PHỤ LỤC MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ VÀ GIẢI TÍCH TEN XƠ 1.CÁC KHÁI NIỆM VỀ VÉC TƠ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ 1.1 Hệ toạ độ biến đổi toạ độ Hệ toạ độ Trong hình học Ơclit cho đại lượng y , y , y các toạ độ hệ Đề-các trực giao Các đại lượng α x = α x (y , y , y ) (1) xác định toạ độ cong x α trong miền V hàm (1) cho phép biến đổi nghịch đảo α y = α y (x , x , x ) (2) Mặt x α = const gọi mặt tạo độ đường cong mà có toạ độ biến đổi gọi đường toạ độ x3 e3 e M e2 x2 O x1 Hình Hệ toạ độ véc tơ sở hệ toạ độ 203 Cho điểm cố định O gốc toạ độ bán kính véc tơ OM , người ta đưa định nghĩa véc tơ sở e , e , e sau: eα = ∂OM (3) α ∂x Theo định nghĩa hình học giải tích véc tơ tiếp tuyến với đường toạ độ x α điểm M Đối với véc tơ a ta phân tích dạng thành phần thông qua véc tơ sở: a =a e +a e +a e 1 2 3 eα Bên cạnh véc tơ sở tơ sở α e người ta đưa định nghĩa đối véc theo mối tương quan hàm sau: eα e = δ α α β δ β α ⎧0 ↔ α ≠ β =⎨ ⎩1 ↔ α = β Trong trường hợp véc tơ a ta phân tích dạng thành α e phần thơng qua véc tơ sở sau: α a = a e + a e + a e = aα e Các thành phần a α gọi thành phần covariant a α tương ứng contrecovariant Đối với hệ toạ độ Đề-các thành phần hồn tồn tương đương Trong cơng thức có chứa tích số hạng kèm theo số, số trùng tổng thành phần với số biến đổi từ đến Tại điểm M từ hai hệ véc tơ sở ta thu ma trận đối xứng: mαβ = eα eβ αβ m α =e e β 204 Từ biểu thức ta có: α α α α β mαβ a = eα eβ a = a eα eβ = a eβ = aα e eβ = a β e eβ = aβ tương tự αβ α m aβ = a αβ α α m eβ = e , mαβ e = eβ , Đồng thời ta thu được: ωβ mαβ m = δ α ω mαβ điều cho ta thấy hai ma trận ωβ m nghịch đảo Trên sở định nghĩa hệ nêu đưa biểu thức tích vơ hướng hai véc tơ sau: α a b = mαβ a b β αβ =m aα bβ = aα b β Ta viết cơng thức tính khoảng cách hai điểm M’(x α +dx α ) M(x α ), biết ds = OM ' − OM = ∂OM d = d ∂ xα xα eα xα từ ds = mαβ d α x dx β Biến đổi toạ độ Cho miền V nêu ta xác định hệ toạ độ khác liên quan tới x α theo hệ thức mới: α' x = α' x (x , x , x ) α x = α 1' 2' 3' x (x , x , x ) (4) Như tương tự ta thu véc tơ sở ma α' α' α 'β ' trận sở tương ứng eα ' , e , mα 'β ' , m với thành phần véc tơ a , aα ' 205 Dựa vào định nghĩa véc tơ sở ta có biểu thức liên quan hai hệ toạ độ nêu eα ' = α = α' ∂x ∂OM ∂ x = ∂OM ∂OM ∂ x α α' ∂x ∂x α = ∂x α' ∂x eα (5) ngược lại α' ∂OM eα = α ∂x α' ∂x α ∂x α' = ∂x α ∂x eα (6) ' Tuy thành phần toạ độ véc tơ phụ thuộc vào hệ toạ độ lựa chọn, thân véc tơ không đổi véc tơ ta có: a = aα eα = aα eα ' ' Sử dụng cơng thức (6) ta có: α' a α' = ∂x α ∂x α a (7) hoàn toàn tương tự α aα ' = ∂x α' ∂x aα (8) Như hai hệ toạ độ nêu tồn ma trận chuyển đổi A sau: α Aα ' α = ∂x α' ∂x α' Aα = ∂ α' ∂x α x Các công thức (7) (8) điều kiện để tập hợp số α a , aα α' a , aα thành phần véc tơ a ' Để làm rõ điều dẫn ví dụ chứng minh ba đại lượng đạo hàm riêng theo biến toạ độ đại lượng vô hướng ϕ thành phần véc tơ Ta viết 206 α ∂ϕ = α' ∂x ∂ϕ ∂ x α α' ∂x ∂x α = ∂x ∂ϕ α' α ∂x ∂x α' ∂ϕ α ∂x = ∂ϕ ∂ x α' α ∂x ∂x α' = ∂x ∂ϕ α α' ∂x ∂x Như chúng hoàn toàn tuân theo điều kiện (7) (8) đại ∂ϕ lượng thành phần véc tơ, véc tơ gọi gradient α ∂x hàm vô hướng ϕ thông thường viết dạng sau: ∇ϕ = ∂ϕ ∂ϕ e +∂ e ∂x x + ∂ϕ ∂x 3 e = ∂ϕ α α ∂x e Phụ thuộc vào tính chất tốn người ta chọn toạ độ covariant contrecovariant 2.TEN-XƠ VÀ MỘT SỐ PHÉP TÍNH TỐN TEN-XƠ 2.1 Định nghĩa ten-xơ Trong nghiên cứu giải toán vật lý học, khái niệm đại lượng vô hướng véc tơ chưa cho phép mô tả đầy đủ tất yếu tố đặc trưng Ví dụ, véc tơ lực tác động lên bề mặt điểm M, ta cần phải biết véc tơ pháp tuyến bề mặt điểm Chúng ta biết lực tác động lên bề mặt theo hướng x α xác định theo véc tơ sức căng hay áp lực theo hướng đó: F α = α pn = α pβn β = α α α p n+p n+p n 1 2 3 Như để xác định đầy đủ lực mặt tác động lên điểm M bề mặt ta cần đại lượng α p β Chín đại lượng viết hệ toạ độ x α ’ theo quy luật trình bày công thức (7) (8) sở cho thành phần véc tơ thay đổi phụ thuộc vào hệ toạ độ thân véc tơ lại không đổi: 207 α' pβ ' α' = β α β' ∂x ∂x ∂x ∂x α pβ Điều hoàn toàn tương tự phép chuyển đổi ngược lại hệ toạ độ Tương tự đưa định nghĩa véc tơ tập hợp đại lượng a α , ngời ta đưa khái niệm ten-xơ bậc hai cho đại lượng α pβ Thông thường ten-xơ bậc hai viết dạng p Điều áp dụng 27 đại lượng α 'β ' qγ ' αβ qγ : α' = β γ α β' γ' ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x αβ qγ (10) thành phần ten-xơ bậc ba Điều kiện tương tự (10) sở để đưa định nghĩa ten-xơ bậc khác nhau, ta dễ dàng nhận thấy đại lượng vô hướng ten-xơ bậc không véc tơ ten-xơ bậc 2.2 Một số tính chất ten-xơ a Hai ten-xơ xem hệ toạ độ thành phần tương ứng ten-xơ b Ten-xơ xem đối xứng theo cặp số tương ứng αβ βα hốn vị chúng thành phần khơng thay đổi giá trị: A = A Nếu hốn vị thành phần đổi dấu mà khơng thay đổi giá trị αβ βα tuyệt đối ten-xơ gọi bất đối xứng: A = − A c Tổng hai ten-xơ loại xác định theo công thức sau: α α α C βγ = A βγ + B βγ d Tích hai ten-xơ A B ten-xơ C có thành phần sau: γνμ Cαβ .ω = γ νμ Aαβ B ω 208 e Khi có số trùng biểu thức tổng theo số kết cho ta ten-xơ mới: βλ Aν f αβλ Aνα = Với ten-xơ B ta có: α Aβγ B βγ =C α với C ten-xơ đại lượng α Aβγ thành phần ten-xơ A 2.3 Một số ten-xơ đặc trưng Ten-xơ δ a Dựa vào phép biến đổi công thức liên quan tới thành phần δ α β ta có: α β' α' β ∂x ∂x ∂x ∂x δ β α β = β' α' β ∂x ∂x ∂x ∂x = δ α ' = β' β' β β α' ∂x ∂x ∂x ∂x (trong biến đổi cho số α = β thành phần Hồn tồn tương tự viết cơng thức δ β α α = α β α β ) : α' α' δ δ β ∂x ∂x ∂x ∂x Như theo định nghĩa δ ten-xơ b Ten-xơ metric m Chúng ta chứng minh cách hoàn toàn tương tự công thức ωβ thành phần mαβ m dẫn 209 Ten-xơ ε c Ten-xơ ε xác định thành phần theo công thức sau: ε αβγ = e ,ε αβγ = m αβγ m eαβγ đó: m định thức ma trận αβγ e ⎧0 ⎪ = ⎨1 ⎪− ⎩ mαβ : m = mαβ , (i ) (ii ) (iii ) với điều kiện tương ứng: (i) hai số nhau; (ii) số tạo thành hoán vị chẵn 1,2,3 (iii) – ba số tạo thành hoán vị lẻ 1,2,3 Dựa vào định nghĩa ta chứng minh tích véc tơ hai véc tơ véc tơ Thực vậy: a ×b α = (a eα ) × (b eβ ) = ε αβγ a b eα β β γ Trong biến đổi sử dụng định nghĩa tích hỗn hợp ba véc tơ (a b c ) = ε α αβγ β γ abc định nghĩa véc tơ sở: e ×e = (e1 e2e3)e e × e = (e e e )e e ×e 2 3 = (e1 e2e3)e 210 MỘT SỐ QUY TẮC VÀ PHÉP TÍNH TEN-XƠ 3.1 Đạo hàm a Đạo hàm tổng ten-xơ tổng đạo hàm b Đạo hàm tích tuân theo quy luật sau: ∇χ (A α β B μ ) = (∇χ A β )B μ + A β (∇χ B μ ) γ α γ α γ Đạo hàm ten-xơ m , δ , ε không c 3.2 Một số toán tử đạo hàm ten-xơ a Divergence (div) α div(a ) = ∇α a = γ Γαβ α ∂a α ∂x α ( ∂ β + Γαβ a = α m ∂x α ma ) ký hiệu Cristofel: ∂eα γ Γαβ eγ = ∂ x β hay γ Γαβ = γχ ⎛ ∂ mχα ∂ mχβ ∂ mαβ ⎞ ⎟ ⎜ + + α χ ⎟ m ⎜ ∂ xβ ∂x ∂x ⎠ ⎝ Như div véc tơ đại lượng vơ hướng áp dụng tốn tử div ten-xơ bậc hai cho ta véc tơ: αβ ∇α a αβ = ∂a χ α ∂x αβ β + Γ χα a + Γ χν a χν = ∂ α m ∂x b Gradient 211 ( αβ ma )+ Γ β νμ νμ a Như trình bày phần trước gradient đại lượng vơ hướng véc tơ Có thể viết dạng khai triển sau: ∇ϕ = ∇α ϕ α e αβ =m ∂ϕ α ∂x eβ Như áp dụng toán tử gradient làm tăng bậc ten-xơ, gradient véc tơ ten-xơ bậc hai với thành phần ∇a ∇α a β c Laplace Laplace đại lượng vô hướng đại lượng vô hướng Δ ϕ = m ∇α ∇β ϕ = m αβ αβ ∂2 ϕ αβ α ∂x ∂x β −m ⎡ ∂ ⎤ ∂ ⎢ αβ ϕ ⎥ = div ∇ϕ mm χ β m ∂x ⎢ ∂x ⎥ ⎣ ⎦ ∂ϕ Γαβ ∂ x χ = ( ) = χ Laplace véc tơ véc tơ: Δ a = ∇(div a ) − rot (rot a ) , rot véc tơ hình thành từ ten-xơ bất đối xứng sau đây: ∇α a β − ∇β aα Các thành phần véc tơ rot xác định sau: ω α = αβγ (∇β aγ − ∇γ 2ε aβ ) = ε αβγ ∇β aγ Với α = 1, ta thu thành phần thứ véc tơ rot: ω = ( ∂ a3 m ∂ x2 − ∂ a2 ∂ x3 ) thành phần thứ xốy vận tốc a 3.3 Một số thí dụ tính toán ten-xơ hệ toạ độ trực giao Theo định nghĩa, hệ toạ độ trực giao ta có: 212 ⎧ ⎪0 = eie j = ⎨ ⎪hi ⎩ m ij i≠ j i= j h i độ dài véc tơ sở tương ứng thường đợc gọi hệ số Lamê Hệ số xác định từ ten-xơ m sau: h= m i ii Khi chuyển từ hệ toạ độ Đề α ’ sang hệ toạ độ α ta có: α mα β α' = ' ' β β' ∂x ∂x ∂x ∂x mαβ từ i=j α m ii = α i i ∂x ∂x ∂x ∂x Sử dụng kết đưa ví dụ cơng thức tính div: div a ∧ ∧ ∧ ⎧ ⎛ ⎛ ⎞⎫ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ h h a ⎟ ∂⎜ h h a ⎟ ∂⎜ h1 h2 a ⎟ ⎪ ⎪ ∂⎜ ⎟ ⎜ 2⎟ ⎜ 3⎟ ⎪ ⎝ ⎠+ ⎝ ⎠+ ⎝ ⎠⎪ = ⎬ ⎨ ∂x ∂x h1 h2 h3 ⎪ ∂ x ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ ∧ aα thành phần véc tơ a theo véc tơ sở xác định theo công thức sau: u = m 11 e, u = m e, u = 22 Có thể viết biểu thức div m e 33 a cho hệ toạ độ cầu sở công thức Chúng ta biết tương quan toạ độ Đề toạ độ cầu mô tả sau: 213 = r sin θ cos ϕ = r sin θ sin ϕ = r cos θ x x x Ta tìm giá trị hệ số Lamê theo định nghĩa: h1 = 1, h2= r, h3 = r sin θ Như vận tốc hệ toạ độ cầu là: 1' v1 = vr = h1 ∂x v2 = vθ = h2 v3 = vϕ = h3 = ∂t ∂x ∂t ∂t 2' ∂t ∂x ∂r 3' =r ∂θ ∂t = r sinθ ∂ϕ ∂t div divv ( ⎡ ∂ r vr = 2⎢ r ⎢ ∂r ⎣ )⎤ + ⎥ ⎥ ⎦ r ∂ vϕ 1 + sinθ ∂ ϕ r sinθ ⎡ ∂ ⎢ (sinθ ⎢ ∂θ ⎣ ⎤ vθ ⎥ ⎥ ⎦ Hồn tồn tương tự ta viết phương trình thuỷ nhiệt động lực hệ toạ độ khác sử dụng công thức tốn tử giả tích ten-xơ 214 ... αβγ e ⎧0 ⎪ = ⎨1 ⎪− ⎩ mαβ : m = mαβ , (i ) (ii ) (iii ) với điều kiện tương ứng: (i) hai số nhau; (ii) số tạo thành hoán vị chẵn 1,2,3 (iii) – ba số tạo thành hoán vị lẻ 1,2,3 Dựa vào định nghĩa... 2 3 = (e1 e2e3)e 210 MỘT SỐ QUY TẮC VÀ PHÉP TÍNH TEN-XƠ 3.1 Đạo hàm a Đạo hàm tổng ten-xơ tổng đạo hàm b Đạo hàm tích tuân theo quy luật sau: ∇χ (A α β B μ ) = (? ??χ A β )B μ + A β (? ??χ B μ ) γ α... định đầy đủ lực mặt tác động lên điểm M bề mặt ta cần đại lượng α p β Chín đại lượng viết hệ toạ độ x α ’ theo quy luật trình bày công thức (7 ) (8 ) sở cho thành phần véc tơ thay đổi phụ thuộc