ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH TRỌNG SỸ MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN – NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐINH TRỌNG SỸ MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Tạ Duy Phượng THÁI NGUYÊN – NĂM 2010 Header Page 1 of 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 1 Mục lục Trang Lời nói đầu………………………… …………….…………………………… 3 Chương I Ma trận xác định dương…….………………………………………5 1 Ma trận…………………………….……………………………… …………5 1.1 Số phức và không gian vectơ ….………………………………….…………5 1.2 Định nghĩa ma trận ………………………………….………… ……………8 1.3 Ma trận không ………….…………………………………… ……………9 1.4 Ma trận đường chéo .…………………………………………………… …9 1.5 Ma trận đơn vị …………….…………………………………………………9 1.6 Các phép toán trên ma trận .…………………………………………………9 1.7 Ma trận nghịch đảo ……………………………………… ……………….10 1.8 Ma trận chuyển vị và ma trận chuyển vị liên hợp ………………….………11 1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita …………………………………………12 1.10 Vectơ riêng và giá trị riêng ……………………………………………….13 1.11 Ma trận đối xứng ma trận Hermite ………………………… ………13 2 Ma trận xác định dương…………………………………………….………24 2.1 Định nghĩa ma trận xác định dương……………………………………… 24 2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương….………………………………27 Kết luận Chương…………………………………………………………… …44 Chương 2 Một số ứng dụng của ma trận xác định dương………………….45 1 Lý thuyết ổn định nghiệm của phương trình vi phân………………… 45 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 1.1 Điều kiện cần và đủ ổn định nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng ……………………………………………… ……………… 45 1.2 Phương pháp Lyapunov…………………….………………………………47 1.3 Điều kiện cần và đủ để ma trận là ma trận ổn định ……… ………………48 1.4 Phương trình vi phân cấp hai và các giá trị riêng………… ………………50 2 Bài toán tối ưu hàm toàn phương……………………………………… 52 2.1 Tối ưu hàm một biến…………………….………….………………………52 2.2 Tối ưu hàm hai biến ……… ………………………………… …………52 2.3 Tối ưu hàm toàn phương-tuyến tính nhiều biến với hạn chế………….……54 Kết luận chương ……………………………………………………………….55 Kết luận…………………………………………………………… ……… 56 Tài liệu tham khảo……………………………………… 57 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 LỜI NÓI ĐẦU Lớp ma trận xác định dương là một lớp ma trận có cấu trúc riêng (tạo thành một đa tạp khả vi Rieman, xem [Bhatia, 2007]) và có nhiều ứng dụng trong lý thuyết đa thức, trong lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,… Luận văn Ma trận xác định dương và một số ứng dụng có mục đích trình bày các kiến thức cơ bản của ma trận xác định dương: các định nghĩa, tính chất của ma trận và ma trận xác định dương cũng như các tiêu chuẩn để nhận biết về ma trận xác định dương. Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác định dương có thể giúp ta giải quyết được khá nhiều các bài toán liên quan đến đa thức, và đặc biệt là trong lý thuyết ổn định, trong toán kinh tế và tối ưu,… Trong luận văn này, chúng tôi cố gắng trình bày theo một logic chặt chẽ về mặt toán học, các chứng minh định lí được trình bày với mức độ chi tiết. Nội dung trong luận văn gồm hai chương. Chương 1. Ma trận xác định dương Phần đầu của Chương 1 trình bày một số định nghĩa và tính chất về ma trận: ma trận, ma trận chuyển vị, ma trận đối xứng, ma trận Hermite,… Nội dung chủ yếu của Chương 1 là trình bày khái niệm và các tính chất của ma trận xác định dương cũng như các dấu hiệu để nhận biết về ma trận xác định dương. Chương 2. Một số ứng dụng của ma trận xác định dương Chương hai đề cập tới một số ứng dụng của ma trận xác định dương đối với lý thuyết đa thức và lý thuyết ổn định, toán kinh tế và tối ưu,… Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 Luận văn được hoàn thành với sự giúp đỡ tận tình của PGS-TS Tạ Duy Phượng, Em xin bầy tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Nhân dịp này tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên; Viện Toán học, Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam; Khoa Toán Đại học sư phạm, Đại học Thái Nguyên; Khoa công nghệ thông tin, Đại học Thái Nguyên đã tận tình giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập tại trường. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban lãnh đạo Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Thái Nguyên, Ban giám hiệu và các thầy cô giáo trường THPT Phổ Yên đã tạo điều kiện thuận lợi nhất để tác giả hoàn thành nhiệm vụ học tập. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2010 Tác giả Đinh Trọng Sỹ Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 CHƯƠNG I MA TRẬN XÁC ĐỊNH DƯƠNG Chương này nhắc lại một số những kiến thức cơ bản về ma trận có liên quan đến ma trận xác định dương, các tiêu chuẩn để kiểm tra một ma trận là xác định dương và các tính chất của ma trận xác định dương. Nội dung chương này chủ yếu được tổng hợp dựa trên các trên tài liệu [1], [2], [3], [4], [6], [8] và [9]. Chúng tôi cố gắng chứng minh chi tiết các tính chất và các định lí, trình bày có hệ thống, độc lập và đầy đủ về ma trận xác định dương. 1 MA TRẬN 1.1 Số phức và không gian vectơ phức Cho z a bi   là một số phức. Ký hiệu z là liên hợp phức của z , tức là z a bi   . Nhận xét rằng, z z  khi và chỉ khi 0 b  , hay z là số thực. Số phức 0 z a bi    khi và chỉ khi 0 z a bi    , tức là 0 a  hoặc 0 b  . Ta luôn có     2 2 0 zz a bi a bi a b       với mọi số phức z ; 0 zz  khi và chỉ khi 0 z  . Giả sử H là không gian Hilbert với các phần tử là các vectơ cột x số chiều n có các thành phần là các số phức. Định nghĩa ([3], trang 1) Tích vô hướng giữa hai vectơ x và y trong H là một số 1 1 2 2 ( , ): , : n n x y x y x y x y x y x y         , trong đó Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 1 n x x H x             , 1 n y y H y             , k k k x a b i   , k k k x a b i   , 1,2, , k n  và   1 1 1 1 1 , , n n n n n x a ib x x a ib a ib x a ib                                 . Khi H là không gian Euclid với các phần tử là các vectơ cột số chiều n có các thành phần là các số thực, thì tích vô hướng giữa hai vectơ được định nghĩa là 1 1 2 2 ( , ): , : n n x y x y x y x y x y x y         . Ánh xạ : f H   được gọi là tuyến tính trên H nếu với mọi 1 t , 2 t   , mọi 1 2 , x x H  ta có       1 1 2 2 1 1 2 2 f t x t x t f x t f x    . Ánh xạ : f H   được gọi là tuyến tính liên hợp trên H nếu với mọi 1 t , 2 t   , mọi 1 2 , x x H  ta có       1 1 2 2 1 1 2 2 f t x t x t f x t f x    . Tính chất Tích vô hướng .,. tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và tuyến tính theo biến thứ hai, tức là khi cố định biến thứ hai thì tích vô hướng là ánh xạ tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất và khi cố định biến thứ nhất thì tích vô hướng là ánh xạ tuyến tính theo biến thứ hai. Chứng minh Thật vậy, vì 1 n x x x            nên 1 n x x x            ,     * 1 , , n x x x x    ; 1 1 1 1 n y y y            , 2 1 2 2 n y y y            nên 1 2 1 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n y y t y t y t y t y t t y y t y t y                                     Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Do đó         1 2 1 1 2 1 1 2 * 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 * 1 * 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 ( , ) ( ) , , , , . n n i i i i n n n n i i i i i i t y t y x t y t y x t y t y x x x t y t y t y t y t x y t x y t x y t x y t x y t x y                                   Vậy theo định nghĩa, tích vô hướng .,. tuyến tính theo biến thứ hai. Bây giờ cố định biến thứ hai, vì 1 2 1 2 z z z z  và 2 1 2 1 z z z z    nên       1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2 , , n n n n t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x                       . Do đó           1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 * * 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 , , . n n n n n n i i i i i i i i i i y t x t x y t x t x t x t x y t x t x y t x y t x y t x y t x y                            tức là         1 2 1 2 1 2 1 * 2 * 1 2 1 2 1 2 1 2 1 * 2 * 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , ( ) ( ) ( ) ( ) , , ( , ) ( , ). t x t x y t x t x y t x t x y t x t x y t x y t x y t x y t x y t x y t x y                  Vậy  là tuyến tính liên hợp theo biến thứ nhất. Nếu H là không gian Euclid hữu hạn chiều n  với các phần tử là các vectơ có các thành phần là các số thực thì  là tuyến tính theo từng biến. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Nhận xét Trong một số tài liệu, Ví dụ, [6, trang 197], định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ x và y là 1 1 ( , ): , : n n f x y x y x y x y     . Khi ấy tích vô hướng tuyến tính theo biến thứ nhất và tuyến tính liên hợp theo biến thứ hai. 1.2 Định nghĩa ma trận Cho m, n là hai số tự nhiên. Một m n  -ma trận (ma trận cấp m n  ) là một bảng số hình chữ nhật gồm m dòng và n cột 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a               . Các số (thực hoặc phức) a ij được gọi là phần tử ở dòng i cột j ( 1, ; 1, i m j n   ) của ma trận. Ma trận được viết dưới dạng rút gọn A a ij        . Khi cần chỉ rõ cụ thể cấp của ma trận thì ta viết m n A a ij         . Khi m n  thì ta có ma trận vuông cấp n . Kí hiệu ma trận vuông cấp n là n A . Khi 1 n  ma trận A có cấp 1 m  được gọi là vectơ cột 1 2 m x x x x              số chiều m . Khi 1 m  ma trận có cấp 1 n  được gọi là vectơ hàng   1 2 , , , n x x x x  cấp n . Không gian vectơ (thực hoặc phức) là tập hợp các phần tử gồm tất cả các vectơ cột với các tọa độ là các số (thực hoặc số phức) thỏa mãn các tiên đề của không gian vectơ. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... x  H ; Ma trận A gọi là xác định dương (trên H ) nếu x, Ax  0 , x  0 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 25 Một số tài liệu gọi ma trận xác định không âm là ma trận nửa xác định dương (hoặc ma trận xác định dương) , còn ma trận xác định dương là ma trận xác định dương chặt Trong luận văn này chúng ta sử dụng thuật ngữ như đã nêu trên (ma trận xác định không... (ma trận xác định không âm và ma trận xác định dương) Một số tài liệu cũng giả thiết trong ngay định nghĩa ma trận xác định không âm (ma trận xác định dương) là ma trận Hermite (là ma trận đối xứng khi A là ma trận thực, xem, Ví dụ, [2], trang 4) Nếu ma trận A là xác định không âm thì ta ký hiệu A  0 Nếu ma trận A là xác định dương thì ta ký hiệu A  0 Nếu A, B là các ma trận có cùng cấp n  n , ta... âm (dương) nên là ma trận xác định không âm (xác định dương) Tính chất 10 Ma trận đối xứng thực A là xác định không âm khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một ma trận đối xứng thực xác định không âm B sao cho A  B 2 Ma trận đối xứng thực A là xác định dương khi và chỉ khi tồn tại duy nhất một ma trận đối xứng thực xác định dương B sao cho A  B 2 1 2 Ta có thể viết B  A  A và gọi B là căn bậc hai dương. .. vậy, S không phải là ma trận xác định dương Tuy nhiên, ta có Tính chất 9 Giả sử A, B là các ma trận Hermite và A là ma trận xác định dương Nếu S  AB  BA là ma trận xác định không âm (xác định dương) thì B là ma trận xác định không âm (xác định dương) Chứng minh Vì B là ma trận Hermite nên tồn tại một ma trận unita U sao cho B  U U * , trong đó   U * BU có dạng đường chéo Số hóa bởi Trung tâm... hai ma trận A và B là một m  p -ma trận  cik  với n cik  ai1b1k  ai 2b2 k   ainbnk   aij b jk j 1 Nhận xét Phép nhân hai ma trận chỉ thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số phần tử trong một dòng bằng số phần tử trên một cột của ma trận thứ hai Tích của hai ma trận là một ma trận có số dòng bằng số dòng của ma trận thứ nhất và số cột bằng số cột của ma trận thứ hai Phép nhân hai ma trận. .. H (dương với mọi x  0 , x  H ) thì ta nói ma trận A là xác định không âm (xác định dương) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 27 2.2 Các tính chất của ma trận xác định dương Tính chất 1 Ma trận O là ma trận xác định không âm Ma trận đơn vị I là ma trận xác định dương Thật vậy, I là ma trận xác định dương vì với mọi vectơ x  0 , ta có T Ix  x   x, Ix ... BA k * Tương tự, ta dễ dàng chứng minh được  AB   B* A* 1.9 Ma trận trực giao và ma trận unita Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao (ma trận vuông góc) nếu AA  I , trong đó I là ma trận đơn vị và A là ma trận chuyển vị của A Ma trận U gọi là ma trận unita nếu U U  I , trong đó I là ma trận đơn vị và U  là ma trận chuyển vị liên hợp của U Nếu U là ma trận unita thì U khả nghịch Hơn...  U  U *  B* B Rõ ràng, nếu A là ma trận xác định dương thì i  0 , i  1,2, , n nên B  U * là không suy biến (vì U là ma trận unita nên không suy biến) Tính chất 8 Nếu A   aij  và B   bij  là các ma trận đối xứng xác định dương   thì ma trận C  aij bij cũng xác định dương Chứng minh Vì A   aij  là ma trận đối xứng xác định dương nên tồn tại ma trận trực giao T sao cho A  T T ... là ma trận Hermite Hơn nữa, phép biến đổi unita bảo toàn giá trị riêng (xem mục 1.10) nên nếu A là  xác định dương thì A cũng là ma trận xác định dương Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 29 Tính chất 6 Ma trận Hermite ( A  A* ) là ma trận xác định không âm khi và chỉ khi các giá trị riêng của nó không âm Ma trận Hermite là ma trận xác định dương khi và chỉ... bij  là ma trận xác định không âm Nếu một trong hai bất đẳng thức của (*) là chặt thì bất đẳng thức (**) cũng là chặt hay A  B là ma trận xác định dương Hệ quả Nếu A là ma trận xác định không âm (xác định dương) thì 2A cũng là ma trận xác định không âm (xác định dương) Tính chất 3 (Tính chất bắc cầu) Nếu A  B, B  C thì A  C Nếu một trong hai bất đẳng thức A  B, B  C là chặt thì A  C Chứng minh . trận xác định dương cũng như các dấu hiệu để nhận biết về ma trận xác định dương. Chương 2. Một số ứng dụng của ma trận xác định dương Chương hai đề cập tới một số ứng dụng của ma trận xác định. của ma trận xác định dương: các định nghĩa, tính chất của ma trận và ma trận xác định dương cũng như các tiêu chuẩn để nhận biết về ma trận xác định dương. Việc nghiên cứu tìm hiểu ma trận xác. có số phần tử trong một dòng bằng số phần tử trên một cột của ma trận thứ hai. Tích của hai ma trận là một ma trận có số dòng bằng số dòng của ma trận thứ nhất và số cột bằng số cột của ma trận