BẤT ĐẲNG THỨC §1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC I BẤT ĐẲNG THỨC: Khái niệm bất đẳng thức: Các mệnh đề dạng “A>B”, “A B ⇔ A-B > 0; A < B ⇔ A - B < * A ≥ B ⇔ A-B ≥ 0; A ≤ B ⇔ A − B ≤ Các tính chất bất đẳng thức:  A>B a) TÝnh chÊt 1:  ⇒A >C B>C b) TÝnh chÊt 2: A>B ⇔ A ± C>B ± C  A.C>B.C, nÕu C>0 c) TÝnh chÊt 3: A>B ⇔   A.C B+D C>D  A>B>0 e) TÝnh chÊt 5:  ⇒ A.C > B.D C>D>0 f) TÝnh chÊt 6: A>B>0, n ∈ N* ⇒ A n > B n A>B>0, n ∈ N, n ≥ ⇒ n A > n B g) TÝnh chÊt 7: A>B, n ∈ N* ⇔ A 2n +1 > B 2n +1 A>B, n ∈ N* ⇔ 2n+1 A > 2n +1 B II BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY: 1.Bất đẳng thức Cauchy cho hai số khụng õm : Với hai số không âm a vµ b, ta cã:  a+b  a+b   ≥ ab  hay a+b ≥ ab, ab ≤  ÷÷    ÷  Đẳng thức xảy a=b  Các hệ bất đẳng thức Cauchy hai số : * HƯ qu¶ : 2(a +b ) ≥ (a+b)2 ≥ 4ab, víi ∀a, b ∈ R 1 * HƯ qu¶ : + ≥ , víi a, b>0 a b a+b a b * HƯ qu¶ : + ≥ 2, víi a, b>0 b a Bất đẳng thức Cauchy cho n s khụng õm : Với n số không âm a1 , a , , a n (n ≥ 2), ta cã : a1 + a + + a n n ≥ a1a a n n Đẳng thức xảy a1 = a = = a n III BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai cặp số: Víi hai cỈp sè thùc (a1 , a ), (b1 , b ) bất kì, ta có: 2 2 (a1b1 +a b2 )2 ≤ (a1 + a )(b1 + b ) Đẳng thức xảy vµ chØ b1 b2 = a1 a * Quy ­íc : NÕu a1 = (hoặc a =0) b1 = (hoặc b = 0) Bất đẳng thức Bu-nhia-cốpski cho hai n số: Víi hai bé sè thùc (a1 , a , , a n ), (b1 , b , , b n ) bÊt k×, ta cã : 2 2 (a1b1 +a b + +a n b n )2 ≤ (a1 + a + + a )(b1 + b + + b ) n n Đẳng thức x¶y ⇔ b1 b b = = = n a1 a an * Quy ­íc : Nếu a i bi = (i=1,n) IV BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Víi mäi sè thùc a vµ b, ta cã: 1) a+b ≤ a + b Đẳng thức xảy ab 2) a-b a + b Đẳng thức xảy ab V BT NG THC HèNH HC: 1) Bất đẳng thức b¶n: b-c < a < b + c, c-a < b < c + a vµ a-b < c < a + b, p-a>0, p-b>0 p-c>0 2) Các bất đẳng thức khác: 2S ab; 2S bc 2S ≤ ca µ b2 + c2 ≥ a nÕu A ≤ 900 VI CƠNG THỨC TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN VÀ PHÂN GIÁC: b2 + c2 a c2 + a b2 a + b2 c2 − ; m2 = − ; m2 = − b c 4 bc ca ab la = p(p − a); l b = p(p − b); l c = p(p − c) b+c c+a a+b ma = §2 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi, đánh giá thích hợp §Ĩ chøng minh A ≥ B, ta sÏ chøng minh A-B (nghĩa ta sử dụng định nghĩa, tính chất bản, để biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến bất đẳng thức hay tính chất sử dụng bất đẳng thức biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chøng minh) VÝ dô 1: Cho ba sè a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: a) a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca (1) b) (ab + bc + ca)2 ≥ 3abc(a + b + c) (2) (§HQG TP HCM -1998) Lêi gi¶i a) (1) ⇔ 2a + 2b + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca ⇔ (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 luôn b) (2) a b + b c2 + c2a − a bc − ab c − abc ≥ ⇔ 2a b + 2b c2 + 2c2a − 2a bc − 2ab c − 2abc ≥ ⇔ (ab-bc)2 + (bc − ca)2 + (ca − ab)2 ≥ lu«n Ví dụ 2: Chứng minh a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ a(b + c + d + e) (1) víi mäi a, b, c, d, e (ĐH Y dợc TP HCM-1999) Lời giải (1) ⇔ a2 a2 a2 a2 − ab + b + − ac + c2 + − ad + d + − ae + e ≥ 4 4 2 2 a  a  a  a  ⇔  − b ÷ +  − c ÷ +  − d ÷ +  − e ÷ ≥ hiĨn nhiªn ®óng 2  2  2  2  1 VÝ dô : Cho ba sè thùc a, b, c tháa m·n abc=1 vµ a+b+c> + + a b c a) Chøng minh r»ng: (a-1)(b-1)(c-1)>0 (1) b) Chøng minh r»ng ba sè a, b, c cã số lớn (ĐHTH TP.HCM -1993) Lời gi¶i a) Ta cã: (1) ⇔ abc-ab-ac-bc+a+b+c>0 (2) 1 ab+bc+ca V× a+b+c> + + ⇔ a+b+c> a b c abc ⇔ a + b + c > ab + bc + ca (vì abc=1) Vậy (2) Suy (1) b) Ta có: (a-1)(b-1)(c-1)>0 Suy ba số a, b, c lớn ba số a, b, c có sè lín h¬n NÕu a>1, b>1, c>1 ⇒ abc>1, mâu thuẫn với giả thiết Vậy ba số a, b, c có số lớn Ví dô : Chøng minh: a b +c 3 + b c +a 3 + c a +b 3 < a, b, c độ dài ba cạnh tam giác (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ 5/2004) Lời giải Ta có: b3 + c3 (b + c)3 (1) ThËt v©y: (1) ⇔ 4(b3 +c3 ) ≥ b3 + c3 + 3b c + 3bc ⇔ b3 + c3 − b2 c − bc2 ≥ ⇔ b (b − c) − c (b − c) ≥ ⇔ (b-c)(b2 -c2 ) ≥ ⇔ (b-c)2 (b + c) ≥ (2) (2) ®óng ⇒ (1) ®óng (c + a)3 a +b3 ≥ (a+b)3 Tương tự: c3 + a Do đó: b c   a ≤ 4 + + ÷ 3  b+c c + a a + b  b + c3 c3 + a 3 a + b3 a b c 2a 2b 2c mµ + + = + + b+c c + a a + b 2(b + c) 2(c + a) 2(a + b) 2a 2b 2c < + + =2 b+c+a c+a +b a +b+c (Do a+b>c; b+c>a; c+a>b) Tõ (3) (4) suy đpcm a + b + c (3) (4)  Bài tập tự luyện: Bµi : Cho x, y ≠ Chøng minh: x y x2 y2 + + ≥ 3 + ÷ y x y x (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường Trần Đại Nghĩa TP HCM năm 2004 ) Bµi : Chøng minh r»ng nÕu 0 Chøng minh r»ng: y x z 1 + 2+ ≤ + + 2 x +y y +z z +x x y z (ĐH Nông Nghiệp I Khối A - 2001) Li gii Dễ dàng chứng minh B§T sau: a + b + c ≥ ab + bc + ca ¸ p dơng (1), ta được: 1 1 1 + 2+ ≥ + + x y z xy yz zx (1) (2) p dụng BĐT Cauchy cho mẫu số, ta được: y y x z x z + 2+ ≤ + + = 2 x +y y +z z +x x y 2 y z 2 z 3x = 1 1 1 + + ≤ + + (®pcm) xy yz zx x y z VÝ dơ : Chøng minh r»ng víi a, b lµ hai số không âm bất kì, ta có: 3a + 17b3 ≥ 18ab2 (ĐH Kinh tế Quốc dân - Nm 1997) Li gii p dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm, ta có: 3a + 17b3 = 3a + 9b3 + 8b3 ≥ 3 3a 9b 8b = 18ab (®pcm) VÝ dơ : Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chøng minh r»ng: a b c + + ≥ b+c-a c + a − b a + b − c (ĐH Y Hải Phòng – Năm 2000) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương: (b+c-a)(c+a-b) ≤ b +c−a + c+a −b =c T­¬ng tù ta cã: (c+a-b)(a+b-c) ≤ a (1) (2) (3) (a+b-c)(b+c-a) ≤ b Nhân vế tương ứng (1), (2) (3), ta được: (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) ≤ abc ⇒ abc (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) p dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba sè d­¬ng, ta cã: a b c abc + + ≥ 33 ≥ b+c-a c + a − b a + b − c (b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) VÝ dô : Cho a, b, c > Chøng minh:  1   b+c c+a a+b  (a +b3 +c3 )  + + ÷ ≥  + + b c ÷ a b c  2 a  (Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ 6/2003) Lời giải Víi ∀a, b, c > 0, ta cã: a + b3 ≥ ab(a + b); b3 + c3 ≥ bc(b + c); c3 + a ≥ ca(c + a) 2(a + b3 + c3 ) ≥ ab(a + b) + bc(b + c) + ca(c + a) ¸ p dơng bÊt đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có: 1 1 1 + + ≥ 33 = a b c a b c abc (1) (2) Nhân vế tương ứng (1) (2), ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b = c VÝ dô : Cho a>b>0 Chøng minh: a+ ≥ 2 b(a-b)2 Lời giải ¸ p dụng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số dương, ta cã: a+ a−b a−b a−b a−b = b+ + + ≥ 4 b = 2 2 b(a-b) 2 b(a-b) 2 b(a-b)2 VÝ dô : Cho a, b, c, d > Chøng minh: a b c2 d 1 1 + + + ≥ + + + b c d a a b c3 d (ĐH Thủy lợi – Năm 1997) Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho năm số dương, ta có: a2 a2 a2 1 3a + + + + ≥ 5 15 = ⇒ ≥ − b5 b b a a b b b b a 3b T­¬ng tù, ta cã: ≥ - c c b 3c ≥ 3− d d c 3d ≥ 3− a a d (1) (2) (3) (4) Cộng vế tương ứng (1), (2), (3) (4) ta có đpcm VÝ dơ : Cho số thực x, y, z dương Chứng minh: 16xyz(x+y+z) ≤ 3 (x+y)4 (y + z)4 (z + x)4 (Tạp chí Tốn học & Tuổi trẻ 1/1996) Lời giải Gọi A = (x + y)(y + z)(z + x) Ta có: A = xy(x + y + z) + yz(x + y + z) + xz2 + zx2 p dụng BĐT Cauchy cho tám số dương gồm ba số với số bằng xy(x + y + z), ba số với số zy(x + y + z), xz , zx (xyz)6 (x + y + z)6 ⇒ đpcm 36 Đẳng thức xảy x=y=z Ta cã: (x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8 VÝ dô 10 : Cho a, b, c > 0, n ∈ N, n ≥ Chøng minh: n a b c n n +n +n > n − b+c c+a a + b n −1 (Tạp chí Tốn học & Tuổi tr 8/1996) Li gii p dụng BĐT Cauchy cho n số dương gồm số (a+b)(n-1) c (n-1) số với số 1, ta có: 1+1+ +1 + 14 (n-1) sè (a+b)(n-1) (a+b)(n-1) ≥ nn c c n (a + b)(n − 1)  (a + b + c)(n − 1)  ⇔  ≥ nc c   c n n c ≥ n − a+b n − a+b+c b n n b T­¬ng tù, ta cã: n ≥ n − c+a n − a+b+c a n n a n ≥ n − c+b n − a+b+c Hay n (1) (2) (3) Cộng vế tương ứng (1), (2) (3), ta có đpcm (n-1)(a+b)=c Đẳng thức xảy (n-1)(b+c)=a ⇒ n = ∉ N (n-1)(c+a)=b  không xảy Trng hp 2: Cỏc bin b ràng buộc VÝ dô : Cho x, y, z ba số dương xyz=1 Chứng minh rằng: x2 y2 z2 + + ≥ 1+ y 1+ z 1+ x (Đề dự bị Khối D-Năm 2005) Lời giải p dụng BĐT Cauchy cho hai số dương, ta cã: x2 + y x2 + y + ≥2 =x 1+y 1+y y2 + z y2 + z + ≥2 =y 1+z 1+z z2 + x z2 + x + ≥2 =z 1+x 1+x Cộng vế tương ứng ba BĐT, ta được:  x2 + y   y2 + z   z + x  + + +  ÷+  ÷+  ÷ ≥ (x + y + z)   1+z   1+x   1+y ⇔ x2 y2 z2 x+y+z + + ≥− − + (x + y + z) 1+y 1+z 1+x 4 3(x + y + z) − 4 3 3 3 ≥ x.y.z − = − = (Do x.y.z=1) 4 4 Đẳng thức xảy vµ chØ x=y=z=1 ≥ 10 VÝ dơ : Giả sử x, y nghiệm hệ phương trình: x+y=a-1 xy=a 7a + 14 (I) Tìm a để U=x + y2 đạt giá trÞ nhá nhÊt Lời giải Tr­íc hÕt hƯ (I) cã nghiÖm ⇔ S − 4P ≥ ⇔ (a − 1)2 − 4(a − 7a + 14) ≥  5  2 2 ViÕt l¹i U=S -2P=(a − 1) − 2(a − 7a + 14) = −a +12a-27 ⇔ -3a + 26a − 55 ≥ ⇔ 11  11 ≤ a ≤ Gäi D=  ; 5 Xem U=f(a)= − a +12a-27 Bài toán dẫn tới tìm f(a) D b/  11  32 Ta cã f  ÷ = ; f(5)=8; - = ∉ D a 5   11    32   11  32 Suy Min f(a) = f  ÷; f(5)  =  ;  = f  ÷ = D 9  3  5  32 11 VËy MinU= , đạt a= Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ cđa hµm sè y= 3cos4 x + sin x 3sin x + cos2 x (ĐHSP Hà Nội Khối A - Năm 2002) Lời giải 35 3(cos4 x-sin x)+4sin x − cos2 x ViÕt l¹i y-1= 3sin x + cos2 x 3(cos2 x-sin x)+4sin x − cos2 x ⇔ y −1 = 3sin x + cos2 x ⇔ y-1= 3sin x + cos2 x 3t − 2t + f(t)>0, ∀t ∈ [0; 1], ∆ / = −5 < vµ a=3>0  Gäi f(t)=3t − 2t + ThÊy r»ng  b / - = ∈ [0; 1] a Suy ra: Đặt sin x = t, t ∈ [0; 1], hµm sè trë thµnh y-1= ∆/ 3 1 = ⇒ max (y-1)= max y= +1= , có t = ⇔ sin x= D D D a 5 3 1 * Max f(t)=max{f(0); f(1)}=max{2; 3}=f(1)=3 ⇒ (y-1)= ⇔ y= +1= , D D D 3 có t=1 sin x=1 Tóm lại, giá trị lớn hàm số ; giá trị nhỏ hàm số b»ng * Min f(t)=-  Bµi tËp tù lun: Bài 1: Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: f(x) = cos2x + 3sinx + Bài 2: Gọi x1, x2, x3 nghiệm phương trình: x3 - (2m + 3)x2 + (2m2 - m + 9)x - 2m2 + 3m - = Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: 2 P=x1 + x + x + x1x x Bài : Tìm a để phương trình sau cã nghiƯm thc  0; ÷:  2 (1-a)tg x − + + 3a = cos x (Đề II2 - Bộ đề tuyển sinh H) Bài : Tìm m để hàm số y=mx+ x + 4x có giá trị nhỏ nhÊt lín h¬n (Đề 123 III - Bộ đề tuyển sinh ĐH) Dạng 3: Phương pháp miền giá trị hàm số: 36 Cơ sở phương pháp là: Để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y = f(x) miền D ta tiến hành sau: - Tìm điều kiện để phương trình y0= f(x) có nghiệm (với y0 giá trị tuỳ ý hàm số y = f(x) miền D) - Từ điều kiện biến đổi dẫn đến dạng y1 ≤ y0 ≤ y2 - Kết luận: max f(x) = y , x∈D f(x) = y1 x∈D  Chú ý: Có trường hợp ta tìm giá trị lớn khơng tìm giá trị nhỏ ngược lại VÝ dô : Cho hai sè thùc x ≠ 0, y thay đổi thoả mÃn điều kiện: (x+y)xy=x + y − xy 1 T×m giá trị lớn biểu thức A= + x y (ĐH Khối A - Năm 2006) Li gii Cách : Đặt S=x+y, P=xy Điều kiện ®èi víi S, P lµ S − 4P ≥ DÔ thÊy (x+y)xy=x + y2 − xy > nên x+y xy dấu Sử dụng giả thiÕt trªn, ta cã: (x+y)(x +y -xy)  x + y  A= = ÷ ⇒ S = A.P x3y3  xy  Mặt khác, từ giả thiết suy ra: SP = S2 - 3P Tõ (1) (2), tính được: P= ; S= (1) (2) A A- A A- A Giải bất phương trình S 4P 0, ta tìm A ≤ 16 Tõ ®ã maxA=16 x=y= 37 Cách : Đặt x=ty Từ (x+y)xy=x + y2 − xy ta suy (t+1)ty3 = (t − t + 1)y2 t2 − t + ; t2 + t Ta tính được: Do đó: y= x=ty= t2 − t +1 t +1  1   t + 2t +  A=  + ÷ =  ÷  x y   t − t +1  t + 2t + Đặt = m, ta có phương trình theo t: t t +1 mt − mt + m = t + 2t + ⇔ (m − 1)t − (m + 2)t + m − = * m=1( A=1): t=0 * m 1: Phương trình có nghiÖm ⇔ ∆=(m+2)2 − 4(m − 1)2 ≥ ⇔ −3m + 12m ≥ ⇔ ≤ m ≤ VËy maxA=16 x=y=2  Nhận xét: 1) Nếu gặp toán dạng “ Cho x, y thỏa mãn f(x, y) = Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A = g(x, y)” Ta thng a v: f(x, y)=0 Tìm A để hệ PT có nghiệm g(x, y)=A Ta tập giá trị A, từ suy giá trị lớn vµ nhá nhÊt cđa A 2) Với tốn dạng “ Cho số thực x, y thỏa mãn f(x, y) = g(x, y) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức A = p(x, y) Trong f(x, y) g(x, y) biểu thức đẳng cấp x, y”, giải toán cách sau: Với y = ta thử trực tiếp Nếu y ≠ 0, đặt x = ty Thay vào giả thiết f(x, y) = g(x, y), ta tính y, x theo t Biểu diễn A theo t Từ tìm tập giá trị A Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn hàm số: sinx y= với x ∈ [0; π ] 2+cosx (ĐHSP Quy Nhơn - Nm 1999) Li gii 38 Xét hàm số đà cho mét chu k×: x ∈ [ −π ; π ] Tập giá trị hàm số với x [ ; ] tập giá trị hàm số với x (-; +) sinx Phương tr×nh y= ⇔ sin x − y cos x = 2y 2+cosx 1 Phương trình ẩn x có nghiÖm ⇔ 12 + y ≥ (2y)2 ⇔ − y 3 Mặt khác, với x (0; π ) th× sinx ≥ ⇒ y ≥ 2π Do ®ã ≤ y ≤ , x [0; ] Mặt khác, x=0 y=0 x= y= nên 3 miny=0; maxy=  Bµi tËp tù lun: Bài : Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc A= x − xy + y , ∀x, y ∈ R x + xy + y Bµi : Cho hai sè thùc x ≠ 0, y ≠ tháa m·n x + y = x y + y x Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ cđa biĨu thøc A= + x y Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y= sinx − cosx (ĐHQG Hà Nội Khối B - Năm 1999) Bài 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f(x) = (2sinx + cosx)(2cosx sinx) (ĐH Cần Thơ Khối A - Năm 2001) Dạng 4: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, Bu-nhia-Cốpxki: VÝ dô 1: Cho x, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức   P=  x + ÷ y2 + y  x   ÷  (Đề thi vào Khối PTCT - ĐHKHTN Hà Nội) Li gii Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:  x+y  * 00) 2x x (Đề Dự bị Khối B - Năm 2006) Lời giải Theo bất đẳng thức Bu-nhia-Cèpxki, ta cã: 7    7     3+ x ÷ =  3.1 + x ÷ ≤ (9 + 7)  + x ÷ = 16  + x ÷  ÷          ⇒  1+  x  ÷≥  1 7 7x = x (*) + x ữ Đẳng thức xảy ⇔ = 2  11  7  9 15 +  + ÷ = +  x + ÷ ≥ + x = + = (B§T Cauchy) 2x  x  x x 2 Đẳng thức xảy x= (*) x=3 x 15 VËy miny= x¶y ⇔ x=3 Suy y ≥ x+ VÝ dô Cho x, y, z số thực dơng thay đổi thỏa mÃn điều kiện xyz = Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P= x (y + z) y y + 2z z + y (z + x) z z + 2x x + z (x + y) x x + 2y y (§Ị ĐH khối A - Năm 2007) 42 Lời giải Cách 1: áp dụng BĐT Cauchy cho hai số dơng tử số, từ xyz = 1, ta đợc : P≥ 2x x y y + 2z z + 2y y z z + 2x x + 2z z (1) x x + 2y y Đặt a=x x, b=y y, c=z z th× a, b, c >0; abc = Bất đẳng thức (1) trở thành : 2a 2b 2c P≥ + + (2) b+2c c + 2a a + 2b p dụngBĐT Bu-nhia-cốpxki cho hai số  a  ;  b+2c  ( ) a(b+2c); b(c+2a); c(a+2b) ữ, ta : ữ b c   a (a+b+c)2 ≤ 3(ab+bc+ca)  + + ÷  b+2c c + 2a a + 2b  b ; c+2a c a+2b (3) a b c + + ≥1 b+2c c + 2a a + 2b Tõ (2) vµ (4), ta cã P ≥ Tõ ®ã minP=2 x=y=z=1 L¹i cã 3(ab+bc+ca) ≤ (a+b+c)2 , nên từ (3) suy (4) Cách 2: Ta có: x (y + z) ≥ 2x x T­¬ng tù, y (z + x) ≥ 2y y, z (x + y) ≥ 2z z ⇒P≥ 2x x y y + 2z z + 2y y z z + 2x x + 2z z x x + 2y y §Ỉt a=x x + 2y y, b=y y + 2z z, c=z z + 2x x 4c + a − 2b 4a + b − 2c 4b + c − 2a ,y y= ,z z= 9  4c + a − 2b 4b + c − 2a 4b + c − 2a  Do ®ã: P ≥  + + ÷ 9 b c a  Suy ra: x x = 2 c a b a b c  =   + + ÷+  + + ÷−  ≥ (4.3+3-6)=2 9 b c a b c a      ( Do + + =  + ÷+  + 1÷− ≥ + − ≥ − = 3, b c a b c a  b a c hc a b c a b a b c a b c a b a b c + + ≥ 3 = Tương tự, + + (Do BĐT Cauchy)) b c a b c a b c a Đẳng thức xảy x=y=z=1 Vậy minP=2 Bài tập tự luyện: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy: 43 Bài : Cho ba số dương a, b, c thỏa mÃn điều kiện abc=1 HÃy tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc: bc ac ab P= + + 2 a b + a c b a + b c c a + c2 b (ĐH Nông nghiệp I Khối A - Năm 2000) Bài : Tìm giá trị nhỏ biĨu thøc A= a b c + + ®ã số dương a, b, c thỏa mÃn b c a điều kiện a+b+c (Tạp chí Toán học & Tuổi trẻ số 316 Tháng 10/2003) Bài : Tìm giá trị nhỏ tổng S= xy yz zx + + x, y, z số thực dương thỏa mÃn z x y điều kiện x + y2 + z = (T¹p chí Toán học & Tuổi trẻ số 341 Tháng 11/2005) Bài : Giả sử A, B, C ba góc tam giác Tìm giá trị nhỏ cđa biĨu thøc: 1 M= + + 2+cos2A 2+cos2B 2-cos2C (ĐH Mỏ - Địa chất - Năm 1999) Sử dụng bất đẳng thức Bu - nhia - cốpxki: Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: y = 2sin8x + cos42x (ĐH Tài Kế toán Hà Nội - Năm 2000) Bài : Giả sử x, y hai số dương thỏa mÃn điều kiện + =6 Tìm giá trị nhỏ tổng x+y x y (ĐH Y Hà Nội - Năm 2000) Bài : Cho số x, y, z thay đổi [0; 1] thỏa mÃn điều kiện x+y+z= Tìm giá trị nhỏ 2 2 biểu thức A=cos(x +y +z ) (ĐH Xây dựng - Năm 2001) Bài 8: Trong nghiệm (x; y) bất phơng trình 5x2 + 5y2 - 5x - 15y + ≤ 0, h·y t×m nghiƯm cã tỉng x + 3y nhá nhÊt 44 (§H An Ninh Khèi D - Năm 2001) Dng 5: Phng phỏp o hm: C s phương pháp này: Chủ yếu dùng đạo hàm để khảo sát chiều biến thiên hàm số dựa vào điều với giá trị đặc biệt tập xác định hàm số suy kết VÝ dô 1: Cho x, y > x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức  P=  x + y    ÷ y + ữ x (Đề thi vào Khối PTCT - ĐHKHTN Hà Nội) Li gii 1 ⇒ t = (xy)2 ∈  0;   16  Theo B§T Cauchy, ta cã: 00 Suy P ≥ DÊu b»ng x¶y ⇔ x=y=z=1 2 VËy minP= x=y=z=1 Ví dụ : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số y= 3cos4 x + sin x 3sin x + cos2 x (ĐHSP Hà Nội Khối A- Năm 2001) Lời giải Đặt sin x = t, t [0; 1], ta được: 3(1-t)2 + 4t 3t − 2t + = = 1+ 2 3t + 2(1 − t) 3t − 2t + 3t − 2t + 6t − y/ = − , y / = t= ∈ [0; 1] (3t − 2t + 2) y= Ta có bảng biến thiên sau: t 47 y’ + - y VËy maxy= , miny=  Bµi tËp tù lun: Bµi 1: Cho số x, y thay đổi thỏa mÃn ®iỊu kiƯn x ≥ 0, y ≥ vµ x + y = HÃy tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = 3x + 3y (ĐH Ngoại thơng Khối D - Năm 1999) Bài : Cho số x, y thỏa m·n: x ≥ 0, y ≥ vµ x+y=1 H·y tìm giá trị lớn giá trị nhỏ cđa x y biĨu thøc P= + y+1 x + (Học viện Quan hệ Quốc tế - Năm 1999) Bài : Tìm giá trị nhỏ của: f(x; y)=  x y2  x y x y4 + −  + ÷+ + , víi x, y ≠ y4 x y x  y x (Häc viƯn Qu©n Y - Năm 2001) Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = sin20x + cos20x (ĐH Luật Hà Nội - Năm 1999) Bài : Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhÊt cđa hµm sè: y=2(1+sin2x.cos4x)- (cos 4x − cos8x) (ĐH Dợc Hà Nội - Năm 2001) 48 49 ... IV BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI: Víi mäi sè thùc a vµ b, ta cã: 1) a+b a + b Đẳng thức xảy vµ chØ ab ≥ 2) a-b ≤ a + b Đẳng thức xảy chØ ab ≤ V BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HC: 1) Bất đẳng thức. .. a Bất đẳng thức Cauchy cho n số không âm : Với n số không âm a1 , a , , a n (n ≥ 2), ta cã : a1 + a + + a n n a1a a n n Đẳng thức xảy ⇔ a1 = a = = a n III BẤT ĐẲNG THỨC BU-NHIA-CỐPSKI Bất đẳng. .. thức cần chứng minh đến bất đẳng thức hay tính chất sử dụng bất đẳng thức biến đổi dẫn đến bất đẳng thức cần chứng minh) Ví dụ 1: Cho ba sè a, b, c bÊt k× Chøng minh bất đẳng thức: a) a2 + b2 + c2