Bài tập 1: 1. Tham khảo bài tập bên dưới 1. Đề xuất mô hình DOF=2, lập hệ phương trình và tính đáp ứng Khảo sát dao động cưỡng bức của hệ 1 bậc tự do: Cơ hệ cho trên hình gồm 2 vật 1 và 2, có 1 bậc tự do, chịu tác dụng của lực cưỡng bức. Trên hình biểu diễn lược đồ cơ hệ ở vị trí cân bằng tĩnh. Đặc trưng giảm chấn của hệ được cho bởi hệ số suy giảm loga. Các số liệu về thông số của hệ: Khối lượng: m 1 = 40 kg, m2 = 30 kg Hệ số độ cứng của lò xo: c1 = 20 N/cm, c2 = 25 N/cm P = 35, ω = 2π s -1 , ϕ = ωt, hệ số suy giảm loga η = 0,62 Hãy xác định: - Hệ số α đặc trưng độ cản nhớt của bộ phận giảm chấn. - Phương trình dao động cưỡng bức của hệ tại tần số kích thích ϕ = ωt Ghi chú: Các đĩa tròn được giả thiết là đặc, đồng chất, các thanh – mảnh đồng chất, sự lăn của các đĩa là lăn không trượt. c cc B A x  y P k 1 k 1 ϕ 6 0 ° 6 0 ° 22 1 k 2 Trả lời: 1. Phân tích cơ hệ: Hệ 1 bậc tự do, hệ lực tác dụng gồm trọng lực và lực đàn hồi của lò xo và lực cưỡng bức. 1 Chọn y là tọa độ của vật 1 làm tọa độ suy rộng Để lập phương trình chuyển động ta dùng phương trình Lagrange dạng 2: y . Q y R y V y T y T dt d = ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ −           ∂ ∂ 2. Lập biểu thức động năng T: T = T 1 + 2T 2 Vật 1 chuyển động tịnh tiến T 1 = 2 . 1 ym 2 1 Vật 2 chuyển động tịnh tiến T 2 = 2 . 2 2 1 xm với x = y.tan30° vậy: T 2 = 2 . 2 1 y ( tan30°) 2 Biểu thức động năng toàn hệ: T = 2 . 2 21 ])30(tan2[ 2 1 ymm o + Ký hiệu: m tt = ])30(tanm2m[ 2o 21 + Biểu thức động năng toàn hệ: T = 2 . tt ym 2 1 3. Lập biểu thức thế năng V: V = V 1 + 2V 2 Thế năng của lực trọng trường: 2 Tại vị trí cân bằng như trên hình ta quy ước thế năng của lực trọng trường tác động lên vật 1 bằng 0. Khối tâm của vật 2 không đổi so với mặt đất nên ta có: V 2 = 0 V 1 = -G 1 y = -m 1 gy Thế năng của lực đàn hồi của lò xo: V lx1 = 2       λ−λ+λ 2 0A 1 2 A0A 1 2 k )( 2 k = 2       λ−+λ 2 0A 1 2 0A 1 2 k )x( 2 k V lx1 = 2 )30tany2)30(tany( 2 k 0A o2o2 1 λ+ = 0A o 1 2o2 1 30tanyk2)30(tanyk λ+ V lx2 = 2 0B 2 2 B0B 2 2 k )( 2 k λ−λ+λ = 2 0B 2 2 0B 2 2 k )y( 2 k λ−+λ V lx2 = 0B2 2 2 yky 2 k λ+ Thế năng của toàn bộ lực có thế tác động lên cơ hệ: V = -m 1 gy + 0A o 1 2o2 1 30tanyk2)30(tanyk λ+ + 0B2 2 2 yky 2 k λ+ Tại vị trí cân bằng (y=0), thế năng của hệ là cực tiếu do đó: 0 y V 0y =         ∂ ∂ = ==> -m 1 g + 2k 1 tan(30°)λ A0 +k 2 λ B0 = 0 V = [ ] 2 2 2o 1 yk)30(tank2 2 1 + V = 2 tt yk 2 1 Với k tt = [ ] 2 2o 1 k)30(tank2 + 4. Lập biểu thức hàm hao tán R: R = [ ] 2 . 20 2 . 2 . cy1)30(tan2 2 1 yc 2 1 xc 2 1 2 +=+ = 2 . tt yc 2 1 Với [ ] 1)30(tan2c 20 tt += c 5. Tính Q y : 3 Q y = Q p Công khả dĩ của hệ dưới tác dụng lực ngoài δA = Pcos(ωt)δ(y) Vậy Q y = Pcos(ωt) 6. Lập phương trình chuyển động Thế các biểu thức động năng và thế năng vào phương trình Lagrange dạng 2 ta có: ykycym tt . tt tt ++ = cos(ωt) Tính hệ số c đặc trưng độ cản nhớt bộ giảm chấn: Tính các thông số tay thế m tt = ])30(tan2[ 2 21 o mm + = 40 + 2 x 30 (tan30°) 2 = 60 kg k tt = 2k 1 ( tan30°) 2 +k 2 = 2 x 20( tan30°) 2 +25= 38,33 N/cm = 0,3833 N/m P tt = 35 / cos30° = 40,42 N40,42 N Tần số riêng: ω n = 60 3833,0 m k tt tt = = 0,07993 s -1 Hệ số suy giảm loga: η = ζω n T d = 2 1 2 ς πς − ==> 098199,0 62,0)2( 62,0 )2( 2222 = + = + = πηπ η ς c tt = 2ζω n m = (2 x 0,098199 x 0,07993 x 60) = 0,942 kg/s Hệ số c đặc trưng độ cản nhớt bộ giảm chấn: c = c tt /[2( tan30°) 2 +1] = 0,565 kg/s Phương trình dao động cưỡng bức của hệ: y3833,0y946,0y60 ++ = cos(2πt) 4 Bài tập 2: 2. Tham khảo bài tập bên dưới 3. Đề xuất mô hình DOF=1, lập phương trình và tính đáp ứng a. Khảo sát dao động tự do của cơ hệ 2 bậc tự do Hãy xác định tần số và dạng dao động của cơ hệ 2 bậc tự do. Giả thiết rằng các lực cản, khối lượng lò xo không đáng kể. Trên hình biểu diễn cơ hệ ở vị trí cân bằng. Các số liêu cần để tính toán: m 1 = 4 kg, m 2 = 1 kg R = 0,2 m, l = 0,3 m k 1 = 40 N/cm, k 2 = 30 N/cm 2 k k 1 R 1 2 0,75l l A B C D  ϕ 1 ϕ 2 Trả lời: 1. Phân tích cơ hệ: Hệ 2 bậc tự do, hệ lực tác dụng gồm trọng lực và lực đàn hồi của lò xo Chọn ϕ 1 và ϕ 2 là các tọa độ suy rộng Để lập phương trình chuyển động ta dùng phương trình Lagrange dạng 1: i ii i Q q V q T q T dt d = ∂ ∂ + ∂ ∂ −           ∂ ∂ . 2. Lập biểu thức động năng T: T = T 1 + T 2 5 Vật 1 chuyển động song phẳng T 1 = T 1 tt + T 1 q = 2 1 2 1 2 11 2 1A 2 01 Rm 2 1 2 1 )R(m 2 1 J 2 1 vm 2 1 ω       +ω=ω+ T 1 = 2 1 . 2 1 )Rm5,1( 2 1 ϕ Vật 2 chuyển động quay T 2 = 2 2 . 2 2 2 . 2 2 2 2 . 2 2 22 2 2 . B 48 lm49 2 1 3 )l75,1(m 2 1 3 Lm 2 1 J 2 1 ϕ         =ϕ         =ϕ         =ϕ = Biểu thức động năng toàn hệ: T = 2 1 . 2 1 )Rm5,1( 2 1 ϕ + 2 . 2 2 2 48 lm49 2 1 ϕ         3. Lập biểu thức thế năng V: V = V 1 + V 2 Thế năng của lực trọng trường: Tại vị trí cân bằng như trên hình ta quy ước thế năng của lực trọng trường tác động lên vật 2 bằng 0. V 1 = 0 V 2 = -G 2 h = -m 1 g )cos1( 2 l 2 2 ϕ− = -m 1 g 2 2 ) 2 (sin2 2 l75,1 ϕ = -m 1 g 4 l75,1 2 2 ϕ Thế năng của lực đàn hồi của lò xo: Gọi λ 1 là biến dạng của lò xo 1và λ t1 là biến dạng tỉnh của lò xo 1 ta có: λ 1 = λ A - λ C = Rϕ 1 - lϕ 2 V lx1 = ( ) 2 1t 1 2 1t1 1 2 k 2 k λ+λ+λ = 1t211 2 21 1 )lR(k)lR( 2 k λϕ−ϕ−ϕ−ϕ Gọi λ 2 là biến dạng của lò xo 2 và λ t2 là biến dạng tỉnh của lò xo 2 ta có: λ 2 = λ D = 2 l75,1 ϕ V lx2 = ( ) 2 2t 2 2 2t2 2 2 k 2 k λ−λ+λ = ( ) ( ) 2t22 2 2 2 l75,1kl75,1 2 k λϕ−ϕ 6 Thế năng của toàn bộ lực có thế tác động lên cơ hệ: V=-m 1 g 4 l75,1 2 2 ϕ + 1t211 2 21 1 )lR(k)lR( 2 k λϕ−ϕ−ϕ−ϕ + ( ) ( ) 2t22 2 2 2 l75,1kl75,1 2 k λϕ−ϕ Tại vị trí cân bằng, thế năng của hệ là cực tiếu do đó: 0 V 02 01 1 =         ϕ∂ ∂ =ϕ =ϕ => 0Rk 1t1 =λ− 0 V 02 01 2 =         ϕ∂ ∂ =ϕ =ϕ => ( ) 0l75,1klk 2t21t1 =λ+λ V = ( ) 2 2 2 2 2 211 2 2 1 l75,1k 2 1 )lR(k 2 1 4 l75,1 gm ϕ+ϕ−ϕ+ ϕ − 4. Lập phương trình chuyển động Thế các biểu thức động năng và thế năng vào phương trình Lagrange dạng 2 ta có: 1,5m 1 R 2 1 ϕ + k 1 R(Rϕ 1 - lϕ 2 ) = 0 2 2 2 48 lm49 ϕ         - 0,875m 1 glϕ 2 - k 1 l(Rϕ 1 - lϕ 2 ) + 2 2 2 l 16 49 k ϕ       = 0 Viết dưới dạng ma trận:       =       ϕ ϕ           −       +− − +           ϕ ϕ           0 0 glm875,0l 16 49 klkRlk RlkRk m 48 49 0 0m 2 3 2 1 1 2 2 2 11 1 2 1 2 1 2 1       =       ϕ ϕ       − − +           ϕ ϕ         0 0 375,816240 240160 48 49 0 06 2 1 2 1 5. Xác định tần số và dạng dao động riêng Phương trình đặc trưng của hệ: 0 375,816240 2406160 MC 2 2 = − −ω− =ω− 7  6.125ω 4 + 5061,5833ω 2 – 73020 = 0  ω 1 2 = 811,6936;  ω 2 2 = 14,6874; Tần số riêng: ω 1 = 28,4902 s -1 ω 2 = 3,8324 s -1 Tìm véc tơ riêng: Thế ω 1 vào phương trình [C - ω 2 M] = {0} ta có: -4710,1616X 1 (1) – 240 X 2 (1) = 0 lấy X 1 (1) = 1 ==> X 2 (1) = -19,6257 Thế ω 2 vào phương trình [C - ω 2 M] = {0} ta có: 71,8759 X 1 (2) - 240 X 2 (2) = 0 lấy X 1 (2) = 1 ==> X 2 (2) = 0,2995 Véc tơ riêng       − = 6257,19 1 X )1(       = 2995,0 1 X )2( Dạng dao động riêng Dao động chính thứ nhất: ϕ (1) (t) = C 1 cos(28,4902t + φ 1 ) ϕ (1) (t) = -19,6257C 1 cos(28,4902t + φ 1 ) Dao động chính thứ hai: ϕ (2) (t) = C 2 cos(3,8324t + φ 2 ) ϕ (2) (t) = 0,2995C 2 cos(3,8324t + φ 2 ) 8 b. Khảo sát dao động cưỡng bức của hệ 2 bậc tự do Cơ hệ có 2 bậc tự do được biểu diễn như trên hình vẽ chịu tác dụng của lực cưỡng bức biến thiên tuần hòan ở dạng lực P = P 0 cos pt. Lực P tác động lên vật 1. Dường tác dụng của lực P nằm ngang, đi qua khối tâm vật 1 và có phương không đổi trong quá trình hệ chuyển động. Chuyển vị dài khi tác dụng lực là không đổi tức P = P 0 là 0,001 m. Các số liêu cần để tính toán: m 1 = 4 kg, m 2 = 1 kg R = 0,2 m, l = 0,3 m c 1 = 40 N/cm, c 2 = 30 N/cm 2 k k 1 R 1 2 0,75l l A B C D  ϕ 1 ϕ 2 P Trả lời: 2. Lập phương trình chuyển động Áp dụng kết quả của Bài tập 2a ta có phương trình chuyển động       =       ϕ ϕ       − − +           ϕ ϕ         0 )t(RP 375,816240 240160 48 49 0 06 2 1 2 1 3. Giải bài toán trị riêng  ω 1 2 = 821,8267;  ω 2 2 = 14,84; 9 Tần số riêng: ω 1 = 28,6675 s -1 ω 2 = 3,8523 s -1 Véc tơ riêng       − = 6257,19 1 X )1(       = 2995,0 1 X )2( 4. Chuẩn hóa véc tơ riêng       − = 9823,0 0501,0 y )1(       = 1213,0 4052,0 y )2( 5. Xác định véc tơ lực suy rộng [ ]       =             =       == 2 )2( 21 )2( 1 2 )1( 21 )1( 1 2 1 )2( 2 )2( 1 )1( 2 )1( 1 )2()1( ,)( FyFy FyFy F F yy yy FyytFyQ T T       =       = ptcosH ptcosH ptcosRP4052,0 ptcosRP0501,0 Q 2 1 0 0 6. Phương trình vi phân chuyển động trong hệ tọa độ chính chuẩn ptHTT cos 11 2 1 1 =+ ω ptHTT cos 22 2 2 2 =+ ω Nghiệm cưỡng bức của phương trình pt p H T cos 2 2 1 1 1 − = ω pt p H T cos 2 2 2 2 2 − = ω Khi hệ chịu lực tĩnh P = P 0 ta có 10 [...]...0,001 / R = H1 2 ω1 ==> H1 = 0,001ω12 /R= 4,109 Nm H1 4,109 = P0 = 0,0494R 0,0501.0,2 = 410 N Vậy: H1 = 4,109 Nm H2 = 0,4052RP0 = 33,2264 Nm 7 Phương trình chuyển động của hệ trong hệ trục ϕ1 và ϕ2 (  ϕ1 ( t )   y11) =  ( 2)   ϕ 2 ( t )  y1 ( y (21)   T1   y11) T1 =  ( 2)   y (22 )  T2   y1 T1 y (21) T2   y (22) T2   ϕ1 ( t )  0,0501T1 . trình dao động cưỡng bức của hệ: y3833,0y946,0y60 ++ = cos(2πt) 4 Bài tập 2: 2. Tham khảo bài tập bên dưới 3. Đề xuất mô hình DOF=1, lập phương trình và tính đáp ứng a. Khảo sát dao động. Bài tập 1: 1. Tham khảo bài tập bên dưới 1. Đề xuất mô hình DOF=2, lập hệ phương trình và tính đáp ứng Khảo sát dao động cưỡng bức của hệ 1 bậc tự do: Cơ hệ cho trên hình gồm 2 vật 1 và. riêng       − = 6257,19 1 X )1(       = 2995,0 1 X )2( Dạng dao động riêng Dao động chính thứ nhất: ϕ (1) (t) = C 1 cos(28,4902t + φ 1 ) ϕ (1) (t) = -19,6257C 1 cos(28,4902t + φ 1 ) Dao động chính thứ hai: ϕ (2) (t) = C 2 cos(3,8324t