Bài 2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là một số thực được định nghĩa như sau. Nếu X rời rạc có bảng phân phối xác suất X 1 2 n x x x 1 2 n p p p X P Thì kỳ vọng của X có ký hiệu và được xác định như sau 1 ( ) ( ) i i i E X M X x p ∞ = = = ∑ Nếu X liên tục có hàm mật độ f(x) thì Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc thì X là một biến ngẫu nhiên rời rạc có bảng phân phối xác suất. ( ) ( )E X xf x dx +∞ −∞ = ∫ X 1 2 3 4 5 6 P X 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 Kỳ vọng của X là: 1 ( ) ( ) i i i E X M X x p ∞ = = = ∑ 1 1 1 1 1 1 1. 2. 3. 4. 5. 6. 3.5 6 6 6 6 6 6 = + + + + + = Nhận xét: Kỳ vọng chính là giá trị trung bình (có trọng số) của các giá trị biến ngẫu nhiên. Ví dụ 2: Một Công ty bán Bảo hiểm cho những người tuổi từ 40 đến 60. Mỗi thẻ Bảo hiểm là 50 000đ. Nếu người mua không may phải chết thì Công ty sẽ bồi thường số tiền là 5 triệu, nếu bị tai nạn thì Công ty sẽ bồi thừơng 1 tr 500 000 đ. Theo thống kê dân số, tỷ lệ người chết ở tuổi này là 0.2% và bị tai nạn là 0.8% . Tính số tiền lời trung bình cho mỗi phiếu Bảo hiểm. Giải: Gọi X là số tiền chi trả cho mỗi thẻ Bảo hiểm. Ta có X là một biến ngẫu nhiên rời rạc, nhận các giá trị với xác suất tương ứng sau X 0 1,500,000 5,000,000 P X 0.99 0.008 0.002 Giá trị trung bình của X chính là số tiền trung bình phải trả cho mỗi thẻ. ( ) 0 0.99 1,500,00 0.008 5,000,00 0.002 22,000 E X = × + × + × = Vậy số tiền lời là 50,000-22,000=28,000đ Ví dụ 3: Tuổi thọ X (tính bằng giờ) của một thiết bị là một biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ 0 ( ) 0 0 x e x f x x λ λ −  ≥ =  <  Ở đây 0.00125 λ = Tính tuổi thọ trung bình của thiết bị này. 0 ( ) ( ) x E X xf x dx xe dx λ +∞ +∞ − −∞ = = = ∫ ∫ 1 800 λ = 2.2. Phương sai của biến ngẫu nhiên: Phương sai của biến ngẫu nhiên là một số thực được định nghĩa như sau Nếu X rời rạc có bảng phân phối xác suất X 1 2 n x x x 1 2 n p p p X P Thì phương sai của X có ký hiệu và được xác định như sau 2 ( ) ( ) ( ( ))D X Var X E X E X = = − ( ) 2 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) i i i i i i D X Var X E X E X x p x p ∞ ∞ = =   = = − = −  ÷   ∑ ∑ Nếu X liên tục có hàm mật độ f(x) thì ( ) 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Var X x E X f x dx x f x dx xf x dx +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞   = − = −  ÷   ∫ ∫ ∫ Ví dụ 1: Gọi X là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc thì phương sai của X là: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 3.5 6 6 6 6 6 6 35 2.916 12 Var X = + + + + + − = = X 0 1,500,000 5,000,000 P X 0.99 0.008 0.002 Ví dụ 2: Gọi X là số tiền chi trả cho mỗi thẻ Bảo hiểm, với bảng pp xs của X như sau 2 2 2 2 10 0 0.99+1,500,000 0.008+5,000,000 0.002- -(22,000) 6.7516 10 × × × = × Phương sai của X là: Phương sai rất lớn ! Ý nghĩa của phương sai: Theo định nghĩa thì phương sai là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên ( ) 2 ( )Y X E X = − X-E(X) là độ lệch của X so với giá trị trung bình. Vậy Y chính bình phương độ lệch của X so với giá trị trung bình. Phương sai chính là trung bình của bình phương độ lệch của X so với giá trị trung bình. Gọi tắt là phương sai. Nếu phương sai nhỏ thì giá trị của X tương đối đồng đều và ngược lại. [...]... là số viên đạn bị tiêu hao 1 a) Chứng minh kỳ vọng của X là E ( X ) = p b) Tính phương sai của X BT4 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối xác suất là: x1  a)Tìm a và hàm mật độ ppxs b) Tính kỳ vọng và phương sai của X 1  c) Tính các xác suất p  0 < X < 2  ,    p  X − E( X ) <  1 2  2.3 Kỳ vọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên. .. 2.3.4 Phân phối Poisson: Biến ngẫu nhiên rời rạc X được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ nếu X nhận các giá trị 0;1;2;3;…;n;…và xác suất để X nhận giá trị k là: λ p[ X = k ] = e k! a) Kỳ vọng của X là E ( X ) = λ b) Phương sai của X là Var ( X ) = λ −λ k Trong thực tế thông thường những đại lượng ngẫu nhiên sau có phân phối Poisson Thời gian chờ đợi của một khách hàng Số người ra vào một Bưu... = 3.492 2.3.2 Phân phối chuẩn: Biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn nếu hàm mật độ của X 2 có dạng ( x−µ ) − 1 f ( x) = e σ 2π 2σ 2 a) Kỳ vọng của X là: E ( X ) = µ b) Phương sai của X là: Var ( X ) = σ 2.3.3 Phân phối siêu bội: Xét một tập có N phần tử, trong đó có N A phần tử có tính chất A Từ tập đó lấy ra n phần tử Gọi X là số phần tử có tính chất A, thì biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối...BT1 Tính kỳ vọng và phương sai của biến ngẫu nhiên có phân phối nhị thức Trước tiên xét trường hợp n=5; p=0.6 Tổng quát bài toán BT2 (Phân phối siêu bội, hay pp hình học) Một hộp có 8 bi trong đó có 2 đỏ và 6 xanh Chọn ngẫu nhiên 3 bi từ hộp, gọi X là số bi đỏ chọn được a) Tính kỳ vọng và phương sai của X b) Tính các xác suất p[1 ≤ X < 4] p[ X − E ( X ) < 2] BT3 Một người... k NA n−k N −NA n N C C C NA b) Kỳ vọng của X là: E ( X ) = np = n N c) Phương sai của X là: NA  NA  N − n N−n Var ( X ) = npq = n 1− ÷ N −1 N  N  N −1 Một hộp có N=8 bi trong đó có NA = 2 đỏ và 6 xanh Chọn ngẫu nhiên n=3 bi từ hộp, gọi X là số bi đỏ chọn được Tính kỳ vọng và phương sai của X NA 2 3 =3 = Kỳ vọng của X là:E ( X ) = np = n N 8 4 Phương sai của X là: NA  NA  N − n N −n Var ( X )... nhiên có phân phối đặc biệt: 2.3.1.Phân phối nhị thức X~B(n,p): Kỳ vọng của X: E(X) = np Phương sai của X: Var(X)=npq Ví dụ 1: Xác suất mua phải một cái đồng hồ xấu là 0.03 Mua về 120 cái đồng hồ Gọi X là số đồng hồ xấu mua phải a) Hỏi trung bình mua về bao nhiêu cái xấu b) Tính phương sai của X a) E(X) = np= 120 × 0.03 = 3.6 Vậy trung bình mua phải 3 hay 4 cái đồng hồ xấu b) Phương sai của X là npq =... thời gian Nếu biến ngẫu nhiên X có phân phối chuẩn X~B(n,p) với n lớn p nhỏ thì phân phối chuẩn có thể coi là phân phối Poisson với tham số λ = np Ví dụ: Giả sử mỗi sản phẩm được sản xuất ra từ một dây chuyền sản xuất là phế phẩm với xác suất rất nhỏ là 0.01 Sản xuất ra 200 sản phẩm a)Tính xác suất để có không quá 3 phế phẩm b) Gọi X là số phế phẩm sản xuất được Tính kỳ vọng và phương sai của X Giải:... lớn p nhỏ nên có thể xem X có phân phối Poisson với tham số λ = np = 200 × 0.01 = 2 a) Tính xác suất để có không quá 3 phế phẩm p[ X ≤ 3] = p[ X = 0] + p[ X = 1] + p[ X = 2] + p[ X = 3] 0 1 2 3 2 −2 2 −2 2 −2 2 =e +e +e +e = 0.8571 0! 1! 2! 3! b) Tính kỳ vọng và phương sai của X −2 E ( X ) = λ = 2, Var ( X ) = λ = 2 Nếu tính trực tiếp từ công thức của phân phối nhị thức ta cũng có kết qủa gần đúng như . Bài 2. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên: Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên là một số thực được định nghĩa như sau. Nếu X rời. sai của biến ngẫu nhiên: Phương sai của biến ngẫu nhiên là một số thực được định nghĩa như sau Nếu X rời rạc có bảng phân phối xác suất X 1 2 n x x x 1 2 n p p p X P Thì phương sai của X. phương sai của X. c) Tính các xác suất 1 1 0 , ( ) 2 2 p X p X E X     < < − <         2.3. Kỳ vọng và phương sai của một số biến ngẫu nhiên có phân phối đặc biệt: 2.3.1.Phân