 1 1 . 6 1 7 x y z− + − = = − −  Lưu ý. Sau khi tìm xong , ∆ phải có phép thử lại xem ∆ có thỏa mãn điều kiện đặt ra hay không ? Bài toán 5. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng ( )P và cắt cả hai đường thẳng 1 d và 2 .d Phương pháp  Xác định các giao điểm ,A B của ( )P với 1 2 , .d d Đường thẳng ∆ chính là đường thẳng qua A và .B  Hoặc xác định các giao điểm 1 2 ,A d B d= ∆∩ = ∆ ∩ sao cho ( ).P∆ ⊂ Đường thẳng ∆ chính là đường thẳng qua A và .B 5 Thí dụ 5. Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng + =( ) : 2 0P y z và cắt cả hai đường thẳng sau đây :  = −   =   =   1 1 : 4 ; x t d y t z t  = −   = +   =   2 2 : 4 2 1. x s d y s z Lời giải Cách 1. Gọi 1 2 ( ), ( )A d P B d P= ∩ = ∩ thì 1 2 (1 ; ; 4 ) , (2 ; 4 2 ;1) .A t t t d B s s d− ∈ − + ∈ Ta có ( ) 2.4 0 0.A P t t t∈ ⇔ + = ⇔ = Vậy (1; 0;0).A ( ) (4 2 ) 2 0 3.B P s s∈ ⇔ + + = ⇔ = − Vậy (5; 2;1).B − Khi đó (4; 2;1).A B = − uuur Đường thẳng phải tìm qua A và B có phương trình : 1 : . 4 2 1 x y z− ∆ = = − Cách 2. Giả sử 1 2 , A d B d= ∆ ∩ = ∆ ∩ thì 1 2 (1 ; ; 4 ) , (2 ; 4 2 ;1) .A t t t d B s s d− ∈ − + ∈ (1 ; 4 2 ;1 4 ).A B s t s t t⇒ = − + + − − uuur mp(P) có vectơ pháp tuyến (0;1;2).n = ur Do A B uuur là vectơ chỉ phương của ∆, nên ( ) 2.4 0 0 ( ) 4 2 2(1 4 ) 0 3. A P t t t P s t t s A B n  ∈   + = =    ∆ ⊂ ⇔ ⇔ ⇔    + − + − = = − ⊥       uuur ur (1;0;0), (4; 2;1).A A B⇒ = − uuur Vậy đường thẳng ∆ qua A và B có phương trình : 1 . 4 2 1 x y z− = = −  Bài toán 6. Viết phương trình đường vuông góc chung ∆ của hai đường thẳng chéo nhau 1 2 , .d d Phương pháp  Xác định mp ( )P chứa 1 d và ; ∆ mp ( )Q chứa 2 d và . ∆ Khi đó ∆ là giao tuyến của ( )P và ( ).Q  Hoặc xác định giao điểm A của 1 d với mp ( )Q (chứa 2 d và ∆ ). Khi đó ∆ đi qua A và có VTCP 1 2 , ,n u u   =   r ur uur với 1 2 ,u u ur uur theo thứ tự là VTCP của 1 2 , .d d  Hoặc xác định 1 2 ,A d B d∈ ∈ sao cho 1 2 , .AB d AB d⊥ ⊥ Khi đó ∆ chính là đường thẳng qua , .A B Thí dụ 6. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng sau đây : + ∆ = = 1 1 - 1 - 2 : 2 3 1 x y z và + ∆ = = 2 - 2 2 : . 1 5 -2 x y z Lời giải. Dễ thấy ∆ 1 và ∆ 2 chéo nhau. 6 Cách 1. Gọi n r là VTCP của đường vuông góc chung ∆ thì 1 2 , .n u u   =   r ur uur Ta có 1 2 1 2 (2;3;1), (1;5; 2), , ( 11;5;7).u u n u u   = = − = = −   ur uur r ur uur Gọi ( )P là mặt phẳng chứa 1 d và đường vuông góc chung ∆ thì VTPT của ( )P là ( ) 1 1 , 16;-25;43 .n u n   = =   ur ur r Do ( )P chứa 1 d nên nó đi qua điểm ( 1;1;2).M − Suy ra phương trình của ( )P là 16 25 43 45 0.x y z− + − = Gọi ( )Q là mặt phẳng chứa 2 d và đường vuông góc chung ∆ thì VTPT của ( )Q là ( ) 2 2 1 , 45;15;60 (3;1;4). 15 n u n   = = =   uur uur r Do ( )Q chứa 2 d nên nó đi qua điểm (2; 2;0).N − Suy ra phương trình của ( )Q là 3 4 4 0.x y z+ + − = Đường vuông góc chung ∆ là giao tuyến của ( )P và ( )Q nên nó có phương trình 16 - 25 43 - 45 0 3 4 - 4 0. x y z x y z + =   + + =  Nhận xét. Cách giải trên cho phương trình đường vuông góc chung dưới dạng tổng quát. Cách giải này không cho trực tiếp tọa độ của chân đường vuông góc chung. Cách 2. Phương trình mặt phẳng ( ) :3 4 4 0Q x y z+ + − = (Q) (như cách 1). Tìm giao điểm của 1 d với (Q): Phương trình tham số của 1 d : -1 2 1 3 2 . x t y t z t = +   = +   = +  Tham số t ứng với giao điểm A của 1 d và ( )Q là nghiệm của phương trình: 2 3.( 1 2 ) (1 3 ) 4.(2 ) 4 0 - . 13 t t t t− + + + + + − = ⇔ = Vậy 17 7 24 - ; ; . 13 13 13 A    ÷   Đường thẳng ∆ cần tìm đi qua A và nhận (-11; 5; 7)n = r làm VTCP. Vậy đường vuông góc chung ∆ có phương trình 17 7 24 - - 13 13 13 . -11 5 7 x y z+ = = Cách 3. Ta có phương trình của 1 d và 2 d dưới dạng tham số : 1 -1 2 : 1 3 ; 2 x t d y t z t = +   = +   = +  2 2 ' : -2 5 ' 2 '. x t d y t z t = +   = +   = −  Xét điểm 1 ( 1 2 ;1 3 ;2 )A t t t d− + + + ∈ và 2 (2 '; 2 5 '; 2 ') .B t t t d+ − + − ∈ Suy ra (3 '-2 ;-3 5 '-3 ;-2- 2 '- ).AB t t t t t t= + + uuur AB sẽ là đường vuông góc chung của 1 d và 2 d khi và chỉ khi : 7   ⊥ =   ⇔   ⊥ =     uuur uuur uur uur uuur uuur uur uur 1 1 2 2 . 0 . 0 A B u A B u A B u A B u 2.(3 '-2 ) 3.(-3 5 '-3 ) 1.(-2-2 '- ) 0 1.(3 '-2 ) 5.(-3 5 -3 )-2.(-2-2 '- ) 0 t t t t t t t t t t t t + + + + =  ⇔  + + + =  2 - 15 '-14 5 3 30 '-15 8 37 ' . 195 t t t t t t  =  =   ⇔ ⇔   =   =   17 7 24 427 205 74 - ; ; , ;- ;- 13 13 13 195 195 195 A B     ⇒  ÷  ÷     682 310 434 62 ;- ;- (11;-5;-7). 195 195 195 195 AB   ⇒ = =  ÷   uuur Đường vuông góc chung của 1 d và 2 d là đường thẳng AB đi qua 17 7 24 - ; ; 13 13 13 A    ÷   và nhận (11;-5;-7)v = r làm VTCP. Vậy nó có phương trình 17 7 24 - - 13 13 13 . 11 -5 -7 x y z+ = =  Nhận xét. Trong cách giải này, để viết phương trình đường vuông góc chung ta đã sử dụng phương pháp tìm tọa độ của chân đường vuông góc chung như trên. Cách giải này có hiệu lực khi các biểu diễn tham số của các đường thẳng 1 2 ,d d là đơn giản. Bài toán 7. Viết phương trình đường thẳng ∆ vuông góc với mặt phẳng ( )P và cắt cả hai đường thẳng 1 2 ,d d chéo nhau cho trước. Phương pháp  Xác định mp ( )Q chứa 1 d và vuông góc với ( );P mp ( )R chứa 2 d và vuông góc với ( ).P Khi đó ∆ chính là giao tuyến của mp ( )P và mp ( ).Q Lưu ý. Thử lại xem ∆ có thỏa mãn yêu cầu bài toán hay không rồi mới kết luận !  Hoặc xác định các giao điểm 1 2 , A d B d= ∆ ∩ = ∆∩ sao cho ( ).P∆ ⊥ Khi đó ∆ chính là đường thẳng qua , .A B Thí dụ 7. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng + − =( ) : 7 4 0P x y z và cắt hai đường thẳng sau đây : − + = = − 1 1 2 : 2 1 1 x y z d và  = − +   = +   =   2 1 2 : 1 3. x t d y t z (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A - 2007) Lời giải. Dễ thấy d 1 và d 2 chéo nhau. Cách 1. d 1 đi qua 1 (0;1; 2)M − và có vectơ chỉ phương 1 (2; 1;1)u = − uur ; d 1 đi qua 2 ( 1;1;3)M − và có vectơ chỉ phương 2 (2;1;0).u = uur 8 mp(P) có vectơ pháp tuyến (7;1; 4).n = − ur Gọi (Q) là mặt phẳng chứa d 1 và vuông góc với (P). mp(P) có vectơ pháp tuyến 1 1 , (3;15;9)n u n   = =   uur uur ur cùng phương với vectơ ' 1 (1;5;3).n = uur Do đó, (Q) có phương trình : ( 0) 5( 1) 3( 2) 0x y z− + − + + = hay 5 3 1 0.x y z+ + + = Gọi (R) là mặt phẳng chứa d 2 và vuông góc với (P). mp(R) có vectơ pháp tuyến 2 2 , ( 4;8; 5).n u n   = = − −   uur uur ur Do đó, (R) có phương trình : 4( 1) 8( 1) 5( 3) 0x y z− + + − − − = hay 4 8 5 3 0.x y z− + − = Vì 1 : 5 : 3 4 : 8 : 5≠ − nên (Q) và (R) cắt nhau. Giả sử ( ) ( )Q R d∩ = thì ( ).d P⊥ Do đó, d có vectơ chỉ phương (7;1; 4).n = − ur Trong (Q), d cắt d 1 (do 2 : 1 : 1 7 : 1 : 4− ≠ − ). Tương tự, trong (R), d cắt d 2 . Vậy đường thẳng d cần tìm có phương trình : 5 3 1 0 4 8 5 3 0. x y z x y z  + + + =   − + − =   Cách 2. Giả sử 1 2 , d d A d d B∩ = ∩ = thì 1 2 , A d B d∈ ∈ nên (2 ;1 ; 2 ), ( 1 2 ;1 ; 3).A s s s B t t− − + − + + (2 2 1; ; 5).A B t s t s s⇒ = − − + − + uuur (P) có vectơ pháp tuyến (7;1; 4).n = − ur Vì ( )d P⊥ nên A B uuur cùng phương với n ur 2 2 1 5 7 1 4 t s t s s− − + − + ⇔ = = − 5 9 1 4 3 5 t s t s  + = −  ⇔  + = −   1 2. s t  =  ⇔  = −   (2;0; 1), ( 5; 1; 3).A B⇒ − − − Vậy d có phương trình : 2 1 . 7 1 4 x y z− + = = −  Bài toán 8. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng 1 d và cắt đường thẳng 2 d (ở đây 2 M d∉ ). Phương pháp  Lập phương trình mp ( )P đi qua M và vuông góc với 1 .d Xác định giao điểm 2 ( ).N d P= ∩ Khi đó ∆ chính là đường thẳng qua , .M N  Hoặc xác định giao điểm 2 N d= ∆ ∩ sao cho 1 .d∆ ⊥ Khi đó ∆ chính là đường thẳng qua , .M N Thí dụ 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm (1;2;3)A và hai đường thẳng : − + − = = − 1 2 2 3 : ; 2 1 1 x y z d − − + = = − 2 1 1 1 : . 1 2 1 x y z d 9 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d 1 và cắt d 2 . (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối D - 2006) Lời giải Cách 1. Vì ∆ qua A và vuông góc với d 1 nên ∆ phải nằm trong mặt phẳng (P) qua A và vuông góc với d 1 . mp(P) nhận vectơ chỉ phương 1 (2; 1;1)u = − uur của d 1 làm vectơ pháp tuyến. Vì thế, (P) có phương trình : 2( 1) ( 2) ( 3) 0x y z− − − + − = hay 2 3 0.x y z− + − = Phương trình tham số của d 2 là 1 1 2 1 . x t y t z t  = −  = +   = − +  Gọi 2 ( )M d P= ∩ thì 2 (1 ;1 2 ; 1 ) .M t t t d− + − + ∈ Ta lại có ( ) 2(1 ) (1 2 ) ( 1 ) 3 0 1.M P t t t t∈ ⇔ − − + + − + − = ⇔ = − Vậy (2; 1; 2).M − − Khi đó (1; 3; 5).A M = − − uuuur Đường thẳng ∆ qua A và M có phương trình : 1 2 3 . 1 3 5 x y z− − − = = − − Cách 2. Giả sử 2 d B∆ ∩ = thì 2 (1 ;1 2 ; 1 ) .B t t t d− + − + ∈ Suy ra ( ;2 1; 4).A B t t t= − − − uuur Ta có 1 d∆ ⊥ nên 1 1 . 0A B u A B u⊥ ⇔ = uuur uur uuur uur 2( ) (2 1) ( 4) 0 1.t t t t⇔ − − − + − = ⇔ = − Khi đó (1; 3; 5).A B = − − uuur Vậy ∆ qua A và B có phương trình là : 1 2 3 . 1 3 5 x y z− − − = = − −  Bài toán 9. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm ,M vuông góc và cắt đường thẳng .d Phương pháp  ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng ( )P và ( ),Q trong đó mp ( )P chứa M và ;d mp ( )Q chứa M và và vuông góc với .d  Hoặc lập phương trình mp ( )Q qua M và vuông góc với ;d xác định giao điểm ( ).N d Q= ∩ Khi đó ∆ là đường thẳng qua , .M N  Hoặc xác định hình chiếu vuông góc N của M lên .d Khi đó ∆ là đường thẳng qua , .M N Thí dụ 9. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm − −( 4; 2; 4)A và đường thẳng 10 [...]... = 2 − t −1 1 2  z = t  3 Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với trục Ox và cắt cả hai đường thẳng : x y -2 z +4 x + 8 y - 6 z - 10 d1 : = = ; d2 : = = 1 -1 2 2 1 -1 4 Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P ) : x + 2y = 0 và cắt cả hai đường thẳng : x = 4 + 2t  x y z −1  d1 : = = ; d2 : y = 4 1 4 −1  z = 2 − t  5 Viết phương trình đường vuông góc chung của... ∆ ⊂ ( P ), ∆ ⊥ d Thí dụ 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d và mp(P) có phương trình : x −1 y + 3 z − 3 d: = = ; (P ) : 2x + y − 2z + 9 = 0 −1 2 1 Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mp(P) Viết phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A, nằm trong (P) và vuông góc với d (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối A - 2005) x = 1 − t  Lời giải Phương trình tham số của d là...  z = -1 + 4t  Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, cắt và vuông góc với đường thẳng d (Đề thi tuyển sinh ĐH, CĐ khối B - 2004) Lời giải Cách 1 Đường thẳng ∆ cần tìm là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q), trong đó (P) là mặt phẳng đi qua A và chứa d; còn (Q) là mặt phẳng đi qua A r (Q) ⊥ d và  Đường thẳng d đi qua B ( −3;1; −1) và có vectơ chỉ phương u=(2 ; -1 ; 4)... x, y, z ở phương trình trên vào phương trình của (P), ta được : 2(1 − t ) + ( −3 + 2t ) − 2(3 + t ) + 9 = 0 ⇔ t = 1 Vậy A (0; −1; 4) Cách 1 Gọi (Q) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với d thì (Q) có vectơ pháp tuyến r u = ( −1;2;1) là vectơ chỉ phương của d nên có phương trình : −(x − 0) + 2(y + 1) + (z − 4) = 0 hay x − 2y − z + 2 = 0 Giao tuyến ∆ của (P) và (Q) là đường thẳng đi qua A, nằm trong (P)... ∆ có phương trình : x = −4 + t 2x + y − 2z + 9 = 0   hay y = −1  x − 2y − z + 2 = 0 z = t   u r r Cách 2 (P) có vectơ pháp tuyến n = (2;1; −2) d có vectơ chỉ phương u = ( −1;2;1) 12 r u r r Vì ∆ ⊂ (P ) và ∆ ⊥ d nên vectơ chỉ phương v của ∆ vuông góc với cả n và v , nên ta có r u r r ur v = n , u  = (5; 0;5) cùng phương với vectơ v ' = (1; 0;1) thể chọn :   Vậy đường thẳng ∆ có phương. .. Vậy ∆ có phương trình    2 x + y + 3 z + 3 = 0  Bài toán 12 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M , song song với mặt phẳng ( P ) và cắt đường thẳng d Phương pháp  Lập phương trình mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với ( P ) Xác định giao điểm N = d ∩ (Q) Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua M , N  Hoặc xác định giao điểm N = ∆ ∩ d Đường thẳng ∆ đi qua M , N  Hoặc lập phương. .. có cặp vectơ chỉ phương MA = (1;6; −5), u = (3; −2; 2) nên có uu r uuu r r VTPT nR =  MA, u  = (2; −17; −20) Do đó   ( R ) : 2.( x − 3) − 17.( y − 2) − 20.( z + 4) = 0 ⇔ 2 x − 17 y − 20 z − 52 = 0 3 x − 2 y − 3 z − 17 = 0 Vậy ∆ có phương trình    2 x − 17 y − 20 z − 52 = 0  Bài toán 13 Viết phương trình hình chiếu ∆ của đường thẳng d lên mặt phẳng ( P ) Phương pháp  Lập phương trình mặt phẳng... và AB làm cặp vectơ chỉ phương, suy ra (P) có một vectơ pháp tuyến là : u r r 1  r uuu  n = - u , A B = 1; -2; -1  7 Mặt phẳng (P) lại qua A ( −4; −2; 4) nên có phương trình : 1(x + 4) -2(y + 2) -1(z – 4) = 0 hay x – 2y – z + 4 = 0 r  Do (Q) ⊥ d nên (Q) nhận u = (2; -1; 4) làm vectơ pháp tuyến Mặt phẳng (Q) lại qua A ( −4; −2; 4) nên có phương trình : 2(x + 4) -1(y + 2)... Suy ra A M = (3;2; -1) Đường thẳng ∆ đi qua A và M nên có phương trình là : x +4 y +2 z -4 = =  3 2 -1 Bài toán 10 Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua giao điểm M của đường / thẳng d và mặt phẳng ( P ), nằm trong ( P ) và vuông góc với d (ở đây d ⊥ ( P ) ) Phương pháp  Lập phương trình mp (Q) qua M và vuông góc với d Khi đó ∆ chính là giao tuyến của ( P) và (Q) r rr r r v =  n, u  , với n là... hay 2x – y + 4z – 10 = 0 x = −1 − 3t x - 2y - z + 4 = 0   Vậy phương trình của ∆ là :  hay y = −2t 2x - y + 4z - 10 = 0 z = 3 + t   Cách 2 Do ∆ đi qua A và vuông góc với d nên ∆ phải nằm trong mặt phẳng (Q) đi qua A và r vuông góc với d mp(Q) nhận vectơ chỉ phương u = (2; -1; 4) của d làm vectơ pháp tuyến Bởi vậy, (Q) có phương trình : 2(x + 4) − (y + 2) + 4(z − 4) = 0 hay 2x − y + 4z − . TOÁN CƠ BẢN VỀ LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN LÊ HỒ QUÝ (GV THPT Duy Tân – Kon Tum) Trong những năm gần đây, bài toán lập phương trình đường thẳng trong không gian thỏa mãn các. )P và ( ),Q trong đó ( )P chứa 1 d và song song với ;d còn ( )Q chứa 2 d và song song với .d Thí dụ 3. Viết phương trình đường thẳng ∆ song song với đường thẳng − − =. toán 1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A và vuông góc với mặt phẳng ( ).P Phương pháp. Vectơ chỉ phương (VTCP) của ∆ là vectơ (VTPT) của ( ).P Thí dụ 1. Trong không gian với