Đang tải... (xem toàn văn)
Tiểu luận về hàm lồi và lõm I. Hàm lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực. 1. Hàm lồi, hàm lõm và hàm logalồi. Các hàm lồi được định nghĩa trên tập lồi. Định nghĩa 1.1. Cho là một khoảng chứa trong và hàm .
Hàm lồi – hàm lõm I. Hàm lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực. 1. Hàm lồi, hàm lõm và hàm loga-lồi. Các hàm lồi được định nghĩa trên tập lồi. Định nghĩa 1.1. Cho I là một khoảng chứa trong R và hàm :f I R → . )i f được gọi là hàm lồi nếu: [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( )f x y f x f y λ λ λ λ + − ≤ + − , ,x y I ∀ ∈ và với mọi [0;1]. λ ∈ (1.1) )ii f được gọi là hàm lồi thực sự (chặt) nếu (1.1) ngặt với các điểm ,x y phân biệt và (0;1). λ ∈ )iii Nếu f − được gọi là hàm lồi (lồi thực sự) thì ta nói f là hàm lõm (lõm thật sự). )iv Nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm ta nói f là hàm afin. Thực ra, tại 0 λ = và 1 λ = thì (1.1) luôn đúng nên để cho tiện, đôi khi ta chỉ cần xét (0;1). λ ∈ Trong trường hợp tổng quát, với U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực .X Một hàm :f U R → được gọi là lồi nếu [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( )f x y f x f y λ λ λ λ + − ≤ + − , ,x y U ∀ ∈ và với mọi [0;1]. λ ∈ Các khái niệm hàm lồi thực sự, lõm thực sự cũng được định nghĩa tương tự như trong định nghĩa (1.1) . Định nghĩa 1.2. Cho I là một khoảng của tập số thực và : (0; )f I → +∞ . Khi đó 1 1. f được gọi là hàm loga-lồi nếu ln f là hàm lồi. Nói cách khác 1 [ (1 ) ] ( ) ( ) , , , [0;1].f x y f x f y x y I λ λ λ λ λ − + − ≤ ∀ ∈ ∈ 2. f được gọi là hàm loga-lõm nếu ln f là hàm lõm. Nói cách khác 1 [ (1 ) ] ( ) ( ) , , , [0;1].f x y f x f y x y I λ λ λ λ λ − + − ≥ ∀ ∈ ∈ Ví dụ 1.1. Các hàm sau đây là hàm lồi. 1. :f R R → , ( )f x ax b = + với ,a b là các số thực bất kỳ. 2. Ánh xạ chuẩn . : X R → với X là không gian tuyến tính định chuẩn thực. 3. Hàm khoảng cách : , ( ) ( , ) inf n U U z U d R R d x d x U x z ∈ → = = − với U là tập lồi không rỗng của . n R 4. Hàm afin ( ) , , T n f x a x a R R α α = + ∈ ∈ 5. Hàm chỉ Đặt 0 ( ) : U khi x U x khi x U δ ∈ = +∞ ∉ Ta nói U δ là hàm chỉ của U . )i , , (0,1),x y U λ ∀ ∈ ∀ ∈ ta có: ( ) 0, ( ) 0. U U x y δ δ = = Do U lồi nên (1 ) .x y U λ λ + − ∈ Suy ra [ (1 ) ] 0 ( ) (1 ) ( ). U U U x y x y δ λ λ λδ λ δ + − = = + − 2 )ii , , (0;1)x U y U λ ∀ ∈ ∀ ∉ ∀ ∈ ,ta có: ( ) 0, ( ) , U U x y δ δ = = +∞ [ (1 ) ] U x y δ λ λ + − ≤ +∞ Suy ra [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ). U U U x y x y δ λ λ λδ λ δ + − ≤ + − )iii , , (0;1)x y U λ ∀ ∉ ∀ ∈ ,ta có: ( ) , ( ) , U U x y δ δ = +∞ = +∞ [ (1 ) ] U x y δ λ λ + − ≤ +∞ Suy ra [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ). U U U x y x y δ λ λ λδ λ δ + − ≤ + − Vậy U δ là hàm lồi trên . n R 6. Hàm tựa Đặt ( ) : sup , U x U S y y x ∈ = < > . Ta nói U S là hàm tựa của .U , , (0,1),x y U λ ∀ ∈ ∀ ∈ ta có: [ (1 ) ] (1 ) , = s { , (1 ) , } s , (1 ) , = s , (1 ) U z U z U z U z U z U z U S x y sup x y z up x z y z up x z sup y z up x z sup λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ ∈ + − = < + − > < > + < − > ≤ < > + < − > < > + − , = ( ) (1 ) ( ) U U y z S x S y λ λ < > + − Vậy U S là hàm lồi trên .U 3 Nhận xét 1.1. Ý nghĩa hình học của hàm lồi. Cho :f I R → là một hàm lồi trên một khoảng I R ⊂ . Với ,u v I ∈ phân biệt và [ ; ]x u v ∈ . Khi đó tồn tại một số [0;1] λ ∈ để (1 ) .x u v λ λ = + − Ta có (1 ) (1 )( ) 1 . x u u v u v u v u v u v u λ λ λ λ − + − − = − − − − = − = − Do đó, ( ) ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 )( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ). f x f u f v f u f v f u f v f u f u x u v u λ λ λ ≤ + − = + − − − = + − − Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 0 f v f u f u x u v u − + − = − chính là đường thẳng đi qua hai điểm ( , ( ))u f u và ( ; ( ))v f v . Nói cách khác, các điểm trên đồ thị của hàm [ ; ] f u v nằm dưới dây cung nối hai điểm ( , ( ))u f u và ( ; ( ))v f v , với mọi , ,u v I u v ∈ < . 2. Một số tính chất cơ bản của hàm lồi. Định lý 2.1. Các phép toán với các hàm lồi. Cho U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực .X Khi đó 4 1. Nếu f và g là các hàm lồi trên U thì f g + cũng là hàm lồi trên .U Nếu f hoặc g là hàm lồi thực sự thì tổng f g + cũng là hàm lồi thực. 2. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U và µ là số thực dương thì f µ là một hàm lồi (lồi thực sự) trên .U 3. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U và V là tập con lồi của .U Khi đó thu hẹp f V của hàm f lên V cũng là một hàm lồi (lồi thực sự) trên .V Định lý 2.2. Cho ,I J R ⊂ là các tập lồi. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên I và g là một hàm lồi không giảm (hàm lồi tăng) trên tập lồi , ( )J f I J ⊂ thì g fo là một hàm lồi (lồi thực sự). Chứng minh. Với , , [0;1]x y I λ ∈ ∈ ta có [ ( (1 ) )] [ ( ) (1 ) ( )]g f x y g f x f y λ λ λ λ + − ≤ + − (do g là hàm lồi không giảm) ( ( )) (1 ) ( ( )) ( )( ) (1 )( )( ). g f x g f y g f x g f y λ λ λ λ ≤ + − = + − o o hay g fo là hàm lồi. Nếu f là hàm lồi thực sự, g là hàm lồi tăng thì với , (0;1),x y λ ≠ ∈ thực hiện như trên ta thu được bất đẳng thức ngặt, hay g fo là hàm lồi thực sự. 5 Định lý 2.3. Cho hàm :f U R → xác định trên tập lồi U của không gian tuyến tính định chuẩn .X Khi đó, f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U nếu và chỉ nếu các hàm , , :[0;1] , ( ): ( (1 ) ) x y x y R t f tx t y ϕ ϕ → = + − , với , , [0;1]x y U t ∈ ∈ là hàm lồi (lồi thực sự). Chứng minh. ) ⇒ Giả sử f là hàm lồi trên .U Với ,x y U ∈ cho trước, với mọi , [0;1]u v ∈ ta có , , ( (1 ) ) ([ (1 ) ] (1 [ (1 ) ]) ) ( [ (1 ) ] (1 )[ (1 ) ]) [ (1 ) ] (1 ) [ (1 ) ] x y x y u v f u v x u v y f ux u y vx v y f ux u y f vx v y ϕ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λϕ + − = + − + − + − = + − + − + − ≤ + − + − + − = , ( ) (1 ) ( ) x y u v λ ϕ + − hay ,x y ϕ là hàm lồi. Nếu f là hàm lồi thực sự thì theo trên, với u v ≠ và (0;1) λ ∈ ta thu được bất đẳng thức ngặt, ,x y ϕ là hàm lồi thực sự. ) ⇐ Giả sử các hàm ,x y ϕ là các hàm lồi. khi đó, với mọi ,x y U ∈ , với mọi [0;1] λ ∈ ta có , , ( (1 ) ) ( ) ( .1 (1 ).0) x y x y f x y λ λ ϕ λ ϕ λ λ + − = = + − , , (1) (1 ) (0) x y x y λϕ λ ϕ ≤ + − (do ,x y ϕ là hàm lồi) ( ) (1 ) ( ).f x f y λ λ = + − Vậy f là hàm lồi. 6 Nếu ,x y ϕ là các hàm lồi thực sự thì theo trên với x y ≠ và (0;1) λ ∈ ta thu được bất đẳng thức ngặt, hay f là hàm lồi thực sự. Định lý 2.4. Cho U là một tập lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực .X Nếu dãy ( ) n f (trong đó : n f U R → ) là một dãy hàm lồi hội tụ điểm hữu hạn đến một hàm f trên U thì f là hàm lồi. Chứng minh. Với ,x y U ∈ [0;1] λ ∈ , với mọi n N ∗ ∈ ta có ( (1 ) ) ( ) (1 ) ( ) n n n f x y f x f y λ λ λ λ + − ≤ + − . Chuyển qua giới hạn ta được [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( )f x y f x f y λ λ λ λ + − ≤ + − Vậy f là hàm lồi. Về tính khả vi của hàm lồi ta có các tính chất sau: Định lý 2.5. Giả sử f xác định trên một tập mở U X ⊆ . Nếu f là hàm lồi trên U và khả vi tại 0 x , thì với x U ∈ ta có 0 0 0 ( ) ( ) '( )( )f x f x f x x x − ≥ − (2.1) Nếu f khả vi trên U , thì f là hàm lồi nếu và chỉ nếu f thoả (2.1) với mọi 0 , .x x U ∈ Hơn nữa, f là hàm lồi thực sự nếu và chỉ nếu bất đẳng thức (2.1) là bất đẳng thức ngặt. Chứng minh. 7 Nếu f là hàm lồi thì với mọi (0;1)t ∈ thì 0 0 0 0 ( ( )) ((1 ) ) (1 ) ( ) ( )f x t x x f t x tx t f x tf x + − = − + ≤ − + Đặt 0 h x x = − ta có 0 0 0 0 ( ) ( ) [ ( ) ( )]f x th f x t f x h f x + − ≤ + − (2.2) Trừ 0 '( )( )f x th vào hai vế của (2.2) và chia cho t với chú ý 0 0 '( )( ) '( )( ) f x th f x h t = (do 0 '( )f x là ánh xạ tuyến tính) ta được 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) '( )( ) ( ) ( ) '( )( ) f x th f x f x th f x h f x f x h t + − − ≤ + − − Cho 0t → thì vế trái của biểu thức trên dần đến 0, vế phải độc lập với t nên không đổi, suy ra (2.1) đúng. Nếu f lồi thực sự thì (2.2) là bất đẳng thức ngặt, kết hợp với (2.1) trong đó 0 x x th = + ta có 0 0 0 0 0 [ ( ) ( )] ( ) ( ) '( )( )t f x h f x f x th f x f x th + − > + − ≥ Chia hai vế cho t ta được 0 0 0 ( ) ( ) '( )( )f x h f x f x h + − > . Khi đó (2.1) trở thành bất đẳng thức ngặt. Ngược lại, giả sử f khả vi và thỏa mãn (2.1) trên U . Với 1 2 , , (0;1)x x U t ∈ ∈ , ta đặt 0 1 2 (1 ) .x tx t x = + − Ta có 1 0 2 0 1 2 0 0 0 ( ) (1 )( ) (1 ) 0.t x x t x x tx t x x x x − + − − = + − − = − = 8 Khi đó, 0 0 0 1 0 2 0 0 0 1 0 0 0 2 0 ( ) ( ) '( )[ ( ) (1 )( )] [ ( ) '( )( )] (1 )[ ( ) '( )( )]. f x f x f x t x x t x x t f x f x x x t f x f x x x = + − + − − = + − + − + − Bất đẳng thức (2.1) đúng với 1 x x = và 2 x x = , vì vậy 0 1 2 ( ) ( ) (1 ) ( )f x tf x t f x ≤ + − (2.3) Điều này chứng tỏ f là hàm lồi trên .U Nếu (2.1) là bất đẳng thức ngặt thì (2.3) là bất đẳng thức ngặt thì f là hàm lồi thực sự trên .U Định nghĩa 2.1. Cho I R ⊂ là một khoảng và hàm :f I R→ là hàm khả vi trên I . Khi đó '( )f x được gọi là đơn điệu tăng nếu ( '( ) '( ))( ) 0, , .f x f y x y x y I − − ≥ ∀ ∈ Nếu với mọi , , ,( '( ) '( ))( ) 0x y I x y f x f y x y ∈ ≠ − − > , thì '( )f x được gọi là đơn điệu tăng thực sự. Xem 'f là ánh xạ tuyến tính ta có định nghĩa tổng quát hơn. Định nghĩa 2.2. Cho U X ⊂ là một tập mở và :f U R → là hàm khả vi trên .U Khi đó '( )f x được gọi là đơn điệu tăng nếu ( '( ) '( ))( ) 0, , .f x f y x y x y U− − ≥ ∀ ∈ Nếu bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ngặt khi x y ≠ thì 'f được gọi là đơn điệu tăng thực sự trên U . 9 Định lý 2.6. Nếu ( )f x là hàm số khả vi trên I R ⊂ thì ( )f x là hàm lồi trên I khi và chỉ khi '( )f x là hàm đơn điệu tăng trên .I Chứng minh. Giả sử ( )f x là hàm lồi trên I . Khi đó với 1 2 1 2 ( , , )x x x x x x I < < ∈ , ta có 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 0, 0, 1, x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − − − − − − > > + = + = − − − − − − Và do đó 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) (2.4) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2.5) x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x − − ≤ + − − − − − − ⇔ + ≤ + ÷ − − − − − − ⇔ ≤ − − Trong (2.5), cho 1 x x → ta thu được 2 1 1 2 1 ( ) ( ) '( ) . (2.6) f x f x f x x x − ≤ − Tương tự trong (2.5), cho 2 x x → ta thu được 2 1 2 2 1 ( ) ( ) '( ). (2.7) f x f x f x x x − ≤ − Từ (2.6) và (2.7) ta nhận được 1 2 '( ) '( )f x f x ≤ tức '( )f x là hàm đơn điệu tăng. Ngược lại, giả sử '( )f x là hàm đơn điệu tăng và 1 2 1 2 ( , , )x x x x x x I < < ∈ . Theo định lý Lagrange, tồn tại 3 4 ,x x với 1 3 4 2 x x x x x < < < < sao cho 10 [...]... tập lồi được gọi là hàm tựa lồi Một hàm mà mọi tập mức trên của nó là tập lồi được gọi là hàm tựa lõm Hiển nhiên hàm lồi (lõm) là hàm tựa lồi (tựa lõm) Hệ quả 4.1 Giả sử Khi đó tập R n λα ∈ R ∀α ∈ I I là hàm lồi trên , ( ), là tập chỉ số bất kỳ fα A = {x ∈ R n : fα ( x ) ≤ λα , ∀α ∈ I } lồi Chứng minh Do Aα = {x ∈ R n : fα ( x) ≤ λα , ∀α ∈ I } f Định nghĩa 4.4 Hàm trên Rn lồi ∀i A = I Aα , nên α∈I lồi. .. là lồi chặt trên Hàm được gọi là lõm chặt trên nếu là hàm lồi chặt trên C ii ) f Hàm và vừa được gọi là tuyến tính afin (hay đơn giản là afin) trên C lồi vừa lõm trên Một hàm afin trong nếu Rn hữu hạn có dạng f ( x ) = aT x + α , a ∈ R n , α ∈ R Hàm lồi f : C → [−∞; +∞ ] có thể mở rộng thành hàm lồi xác định trên toàn không gian f ( x ) = +∞ , ∀x ∉ C Rn Rn bằng cách đặt Vì vậy để đơn giản ta xét hàm. .. ≤ µ} dom f ≠ ∅ f Định nghĩa 4.1 Hàm được gọi là chính thường nếu và f ( x) > −∞ , ∀x ∈ C f dom f ≠ ∅ f Nói cách khác, chính thường nếu và hữu hạn trên dom f f : C → R ∪ {−∞; +∞} ∅ ≠ C ⊆ Rn f Định nghĩa 4.2 Cho lồi và Ta nói là hàm lồi epi f f C C Rn × R trên nếu là một tập lồi trong Hàm được gọi là hàm lõm trên nếu −f C là hàm lồi trên f Nhận xét 4.1 lồi ⇒ dom f lồi dom f Thật vậy, là hình chiếu... tuyến tính dương của các hàm lồi là hàm lồi f ( x), x ∈ R n 2) Nếu trận vuông cấp n , là hàm lồi thì b ∈ Rn và f ( Ax + b) A cũng là hàm lồi, trong đó là một ma 3) Cận trên (supremum theo từng điểm) của một họ tùy ý các hàm lồi là hàm lồi Chứng minh n 1) Giả sử fi lồi, tuyến tính dương, λi ∈ (0,1), x, y ∈ R n vậy, với n ∑α i =1 , do fi α i ≥ 0, i = 1, n ∑α Ta chứng minh i =1 lồi, tuyến tính dương nên... xét 4.3 Nếu là các hàm lồi chính thường thì nhưng có thể không chính thường f1 + + f m là hàm lồi, δA A1 , A2 1 Thật vậy, chẳng hạn là hai tập lồi không giao nhau Khi đó, các hàm chỉ và δA δA +δA là các hàm lồi chính thường, nhưng là hàm lồi không chính thường bởi vì: 2 δ A1 + δ A2 = +∞ 1 2 ( ∀x ∈ X ) Mệnh đề 4.3 Cho D Rn là một tập lồi trong D×G hàm lồi giá trị thực trên Khi đó, hàm R m ϕ ( x, y... Vì vậy để đơn giản ta xét hàm lồi trên toàn Định lý sau đây nêu mối liên hệ đáng chú ý giữa hàm lồi và tập lồi f : R n → [−∞; +∞ ] Rn µ ∈ [ −∞; +∞ ] Định lý 4.3 Giả sử là một hàm lồi trên và Khi đó {x : f ( x) < µ } {x : f ( x) ≤ µ } f các tập mức dưới và là tập lồi Tương tự , nếu là một {x : f ( x) ≥ µ} {x : f ( x) > µ } Rn hàm lõm trên thì các tập mức trên và là tập lồi Chứng minh 24 i) Chứng minh... 4.4 Nếu là các hàm lồi chính thường, thì hàm các hàm cận trên và bao lồi cận dưới là lồi, nhưng có thể không chính thường Định nghĩa 4.8 f a) Bao đóng của hàm f , ký hiệu là , được xác định như sau: epi f = epi f f b) Bao lồi và bao lồi đóng của hàm ứng như sau: cof co f , ký hiệu là và , được xác định tương epi ( cof ) = co ( epi f ) , ( ) epi co f = co ( epi f ) Nhận xét 4.5 f a) Hàm đóng ⇔ f = f;... Nếu là hàm lồi thực sự thì là hàm lồi thực sự, theo định lý 2.8 ta có f ''( x)(h, h) > 0 f ''( x) h Ta suy ra Do bất kỳ nên là xác định dương g ''(0) > 0 Vậy định lý đã được chứng minh 3 Các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi Định lý 3.1 (Bất đẳng thức Jensen) Cho U là một tập lồi của X , hàm f :U → R xác định trên U f Khi đó là hàm lồi n nếu và chỉ nếu với mọi có bất đẳng thức x1 , , xn ∈ U và với... i =1 f i i là lồi f 2) Do lồi nên với λ ∈ (0,1), x, y ∈ R n ta có f ( A(λ x + (1 − λ ) y ) + b) ≤ f [λ A( x) + (1 − λ ) A( y ) + b] ≤ λ f [ A( x) + b] + (1 − λ ) f [ A( y ) + b] Do đó f ( Ax + b) là hàm lồi 27 f i i là lồi Thật f ( x) = sup{ f i ( x) : i ∈ I } 3) Kết luận được suy ra từ sự kiện là giao của một họ bất kỳ các tập lồi là hàm lồi Hình Đồ thị hàm epi f = Iepi f i thì i∈I và f ( x) = max{... ngặt hay là hàm lồi thực sự f :[a; b] → R Định nghĩa 3.1 Một hàm [ a; b ] lồi trên nếu bất đẳng thức được gọi là hàm lồi theo nghĩa Jensen hay J- x + y f ( x) + f ( y ) f ÷≤ 2 2 (3.3) x, y ∈[ a; b] thỏa với mọi điểm I Định lý 3.2 Cho là một khoảng của tập số thực và f f Khi đó, là hàm lồi khi và chỉ khi thỏa mãn x + y f ( x) + f ( y ) f ÷≤ 2 2 f :I →R , với mọi là một hàm liên tục . Hàm lồi – hàm lõm I. Hàm lồi trong không gian tuyến tính định chuẩn thực. 1. Hàm lồi, hàm lõm và hàm loga -lồi. Các hàm lồi được định nghĩa trên tập lồi. Định nghĩa 1.1. Cho. là hàm lồi trên .U Nếu f hoặc g là hàm lồi thực sự thì tổng f g + cũng là hàm lồi thực. 2. Nếu f là hàm lồi (lồi thực sự) trên U và µ là số thực dương thì f µ là một hàm lồi (lồi. ,x y phân biệt và (0;1). λ ∈ )iii Nếu f − được gọi là hàm lồi (lồi thực sự) thì ta nói f là hàm lõm (lõm thật sự). )iv Nếu f vừa là hàm lồi vừa là hàm lõm ta nói f là hàm afin. Thực