Giảng viên: Chu Bình Minh Bài giảng Xác suất thống kê Nam Dinh,Februay, 2008 PHẦN 2 THỐNG KÊ TOÁN CHÖÔNG 5: LYÙ THUYEÁT ÖÔÙC LÖÔÏNG BÀI TOÁN: Cho biến ngẫu nhiên gốc X với quy luật phân phối xác suất đã biết song chưa biết tham số θ. Ta phải ước lượng cho tham số θ. 1 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC ĐIỂM 1.1 KHÁI NIỆM Từ biến ngẫu nhiên gốc X ta lập mẫu ngẫu nhiên   = ( 1 ,  2 , ,   ) Và từ mẫu này ta xây dựng thống kê   = ( 1 ,  2 , ,   ) Nếu ta sử dụng thống kê   để ước lượng cho  thì ta gọi là ước lượng điểm. Có rất nhiều cách để ước lượng cho  nhưng trong phạm vi bài giảng này chỉ trình bày loại ước lượng đơn giản nhất và ước lượng hiệu quả nhất. 1.2 ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH Khi dùng thống kê   để ước lượng cho  ta không thể căn cứ vào một vài trường hợp cụ thể mà kết luật được mà cần phải dựa vào giá trị trung bình của nó, do vậy ta có định nghĩa: Định nghĩa Thống kê   gọi là ước lượng không chệch của ếu   = . Ngược lại gọi là ước lượng chệch. 1.2 ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH Ví dụ Cho X là biến ngẫu nhiên gốc X có quy luật (,  2 ), hãy tìm các ước lượng không chệch của  và  2 . Giải Từ X ra rút ra mẫu = ( 1 ,  2 ,  3 ,  4 ,  5 ), dựa vào thống kê này ta có thể đưa ra các ước lượng không chệch cho  và  2 như sau: 1, Đối với   1  =   =  1 +  2 +  3 +  4 +  5 5 Do  1  =   =  nên  1  là ước lượng không chệch của  1.2 ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH Hoặc  2  =  1 + 3 2 + 4 3 +  4 +  5 10 Do  2  =  nên  2  là ước lượng không chệch khác của  2, Đối với  2 ta có  3  =  2 = 1 4         2 5 =1 Do  3  =  2 nên  3  là ước lượng không chệch của  2 . 1.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ Như ví dụ trên ta thấy rằng một tham số  có thể có nhiều ước lượng không chệch như  1  ,  2  nên một câu hỏi tự nhiên đặt ra là trong hai ước lượng không chệch của  thì ước lượng nào tốt hơn. Mặt khác ta chú ý rằng nếu   để ước lượng không chệch cho  không có nghĩa là mọi giá trị của   đều trùng khít với  mà chỉ có nghĩa rằng trung bình các giá trị của   bằng . Do đó ta có thể coi ước lương không chệch nào của  mà có trung bình của bình phương độ lệch so với  bé hơn thì tốt hơn, nghia là ta so sánh 2 giá trị ( 1   ) 2 và ( 2   ) 2 để tìm ước lượng tốt hơn. Nhưng: ( 1   ) 2 = ( 1    1  ) 2 =  1  , ( 2   ) 2 =  2  Nên ta có định nghĩa: 1.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ Định nghĩa Cho  1  và  2  là hai ước lượng không chệch của . Nếu  1  <  2  thì ta nói  1  là ước lượng hiệu quả hơn  2  . Nếu thống kê  1  là ước lượng không chệch của  có  1  nhỏ nhất thì ta nói  1  là ước lượng hiệu quả nhất của . [...]... lượng cho θ thì ta không thể đánh giá được sai số 𝜃 − 𝜃 nên ước lượng điểm không được sử dụng nhiều trong thực tế Người ta thường dùng một khoảng giá trị để ước lượng cho θ, ước lượng như thế gọi là ước lượng khoảng sẽ được trình bày sau đây 2 PHƯƠNG PHÁP ƯỚC LƯỢNG BẰNG KHOẢNG TIN CẬY 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG a, ĐỊNH NGHĨA Khoảng (𝐺1 , 𝐺2 ) của thống kê G gọi là khoảng tin cậy của tham số θ nếu với xác. .. khoảng tin cậy của tham số θ nếu với xác suất bằng (1 − 𝛼) cho trước thoả m ãn điều kiện: 𝑃 𝐺1 < 𝜃 < 𝐺2 = 1 − 𝛼 Xác suất (1 − 𝛼) gọi là độ tin cậy của ước lượng, còn khoảng 𝐼 = 𝐺2 − 𝐺1 gọi là độ dài khoảng tin cậy 2.1 PHƯƠNG PHÁP CHUNG b, CÁC BƯỚC TIẾN HÀNH TÌM KHOẢNG (𝐺1 , 𝐺2 ) Từ tổng thể lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: 𝑊𝑛 = (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 ) Và từ đó xây dựng thống kê 𝐺 = 𝑓(𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 , 𝜃)... Nếu yêu cầu độ chính xác của ước lượng là 0,1 và giữ nguyên độ tin cậy 1 − 𝛼 thì phải điều tra một mẫu kích thước bằng bao nhiêu? 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Giải a, X là trong lượng của sản phẩm 𝑋~𝑁 𝜇, 𝜎 2 , 𝜎 = 1 1 − 𝛼 = 0,95 ⟹ 𝛼 = 0,05 𝑢 𝛼/2 = 𝑢0,025 = 1,96 n = 25, 𝑥 = 19,64 Khoảng tin cậy là 1 1 19,64 − 1,96; 19,64 + 1,96 5 5 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN... ra 𝑃 𝐺1 < 𝜃 < 𝐺2 = 1 − 𝛼 hay (𝐺1 , 𝐺2 ) chính là khoảng ước lượng cần tìm 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Giả sử trong tổng thể biến ng ẫu nhiên gốc X có phân phối chuẩn 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ) nhưng chưa biết tham số μ Để ước lượng μ, từ tổng thể ta lập mẫu ngẫu nhiên kích thước n: 𝑊𝑛 = (𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋 𝑛 ) Để chọn thống kê G cho thích hợp ta xet hai trường hợp sau: a, Đã... 𝑋 − 𝜀, 𝑋 + 𝜀 được gọi là độ chính xác - Khoảng tin cậy bên phải: 𝛼1 = 0, 𝛼2 = 𝛼 thì 𝑢 𝛼 1 = 𝑢0 = +∞ và do đó khoảng tin cậy là 𝜎 𝑋− 𝑢 𝛼 , +∞ 𝑛 Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối thiểu của μ - Khoảng tin cậy bên trái: 𝛼1 = 𝛼, 𝛼2 = 0 thì 𝑢 𝛼 2 = 𝑢0 = +∞ và do đó khoảng tin cậy là 𝜎 −∞, 𝑋 + 𝑢𝛼 𝑛 Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của μ 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN...1.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ Ví dụ Cho X là biến ngẫu nhiên gốc X có quy luật 𝑁(𝜇, 𝜎 2 ), từ X ra rút ra mẫu 𝑊 = (𝑋1 , 𝑋2 , 𝑋3 , 𝑋4 , 𝑋5 ) Như trên ta có 𝑋1 + 𝑋2 + 𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5 𝜃1 = 𝑋 = , 𝜃2 5 𝑋1 + 3𝑋2 + 4𝑋3 + 𝑋4 + 𝑋5 = 10 Là 2 ước lượng không chệch của μ nhưng do 𝐷𝜃1 = 𝐷𝜃2 = 28𝜎 2 100 nên 𝜃1 là ước lượng hiệu quả hơn 𝜃2 𝜎2 5 < Chú ý - Trong thực tế do tham số θ chưa biết nên nếu ta dùng một giá trị 𝜃 để ước. .. của μ là: 𝑔1 , 𝑔2 = 𝑥− 𝜎 𝑛 𝑢 𝛼2 , 𝑥 + 𝜎 𝑛 𝑢 𝛼1 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Chú ý Cùng với độ tin cậy 1 − 𝛼 thì khoảng tin cậy nào ngắn hơn sẽ tốt hơn, trong trường hợp này khoảng tin cậy đối xứng sẽ ngắn nhất và có độ dài 𝐼 = 2𝜀 Nếu bài toán cho trước độ dài đoạn tin cậy (độ chính xác 𝜀) yêu cầu xác định kích thước tối thiểu của mẫu n với độ tin cậy 1 − 𝛼 thì... 𝑆 (𝑛−1) −∞, 𝑋 + 𝑡𝛼 𝑛 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI Biểu thức trên dùng để ước lượng giá trị tối đa của μ Từ mẫu cụ thể 𝑤 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 ) và từ đó ta tìm được giá trị cụ thể của trung bình mẫu 𝑥 Lúc đó với độ tin cậy 1 − 𝛼 , qua một mẫu cụ thể, khoảng tin cậy của μ là: 𝑔1 , 𝑔2 = 𝑥 − 𝑆 𝑛 (𝑛 −1) 𝑡 𝛼2 , 𝑥+ 𝑆 (𝑛−1) 𝑛 𝑡 𝛼1 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU... 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI b, Chưa biết phương sai 𝜎 2 của biến ngẫu nhiên gốc X trong tổng thể và 𝑛 ≤ 30 Chọn thống kê 𝑋− 𝜇 𝐺= 𝑇= 𝑆 𝑛 ~ 𝑇(𝑛 − 1) với độ tin cậy (1 − 𝛼) cho trước có thể tìm được cặp giá trị 𝛼1 , 𝛼2 sao cho 𝛼1 + 𝛼2 = 𝛼 và tương ứng ta tìm được cặp giá trị (𝑛−1) (𝑛−1) 𝑡1−𝛼 1 , 𝑡 𝛼 2 thoả mãn: (𝑛−1) = 𝛼1 (𝑛−1) 𝑡 𝛼2 = 𝛼2 𝑃 𝐺 < 𝑡1−𝛼 1 𝑃 𝐺> 2.2 ƯỚC... 𝑆 (𝑛−1) 𝑋− 𝑡 𝛼2 , 𝑋 + 𝑡 𝛼1 𝑛 𝑛 2.2 ƯỚC LƯỢNG KỲ VỌNG CỦA BIẾN NGẪU NHIÊN TUÂN THEO QUY LUẬN PHÂN PHỐI 𝛼 - Khoảng tin cậy đối xứng: 𝛼1 = 𝛼2 = ta có khoảng tin cậy 2 𝑋 − 𝜀, 𝑋 + 𝜀 𝑆 (𝑛−1) với 𝜀 = 𝑡 𝛼/2 được gọi là độ chính xác 𝑛 - Khoảng tin cậy bên phải: 𝛼1 = 0, 𝛼2 = 𝛼 thì 𝑢 𝛼 1 = 𝑢0 = +∞ và do đó khoảng tin cậy là 𝑆 (𝑛 −1) 𝑋− 𝑡𝛼 , +∞ 𝑛 Biểu thức trên dùng đ ể ước lượng giá trị tối thiểu của μ - Khoảng . dụng thống kê   để ước lượng cho  thì ta gọi là ước lượng điểm. Có rất nhiều cách để ước lượng cho  nhưng trong phạm vi bài giảng này chỉ trình bày loại ước lượng đơn giản nhất và ước lượng. 1.3 ƯỚC LƯỢNG HIỆU QUẢ Định nghĩa Cho  1  và  2  là hai ước lượng không chệch của . Nếu  1  <  2  thì ta nói  1  là ước lượng hiệu quả hơn  2  . Nếu thống kê  1  là ước. nó, do vậy ta có định nghĩa: Định nghĩa Thống kê   gọi là ước lượng không chệch của ếu   = . Ngược lại gọi là ước lượng chệch. 1.2 ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH Ví dụ Cho X là biến ngẫu