CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ Dạng 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. Chú ý các tính chất sau:   2 a b 0   ; 2 2 2 A B C 0     ; 2 2 2 A B C 0 ,( 0)         ; Tích các số không âm là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đưa về dạng hằng đẳng thức . Bµi 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau: a) 2 2 2 a b a b 2 2          b) 3 3 3 a b a b 2 2          c) 2 2 a b 2ab   c) 2 2 2 a b b ab bc ca      d)   2 2 2 a b c 3 2 a b c       e)   2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e         f) 2 2 a b 1 ab a b      Bµi 2 : Chứng minh các BĐT sau: a) 2 2 2 a b c 2ab 2ac 2bc      b) 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4      c) 2 2 a 2b 2ab 2a 4b 2 0       d) 2 2 a 5b 4ab 2a 6b 3 0       e)   4 4 2 2 x y z 1 2x xy x x 1        f) Bµi 3 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh các BĐT sau: a)   2 2 2 ab bc ca a b c 2 ab bc ca         b)       abc a b c b c a c a b        c)   2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 a b b c c a a b c 0       d)       2 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b 4abc a b c          e)       2 2 2 a b a b b c b c c a c a 0       f)       3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b c abc a b c b a c c a b a b c 2abc              Bµi 4 : Chứng minh:         x 1 x 3 x 4 x 6 10 0       với mọi số thực x. Bµi 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 P x xy y 3x 3y 1998       Bµi 6 : Cho abc=2 và 3 a 72  . CMR: 2 2 2 a b c ab bc ca 3      . Bµi 7 : CMR: a) Nếu 2 2 a b 2   thì a b 2   b) Với a  b thì 3 2 2 3 2 a ab a b b b a b      c) Nếu x 1, y 1   thì x y 1 y x 1 1 xy      d) Nếu 0 x y z    . CM:     1 1 1 1 1 y x z x z x z y x z                   e) Nếu 2 2 2 a b c 1    thì : 1 ab bc ca 1 2      . f) Cho a > 0. CMR: 5 2 a a 3a 5 0     Bµi 8 : Cho a, b, c là các số thực trong đoạn [0 ; 1]. CMR: 2 2 2 2 2 2 a b c 1 a b b c c a       Bµi 9 : CMR: Nếu ab+ bc+ ca =1 thì       2 2 2 1 a 1 b 1 c    bằng bình phương của một số thực ( a, b, c là các số thực). Bµi 10 : Tìm các số a, b, c, d biết rằng : 2 2 2 2 2 a b c d ab bc cd d 0 5          . Bµi 11 : Cho các số dương a, b, c. CMR: a b c 1 2 b c a c a b        . Bµi 12 : Cho các số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn điều kiện : ap 2bn cm 0    và 2 ac b 0   . CMR: 2 mp n 0   . Bµi 13 : Cho các số dương thỏa mãn: a> b và c ab  . CMR: 2 2 2 2 a c b c a c b c      . Dạng 2: DÙNG CÁC BĐT:   1 a 2, a 0 a    ;   a b 2, a.b 0 b a    Bµi 14 : Chứng minh các BĐT sau: (với a, b, c là các số dương) a)   1 1 a b 4 a b          b)   1 1 1 a b c 9 a b c            c)     2 2 2 a b c a b c 9abc      d) bc ac ab a b c a b c      e) a b c 3 b c a c a b 2       f) 2 2 2 a b c a b c b c a c a b 2         g) 4 4 4 9 a 2b c 2a b c a b 2c a b c            ; h) a b c 1 1 1 bc ac ab a b c      i) 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a      Bµi 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a)       4x 1 4 x P , x 0 x     b)   2 x 2x 1 Q , x 2 x 2       c) 2 2 1 T a 4 a a a 1       . Bµi 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 4 2 x U x x 1    . DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC & HÀM SỐ . Bµi 17 : Tìm GTNN của : a)         2 2 2 f x,y x y 1 x 1 y 2        b)   2 2 2 f x,y x y x 2xy 4x 1      c)   2 2 2 2 4y 4x 6xy f x,y x y     . Bµi 18 : Tìm GTLN của : a)   2 f x 3 4x x    b)       f x x 3 15 x    c)   2 2 2 3x 4xy f x,y x y    Bµi 19 : Tìm GTNN của : a)     2 x 4x 4 f x x 0 x     b)     3 2 x 1 f x x 0 x    c)     x 5 f x 0 x 1 1 x x      d)   f x tgx cotgx   (x là góc nhọn) Bµi 20 : Tìm GTLN của : a)       f x 2x 1 3 5x    b)       3 f x 1 x 1 x    c)   2 x f x x 2   d)     2 3 2 x f x x 2   e)       2 2 f x a x a x 0 x a      Bµi 21 : Tìm GTLN, GTNN của : a)     f x 3 x 1 4 5 x 1 x 5       b)     2 f x 3x 4 3 x 3 x 3       c)     o o f x 3sinx 4cosx 2 0 x 180      Bµi 22 : Cho   2 2 x y 2, x 0,y 0     . Hãy tìm : a) GTNN của : 1 1 A x y   b) GTLN của :   B x y xy   c) GTLN của : 2 C xy  Bµi 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0). Hãy tìm GTNN của : a) 2 2 A x y   b) 4 4 B x y   c)     C x 1 4y 3    d) 2 2 D x y x 9 y y 9 x       Bµi 24 : Cho 2 số thực dương a và b. Tìm GTNN của : a)       a x b x y , x 0 x     b) b y ax, x 0 x    c)   b y ax , x a x a      d) y 2 x 1 x 2 x 3       e) y x 1 x 2 x 3 x 4         . CHUYÊN ĐỀ : BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ Dạng 1: DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC. Chú ý các tính chất sau:   2 a b 0   ; 2 2 2 A B C 0 .  ; Tích các số không âm là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đưa về dạng hằng đẳng thức . Bµi 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau: a) 2 2 2 a. 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 4 2 x U x x 1    . DÙNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỂ TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC & HÀM SỐ . Bµi 17 : Tìm GTNN của : a)         2 2 2 f x,y