Đang tải... (xem toàn văn)
Phần I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác 1. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có sđ = α sinα = yM; cosα = xM. tan α = ; cot α = 2. Các tính chất Với mọi α ta có: –1 ≤ sin α ≤ 1 hay |sin α| ≤ 1; –1 ≤ cos α ≤ 1 hay |cos α| ≤ 1 3. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản sin² α + cos² α = 1; tan α cot α = 1; 1 + tan² α = ; 1 + cot² α = 4. Các công thức liên hệ cung cos(–α) = cos α cos(π – α) = –cos α cos(π + α) = –cos α sin(–α) = –sin α sin(π – α) = sin α sin(π + α) = –sin α tan(–α) = –tan α tan(π – α) = –tan α tan(π + α) = tan α cot(–α) = –cot α cot(π – α) = –cot α cot(π + α) = cot α cos(π2 + α) = –sin α cos(π2 – α) = sin α sin(π2 + α) = cos α sin(π2 – α) = cos α tan(π2 + α) = –cot α tan(π2 – α) = cot α cot(π2 + α) = –tan α cot(π2 – α) = tan α 5. Công thức cộng cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb 6. Công thức nhân đôi sin2a = 2sin a cos a cos2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a 7. Công thức hạ bậc cos² α = sin² α = 8. Công thức biến đổi tích thành tổng 9. Công thức biến đổi tổng thành tích I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Hàm số y = tan x xác định khi x ≠ π2 + kπ, k thuộc Z Hàm số y = cot x xác định khi x ≠ kπ, k thuộc Z Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau a) y = cos x + sin x b) y = c) y = d) y = e) y = + 1 f) y = g) y = h) y = tan (x + π4) i) y = cot (2x – π3) II. Chứng minh tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Công thức đối: cos (–x) = cos x; sin (–x) = – sin x; tan (–x) = – tanx; cot (–x) = – cot x Phương pháp: Bước 1. Tìm TXĐ D; Với mọi x thuộc D → –x thuộc D Bước 2. Tính f(–x); so sánh với f(x). Có một trong 3 khả năng có thể xảy ra + f(–x) = f(x) → hàm số chẳn + f(–x) = –f(x) → hàm số lẻ + f(–x) ≠ f(x) f(–x) ≠ –f(x) thì chọn giá trị xo và tính f(–xo), f(xo) thỏa mãn điều kiện suy ra hàm số không chẳn không lẻ. Bài 2: Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau a) y = 2 cos x b) y = sin x + x c) y = sin 2x + 2 d) y = –2 tan² x e) y = sin |x| + x² f) y = cos III. Xét chiều biến thiên hàm số lượng giác Bài 3: Lập bảng biến thiên của hàm số a) y = –sin x + 1 trên đoạn –π; π b) y = –2cos (2x + π3) trên đoạn –2π3; π3 IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số a) y = 2 sin (x – π2) + 3 b) y = 3 – 2 cos 2x c) y = –1 – cos² (2x + π3) d) y = e) y = f) y = sin² x – 4sin x + 3 Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số a) y = sin x trên đoạn –π2; π3 b) y = cos x trên đoạn –π2; π2 c) y = sin x trên đoạn π6; 3π4 d) y = cos (πx 4) trên đoạn 1; 3 V. Phương trình lượng giác Bài 6: Giải các phương trình sau a. b. d. e. f. cos 7x – sin 5x = (cos 5x – sin 7x) g. tan x – 3cot x = h. i. 2sin 2x + 2sin² x = 1 Bài 7: Giải các phương trình sau a. 2 cos² x + 5sin x – 4 = 0 b. 2 cos 2x – 8 cos x + 5 = 0 c. 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x d. 2 (sin4 x + cos4 x) = 2 sin 2x – 1 e. cos (4x3) = cos² x f. (3 + tan² x) cos x = 3. g. 5 tan x – 2 cot x – 3 = 0 h. 6sin² 3x + cos 12x = 4 Bài 8: Giải các phương trình sau a. 2 sin² x – 5 sin x cos x – cos² x = –2 b. 3 sin² x + 8 sin x cos x + (8 – 9) cos² x = 0 c. 4 sin² x + 3 sin 2x – 2 cos² x = 4 d. 6 sin x – 2 cos³ x = 5 sin 2x cos x e. sin² x + sin 2x – 2cos² x = 12 Bài 9: Giải các phương trình sau a. 3(sin x + cos x) + 2sin 2x + 3 = 0 b. sin 2x – 12(sin x – cos x) = –12 c. 2(cos x + sin x) – 4 sin x cos x – 1 = 0 d. cos x – sin x – 2sin 2x – 1 = 0 Bài 10: Giải các phương trình sau
Phần I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác 1. Trên đường tròn lượng giác gốc A, cho điểm M có sđ ¼ AM = α sinα = y M ; cosα = x M . tan α = sinα π (α kπ) cosα 2 ≠ + ; cot α = cosα (α kπ) sinα ≠ 2. Các tính chất Với mọi α ta có: –1 ≤ sin α ≤ 1 hay |sin α| ≤ 1; –1 ≤ cos α ≤ 1 hay |cos α| ≤ 1 3. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản sin² α + cos² α = 1; tan α cot α = 1; 1 + tan² α = 2 1 cosα ;1 + cot² α = 2 1 sinα 4. Các công thức liên hệ cung cos(–α) = cos α cos(π – α) = –cos α cos(π + α) = –cos α sin(–α) = –sin α sin(π – α) = sin α sin(π + α) = –sin α tan(–α) = –tan α tan(π – α) = –tan α tan(π + α) = tan α cot(–α) = –cot α cot(π – α) = –cot α cot(π + α) = cot α cos(π/2 + α) = –sin α cos(π/2 – α) = sin α sin(π/2 + α) = cos α sin(π/2 – α) = cos α tan(π/2 + α) = –cot α tan(π/2 – α) = cot α cot(π/2 + α) = –tan α cot(π/2 – α) = tan α 5. Công thức cộng cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb cos(a – b) = cosa.cosb + sina.sinb sin(a + b) = sina.cosb + cosa.sinb sin(a – b) = sina.cosb – cosa.sinb tan a tan b tan(a b) 1 tan a.tan b + + = − tan a tan b tan(a b) 1 tana.tan b − − = + 6. Công thức nhân đôi sin2a = 2sin a cos a cos2a = cos² a – sin² a = 2cos² a – 1 = 1 – 2sin² a 2 2tan a tan 2a 1 tan a = − 7. Công thức hạ bậc cos² α = 1 cos2α 2 + sin² α = 1 cos 2α 2 − 8. Công thức biến đổi tích thành tổng [ ] 1 cosαcosβ cos(α β) cos(α β) 2 = + + − [ ] 1 sinαsinβ cos(α β) cos(α β) 2 = − − + [ ] 1 sinα cosβ sin(α β) sin(α β) 2 = + + − 9. Công thức biến đổi tổng thành tích α β α β cosα cosβ 2cos .cos 2 2 + − + = α β α β sinα sinβ 2sin .cos 2 2 + − + = α β α β cosα cosβ 2sin .sin 2 2 + − − = − α β α β sinα sinβ 2cos .sin 2 2 + − − = sin(α β) tanα tanβ cosαcosβ + + = sin(α β) tanα tanβ cosαcosβ − − = I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Hàm số y = tan x xác định khi x ≠ π/2 + kπ, k thuộc Z Hàm số y = cot x xác định khi x ≠ kπ, k thuộc Z Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau a) y = cos x + sin x b) y = x 1 cos x 2 + + c) y = sin x 4+ d) y = 1 1 sin x cos x − e) y = 2 cos2x + 1 f) y = 2 sinx− g) y = 1 cosx 1 sin x + − h) y = tan (x + π/4) i) y = cot (2x – π/3) II. Chứng minh tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Công thức đối: cos (–x) = cos x; sin (–x) = – sin x; tan (–x) = – tanx; cot (–x) = – cot x Phương pháp: Bước 1. Tìm TXĐ D; Với mọi x thuộc D → –x thuộc D Bước 2. Tính f(–x); so sánh với f(x). Có một trong 3 khả năng có thể xảy ra + f(–x) = f(x) → hàm số chẳn + f(–x) = –f(x) → hàm số lẻ + f(–x) ≠ f(x) & f(–x) ≠ –f(x) thì chọn giá trị x o và tính f(–x o ), f(x o ) thỏa mãn điều kiện suy ra hàm số không chẳn không lẻ. Bài 2: Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau a) y = 2 cos x b) y = sin x + x c) y = sin 2x + 2 d) y = –2 tan² x e) y = sin |x| + x² f) y = cos 3x III. Xét chiều biến thiên hàm số lượng giác Bài 3: Lập bảng biến thiên của hàm số a) y = –sin x + 1 trên đoạn [–π; π] b) y = –2cos (2x + π/3) trên đoạn [–2π/3; π/3] IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Bài 4: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số a) y = 2 sin (x – π/2) + 3 b) y = 3 – 2 cos 2x c) y = –1 – cos² (2x + π/3) d) y = 2 1 cos 4x 2+ − e) y = 2 sin x 3+ f) y = sin² x – 4sin x + 3 Bài 5: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số a) y = sin x trên đoạn [–π/2; π/3] b) y = cos x trên đoạn [–π/2; π/2] c) y = sin x trên đoạn [π/6; 3π/4] d) y = cos (πx / 4) trên đoạn [1; 3] V. Phương trình lượng giác Bài 6: Giải các phương trình sau a. 3 cos x sin x 2− = b. cos x 3 sin x 1− = − d. 3 3sin3x 3 cos9x 1 4sin 3x− = + e. 4 4 π 1 sin x cos (x ) 4 4 + + = f. cos 7x – sin 5x = 3 (cos 5x – sin 7x) g. tan x – 3cot x = 4(sin x 3cosx)+ h. 3(1 cos 2x) cos x 2sin x − = i. 2sin 2x + 2sin² x = 1 Bài 7: Giải các phương trình sau a. 2 cos² x + 5sin x – 4 = 0 b. 2 cos 2x – 8 cos x + 5 = 0 c. 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x d. 2 (sin 4 x + cos 4 x) = 2 sin 2x – 1 e. cos (4x/3) = cos² x f. (3 + tan² x) cos x = 3. g. 5 tan x – 2 cot x – 3 = 0 h. 6sin² 3x + cos 12x = 4 Bài 8: Giải các phương trình sau a. 2 sin² x – 5 sin x cos x – cos² x = –2b. 3 sin² x + 8 sin x cos x + (8 3 – 9) cos² x = 0 c. 4 sin² x + 3 3 sin 2x – 2 cos² x = 4 d. 6 sin x – 2 cos³ x = 5 sin 2x cos x e. sin² x + sin 2x – 2cos² x = 1/2 Bài 9: Giải các phương trình sau a. 3(sin x + cos x) + 2sin 2x + 3 = 0 b. sin 2x – 12(sin x – cos x) = –12 c. 2(cos x + sin x) – 4 sin x cos x – 1 = 0 d. cos x – sin x – 2sin 2x – 1 = 0 Bài 10: Giải các phương trình sau a. cos 2x + 3 cos x + 2 = 0 b. 2 + cos 2x = – 5 sin x c. 6 – 4cos² x – 9sin x = 0 d. 2 cos 2x + cos x = 1 e. 4sin 4 x + 12cos² x = 7 Bài 11: Giải các phương trình sau a. 4(sin 3x – cos 2x) = 5(sin x – 1) b. 1 + sin (x/2) sin x – cos (x/2) sin² x = 2 cos² (π/4 – x/2). c. 1 + 3 tan x = 2 sin 2x. d. (2cos 2x – 8cos x + 7) cos x = 1. e. sin 2x (cot x + tan x) = 4 cos² x. f. 2 cos² 2x + cos 2x = 4 sin² 2x cos² x g. cos 3x – cos 2x – 2 = 0 h. 4 sin x + 2 cos x = 2 + 3 tan x. i. sin 2x + 2 tan x – 3 = 0 j. sin² x + sin² 3x = 3cos² 2x k. tan³ (x – π/4) = tan x – 1 l. sin 2x – cos 2x = 3 sin x + cos x – 2 m. sin 2x + cos 2x + tan x = 2. n. cos 3x – 2 cos 2x + cos x = 0 Bài 12: Giải các phương trình sau a. sin² x + 2 sin 2x = 3 – 7 cos² x b. cos³ x – sin³ x = cos x + sin x. c. sin x sin 2x + sin 3x = 6 cos³ x d. sin³ x + cos³ x – 2(sin 5 x + cos 5 x) = 0 e. sin³ (x – π/4) = 2 sin x. f. 3cos 4 x – sin² 2x + sin 4 x = 0. g. 3sin 4 x + 5cos 4 x – 3 = 0. Bài 13: Giải các phương trình sau a. cos³ x + sin³ x = sin 2x + sin x + cos x b. 2 cos³ x + cos 2x + sin x = 0 c. 1 + sin³ x + cos³ x = (3/2) sin 2x d. 6 (cos x – sinx) + sin x cos x + 6 = 0 e. sin³ x – cos³ x = 1 + sin x cos x f. 1 1 10 sin x cos x cos x sin x 3 + + + = g. 2tan x + 3tan² x + 4tan³ x + 2cot x + 3cot² x + 4cot³ x = 18. h. 2 (1 + cot² x) + 2 tan² x + 5 tan x + 5 cot x + 4 = 0. i. cos³ x – sin³ x + 1 = 0. j. 2cos 2x + sin² x cos x + cos² x sin x = 2(sin x + cos x) Bài 14: Giải các phương trình sau a. sin 2x + 2cos 2x = 1 + sin x – 4cos x b. sin 2x – cos 2x = 3sin x + cos x – 2 c. sin² x + sin² 3x – 3cos² 2x = 0 d. cos 3x cos³ x – sin 3x sin³ x = cos³ 4x + 1 4 e. sin 4 (x/2) + cos 4 (x/2) = 1 – 2sin x f. cos 3x – 2cos 2x + cos x = 0 g. sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x h. sin 4 x + cos 4 x – cos² x = 1 – 2sin² x cos² x i. 3sin 3x – 3 cos 9x = 1 + 4sin³ x j. cos x sin x sin x 1 cos x + = − k. sin² (x/2 – π/4) tan² x – cos² (x/2) = 0 l. cot x – tan x + 4sin x = 1 sin x m. sin xcos x + cos x = –2sin² x – sin x + 1 n. sin 3x = cos xcos 2x (tan² x + tan 2x) o. cos3x sin 3x 5(sin x ) cos2x 3 1 2sin 2x + + = + + p. sin² 3x – cos² 4x = sin² 5x – cos² 6x q. cos 3x – 4cos 2x + 3cos x – 4 = 0 r. 2 4 4 (2 sin 2x)sin3x tan x 1 cos x − + = s. tan x + cos x – cos² x = sin x (1 + tan x tan x 2 ) t. cot x – 1 = 2 cos2x 1 sin x sin 2x 1 tan x 2 + − + TỔ HỢP I. Quy tắc đếm 1. Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách. 2. Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách. II. Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1. Hoán vị: a. Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí hiệu P n là: P n = n! = 1.2.3…n Qui ước: 0! = 1 2. Chỉnh hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số tự nhiên k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số phép chỉnh hợp chập k của n phần tử là k n n! A n.(n 1) (n k 1) (n k)! = − − + = − . 3. Tổ hợp: a. Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử và số tự nhiên k ≤ n. Một tập hợp con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử. b. Định lý: Số tổ hợp chập k của n phần tử là: k n n! n(n 1) (n k 1) C k!(n k)! k! − − + = = − c. Hai tính chất cơ bản của tổ hợp: k n k k k k 1 n n n 1 n n C C ; C C C − − + = = + III. Khai triển nhị thức Newton (a + b) n = n k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n n n n n n k 0 C a b C a C a b C a b C b − − − = = + + + + + ∑ Nhận xét: + Trong khai triển nhị thức Newton bậc n có n + 1 số hạng. Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n. Các hệ số của số hạng nhị thức cách đều số hạng đầu và cuối thì bằng nhau. + Số hạng tổng quát thứ k + 1 là k n k k k 1 n T C a b − + = + 0 1 2 n n n n n n C C C C 2+ + + + = + 0 1 2 3 k k n n n n n n n n C C C C ( 1) C ( 1) C 0− + − + + − + + − = + (a + b) n = n k n k k n k 0 C a b − = ∑ CÁC DẠNG BÀI TOÁN CƠ BẢN Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một áo sơ mi cỡ 40 hoặc 41. Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau. Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4}. Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Bài 3: Từ tập A = {1; 2; 3; 4; 5} hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện ba lần, còn các chữ số khác xuất hiện một lần? Bài 4: Bạn X mời hai bạn nam và ba bạn nữ dự tiệc sinh nhật. Bạn định xếp nam, nữ ngồi riêng trên các chiếc ghế, xếp theo một hàng dài. Hỏi X có bao nhiêu cách xếp đặt? Bài 5: Trong mặt phẳng cho 7 điểm A, B, C, D, E, M, N khác nhau. Có bao nhiêu vectơ nối hai điểm trong các điểm đó? Bài 6: Từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} có thể lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau? Bài 7: Cho 7 điểm phân biệt không tồn tại ba điểm thẳng hàng. Từ 7 điểm trên có thể lập được bao nhiêu tam giác? Bài 8: Tìm số tự nhiên n, nếu 3 n n n 1 2P A P − = . Bài 9: Tìm số tự nhiên n, nếu 6n – 6 + 3 n C ≥ 3 n 1 C + Bài 10: Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển (11 + x) 11 . Bài 11: Trong khai triển 10 3 3 (2 x ) x − , với x > 0, tìm số hạng không chứa x. Bài 12: Tìm hệ số của x 8 trong khai triển [1 + x²(1 – x)] 8 . Bài 13: Cho khai triển: (1 + 2x) 10 = a o + a 1 x + a 2 x² +. + a 10 x 10 , có các hệ số a o , a 1 , a 2 , , a 10 . Tìm hệ số lớn nhất. Bài 14: Tìm số hạng a. thứ 13 trong khai triển (3 – x) 25 . b. thứ 18 trong khai triển (2 – x²) 25 . c. không chứa x trong khai triển (x + 1/x) 12 . d. không chứa x trong khai triển 12 3 9 4 1 (x x ) x + e. chứa a, b và có số mũ bằng nhau trong khai triển 21 3 3 a b ( ) b a + Bài 15: Tìm hệ số của số hạng chứa a. x 4 trong khai triển (x/3 – 3/x) 12 . b. x 8 trong khai triển 5 12 3 1 ( x ) x + c. x 5 trong khai triển (1 + x + x² + x³) 10 . d. x³ trong khai triển (x² – x + 2) 10 . e. x³ trong khai triển S(x) = (1 + x)³ + (1 + x) 4 + (1 + x) 5 +. + (1 + x) 50 . f. x³ trong khai triển S(x) = (1 + 2x)³ + (1 + 2x) 4 + (1 + 2x) 5 +. + (1 + 2x) 22 . Bài 16: Tính tổng 0 1 2 n 1 n n n n S C C C C= + + + + Bài 17: Tính tổng 0 1 2 k k n n 2 n n n n n S C C C ( 1) C ( 1) C= − + − + − + + − Bài 18: Tính tổng 0 2 4 2n 3 2n 2n 2n 2n S C C C C= + + + + Bài 19: Tính tổng 1 3 5 2n 1 4 2n 2n 2n 2n S C C C C − = + + + Bài 20: Tính tổng T = 0 1 2 2 3 3 n n n n n n n C 2C 2 C 2 C ( 2) C− + − + + − CẤP SỐ CỘNG 1. Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công sai. Gọi d là công sai, theo định nghĩa ta có: u n+1 = u n + d (n = 1, 2,. ). Khi d = 0 thì cấp số cộng có các số hạng đều bằng nhau. 2. Số hạng tổng quát CSC Định lí: Số hạng tổng quát u n của một cấp số cộng có số hạng đầu u 1 và công sai d được cho bởi công thức: u n = u 1 + (n – 1)d 3. Tính chất các số hạng của cấp số cộng Định lí: Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (và trừ số hạng cuối cùng đối với cấp số cộng hữu hạn), đều là trung bình cộng của hai số hạng kề bên nó, tức là k 1 k 1 k u u u 2 − + + = (k ≥ 2). 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng 1 n 1 n n(u u ) n[2u (n 1)d] S 2 2 + + − = = BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xác định số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: a. 2, 5, 8,. Tìm u 15 . b. 2 3,+ 4, 2 3,− . Tìm u 20 . Bài 2: Xác định cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30. Bài 3: Cho cấp số cộng 2 5 3 4 6 u u u 10 u u 26 + − = + = Tìm số hạng đầu và công sai của nó. Bài 4: Tìm cấp số cộng có 5 số hạng biết tổng là 25 và tổng các bình phương của chúng là 165. Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 1140. Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25. Bài 7: Cho cấp số cộng (u n ). Biết u 1 + u 4 + u 7 + u 10 + u 13 + u 16 = 147. Tính u 1 + u 6 + u 11 + u 16 . Bài 8: Một cấp số cộng (a n ) có a 3 + a 13 = 80. Tìm tổng S 15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng. Tổng của chúng là 176. Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. Bài 10: Cho cấp số cộng (a n ) có a 1 = 4, d = –3. Tính a 10 . Bài 11: Tính u 1 , d trong các cấp số cộng sau đây: a. 3 5 13 u u 14 S 129 + = = b. 5 9 u 19 u 35 = = c. 4 6 S 9 45 S 2 = = d. 3 10 4 9 u u 31 2u u 7 + = − − = Bài 12: Cho cấp số cộng (u n ) có u 3 = –15, u 14 = 18. Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên. Bài 13: Cho cấp số cộng (u n ) có u 1 = 17, d = 3. Tính u 20 và S 20 . Bài 14: Cho cấp số cộng (u n ) có a 10 = 10, d = –4. Tính u 1 và S 10 . Bài 15: Cho cấp số cộng (u n ) có u 6 = 17 và u 11 = –1. Tính d và S 11 . Bài 16: Cho cấp số cộng (u n ) có u 3 = –15, u 4 = 18. Tìm tổng của 20 số hạng đầu tiên. CẤP SỐ NHÂN 1. Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đỗi gọi là công bội. Gọi q là công bội, theo định nghĩa ta có u n+1 = u n .q (n = 1, 2,. ). Khi q = 0 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u 1 , 0, 0,. , 0,. Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số dạng u 1 , u 1 ,. , u 1 ,. Nếu u 1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân là dãy số 0, 0,. 2. Số hạng tổng quát của CSN Định lí: Số hạng tổng quát của một cấp số nhân được cho bởi công thức u n = u 1 .q n–1 . 3. Tính chất Định lí: Trong một cấp số nhân, mỗi số hạng kể từ số hạng thứ hai (trừ số hạng cuối đối với cấp số nhân hữu hạn) đều có giá trị tuyệt đối là trung bình nhân của hai số hạng kề bên nó, tức là |u k | = k 1 k 1 u .u − + với k ≥ 2 4. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân. Cho một cấp số nhân (u n ) với công bội q. Ta có: n n 1 q 1 S u q 1 − = − (q ≠ 1) Nếu q = 1 thì S n = nu 1 . BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: a. Tìm các số hạng của cấp số nhân có 6 số hạng biết u 1 = 243 và u 6 = 1. b. Cho cấp số nhân có q = 1/4, S 6 = 2730. Tìm u 1 và u 6 . Bài 2: Cho cấp số nhân có u 3 = 18 và u 6 = –486. Tìm số hạng đầu tiên u 1 và công bội q của CSN đó. Bài 3: Tìm u 1 và q của cấp số nhân biết: 4 2 5 3 u u 72 u u 144 − = − = Bài 4: Tìm u 1 và q của cấp số nhân (u n ) có: u 3 = 12, u 5 = 48. Bài 5: Tìm u và q của cấp số nhân (u n ) biết: 1 2 3 4 5 6 u u u 13 u u u 351 + + = + + = Bài 6: Tìm các số hạng của cấp số nhân (u n ) biết cấp số đó có 4 số hạng có tổng bằng 360 và số hạng cuối gấp 9 lần số hạng thứ hai. Bài 7: Tổng 3 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng là 21. Nếu số thứ hai trừ đi 1 và số thứ ba cộng thêm 1 thì ba số đó lập thành một cấp số nhân. Tìm ba số đó. GIỚI HẠN DÃY SỐ A. Lý thuyết: + Nếu |u n | < v n với mọi n, lim v n = 0 thì lim u n = 0 + lim u n = L → lim|u n | = |L| + lim u n = L → 3 3 n lim u L= + lim u n = L, u n > 0 với mọi n → L > 0 và n lim u L= + Với cấp số nhân mà |q| < 1 thì S = lim (u 1 + u 1 q + u 1 q² + + u 1 q n–1 ) = n 1 1 u (1 q ) u lim 1 q 1 q − = − − + lim |u n | = +∞ → n 1 lim 0 u = + 1 lim 0 n = + lim q n = 0 nếu |q| < 1 + k 1 lim 0 n = với mọi k > 0 + lim n k = +∞ với mọi k > 0 + lim q n = +∞ nếu q > 1 + lim u n = L thì lim (k.u n ) = k.L + lim u n = L, lim v n = M thì lim (u n + v n ) = L + M + lim u n = L, lim v n = M thì lim (u n .v n ) = L.M + lim u n = L, lim v n = M ≠ 0 thì lim (u n / v n ) = L / M B. Bài Tập: Bài 1. Tìm các giới hạn sau: a. 2n 1 lim n 1 + + b. 2 2 3n 4n 1 lim 2n 3n 7 − + + − + c. 3 3 n 4 lim 5n n + + d. 3 n(2n 1)(3n 2) lim 2n 1 + + + e. 2 n 1 lim n 2 + − f. 3 n(n 1) lim (n 4) + + Bài 2. Tìm các giới hạn sau: a. n 1 lim n 1 + + b. 3 3 n n 2 lim n 2 + + + c. 3 2 3 2 n n 1 n n lim n n 1 3 + + + + + d. 2 n 4 lim n 2 + − e. 3 3 2 2 n 3n 2 lim n 4n 5 + + − + Bài 3. Tìm các giới hạn sau: a. lim( n 1 n)+ − b. 2 2 lim( n 5n 1 n n)+ + − − c. 2 2 lim( 3n 2n 1 3n 4n 8)+ − − − + d. 2 lim( n 4n n)− − e. 2 lim(n n 3)− + f. 3 2 3 lim( n n n)− + g. 3 3 lim( n n 1)− + h. 3 3 2 2 lim( n 3n 1 n 4n)− + − + Bài 4. Tìm các giới hạn sau: a. n n 1 4 lim 1 4 − + b. n n 1 n 2 n 3 4 lim 3 4 + + − + c. n n n n n n 3 4 5 lim 3 4 5 − + + − Bài 5. Tìm các giới hạn sau: a. sin nπ lim n 1+ b. 2 sin10n cos10n lim n 2n + + Bài 6. Tìm các giới hạn sau: a. 2 1 3 5 (2n 1) lim 3n 4 + + + + + + b. 2 1 2 3 n lim n 3 + + + + − c. 1 1 1 lim[ ] 1.2 2.3 n(n 1) + + + + d. 2 2 2 2 1 2 3 n lim n(n 1)(n 2) + + + + + + Bài 7. Tính các giới hạn sau: a. n n 1 1 1 lim[1 ( 1) ] 3 9 3 − + − + − b. lim (2 + 0,3 + 0,3² + 0,3³ + + 0,3ⁿ) Bài 8: Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số a. 1,111 b. 2,333 c. 0,222 d. 0,2121… e. 0,23111 GIỚI HẠN HÀM SỐ A. Lý thuyết: + o x x lim x → = x o với mọi x o . + x 1 lim ( ) 0 x →±∞ = + k x 1 lim 0 x →±∞ = với k > 0 + k x lim x →+∞ = +∞ với k > 0 + 0 0 0 x x x x x x lim f(x) L lim f (x) lim f (x) L − + → → → = ⇔ = = + o o x x x x lim [cf (x)] c lim f (x) → → = + [ ] o o o x x x x x x lim f (x) g(x) lim f (x) lim g(x) → → → + = + + [ ] o o o x x x x x x lim f (x)g(x) lim f (x). lim g(x) → → → = + o o o x x x x x x lim f(x) f (x) lim [ ] g(x) lim g(x) → → → = nếu o x x lim g(x) 0 → ≠ B. Bài tập: Bài 1: Tính các giới hạn sau: a. 2 x 3 x 9 lim x 3 → − − b. 2 2 x 2x 9 lim x 4 →+∞ − + Bài 2. Tìm các giới hạn sau: a. 2 x 2 lim(2x 3x) → − b. x 1 5x 2 lim x 1 → + + Bài 3: Tìm các giới hạn sau: a. 3 x lim (x 2x) →+∞ + b. 3 x lim (x 2x) →−∞ + c. 2 2 x 5x 3x 1 lim 2x 3 →+∞ + + + d. 4 2 4 x x 5x 1 lim 2x 3 →−∞ + + + e. 2 3 x 3x 1 lim 2x 5 →+∞ + + f. 2 3 x 3x 1 lim 2x 5 →−∞ + + g. 2 x x 2x 2 lim x 1 →+∞ + + + h. 2 x lim x 2x →+∞ + i. 2 x 4x 1 lim 3x 1 →−∞ + − j. 4 2 x 3x x 5x lim 2x 4x 5 →+∞ + − + − k. 2 2 x x 3 4x lim 4x 1 x →−∞ + + + − l. 2 2 x 9x 1 4x 2x lim x 1 →+∞ + − + + Bài 4. Tìm các giới hạn sau: a. 2 x 3 5x 2 lim (x 3) → + − b. x 3 5x 2 lim x 3 − → + − c. 2 x 2 x 5x 2 lim x 2 + → + + − Bài 5. Cho hàm số: 2 2x 3x 1, x 2 f (x) 3x 7, x 2 + − ≥ = + < Tìm các giới hạn sau: a. x 1 lim f(x) → b. x 3 lim f (x) → c. x 2 lim f (x) → Bài 6. Cho hàm số: 2 1 2x , x 1 f (x) 5x 4, x 1 − < = + ≥ Tìm các giới hạn sau: a. x 0 lim f(x) → b. x 3 lim f (x) → c. x 1 lim f(x) → Bài 7. Tìm các giới hạn sau a. 2 x 3 x 2x 15 lim x 3 → + − − b. 2 2 x 1 x 2x 3 lim x 1 → + − − c. 2 2 x 2 x 3x 2 lim x x 6 → − + + − d. 4 4 x a x a lim x a → − − e. 5 3 x 1 x 1 lim x 1 →− + + f. ( ) 6 5 2 x 1 4x 5x x lim 1 x → − + − Bài 8. Tìm các giới hạn sau: a. x 1 x 1 lim x 1 → − − b. 2 x 3 x 1 2 lim x 9 → + − − c. 2 x 2 2x 5 7 x lim x 2x → + − + − d. 3 x 2 4x 2 lim x 2 →− + + Bài 9. Tìm các giới hạn sau: a. 3 x 0 1 1 x lim 3x → − − b. x 2 x x 2 lim 4x 1 3 → − + + − c. 3 2 x 1 x 1 lim x 3 2 →− + + − d. 3 x 1 x 7 2 lim x 1 → + − − e. 3 x 0 1 x 1 x lim x → + − − f. x 0 x 1 x 4 3 lim x → + + + − g. x 0 x 9 x 16 7 lim x → + + + − h. 3 2 3 2 x 1 x 2 x 1 lim (x 1) → − + − Bài 10: Tìm các giới hạn sau a. 2 x lim ( x 2x x) →+∞ + − b. 2 x lim (2x 1 4x 4x 3) →+∞ − − − − c. 2 2 x lim ( x x 1 x x 1) →+∞ − + − + + d. 3 3 x lim ( 8x x 2x) →+∞ + − e. 3 2 3 x lim x .( x 1 x) →+∞ + − f. 3 3 3 2 3 x lim ( x 5x x 8x) →+∞ + − + Bài 11: Tìm các giới hạn sau a. 3 x 1 1 3 lim( ) 1 x 1 x → − − − b. x 1 1 2 lim[ (1 )] x 1 x 1 → − − + c. 2 2 x 1 1 1 lim( ) x 3x 2 x 5x 6 → − − + − + HÀM SỐ LIÊN TỤC Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x o . a. f(x) = 2 x 25 khi x 5 x 5 9 khi x 5 − ≠ − = tại x o = 5 b. x 5 khi x 5 2x 1 3 f (x) 3 khi x 5 2 − > − − = ≤ tại x o = 5 c. 1 2x 3 khi x 2 f (x) 2 x 1 khi x 2 − − ≠ = − = tại x o = 2 d. 3 3x 2 2 khi x 2 x 2 f (x) 3 khi x 2 4 + − ≠ − = = tại x o = 2 e. 4 2 x x 1 khi x 1 f (x) 3x 2 khi x 1 + − ≤ − = + > − tại x o = –1 f. 2 x khi x 0 f (x) 1 x khi x 0 < = − ≥ tại x o = 0. Bài 2: Chứng minh các hàm số sau liên tục trên R a. 2 x 2x 3 khi x 1 f (x) x 1 4 khi x 1 + − ≠ = − = b. 3 3 x x 2 khi x 1 x 1 f (x) 4 khi x 1 3 + + ≠ − + = = − Bài 3: Tìm a để hàm số liên tục trên R a. 2 x khi x 1 f (x) 2ax 3 khi x 1 < = − ≥ b. ( ) 2 2 a x khi x 2 f (x) 1 a x khi x 2 ≤ = − > [...]... nằm cùng phía với mặt phẳng (α) a) CMR tam giác ADE vuông b) Tính diện tích tam giác ADE c) Tìm góc giữa (ADE) và (α) Bài 2 Cho tam giác ABC có B, C là hình chiếu của E, F lên (α) sao cho tam giác ABF là tam giác đều cạnh a, CF = a, BE = a/2 a) Gọi I = BC ∩ EF CMR: AI vuông góc với AC b) Tính diện tích tam giác ABC c) Tính góc giữa (ABC) và (α) Bài 3 Cho tam giác ABC cân, đáy BC = 3a, BC vuông góc với... ĐỀ5: Tính giới hạn hàm số lượng giác Bài 1: Tính các giới hạn sau: a) lim ( x →0 sin 3x ) sin 2x lim b) x →0 1 − cos x Bài 2: Tính các giới hạn sau: 1 − sin x − cos x lim a) x →0 ÷ 1 + sin x − cos x lim d) xπ/6 → lim b) xπ/2 → x c) lim ( 2 x →0 1 − sin x (π / 2 − x) 2 tan 2x ) sin 5x π 2 c) lim ( − x) tan x xπ/2 → sin(xπ / 6) − 3 / 2 − cos x VẤN ĐỀ 6: Các bài toán khác Bài 1: Giải phương trình... phân biệt, tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m BÀI TẬP ÔN ĐẠO HÀM Bài 1: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x³ (x² – 4) b) y = x 6 − 2 x + 2 c) y = ( x + 1)(2x 2 + 1) d) y = x 2 − 3x + 2 2x − 3 e) y = 1 2 x − 2x f) y = (3 – 2x²)³ Bài 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = x 4 − 3x 2 + 4 b) y = 1+ x 1− x c) y = x − 3x 2 x2 Bài 3: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y = sin (x³ – x)... = AB Bài 1: Cho tứ diện ABCD có E là trung điểm của AB Hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (ECD) với các mặt phẳng (ABC); (ABD); (BCD); (ACD) Bài 2: Cho tứ diện SABC và một điểm I trên đoạn SA; d là đường thẳng trong (ABC) cắt AB; BC tại J; K Tìm giao tuyến của mặt phẳng (I, d) với các mặt phẳng sau: (SAB); (SAC); (SBC) Bài 3: Cho tứ giác lồi ABCD và điểm S không nằm trong mặt phẳng chứa tứ giác. .. hình chóp Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD Gọi I; M; N là ba điểm trên SA; AB; CD a) Tìm giao tuyến của (SAN) và (SDM) b) Hãy xác định thiết diện tạo bởi (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho tứ diện ABCD; I là điểm nằm ngoài đoạn BD Mặt phẳng (P) qua I cắt AB; BC; CD; DA tại M; N; P; Q a) Chứng minh I; M; Q thẳng hàng và ba điểm I; N; P cũng thẳng hàng b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui Bài 2: Cho... (SBC) b Giả sử tam giác SAD, ABC đều cân tại A Gọi AE, AF là các đường phân giác trong của tam giác ACD và SAB Cm: EF // (SAD) Bài 4 Cho hai hình vuông ABCD, ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng Trên các đường chéo AC, BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN Các dường thẳng song song với AB vẽ từ M, N lần lượt cắt AD, AF tại M’, N’ a Cm: (CBE) // (ADF) b Cm: (DEF) // (MNN’M’) Bài 5 Cho hình chóp... khi x ≥ 0 Bài 4: Cho hàm số f(x) = 4x − 1 khi x < 0 Xét tính liện tục của hàm số trên tập xác định Bài 5: Tìm a để hàm số liên tục tại xo 1− x − 1+ x x+2 −2 khi x < 1 khi x ≠ 2 x −1 2 a f(x) = x − 4 tại xo = 2 b f (x) = tại xo = 1 a khi x = 2 a + 4 − x khi ≥ 1 x+2 Bài 6: Chứng minh rằng phương trình x³ + 3x² + 5x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm trong (0; 1) Bài 7: Chứng... thẳng y = (1/7)x – 4 c) Đi qua điểm A(0; 2) Bài 6: Cho hàm số y = f (x) = cos x (1) Tính giá trị của f ′(π/6), f ′(π/3) cos 2x Bài 7: Tìm m để f ′(x) > 0 với mọi x thuộc R a) f(x) = x³ + (m – 1)x² + 2x + 1 b) f(x) = 3sin x – 3m sin 2x – sin 3x + 6mx Bài 8: Chứng minh rằng f ′(x) > 0 với mọi x thuộc R a) f(x) = 2x + sin x b) f(x) = (2/3)x9 – x6 + 2x³ – 3x² + 6x – 1 PHẦN II HÌNH HỌC CHƯƠNG 1: PHÉP BIẾN HÌNH... thẳng cố định Vấn đề 6: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VÀ CHÉO NHAU Bài 1 Cho tứ diện ABCD có I, J là trọng tâm ΔABC, ΔABD CMR: I J // CD Bài 2 Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SB a) CMR: MN // CD b) Tìm giao điểm P của SC và (AND) c) AN cắt DP tại I CMR: SI // AB // CD Tứ giác SABI là hình gì? Bài 3 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành, có M, N,... SK // AD // BC Bài 4 Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình bình hành Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm BC, CD, SB, SD a) CMR: MN // PQ b) Gọi I là trọng tâm ΔABC, J thuộc SA sao cho JS / JA = 1/2 CMR: I J // SM Bài 5 Cho hình chóp S ABCD đáy là hình bình hành a) Tìm giao tuyến của (SAD)&(SBC); (SAB)&(SCD) b) Lấy M thuộc SC Tìm giao điểm N của SD và (ABM) Tứ giác ABMN là hình gì? Bài 6 Cho hình . nghĩa: Cho tập A có n phần tử. Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trước là một phép hoán vị các phần tử của tập A. b. Định lý: Số phép hoán vị của tập hợp có n phần tử, kí. Cho tập hợp A có n phần tử. Xét số tự nhiên k ≤ n. Khi lấy ra k phần tử trong số n phần tử rồi đem sắp xếp k phần tử đó theo một thứ tự định trước, ta được một phép chỉnh hợp chập k của n phần. + 3 n C ≥ 3 n 1 C + Bài 10: Tìm số hạng chứa x³ trong khai triển (11 + x) 11 . Bài 11: Trong khai triển 10 3 3 (2 x ) x − , với x > 0, tìm số hạng không chứa x. Bài 12: Tìm hệ số của x 8