Đang tải... (xem toàn văn)
lời giải bài tóan sóng nước dùng phép biến đổi miền và phương pháp phần tử hữu hạn tài liệu, giáo án, bài giảng , luận v...
TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011 Trang 5 LI GII S BÀI TỐN SĨNG NƯC DÙNG PHÉP BIN ĐI MIN VÀ PHƯƠNG PHÁP PHN T HU HN Trnh Anh Ngc, Huỳnh Thân Phúc Trưng Đi hc Khoa hc T nhiên, ĐHQG-HCM (Bài nhn ngày 21 tháng 03 năm 2011, hồn chnh sa cha ngày 03 tháng 04 năm 2012) TĨM TT: Trong bài này, phương pháp bin đi min kt hp vi phương pháp phn t hu hn đ gii s bài tốn sóng nưc. Mt thí d s đưc trình bày đ minh chng hiu qu ca phương pháp. T khóa : phương pháp phn t hu hn, gii s bài tốn sóng nưc. M ĐU Bài tốn sóng nưc có nhiu ng dng quan trng trong nhiu ngành k thut và trong đi sng. Vì th, vic mơ hình hóa và gii s cho bài tốn này đã và đang đưc quan tâm, nghiên cu rng rãi. Đã có nhiu gii pháp đưc đ ngh nhm gii quyt bài tốn này. Có th k ra đây hai trong s các đ ngh đó: - Phương pháp Lagrange-Euler tùy ý [1,2,4]). - Phương pháp bin đi min, min vt lý đưc đưa v min tính tốn c đnh. Trong [6], A. Pawell và các đng s đã dùng phương pháp bin đi min, áp dng phương pháp sai phân hu hn và phương pháp s cho phương trình vi phân đ gii quyt bài tốn sóng mt t do. Trong bài báo này, cũng da trên phương pháp bin đi min, nhưng áp dng phương pháp phn t hu hn và các phương pháp Euler đ gii s. Cũng cn nhn mnh đây, trong [6], các tác gi ch! bin đi ta đ theo phương X, còn phương Y v"n gi ngun. Như vy, min c#a bài tốn v"n b thay đi theo thi gian do s chuyn đng c#a mt t do. Trong bài này, chúng tơi bin đi min theo c hai phương X và Y. PHƯƠNG PHÁP Bài báo đưc t chc như sau Mc 2 gii thiu mơ hình bài tốn, và cách bin đi bài tốn v bài tốn có min xác đnh c đnh. Mc 3 trình bày lưc đ tính tốn, gii bài tốn bng phương pháp lp theo bưc thi gian. $ m%i bưc lp, gii tun t hai bài tốn: (1) bài tốn biên cho phương trình đo hàm riêng cp 2 theo hai bin khơng gian (x, y); (2) bài tốn biên-giá tr đu cho phương trình đo hàm riêng phi tuyn cp 1 theo mt bin khơng và thi gian (x, t). Tip theo, gii thiu phương pháp ri rc hóa cho hai bài tốn, bài tốn (1) dùng phương pháp phn t hu hn (phn t t giác 4-nút), bài tốn (2) dùng phương pháp đưng (line method) d"n v bài tốn Cauchy cho h phương trình vi phân vectơ cp 1, có th gii bng các phương pháp s thơng dng như phương pháp Euler, phương pháp Euler ci tin. Mc 4 cho mt thí d s đ minh chng Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 6 tính hiu qu c#a phương pháp. Cui cùng là kt lun và hưng phát trin. KT QU Bài toán Thùng hình hp ch nht cha ñy cht l&ng (nưc), ñáy nm ngang, mt trên là mt thoáng, các mt bên vuông góc vi ñáy. Mt mt bên có th chuyn ñng tnh tin song song vi mt ñi din. $ trng thái tĩnh khi cht l&ng có ñ sâu h (Hình 1). Bài toán ñt ra là tìm chuyn ñng c#a khi cht l&ng, ñc bit, chuyn ñng c#a mt thoáng khi bit chuyn ñng c#a mt bên. Gi thit chuyn ñng c#a cht l&ng không thay ñi theo phương Z. Mt bên chuyn ñng theo phương OX, phương trình: ( ) X a t = . Mt thoáng có phương trình: ( , ) Y X t η = . Min vt lý c#a bài toán ti thi ñim t (Hình 2): ( ) { } , ( ) , ( , ) t X Y a t X K h Y X t η Ω = ≤ ≤ − ≤ ≤ , vi biên: : ( ) , b a t X K Y h Γ ≤ ≤ = − ; : ( ) , ( , ) f a t X K Y X t η Γ ≤ ≤ = ; : ( ), ( ( ), ) l X a t h Y a t t η Γ = − ≤ ≤ ; : , ( , ) r X K h Y K t η Γ = − ≤ ≤ . Hình 1. Mô hình bài toán sóng nưc 2-chiu Hình 2. Min vt lý Phương trình ch ño Gi thit: cht l&ng không nén ñưc, không nht, không xoáy, nên tn ti hàm th vn tc ( , , ) X Y t Φ = Φ . Phương trình không nén ñưc cho phương trình xác ñnh hàm th: 0 ∆Φ = . (1) Điu kin biên Dùng gi thit không thm trên hai biên cng c ñnh , b r Γ Γ và biên cng di ñng l Γ vi vn tc ( ) ( ),0 a t & , ta có: 0 Y ∂Φ = ∂ trên b Γ , (2) 0 X ∂Φ = ∂ trên r Γ , (3) TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011 Trang 7 ( ) a t X ∂Φ = ∂ & trên l Γ . (4) Trên mt thống f Γ s dng hai điu kin: - Điu kin đng hc liên quan đn hình hc c#a biên, ; η η ∂ ∂Φ ∂Φ ∂ = − ∂ ∂ ∂ ∂ t Y X X (5) - Điu kin đng lc hc mơ t chuyn đng c#a mt thống, thu đưc t( phương trình Bernoulli, 2 ( , ) 0, 2 η ∇Φ ∂Φ + + = ∂ g X t t (6) Trong đó g là gia tc trng trưng. Như [6], đưa vào hàm ( , ) ( , ( , ), ) W X t X X t t η = Φ là hình chiu c#a hàm th vn tc lên mt thống c#a cht l&ng. T( (5), (6) ta thu đưc: 2 1 , η η η ∂ ∂ ∂ ∂Φ ∂ = − + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ W t X X Y X (7) 2 2 2 1 1 1 . 2 2 η η ∂ ∂ ∂Φ ∂ = − + + − ∂ ∂ ∂ ∂ W W g t X Y X (8) Như vy, điu kin biên c#a hàm Φ trên f Γ có th ly là W Φ = trên . Γ f (9) Điu kin đu Lúc đu cht l&ng đng n, nên điu kin đu cho hàm W: ( ,0) 0. = W X (10) Mt thống nm ngang nên ( ,0) 0. η = X (11) Bin đi bài tốn Dùng phép bin đi ta đ ( , ) ( , ) X Y x y a , ( ) , ( ) − = − X a t x K a t . ( , ) η + = + Y h y X t h (12) Khi đó, min t Ω thành min c đnh [0,1] [0,1] Q = × . Các biên , , , b r f l Γ Γ Γ Γ ln lưt thành 1 2 3 4 , , , C C C C c#a Q (Hình 3). Hình 3. Phép bin đi min Ký hiu: ( , , ) ( , , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , ) x y t X Y t wxt W X t s x t X t ϕ η =Φ = = Ma trn Jacobi c#a phép bin đi: 1 ( ) 11 12 1 21 22 [ ( , ) ][ ( )] ( , ) 0 . − − ∂ + − ∂ + = = K a t y s s x t h K a t x s x t h G G G G G (13) Bin đi phương trình và điu kin Phương trình (1) thành 2 2 2 2 2 2 0. ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ A B C D x x y y y (14) trong đó Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 8 2 2 2 21 21 11 11 21 21 22 11 21 , , , . ∂ ∂ = = = + = + ∂ ∂ G G A G B G G C G G D G G x y (15) Phương trình (7)-(8) thành: 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 ( )(1 ) 1 , ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ & s s s w s a t x G G G G t x y x x x (16) 2 2 2 2 2 2 11 22 11 11 ( )(1 ) 1 . 2 2 ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ & G Gw w w s a t x G G gs t x x y x (17) Điu kin biên: ( ,0, ) 0 ϕ ∂ = ∂ x t y trên 1 C , (18) 11 21 (1, , ) (1, , ) 0 ϕ ϕ ∂ ∂ + = ∂ ∂ G y t G y t x y trên 2 C ,(19) ( ,1, ) ( , ) ϕ = x t w x t trên 3 C , (20) 11 21 (0, , ) (0, , ) ( ) ϕ ϕ ∂ ∂ + = ∂ ∂ & G y t G y t a t x y trên 4 C .(21) Điu kin ñu: ( ,0) 0, ( ,0) 0 w x s x = = . (22) Phương pháp tính Lưc ñ tính toán Bài toán bin ñi cha hai bài toán con: (a) bài toán gm phương trình (14) vi ñiu kin biên (18)-(21), và (b) bài toán gm h phương trình (16)-(17) vi ñiu kin ñu (22). Vic gii ñng thi hai bài toán này gp rt nhiu khó khăn do các h s c#a phương trình ño hàm riêng (14) không phi là hng s mà ph thuc vào các d liu cho trưc , , ( ) K h a t và hàm ( , ) s x t chưa bit. Cũng vy, phương trình xác ñnh ( , ) s x t có mt hàm cn tìm ( , , ) x y t ϕ và mt d"n xut c#a nó, ( , ) w x t . Đ vưt qua khó khăn này ta dùng phương pháp lp gii liên tip (a) và (b). Phân hoch khong thi gian kho sát [0, ] T thành N khong con 1 [ , ] m m t t − , vi 0 1 2 1 0 N N t t t t t T − = < < < < < = L . Kh i ñu, bit 0 0 ( ) : ( ,0) 0, ( ) : ( ,0) 0 w x w x s x s x = ≡ = ≡ Bưc th m ( 1 m ≥ ), ñã bit 1 1 1 1 ( ) : ( , ), ( ): ( , ) m m m m w x w x t s x s x t − − − − = = (*) TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011 Trang 9 (1) Gii bài tốn ( ) m a Tìm 1 1 ( , ): ( , , ) m m x y x y t ϕ ϕ − − = nghim bài tốn (a), trong đó các h s A, B, C, D trong phương trình (14), các điu kin biên (18)-(21) đưc tính vi ( ), ( , ) a t s x t đưc thay bng 1 1 ( ), ( ) m m a t s x − − . (2) Gii bài tốn ( ) m b Tìm ( , ), ( , ) w x t s x t nghim bài tốn (b) trong min 1 [0,1] [ , ] m m t t − × , vi điu kin đu 1 1 1 1 ( , ) ( ), ( , ) ( ) m m m m w x t w x s x t s x − − − − = = $ đây các thành phn ma trn Jacobi, 11 22 , , G G y ϕ ∂ ∂ đưc tính vi ( ), ( , ) a t s x t đưc thay bng 1 1 ( ), ( ) m m a t s x − − và ϕ đưc thay bng 1 ( , ) m x y ϕ − . (3)Tính ( ): ( , ), ( ): ( , ) m m m m w x w x t s x s x t = = . Nu 1 + < m N tr li (1), ngưc li thì d(ng. Lưu ý, t( nay v sau khi thit lp các cơng thc liên quan đn các bài tốn bên trong vòng lp: các h s A, B, C, D, các điu kin biên c#a bài tốn ( ) m a ; các thành phn ma trn Jacobi, 11 22 , , G G y ϕ ∂ ∂ c#a bài tốn ( ) m b s* đưc tính theo các qui đnh k trên dù v"n gi ngun ký hiu cũ. Ri rc hóa bài tốn ( ) m a Cơng thc bin phân na yu Đưa vào khơng gian hàm { } 1 ( ) ( ,1) 0 V H Q x ψ ψ = ∈ = Ly V ψ ∈ tùy ý, tích vơ hưng vi hai v phương trình (14), ta đưc sau mt s bin đi ( ) ( ) ( ) 21 21 11 Q Q Q C G G A dQ dQ G dQ x x y y x y y x ψ ψ ψ ψ ϕ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ − − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ 1 1 11 11 21 0 0 0 ( ) (0, ) 0 Q y D dQ a t G y dy G G dx y x ϕ ϕ ψ ψ ψ = ∂ ∂ + + − = ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ & . (23) Lưu ý đn nhn xét v các h s A, B, C, D và các điu kin biên. Gi 1 ( ) H Q ϕ ∈ % là hàm th&a điu kin biên khơng thun nht trên 3 , ( ,1, ) ( , ) C x t w x t ϕ = % . Đt φ ϕ ϕ = − % thì V φ ∈ th&a (rút ra t( phương trình (23)) ( ) ( ) ( ) 21 21 11 Q Q Q Q G G C A dQ G dQ dQ D dQ x x x y y x y y y ψ ψ ψ ψ φ φ φ φ φ ψ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 11 21 11 11 21 0 0 0 0 0 ( ) (0, ) y y G G dx a t G y dy G G dx F x x φ ϕ ψ ψ = = ∂ ∂ + = − + ∂ ∂ ∫ ∫ ∫ % & , (24) trong đó Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 10 ( ) ( ) 21 21 11 Q Q G G F A dQ G dQ x x x y y x ψ ψ ψ ϕ ϕ ϕ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − − + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ % % % ( ) Q Q C dQ D dQ y y y ψ ϕ ϕ ψ ∂ ∂ ∂ − + ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ % % . Ký hiu v trái và v phi (24) ln lưt là ( , ) a φ ψ và ( ) l ψ . Bài toán bin phân: vi 0 t > (c ñnh), tìm V φ ∈ th&a ( , ) ( ) a l φ ψ ψ = vi mi V ψ ∈ . Công thc phn t hu hn Dùng phn t 4 Q t giác 4-nút. Trong phn t e bt kỳ, xp x! 4 1 N d e e e e e k k k N φ φ = = = ∑ , trong ñó 1 2 3 4 [ , , , ] N e e e e e N N N N = là ma trn hàm dng, 1 2 3 4 [ , , , ] d e e e e e T φ φ φ φ = là vectơ chuyn dch phn t. Các hàm 21 , , C D G cũng ñưc xp x! bng cùng mt cách như hàm φ : 4 4 4 21 1 1 1 , , e e e e e e e e e k k k k k k k k k C C N D D N G G N = = = = = = ∑ ∑ ∑ trong ñó , , e e e k k k C D G ln lưt là giá tr c#a 21 , , C D G ti nút th k c#a phn t e. + Ma trn ñ cng phn t: [ ] k e e ij k = , trong ñó ( ) e e e e e i j j e i ij e e C N N N N k A dxdy dxdy x x y y ∂ ∂ ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ ( ) ( ) 21 21 11 e e e e e e e i i j j j e e i e e G N G N N N N G dxdy D N dxdy x y y x y ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∫ ∫ (25) nu phn t không có cnh nm trên biên 1 C . Nu có thì phi thêm vào t( liên quan ñn ñiu kin biên, 1 11 21 0 0y G G dx x ϕ ψ = ∂ ∂ ∫ % . Trong thc hành, vic thêm vào này ñưc thc hin giai ñon áp ñt ñiu kin biên. + Vector ti phn t gm ba t(. T( liên quan ñn hàm ϕ % ñưc tính vi ϕ % ñưc xp x! như hàm ϕ , 4 1 e e e k k k N ϕ ϕ = = ∑ % % . Trong thc hành, ta chn hàm ϕ % ch! khác không trong các phn t có mt cnh nm trên 3 C nên TẠP CHÍ PHÁT TRIỂN KH&CN, TẬP 14, SỐ T5 2011 Trang 11 1 11 21 0 0 y G G dx y ϕ ψ = ∂ = ∂ ∫ % 0, T( liên quan đn F có dng ging như ( , ) a ϕ ψ % nhưng sai khác du tr( nên 1 2 3 4 [ , , , ] p k e e T ϕ ϕ ϕ ϕ = − % % % % T( còn li liên h đn 1 11 0 ( ) (0, ) a t G y dy ψ ∫ & ch! đưc thêm khi phn t có cnh nm trên 4 C . Vic thêm vào này cũng đưc thc hin giai đon áp đt điu kin biên. Sau khi l,p ghép ta nhn đưc phương trình phn t hu hn. KD P = , (26) trong đó K, P, D ln lưt là ma trn đ cng, vector ti và chuyn dch tồn cc. Ri rc hóa bài tốn ( ) m b Khong thi gian 1 [ , ] m m t t − . Chn các đim i x trên đon [0,1] trùng vi các nút trên trc x . Dùng phương pháp đng v (collocation) ri rc hóa theo bin khơng gian. Các phương trình c#a bài tốn ( ) m b ri rc thành: ( ) 2 2 1 11 1 1 22 1 1 11 1 1 ( , ) ( )(1 ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) 1 ( ) ( , ) i m i m i i m i m m i s x t a t x G t s x t G x t x t G t s x t t y ϕ − − − − − ∂ ∂ = − Σ + + Σ ∂ ∂ & 2 11 1 1 1 ( ) ( , ) ( , ) m i i G t w x t s x t − − Σ Σ , (27) ( ) 2 2 11 1 1 11 1 1 1 ( ) ( , ) ( )(1 ) ( ) ( , ) ( , ) 2 m i m i m i i G tw x t a t x G t w x t w x t t − − − ∂ = − Σ − Σ ∂ & ( ) 2 2 2 2 22 1 1 11 1 1 ( , ) ( , ) 1 ( ) ( , ) ( , ) 2 i m i m m i i G x t x t G t s x t gs x t y ϕ − − − ∂ + + Σ − ∂ , (28) trong đó 1 Σ là tốn t sai phân hu hn, xp x! đa hàm cp mt theo bin x. Ngồi ra, khi gii bài tốn ( ) m a , ta còn dùng đn sai phân hu hn đ xp x! đo hàm cp hai, ký hiu 2 Σ . Vi bưc thi gian chn đ# bé phép xp x! dùng đây là chp nhn đưc. Điu kin đu: 1 1 ( , ) ( ), ( , ) ( ) i m b i i m b i s x t s x w x t w x − − = = (29) trong đó ( ), ( ) b i b i s x w x là giá tr đu hoc giá tr nhn đưc t( bưc tính trưc. Ký hiu: 1 2 1 2 ( , ) ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( , ) n n s x t s x t s x t S t w x t w x t w x t = L L trong đó n là s nút trên đon [0,1] . Bài tốn ri rc (27)-(28) vi điu kin đu (29) có th vit dưi dng vector: ( , ) dS S t dt = Η , (30) Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 12 1 2 1 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b b b n m b b b n s x s x s x S t w x w x w x − = L L (31) trong ñó 1 2 [ , ] H H Η = vi 1 2 , H H ln lưt là v phi c#a (27), (28). Bài toán (30)-(31) có th gii xp x! bng các phương pháp s quen thuc như phương pháp Euler, phương pháp Euler ci tin. Áp dng s Mt chương trình tính ñưc vit bng Matlab ñ gii s bài toán vi d liu ñưc cho như sau: 2 9.81 ( / ) g m s = , 10 ( ) K m = , 2 ( ) T s = , 2 0.25 ( 0.5) 0 0.5 ( ) ( ) 0.25 t t a t s − − < < = ≥ neáu neáu t 0.5 Th nghim cho thy chương trình tính toán n ñnh vi bưc thi gian dt dưc chn ñ# bé so vi dx, dy. Kt qu tính toán vi: 0.1 ( ) dx dy m = = , 0.05 ( ) dt s = , ñưc cho trên hình 4. Ta thy có s di chuyn c#a sóng t( mt kích ñng v phía b bên trái cũng như s phn x sóng b này. Vic b& qua hiu ng c#a sc căng b mt cùng vi th# tc làm trơn nghim nh hư ng không nh& ñn nghim vùng k sát hai b. Kt qu tính toán thu ñưc có th d- dàng x lý bng các th# tc hu nghim cho phép xác ñnh vn tc truyn kích ñng trên b mt. KT LUN Trong bài này, phương pháp bin ñi min ñưc áp dng ñ ñưa bài toán xác ñnh trên min thay ñi (theo thi gian) v bài toán xác ñnh trên min c ñnh. Phương trình ño hàm riêng c#a bài toán d"n xut, vì th, không còn có dng ñi xng ñơn gin như phương trình gc. Tuy nhiên, vì min c ñnh nên lưi phn t hu hn ch! cn chn mt ln cho tt c; ñiu này cho phép tit kim ñáng k thi gian tính toán so vi phương pháp Lagrange – Euler tùy ý. Kt qu tính thu ñưc trong bài này ñã ñưc so sánh (phù hp) vi kt qu tính bng phương pháp Lagrange – Euler tùy ý c#a tác gi ñu và L.T. Khuyên [5]. V mt ñnh tính kt qu cũng cho thy phù hp vi kt qu c#a Goring tìm ñưc da trên mô hình nưc nông [3], c#a A. Huerta và W.K. Liu [4] bng phương pháp Lagrange – Euler tùy ý. Trưng hp bài toán vi ñáy di ñng có th thit lp hoàn toàn tương t. Như ñã bit hin tưng sóng thn di-n ra trong t nhiên thưng là do ñáy ñi dương bin ñi ñt ngt, do ñó, vic ñt bài toán như vy rt có ý nghĩa. Tt nhiên, vic m rng phương pháp ñây nhm mô ph&ng s hin tưng sóng thn ñòi h&i phi nghiên cu thêm v nh hư ng c#a phép bin ñi min lên ñ chính xác c#a phương pháp tính do mt kích thưc (phương ngang) ln so vi kích thưc còn li (ñ sâu). TAẽP CH PHAT TRIEN KH&CN, TAP 14, SO T5 2011 Trang 13 (a) Biờn t do lỳc t=0s (b) Biờn t do lỳc t=0.2s (c) Biờn t do lỳc t=0.4s (d) Biờn t do lỳc t=0.6s (e) Biờn t do lỳc t=0.8s (f) Biờn t do lỳc t=1s Science & Technology Development, Vol 14, No.T5 2011 Trang 14 (g) Biên t do lúc t=1.2s (h) Biên t do lúc t=1.4s (i) Biên t do lúc t=1.6s (j) Biên t do lúc t=1.8s (k) Biên t do lúc t=2s Hình 4. Kt qu bng hình nh sau khi chy chương trình. [...]... show the effect of method Key words: finite element method, water wave problems [5] T A Ng c, L T Khun, Tính tốn dòng TÀI LI U THAM KH O [1] K J Bai, S.M Choo, S.K Chung, D.Y ch y có m t t do b ng phương pháp ph n Kim, Numerical slutions for nonlinear free t h u h n Lagrange – Euler tùy ý (báo cáo surface flows by finite element methods, t i H i ngh khoa h c l n th 7, 26/11/2010, Appl Math Comput, . phương pháp s cho phương trình vi phân đ gii quyt bài tốn sóng mt t do. Trong bài báo này, cũng da trên phương pháp bin đi min, nhưng áp dng phương pháp phn t hu hn và các phương. - Phương pháp bin đi min, min vt lý đưc đưa v min tính tốn c đnh. Trong [6], A. Pawell và các đng s đã dùng phương pháp bin đi min, áp dng phương pháp sai phân hu hn và phương. Trong bài này, phương pháp bin đi min kt hp vi phương pháp phn t hu hn đ gii s bài tốn sóng nưc. Mt thí d s đưc trình bày đ minh chng hiu qu ca phương pháp. T khóa : phương