ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC CẦM THỊ HUYỀN ANH HÀM ĐƠN ĐIỆU, TỰA ĐƠN ĐIỆU VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN LUẬN VĂN THẠC SĨ Chuyên ngành : PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số : 60 46 40 Giáo viên hướng dẫn: GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN, 2012 1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 2 Mục lục Mở đầu 3 1 Hàm đơn điệu và các tính chất liên quan 5 1.1 Hàm đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hàm đơn điệu bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2 Lớp hàm tựa đơn điệu 18 2.1 Định nghĩa và các tính chất liên quan . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Các bài toán liên quan đến hàm tựa đơn điệu . . . . . . . . . 23 3 Một số áp dụng trong đại số 26 3.1 Hàm đơn điệu từng khúc và phép đơn điệu hoá hàm số . . . . 26 3.2 Sử dụng tính đơn điệu trong so sánh phân số . . . . . . . . . 34 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 2Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mở đầu Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu là một mảng chuyên đề khá rộng lớn.Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu là bài toán không thể thiếu khi nghiên cứu về hàm số. Các bài toán về hàm đơn điệu, tựa đơn điệu cũng là một trong các bài toán hay gặp và khó trong các kì thi, đặc biệt là trong các kì thi học sinh giỏi các cấp. Do đó, việc sắp xếp có hệ thống hàm đơn điệu,tựa đơn điệu và phân loại các dạng bài tập cùng phương pháp giải là nội dung của luận văn với tên gọi "Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu và các bài toán liên quan". 1. Lý do chọn đề tài Với hệ thống lý thuyết, bài tập và phương pháp giải đa dạng, việc dạy và học chuyên đề này gặp nhiều khó khăn. Do đó, việc phân loại và đưa ra phương pháp cụ thể cho từng dạng là vấn đề mà chúng ta cần quan tâm. Trong đó, hàng loạt các bài toán sử dụng tính đơn điệu và tựa đơn điệu để giải các bài toán tương đối gọn gàng, rõ ràng . Nêu cách thức vận dụng tính đơn điệu,tựa đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán ở cấp trung học phổ thông và bồi dưỡng học sinh giỏi toán. Với ý tưởng này, tôi chọn đề tài cho mình là hàm đơn điệu, tựa đơn điệu và các bài toán liên quan. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài này là trình bày một cách có hệ thống hàm đơn điệu, tựa đơn điệu và đưa ra các bài toán có liên quan đó là các bài toán về hàm đơn điệu từng khúc, đơn điệu hoá các hàm số sơ cấp và sử dụng tính đơn điệu hoá trong so sánh phân số. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Khảo sát lí thuyết hàm đơn điệu, tựa đơn điệu và hàm đơn điệu bậc cao 3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 4 đồng thời đưa ra các bài toán liên quan, đó là các bài toán về hàm đơn điệu từng khúc, đơn điệu hoá các hàm số sơ cấp và sử dụng tính đơn điệu hoá trong so sánh phân số dành cho việc ôn luyện học sinh giỏi toán các cấp. 4. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu trực tiếp từ các tài liệu của giáo viên hướng dẫn, tủ sách chuyên toán và các kỷ yếu hội thảo khoa học về chuyên toán cũng như từ bài học kinh nghiệm giảng dạy của các đồng nghiệp và các bạn học viên trong lớp. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi cấp trung học phổ thông. 6. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và 3 chương. 4Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 5 Chương 1 Hàm đơn điệu và các tính chất liên quan 1.1 Hàm đơn điệu Ta thường sử dụng kí hiệu I (a, b) ⊂ R là nhằm ngầm định một trong bốn tập hợp (a, b) , [a, b) , (a, b] hoặc [a, b] với a < b. Định nghĩa 1.1 (Xem [2]-[3]). Khi hàm số f (x) xác định trên tập I (a, b) ⊂ R và thoả mãn điều kiện: Với mọi x 1 , x 2 ∈ I (a, b) mà x 1 < x 2 , ta đều có f (x 1 ) ≤ f (x 2 ) , thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu tăng trên I(a, b). Đặc biệt, khi ứng với mọi cặp x 1 , x 2 ∈ I (a, b), ta đều có f (x 1 ) < f (x 2 ) ⇔ x 1 < x 2 , thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b). Ngược lại, khi với mọi x 1 , x 2 ∈ I (a, b) mà x 1 < x 2 , ta đều có f (x 1 ) ≥ f (x 2 ) , thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên I(a, b). Nếu xảy ra f (x 1 ) < f (x 2 ) ⇔ x 1 > x 2 , ∀x 1 , x 2 ∈ I (a, b) , thì ta nói rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b). 5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 6 Những hàm số đơn điệu tăng thực sự trên I(a, b) được gọi là hàm đồng biến trên I(a, b) và hàm số đơn điệu giảm thực sự trên I(a, b) được gọi là hàm nghịch biến trên tập đó. Trong chương trình giải tích, chúng ta đã biết đến các tiêu chuẩn để nhận biết khi nào thì một hàm số khả vi cho trước trên khoảng (a, b) là một hàm số đơn điệu trên khoảng đó. Tính chất 1.1. Cho hàm số f (x) có đạo hàm trên khoảng (a, b). (i) Nếu f  (x) > 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) đồng biến trên khoảng đó. (ii) Nếu f  (x) < 0 với mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f (x) nghịch biến trên khoảng đó. Các định lí sau đây cho ta một số đặc trưng đơn giản khác của hàm đơn điệu. Tính chất 1.2. Hàm f (x) xác định trên R + là một hàm số đơn điệu tăng khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a 1 , a 2 , . . . , a n và x 1 , x 2 , . . . x n , ta đều có n  k=1 a k f (x k ) ≤  n  k=1 a k  f  n  k=1 x k  . (1.1) Chứng minh. Khi f (x) đơn điệu tăng trên R thì hiển nhiên ta có f (x j ) ≤ f  n  k=1 x k  , j = 1, 2, . . . , n. Suy ra a j f (x j ) ≤ a j f  n  k=1 x k  , j = 1, 2, . . . , n. (1.2) Lấy tổng theo j (j = 1, 2, . . . , n), từ (1.2), ta thu được (1.1). Ngược lại, với n = 2, từ (1.1), ta có f (x) + εf (h) ≤ (1 + ε) f (x + h) , ∀ε, h > 0 (1.3) Khi ε → 0, ta thu được f (x + h) ≥ f (x), hay f (x) là một hàm đồng biến. 6Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 7 Tính chất 1.3. Để bất đẳng thức n  k=1 f (x k ) ≤ f  n  k=1 x k  , (1.4) được thoả mãn với mọi bộ số dương x 1 , x 2 , . . . , x n , điều kiện đủ là hàm g (x) := f (x) x đơn điệu tăng trên R + . Chứng minh. Nhận xét rằng, ta có hàm số f (x) = xg (x) và (1.4) sẽ có dạng (1.1) với a j = x j (j = 1, 2, . . . , n) : n  k=1 x k g (x k ) ≤  n  k=1 x k  g  n  k=1 x k  (1.5) hiển nhiên được thoả mãn ứng với g (x) là một hàm số đơn điệu tăng trên R + . Hệ quả 1.1. Giả sử g (x) = f(x) x là hàm đơn điệu tăng trong [0, +∞]. Khi đó với mọi dãy số dương và giảm x 1 , x 2 , . . . , x n , ta đều có f (x 1 − x n ) ≥ n−1  k=1 f (x k − f (x k+1 )). Nhận xét rằng, (1.5) không là điều kiện cần để g (x) là một hàm đồng biến. Thật vậy, chỉ cần chọn hàm g (x) có tính chất 0 < g (x) ∈ C  R +  , ∀x ∈ R + v`a max g (x) ≤ 2 min g (x) , ta dễ dàng kiểm chứng rằng (1.5) được thoả mãn. Chẳng hạn, ta thấy hàm số g (x) = 3 + sin x, x ∈ R + , thoả mãn điều kiện nêu trên và vì vậy nó thoả mãn điều kiện (1.5). Tuy nhiên, hàm g (x) không là hàm đơn điệu tăng trên R + . Nếu bổ sung thêm điều kiện: g (x) := f (x) x là hàm đồng biến trên R + và x 1 , x 2 , . . . , x n , là bộ số gồm các số lớn hơn 1, thì ta thu được bất đẳng thức thực sự: n  k=1 f (x k ) < f  n  k=1 x k  7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 8 Tương tự, ta cũng có thể phát biểu các đặc trưng đối với hàm đơn điệu giảm. Tính chất 1.4. Hàm f (x) xác định trên R + là một hàm số đơn điệu giảm khi và chỉ khi với mọi cặp bộ số dương a 1 , a 2 , . . . , a n và x 1 , x 2 , . . . , x n , ta đều có n  k=1 a k f (x k ) ≥  n  k=1 a k  f  n  k=1 x k  . Tính chất 1.5. Để bất đẳng thức n  k=1 f (x k ) ≥ f  n  k=1 x k  được thoả mãn với mọi bộ số dương x 1 , x 2 , . . . , x n , điều kiện đủ là hàm g (x) := f (x) x đơn điệu giảm trên R + . Nhận xét rằng, trong số các hàm sơ cấp một biến, thì hàm tuyến tính f (x) = ax đóng vai trò đặc biệt quan trọng, vì nó rất dễ nhận biết về tính đồng biến (khi a > 0) và nghịch biến (khi a < 0) trong mỗi khoảng tuỳ ý cho trước. Đặc trưng sau đây sẽ cho ta thấy rõ hơn về đặc trưng (bất đẳng thức hàm) của hàm tuyến tính. Tính chất 1.6. Giả thiết rằng với mọi cặp bộ số dương a 1 , a 2 , . . . , a n ; x 1 , x 2 , . . . , x n , ta đều có n  k=1 a k f (x k ) ≥ f  n  k=1 a k x k  . (1.6) thì f (x) = ax, trong đó a là hằng số. Chứng minh. Lấy n = 2 và chọn x 1 = x, x 2 = y; a 1 = y 2x , a 2 = 1 2 , từ (1.6), ta thu được f (x) x ≤ f (y) y , ∀x, y ∈ R + . Suy ra g (x) := f (x) x là một hàm hằng trên R + . 8Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 9 Tiếp theo, ta nêu một số tính chất của hàm đơn điệu để ước lượng một số tổng và tích phân. Tính chất 1.7 (Maclaurin, Cauchy). Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên (0, +∞). Khi đó ta luôn có n  k=1 f (k) ≤ n  0 f (x) dx ≤ n−1  k=0 f (k). (1.7) Khi f (x) là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự. Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết, f (x) là một hàm đơn điệu giảm, nên ta luôn có f (k + 1) ≤ k+1  k f (x) dx ≤ f (k) , k = 0, 1, . . . Lấy tổng theo k, ta thu được (1.7), chính là điều phải chứng minh. Tính chất 1.8. Giả thiết rằng f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên (0, +∞) và {a k } là một dãy tăng trong (0, +∞). Khi đó, ta luôn có n  k=1 (a k − a k−1 ) f (a k ) ≤ a n  a 0 f (x) dx ≤ n  k=1 (a k − a k−1 )f (a k−1 ) . (1.8) Khi f (x) là hàm nghịch biến thì có dấu bất đẳng thức thực sự. Chứng minh. Thật vậy, theo giả thiết, f (x) là một hàm đơn điệu giảm,nên ta luôn có (a k − a k−1 ) f (a k ) ≤ a k  a k−1 f (x) dx ≤ (a k − a k−1 ) f (a k−1 ) . Lấy tổng theo k, ta thu được (1.8), chính là điều phải chứng minh. 9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 Tính chất 1.9. Giả thiết rằng f (x) là một hàm đồng biến trên [0; +∞) và f (0) = 0. Gọi f −1 (x) là hàm ngược của f (x). Khi đó ta luôn có ab ≤ a  0 f (x) dx + b  0 f −1 (x) dx, ∀a, b ≥ 0. Chứng minh. Bất đẳng thức được suy trực tiếp bằng cách so sánh diện tích tạo bởi đường cong y = f (x) và x = g (y) với diện tích hình chữ nhật tạo bởi x = 0, x = a; y = 0, y = b. Hệ quả 1.2. Giả thiêt rằng f (x) là một hàm đồng biến trên [0; +∞) và f (0) = 0. Gọi f −1 (x) là hàm ngược của f (x). Khi đó ta luôn có ab ≤ af (a) + bf −1 (b), ∀a, b ≥ 0. Tính chất 1.10. Cho Hàm số y = f (x) liên tục, không âm và đơn điệu tăng trên [α, β) với 0 ≤ α < β. Khi đó ∀a ∈ [α, β) ; ∀b ∈ [f (α) , f (β)) ta có a  α f (x) dx + b  f(α) f −1 (x) dx ≥ ab − αf (α) . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi f (a) = b. Chứng minh. Gọi S 1 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi x = α, x = a, y = 0, y = f (x) thì S 1 = a  α f (x) dx. Gọi S 2 là diện tích hình phẳng giới hạn bởi y = f (α) , y = b, x = 0, y = f −1 (x), thì S 2 = b  f(α) f −1 (x) dx Gọi S là diện tích hình chữ nhật giới hạn bởi x = 0, x = a, y = 0, y = b thì S = ab. 10Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn [...]... thì hàm số là hàm số đơn điệu có tính tuần hoàn trong khoảng 1 g (t) e−λtx dt, λ > 0 f (x) = 0 là hàm số đơn điệu có tính tuần hoàn trong khoảng (0, +∞) 2.2 Các bài toán liên quan đến hàm tựa đơn điệu 2.2.1 Các bài toán về hàm đơn điệu tuyệt đối Nhận xét 2.1 Nếu hàm số f (x) là hàm đồng biến tuyệt đối trong khoảng (a, b) thì hàm số g (x) := −f (x) sẽ là hàm nghịch biến tuyệt đối trong khoảng đó và ngược... = 2.1.3 Hàm đơn điệu có tính tuần hoàn Song song với lớp hàm đơn điệu thông thường và đơn điệu tuyệt đối, nhiều lớp hàm đơn điệu khác cũng được đưa ra và nghiên cứu các đặc trưng của chúng như đơn điệu đầy đủ, đơn điệu có tính tuần hoàn hoàn toàn, 22Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 23 Định nghĩa 2.5 (Xem [2]-[3]) Hàm số f (x) được gọi là hàm đơn điệu có... lớp hàm lồi thay cho lớp hàm đơn điệu 25Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 26 Chương 3 Một số áp dụng trong đại số 3.1 Hàm đơn điệu từng khúc và phép đơn điệu hoá hàm số Nhìn chung, khi giải quyết các bài toán thực tế, ta thường phải làm việc với lớp các hàm đơn điệu từng khúc Trong mục này, ta chủ yếu xét các hàm số f (x) xác định trên I(a, b) mà trên đó hàm. .. http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 Chương 2 Lớp hàm tựa đơn điệu 2.1 Định nghĩa và các tính chất liên quan 2.1.1 Hàm tựa đơn điệu Ta nhắc lại một số tính chất đã biết sau Giả sử hàm số f (x) xác định và đơn điệu tăng trên I (a, b) Khi đó với mọi x1 , x2 ∈ I (a, b), ta đều có f (x1 ) ≤ f (x2 ) ⇔ x1 ≤ x2 , và ngược lại, ta có f (x1 ) ≥ f (x2 ) ⇔ x1 ≤ x2 , ∀x1 , x2 ∈ I (a, b) , khi f (x) là một hàm đơn điệu giảm trên I (a, b)... khi và chỉ khi các đạo hàm của chúng không triệt tiêu (có dấu không đổi) và f (k) (x) f (k+2) (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a, b) , k = 0, 1, 2, Ví dụ về các hàm số sơ cấp đơn điệu có tính tuần hoàn trong khoảng (a, b) (a > 0) là các hàm số sau Ví dụ 2.5 Hàm số f (x) = sin x là hàm số đơn điệu có tính tuần hoàn trong khoảng 0, π 2 Ví dụ 2.6 Hàm số f (x) = cos x π ,π 2 Ví dụ 2.7 Cho hàm số g (x) liên tục và dương... vậy, không muốn mất tính tổng quát, ta chỉ trình bày các bài toán liên quan đến hàm đơn điệu tăng và đồng biến tuyệt đối trong khoảng đã cho 23Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn 24 Bài toán 2.4 Chứng minh rằng với mọi hàm số g (x) liên tục và dương trên đoạn [0, 1], hàm số 1 g (t) etx dt f (x) = 0 sẽ là hàm đồng biến tuyệt đối trong khoảng (0, 1) Chứng minh... hàm f (x) chỉ có hữu hạn các điểm dừng (điểm cực trị) Bài toán 3.1 (Tổng quát) Cho hàm số f (x) liên tục và có hữu hạn khoảng đơn điệu trên [a, b] và 1 < n ∈ N Xét tất cả các dãy số tăng {xi } trong [a, b]: x0 = a x1 x2 ··· xn xn+1 = b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức n f (xi ) − f (xi+1 ) M= i=0 Để giải quyết bài toán này ta xét từng trường hợp cụ thể Bài toán 3.2 Cho f (x) liên tục trên [a, +∞),... nghĩa hàm đồng biến và nghịch biến tuyệt đối Định nghĩa 2.4 (Xem [2]-[3]) Hàm số f (x) được gọi là hàm đồng biến (nghịch biến) tuyệt đối trong khoảng (a, b) nếu đạo hàm mọi cấp của nó đều là hàm đồng biến (nghịch biến) tuyệt đối trong khoảng đó Ví dụ về các hàm số sơ cấp đơn điệu, đồng biến (nghịch biến) tuyệt đối trong khoảng (a, b) (a > 0) là các hàm số sau Ví dụ 2.1 Mọi đa thức P (x) với các hệ... dương là hàm đơn điệu tăng tuyệt đối trong khoảng (0, +∞) Thật vậy, dãy các đa thức P k (x) có các hệ số không âm nên P k (x) ≥ 0, ∀x > 0, k = 0, 1, Ví dụ 2.2 Hàm số f (x) = ex hàm đồng biến tuyệt đối trong khoảng (0, +∞) Ví dụ 2.3 Với mọi hàm số g (x) liên tục và dương trên [0, 1], hàm số 1 g (t) etx dt f (x) = 0 là hàm đồng biến tuyệt đối trong khoảng (0, 1) Ví dụ 2.4 Hàm số x−1 − ex x+1 là hàm nghịch... thức M bằng f (10) − f (−10) = 1940 3.2 Sử dụng tính đơn điệu trong so sánh phân số Có thể nói rằng các tính chất cơ bản của hàm số luôn đóng vai trò quan trọng như là những công cụ hữu hiệu nhất để định hướng giải cũng như sáng tác các bài tập mới Những kiến thức liên quan tới khái niệm đơn điệu được sử dụng trong so sánh phân số Ta xét ví dụ sau Bài toán 3.12 Chứng minh rằng với mọi bộ số dương a, b, . http://www.lrc-tnu.edu.vn 3 Mở đầu Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu là một mảng chuyên đề khá rộng lớn .Hàm đơn điệu, tựa đơn điệu là bài toán không thể thiếu khi nghiên cứu về hàm số. Các bài toán về hàm đơn điệu, tựa đơn điệu. đơn điệu, tựa đơn điệu và các bài toán liên quan. 2. Mục đích nghiên cứu Mục đích của đề tài này là trình bày một cách có hệ thống hàm đơn điệu, tựa đơn điệu và đưa ra các bài toán có liên quan. là các bài toán về hàm đơn điệu từng khúc, đơn điệu hoá các hàm số sơ cấp và sử dụng tính đơn điệu hoá trong so sánh phân số. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Khảo sát lí thuyết hàm đơn điệu,