Đang tải... (xem toàn văn)
Nội dung bài viết này chỉ nêu lên ba phương pháp cơ bản nhất mà ta thường sử dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số hay biểu thức nào đó. Tuỳ theo bài toán cụ thể mà ta có thể sử dụng một trong ba phương pháp trên một cách tối ưu hơn.( Đôi lúc có nhiều bài sử dụng vectơ, phương pháp tọa độ, lượng giác hóa…)
www.VIETMATHS.com Chuyên đề 1: Phơng pháp cơ bản tìm cực trị đại số Chơng I: cơ sở lý thuyết I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 1.Định nghĩa1: Cho biểu thức f(x,y) xác định trên miền D. Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x,y) trên D nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn: - Với mọi (x, y) thuộc D thì f(x,y) M với M là hằng số - Tồn tại (x 0 , y 0 ) thuộc D sao cho f(x 0 , y 0 ) = M 2. Định nghĩa 2: Cho biểu thức f(x,y) xác định trên miền D. Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x,y) trên D nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn: - Với mọi (x, y) thuộc D thì f(x,y) m với m là hằng số - Tồn tại (x 0 , y 0 ) thuộc D sao cho f(x 0 , y 0 ) = m II. Các kiến thức thờng dùng Xét biểu thức chứa biến P(x), P(x,y). Ta ký hiệu giá trị lớn nhất của biểu thức P trên tập xác định D của biến là GTLN(P) hay maxP, còn giá trị nhỏ nhất của P là GTNN(P) hay minP. 1) Cho P = A + B thì maxP = maxA + maxB và min P = min A + minB Trong đó A và B là các biểu thức chứa các biến độc lập với nhau, hoặc nếu A và B chứa cùng một biến thì cùng đạt GTLN (GTNN) tại một giá trị xác định x = x 0 , tức là maxA = A(x 0 ), maxB = B(x 0 ) thì maxP = P(x 0 ). 2) Cho P = 1 A với A 0 thì maxP = 1 min A 3) a) P(x,y) = [Q(x,y)] 2n + a a với a là hằng số, n N * Nếu có (x 0 , y 0 ) sao cho Q(x 0 , y 0 ) = 0 thì min P(x,y) = a với mọi x, y thuộc D b) P(x,y) = - [Q(x,y)] 2n + b b với b là hằng số, n N * Nếu có (x 0 , y 0 ) sao cho Q(x 0 , y 0 ) = 0 thì maxP(x,y) = b với mọi x, y thuộc D 4) A 0 thì max(A 2 ) = (maxA) 2 và min(A 2 ) = (minA) 2 5) Các dạng của bất đẳng thức Cô-si: a) a + b 2 ab ( a 0, b 0) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b b) a b + b a 2 (ab 0) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b 6) Bất đẳng thức Bunhiacopsky (ax + by) 2 (a 2 + b 2 ) (x 2 + y 2 ) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx 7) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối www.VIETMATHS.com a + b a b+ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0 8) Định lý về dấu của tam thức bậc hai. Cho tam thức bậc hai 2 ( )f x ax bx c = + + ( 0)a Khi đó: Nếu 0 < thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, x R Nếu 0 = thì f(x) luôn luôn cùng dấu với a, x R , 2 b x a Nếu 0 > thì f(x) cùng dấu với a nếu x nằm ngoài khoảng 2 nghiệm và trái dấu với a nếu x nằm trong khoảng 2 nghiệm. Chơng II: Phơng pháp giải toán cực trị Các bài toán về cực trị luôn là những bài toán khó .Do đó đối với nhiều học sinh việc giải toán cực trị là không hề đơn giản nếu không biết phơng pháp giải và kinh nghiệm. Nó đòi hỏi ngời làm toán phải nhìn bài toán theo những góc độ khác nhau, biết vận dụng các kiến thức phù hợp với từng tình huống. Sau đây, tác giả xin đợc đa ra một số phơng pháp giải toán cực trị đợc đúc rút từ kinh nghiệm giải toán : 1. Phơng pháp dùng bất đẳng thức 2. Phơng pháp xét biểu thức phụ 3. Phơng pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới 4. Phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị 5. Phơng pháp dùng tam thức bậc hai 6. Phơng pháp tham biến 7. Phơng pháp giải toán cực trị với biểu thức chứa dấu căn 8. Phơng pháp giải toán cực trị với các biến có điều kiện I.Phơng pháp dùng bất đẳng thức để giải toán cực trị VD1: Tìm GTNN của A = 2 1 4 4x x + + 2 4 12 9x x + Giải: A = 2 (1 2 )x + 2 (2 3)x = 1 2x + 2 3x 1 2 2 3x x + = 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (1 2x)(2x 3) 0 Lập bảng xét dấu: x 1 2 3 2 1 2x + 0 - - 2x - 3 - - 0 + www.VIETMATHS.com (1 2x)(2x 3) - 0 + 0 - Từ đó ta có (1 2x)(2x 3) 0 1 2 x 3 2 Vậy GTNN của A bằng 2 với 1 2 x 3 2 VD2: Tìm GTNN của hàm số f(x) = 1x + 2 4x + 3 9x + 4 16x + 5 25x Giải: Ta có: f(x) = ( 1x + 2 4x + 3 9x + 4 x + 25 5x ) + 3 4x ( 1) (2 4) (3 9) (4 ) (25 5 )x x x x x + + + + + 3 4x = 15 + 3 4x 15 Mặt khác ta có f(4) = 15 suy ra minf(x) = 15 VD3: Tìm GTNN của S = x 2 + y 2 + z 2 với P = ax + by + cz không đổi (với a 2 + b 2 + c 2 0).Giá trị đó đạt đợc khi nào? Giải: Theo bất đẳng thức Côsi Bunhiacôpski ta có: ( x 2 + y 2 + z 2 ) ( a 2 + b 2 + c 2 ) (ax + by + cz) 2 . Do đó S = x 2 + y 2 + z 2 222 cba P ++ . S sẽ có giá trị bé nhất khi xảy ra dấu = tức là khi c z b y a x == , hay nói cách khác S min = 222 cba P ++ . Khi x= 222 cba aP ++ ; y = 222 cba bP ++ ; z = 222 cba cP ++ . VD4: Tìm GTLN của: a) A = 1x + 2y biết x + y = 4 b) B = 1x x + 2y x Giải: Điều kiện x 1, y 2 Ta có 1x = 1.( 1)x www.VIETMATHS.com 2y = 1.( 1) 1 1 1 1 2 2 x x x x x x + = = 2.( 2) 2 y Theo bất đẳng thức Côsi ta có: 1.( 1) 1 1 1 1 2 2 x x x x x x + = = 2 2.( 2) 2 2 1 2 4 2 2 2 2 2 y y y y y y + = = = Max B = 1 2 2 2 2 4 4 + + = 1 1 2 2 2 4 x x y y = = = = VD5: Tìm GTLN, GTNN của A = 2x + 3y biết 2x 2 + 3y 2 5 Giải: Ta xét biểu thức A 2 = (2x + 3y) 2 áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopsky ta có: A 2 = ( ) 2 2. 2 3. 3x y+ 2 1 2 3 x ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3x y + + = (2 + 3) (2x 2 + 3y 2 ) 5.5 = 25 A 2 = 25 1 2 3 5 x y x y x y = = = + = 2 3 2 3 x y x y= = Do A 2 25 nên -5 A 5 MinA = -5 1 2 3 5 x y x y x y = = = + = MaxA = 5 1 2 3 5 x y x y x y = = = + = VD6: Nếu x > 0, a > o, b > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x xbxa ))(( ++ . Khi nào đạt giá trị đó? Giải: Biểu thức có dạng: xba x ab x xxbaab x xbxa +++= ++ = ++ 2 )())(( Đối với hai số dơng x ab và x, ta có bất đẳng thức Cô-si: abx x ab x x ab 22 =+ www.VIETMATHS.com Khi đó: 2 )(2 ))(( baabba x xbxa +=++ ++ Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức là ( 2 )ba + đạt đợc khi abx = VD7: Tìm giá trị lớn nhất của: a) )53)(12()( xxxf = ; b) )1()1()( 3 xxxf += ; c) 2 )( 2 + = x x xf ; d) 32 2 )3( )( + = x x xf . Giải: a) Do 2 )( 4 1 baab + , nên ta có: 40 1 4 1 . 4 1 . 5 2 )53( 2 5 5 4 1 . 5 2 )53)( 2 5 5( 5 2 )53)(12()( 2 == + == xxxxxxxf Vậy f(x) lớn nhất là 40 1 khi 20 1 =x . b) )1()1()( 3 xxxf += *) Nêú x < -1 hoặc x > 1 thì f(x) 0 *) Nếu -1 < x < 1 thì 3 1 . 2 3 4 11133 3 1 )1)(1)(1)(33( 3 1 )( 44 = ++++++ +++= xxxx xxxxxf Vậy f(x) lớn nhất là 16 27 khi 2 1 =x c) 2 )( 2 + = x x xf Ta có: xxx 22222 22 + suy ra 22 1 2 2 +x x Vậy f(x) lớn nhất là 22 1 khi 2=x d) f(x) = 32 2 )2( +x x . Ta có: 27 1 )(27)2(311 232 3 22 +++ xfxxxx . Vậy f(x) đạt giá trị lớn nhất là 27 1 , khi 1=x . VD8: Tìm giá trị dơng nhỏ nhất của x x xf 32 )( 2 + = . Giải: www.VIETMATHS.com Do f(x) > 0 nên x > 0. ta có: 62 3 .22 3 2)( =+= x x x xxf Vậy f(x) dơng bé nhất là 62 khi 2 6 =x VD9: Cho các số x, y, z thỏa mãn xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 444 ),,( zyxzyxf ++= . Giải: áp dụng bất đẳng thức Côsi- Bunhiacôpski với n = 3, ta có: ( ) 2 222444222 ))(111( zyxzyx ++++++ ( )( ) 2222222222 )( zxyzxyxzyzyx ++++++ Từ đó suy ra ( ) ( ) 2 444 3 zxyzxyzyx ++++ Suy ra ( ) ( ) 3 16 ,,16,,3 zyxfzyxf Vậy ( ) zyxf ,, bé nhất bằng 3 16 , khi 3 2 === zyx Bài tập đề nghị: Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của: 2 1A x y= + trong đó 5x y+ = Bài 2. Tìm GTNN của: 2 2 1 2 5A x x x= + + + Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của: 2 2 5A x x= + Bài 4. Tìm GTNN của: A = x + y biết x , y là các số dơng thoả mãn 1 a b x y + = (a và b là hằng số d- ơng) Bài 5. Tìm GTLN của: A x y= biết rằng 2 2 4 1x y+ = II.phơng pháp xét biểu thức phụ VD1: Tìm GTLN, GTNN của A = 2 1 2 3 x Giải: www.VIETMATHS.com Điều kiện: 3x Dễ thấy A 0 Ta xét biểu thức: B = 1 A = 2 2 3 x Ta có: 2 0 3 3x 2 2 3 3 0 2 3 2 3 2 x x MinB = 2 2 3 3 3 0x x = = MaxA = 1 2 3 2 3 = + MaxB = 2 2 3 0 3x x = = Khi đó minA = 1 2 Nhận xét: Trong ví dụ trên, để tìm cực trị của A, do A 0 nên ta có thể xét biểu thức phụ 1 A . Các biểu thức phụ thờng xét có thể là -A, A 2 , A .Trong ví dụ dới đây, ta xét biểu thức phụ B sai khác với A một hằng số. VD2: Tìm GTNN của: A = 2 1 1 x x + với 0 < x <1 Giải: Để áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta xét biểu thức: B = 2 1 1 x x x + áp dụng bất đẳng thức Côsi với hai số dơng 2 1 x x và 1 x x , ta có: B 2 1 2. 2 2 1 x x x x = B = 2 2 2 1 (1) 1 0 1(2) x x x x x = < < www.VIETMATHS.com Giải (1): 2x 2 = (1 x) 2 2 1x x = Do 0 < x < 1 nên x 2 = 1 x 1 1 x x + + 1 2 1 2 1 x = = + Vậy minB = 2 2 2 1x = Bây giờ ta xét hiệu A- B A B = 2 1 2 1 2 2 1 1 1 x x x x x x x x + + = ữ ữ ữ 1 1 x x + + = 2 + 1 =3 Do đó minA = 2 2 + 3 khi và chỉ khi x = 2 - 1 VD 3: TìmGTLN, GTNN của: 1 1A x x= + + Giải: Xét 2 2 2 2 1A x= + Do 2 2 2 0 1 1 2 2 1 4 2 4x x A + Suy ra minA = 2 với x = 1 MaxA = 2 với x = 0 VD4: Tìm GTNN của: 2 2 4 12 2 3x x x x + + + + Giải: TXĐ: 2 2 4 12 0 ( 2)(6 ) 0 1 3 ( 1)(3 ) 0 2 3 0 x x x x x x x x x + + + + + + (1) Xét hiệu 2 2 ( 4 12) ( 2 3) 2 9x x x x x + + + + = + Do (1) nên 2x + 9 > 0 nên A > 0 Xét 2 2 2 2 ( 4 12 2 3)A x x x x= + + + + Hiển nhiên 2 0A nhng dấu = không xảy ra ( vì A > 0 ) Ta biến đổi 2 A dới dạng khác: 2 ( 2)(6 ) ( 1)(3 ) 2 ( 2)(6 )( 1)(3 )A x x x x x x x x= + + + + + ( 1)(6 ) (6 ) ( 2)(3 ) (3 ) 2 ( 2)(6 )( 1)(3 )x x x x x x x x x x= + + + + + + ( 1)(6 ) ( 2)(3 ) 2 ( 2)(6 )( 1)(3 ) 3x x x x x x x x= + + + + + + 2 3A Do A > 0 nên minA = 3 với x = 0 Bài tập đề nghị: Bài 1. TìmGTLN, GTNN của: www.VIETMATHS.com ( ) 2 99 101A x x= + Bài 2. TìmGTLN, GTNN của: 2 2 5A x x= + Bài 3. Tìm GTNN của: 2 2 1 1A x x x x= + + + + III. Phơng pháp đổi biến và tìm cực trị đối với biến mới VD1: Tìm GTLN, GTNN của A= (x 4 + 1) (y 4 + 1) biết x, y > 0, x + y = 10 Giải: A= (x 4 + 1) (y 4 + 1) = x 4 + y 4 + x 4 y 4 + 1 Ta có x + y = 10 x 2 + y 2 = 10 2xy x 4 + y 4 + 2 x 2 y 2 = 100 40xy + 4x 2 y 2 x 4 + y 4 = 100 40xy + 2x 2 y 2 Đặt xy = t thì x 4 + y 4 = 100 40t + 2t 2 Do đó A = 100 40t + 2t 2 + t 4 + 1 = t 4 + 2t 2 40t + 101 a) Tìm GTNN A = t 4 8t 2 + 16 + 10t 2 40t + 40 +45 = (t 2 4) 2 + 10(t - 2) 2 + 45 9 1 1 7 2 4 2 4 4 y x x = = = 45 MinA = 45 t = 2 Khi đó xy = 2 , x + y = 10 nên x và y là nghiệm của phơng trình X 2 - 10 X + 2 =0 Tức là x = 10 2 2 + , y = 10 2 2 Hoặc x = 10 2 2 , y = 10 2 2 + b) Tìm GTLN Ta có 2 2 10 5 5 0 0 2 2 2 2 x y xy t + = = ữ ữ ữ (1) Viết A dới dạng: A = t(t 3 + 2t 40 ) + 101 Do (1) nên t 3 125 8 , 2t 5 t 3 + 2t 40 125 8 + 5 40 < 0 www.VIETMATHS.com t > 0 nên A 101 Max A = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0 , y= 10 hoặc x = 10 , y = 0 VD2: Tìm GTNN của: 2 1 2 1A x x x x= + + Giải: Đặt 1 0x y = 1 1 1 1 2A y y y y= + + = Suy ra minA = 2 0 1 1 2y x VD 3: Tìm GTLN, GTNN của: A = x x y y+ biết 1x y+ = Giải: Đặt ,x a y b= = , ta có , 0, 1a b a b + = ( ) ( ) ( ) 2 3 3 2 2 2 2 3 1 3A a b a b a ab b a ab b a b ab ab= + = + + = + = + = Do 0ab nên 1A MaxA = 1 0a = hoặc 0 0, 1b x y= = = hoặc 1, 0x y= = Ta có: ( ) 2 1 1 1 1 3 4 4 4 4 a b ab ab ab + = 1 1 1 min 4 2 4 A a b x y= = = = = Bài tập đề nghị: Bài 1. Tìm GTLN, GTNN của: 2 2 2 2 3 8 10 x y x y M y x y x = + + + ữ ữ với , 0x y Bài 2. Tìm GTNN của: 2 5 3 1 x A x = Bài 3. Tìm GTLN, GTNN của: 2 2 2 2 x xy y A x xy y + = + + IV. phơng pháp chia khoảng để tìm cực trị VD1 Tìm GTLN của A = x 2 (3 x) với x 0 Giải: [...]... vậy, từ một bài toán cực trị đại số với các biến có một điều kiện ta đã đề xuất và giải các bài toán cực trị đại số với các biến bị ràng buộc bởi nhiều điều kiện hơn Bài tập đề nghị: Bài 1 Tìm GTLN của xy + yz + xz với x, y, z là các số dơng thoả mãn các điều kiện (1) x + y +z = s (2) z a www.VIETMATHS.com (3) y b với b là số dơng cho trớc, x < b y b a < s trong đó s, a là những số dơng cho trớc và... khi 1 x 0 Bài tập đề nghị: Bài 1 Tìm GTLN của biểu thức: A= 2 x 6 x + 13 Bài 2 Tìm GTLN của biểu thức: B= x + 2 x + 37 2 ( ) x +1 Bài 3 Tìm GTNN của biểu thức: C= 3x 3x 3 + 2 x x2 3 + 2 x x2 2 2 Bài 4 Tìm GTLN của biểu thức: D= 1 2 2 x + + 2 x 2+ x x4 www.VIETMATHS.com VIII.phơng pháp giải toán cực trị đại số với các biến có điều kiện Chúng ta đã quen biết bài toán tìm cực trị của hai biến có... z, t là các số dơng thoả mãn các điều kiện : (1) x + y +z + t = s (2) t a (3) z b (4) y c trong đó s, a, b, c là những số dơng cho trớc và c < b < a < s Bài 3 Tìm GTNN của biểu thức x + y thoả mãn điều kiện 2 x + y = 10 Bài 4 Tìm GTNN của biểu thức A = x 2 + y 2 + z 2 thoả mãn điều kiện x + y + z = 3 chơng III Một số sai lầm khi giải toán cực trị Một trong những phơng pháp giải toán cực trị hiệu quả... Bài tập đề nghị: Bài 1.Tìm GTLN, GTNN của biểu thức Q sau đây: 2 1) Q = x + 42 2 x + 3 x +1 www.VIETMATHS.com 2) Q = 1 + x4 (1 + x 2 ) 2 x 2 xy + y 2 x 2 + xy + y 2 x + 2 y +1 4) Q = 2 2 x + y +7 2x 1 5) Q = 2 x +x+4 2x + 3 6) Q = 2 x + x +1 3) Q = 7) Q = ( x 2 y + 1) 2 + ( 2 x + ay + 5 ) 2 Bài 2.Tìm m để biểu thức Q = x+m chỉ nhận giá trị thuộc [ 1;1] x + x +1 2 VII.phơng pháp giải toán cực trị của... = -1 Gộp cả hai trờng hợp (1) và (2), ta có: MinA = 1 khi và chỉ khi x = 1 3 MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1 Nhận xét: a) Phơng pháp giải nh trên còn gọi là phơng pháp miền giá trị của hàm số 2 1 Đoạn ;3 là tập giá trị của hàm số A = x 2 x + 1 3 x + x +1 b) Cách khác tìm GTLN của A: 2 2 2 A = 3x 3x +23 2 x 4 x 2 = 3 2( x + 1) 3 2 x + x +1 x + x +1 MaxA = 3 khi và chỉ khi x = -1 c) Cách khác... kiện ràng buộc, chẳng hạn nh bài toán sau: VD1: Tìm GTLN của tích xy với x, y là các số dơng thoả mãn điều kiện x + y = s, trong đó s là số dơng cho trớc Giải: Cách 1: áp dung trực tiếp bất đẳng thức Cô-si 2 2 s2 x+ y s xy = ữ = ữ 4 2 2 2 s Vậy GTLN (xy) = s khi và chỉ khi x = y = 2 4 Cách 2: Đa về xét cực trị của hàm một biến 2 s2 s2 s2 s s2 xy = x ( s x ) = sx x = x 2 sx + ữ = x... Phơng pháp tham biến để tìm cực trị của một biểu thức Giả sử cần tìm cực trị một biểu thức Q(x) Để đơn giản ta chỉ cần xét biểu thức Q(x) luôn xác định trên tập số thực Ta đa thêm tham biến t để xét biểu thức f ( x ) = Q ( x ) t Nếu f ( x ) 0 hoặc f ( x ) 0 với mọi x thuộc tập xác www.VIETMATHS.com định của Q(x) và tồn tại giá trị t0 để f ( x ) = 0 thì t0 chính là GTLN hoặc GTNN của biểu thức Q(x)... ( 2 x 1) = 0 x = 2 1 2 Nh vậy phơng pháp tham biến cho phép ta chuyển việc xét cực trị một biểu thức Q(x), tức là xét một bất phơng trình Q(x) t hoặc Q(x) t về việc xét một phơng trình ( t ) = 0 , nên có thể nói phơng pháp tham biến là chiếc cầu nối giữa bất phơng trình và phơng trình Ta có thể mở rộng việc xét cực trị của biểu thúc một biến Q(x) sang biểu thức hai biến Q(x,y) bằng phơng pháp tham... đợc thoả mãn: - Với mọi (x, y,) thuộc D thì f(x,y,) m với m là hằng số - Tồn tại (x0, y0 ,) thuộc D sao cho f(x0, y0 ,) = m Một số chú ý: 1) Nếu không chỉ ra đợc bộ giá trị (x0, y0 ,) để f(x0, y0 ,) = M thì không khẳng định đợc maxf = M, mặc dù có f(x,y,) M với mọi (x, y,) thuộc D Khi đó ta phải tìm một cách giải khác 2) Bội giá trị (x0, y0 ,) để f(x0, y0 ,) = M thờng đợc tìm bằng cách áp dụng điều... khi và chỉ khi ay = bx c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối a + b a +b Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ab 0 3) Trong các bài toán dạng cực trị có điều kiện nếu chỉ chú ý đến điều kiện xảy ra dấu bằng của các bất đẳng thức đã dùng mà không kết hợp điều kiện ràng buộc của bài toán thì dễ mắc sai lầm 4) Trong các định nghĩa trên thì M và m phải là các hằng số Thật vậy, xét bài toán sau đây: Bài toán 2 . www.VIETMATHS.com Chuyên đề 1: Phơng pháp cơ bản tìm cực trị đại số Chơng I: cơ sở lý thuyết I. Định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức 1.Định. 2 nghiệm. Chơng II: Phơng pháp giải toán cực trị Các bài toán về cực trị luôn là những bài toán khó .Do đó đối với nhiều học sinh việc giải toán cực trị là không hề đơn giản nếu không biết phơng. chia khoảng để tìm cực trị 5. Phơng pháp dùng tam thức bậc hai 6. Phơng pháp tham biến 7. Phơng pháp giải toán cực trị với biểu thức chứa dấu căn 8. Phơng pháp giải toán cực trị với các biến có