Đang tải... (xem toàn văn)
sơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại họcsơ đồ tư duy, các hướng tư duy và vận dụng giải toán Oxy đại học
GI I ðÁP TOÁN C P – THI ð I H C CÁC HƯ NG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I TRONG HÌNH H C OXY Biên so n: Thanh Tùng CÁC BÀI TOÁN TRONG TAM GIÁC, T GIÁC CÁC BÀI TOÁN V ðƯ NG TH NG CÁC BÀI TỐN V ðƯ NG TRỊN CÁC BÀI TỐN V ELIP BÀI TỐN TÌM ðI M *) Tóm t t lý thuy t đ y đ theo m t trình t logic có h th ng *) ðưa hư ng tư phương pháp gi i khái quát cho t ng l p toán *) Có tốn m u minh h a kèm *) Ph n t p áp d ng có g i ý *) L i gi i chi ti t cho t ng toán c th HÀ N I 03/2013 CÁC HƯ NG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I HÌNH H C OXY A KI N TH C CƠ B N B CÁC BÀI TOÁN BÀI TỐN 1: BÀI TỐN TÌM ðI M ð hi u rõ cho hư ng tư tương ng v i TH c a Bài toán 1: “Bài Tốn Tìm ði m” th y s dùng thi ð i H c năm 2012 v a qua ñ minh h a 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vng ABCD G i M trung m c a c nh BC, N ñi m c nh CD cho 11 ; đư ng th ng AN có phương trình x − y − = Tìm t a đ m A 2 CN = 2ND Gi s M 2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho đư ng trịn (C ) : x + y = Vi t phương trình t c c a elip (E), bi t r ng (E) có đ dài tr c l n b ng (E) c t (C ) t i b n ñi m phân bi t t o thành b n ñ nh c a m t hình vng 3) (B – 2012:CB) Cho đư ng trịn (C1 ) : x + y = , (C2 ) : x + y − 12 x + 18 = ñư ng th ng d : x − y − = Vi t phương trình đư ng trịn có tâm thu c (C2 ) , ti p xúc v i d c t (C1 ) t i hai ñi m phân bi t A B cho AB vng góc v i d 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đư ng tròn ti p xúc v i c nh c a hình thoi có phương trình x + y = Vi t phương trình t c c a elip (E) ñi qua ñ nh A, B, C, D c a hình thoi Bi t A thu c Ox 5) (D – 2012:CB) Cho hình ch nh t ABCD Các đư ng th ng AC AD l n lư t có phương trình x + y = x − y + = ; ñư ng th ng BD ñi qua ñi m M (− ;1) Tìm t a đ đ nh c a hình ch nh t ABCD 6) (D – 2012 :NC) Cho ñư ng th ng d : x − y + = Vi t phương trình đư ng trịn có tâm thu c d , c t tr c Ox t i A B, c t tr c Oy t i C D cho AB = CD = 1) (A, A1 – 2012:CB) Cho hình vng ABCD G i M trung ñi m c a c nh BC, N ñi m c nh CD cho 11 ; ñư ng th ng AN có phương trình x − y − = Tìm t a đ m A 2 CN = 2ND Gi s M Cách Phân tích: : +) Ta có { A} = AN ∩ AM nên Theo hư ng tư (TH1) ta ph i l p thêm phương trình AM +) Bi t M chưa bi t A (chính đáp s ta c n tìm) nên ta ph i tìm thêm vtpt ho c vtcp +) Bài tốn khơng có y u t song song, vng góc đ tìm vtpt ho c vtcp nên ta ph i khai thác yt ñ nh lư ng ( uuuu uuur r +) Y u t ñ nh lư ng: cos ∠MAN = cos nAM , nAN uuuu r ) ⇒n AM ⇒ phương trình AM → t a đ ñi m A Gi i: ð t AB = a ⇒ ND = a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vng CN = ND ) 3 Và áp d ng Pitago ta ñư c: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = AM + AN − MN 2 = AM AN uuuu r uuur uuuu uuur r G i nAM = (a; b) vtpt c a AM ta có nAN = (2; −1) ⇒ cos ∠MAN = cos nAM , nAN Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = ( ) 2a − b 3a = −b = ⇔ 2(2a − b) = 5(a + b ) ⇔ 3a − 8ab − 3b = ⇔ (3a + b)(a − 3b) = ⇔ 2 2 a + b +1 a = 3b uuuu r 11 1 +) V i 3a = −b ch n a = 1; b = −3 ⇒ nAM = (1; −3) ⇒ phương trình AM : x − − y − = 2 2 2 x − y − = x = ⇔ ⇒ A(1; −1) hay AM : x − y − = Vì { A} = AN ∩ AM nên ta gi i h : x − y − = y = −1 uuuu r 11 1 +) V i a = 3b ch n a = 3; b = ⇒ nAM = (3;1) ⇒ phương trình AM : x − + y − = 2 2 ⇔ 2 x − y − = x = ⇔ ⇒ A(4;5) 3x + y − 17 = y = hay AM : x + y − 17 = Vì { A} = AN ∩ AM nên ta gi i h : V y A(1; −1) ho c A(4;5) Cách 2: Phân tích: A ∈ AN nên Theo hư ng tư (TH2) ta g i A(t ) ∈ AN ta c n thi t l p phương trình f (t ) = (cịn d 11 ; trung ñi m c a BC ta chưa s d ng – s giúp ta làm ñi u này) → t = ? → A 2 ki n M Gi i: +) G i H hình chi u c a M lên AN ⇒ MH = d ( M , AN ) = ð t AB = a ⇒ ND = 11 − −3 2 22 + 12 = a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vng CN = ND ) 3 Và áp d ng Pitago ta ñư c: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = AM + AN − MN 2 = AM AN ⇒ ∠MAN = 450 ⇒ ∆MAH c n t i H ⇒ AM = MH = +) G i A(t ; 2t − 3) ∈ AN AM = 10 (*) = 2 45 (theo (*)) t = A(1; −1) 45 11 ⇔ t − 5t + = ⇔ ⇒ ⇔ t − + 2t − = 2 2 t = A(4;5) V y A(1; −1) ho c A(4;5) 2 Cách 3: 11 ; c ñ nh N u AM = h = const ( ta s tìm cách tính AM ) 2 Phân tích: A ∈ AN M Nên Theo hư ng tư (TH3) : { A} = AN ∩ (C ) v i (C ) ñư ng trịn tâm M bán kính R = h Gi i: +) G i H hình chi u c a M lên AN ⇒ MH = d ( M , AN ) = ð t AB = a ⇒ ND = 11 − −3 2 +1 2 = a 2a a ; NC = ; MB = MC = ( ABCD hình vng CN = ND ) 3 Và áp d ng Pitago ta ñư c: AM = a 5a a 10 AN = ; MN = Trong ∆AMN ta có: cos ∠MAN = AM + AN − MN 2 = AM AN ⇒ ∠MAN = 450 ⇒ ∆MAH c n t i H ⇒ AM = MH = 10 = 2 V y AM = 10 45 11 ⇒ A n m đư ng trịn có phương trình: x − + y − = 2 2 11 2 45 x = x = x− + y− = Mà A ∈ AN : x − y − = Nên ta xét h : ho c 2 2 ⇔ y = −1 y = 2 x − y − = V y A(1; −1) ho c A(4;5) Cách 4: (Các em có th tham kh o thêm cách gi i c a B Giáo D c cách gi i theo th y khơng đư c “t nhiên” nên th y khơng trình bày đây) 2) (A, A1 – 2012 :NC) Cho đư ng trịn (C ) : x + y = Vi t phương trình t c c a elip (E), bi t r ng (E) có đ dài tr c l n b ng (E) c t (C ) t i b n ñi m phân bi t t o thành b n ñ nh c a m t hình vng Phân tích: x2 y +) (E) có đ dài tr c l n b ng ⇒ 2a = ⇒ a = + = v y ta c n tìm a; b a b2 +) Theo Hư ng tư (TH4) ta g i A( x; y ) ( x > ) m t giao ñi m c a (E) (C ) : A ∈ (C ) ⇒ x + y = d ki n (E) c t (C ) t i b n ñi m phân bi t t o thành b n đ nh c a m t hình vng giúp ta thi t l p thêm phương trình: y = x (4 ñ nh n m hai ñư ng phân giác thu c góc ph n tư th nh t th hai – ta ch n ñi m +) Phương trình ( E ) : A( x; y ) ( x > ) thu c góc ph n tư th nh t) ⇒ t a ñ ñi m A Gi i: G i phương trình t c c a elip ( E ) có d ng: +) Mà A ∈ ( E ) ⇒ b → phương trình (E) x2 y + =1 a b2 +) (E) có đ dài tr c l n b ng ⇒ 2a = ⇒ a = +) G i A( x; y ) ( x > ) m t giao ñi m c a (E) (C ) Ta có: A ∈ (C ) ⇒ x + y = (1) M t khác: (E) c t (C ) t i b n ñi m phân bi t t o thành b n ñ nh c a m t hình vng ⇒ y = x (2) T (1) (2) ⇒ x = ⇒ x = (vì x > ) ⇒ y = ⇒ A(2; 2) +) Mà A ∈ ( E ) ⇒ 22 22 16 x2 y2 V y phương trình t c c a elip (E) là: + = ⇒ b2 = + =1 42 b 16 16 3) (B – 2012:CB) Cho ñư ng tròn (C1 ) : x + y = , (C ) : x + y − 12 x + 18 = ñư ng th ng d : x − y − = Vi t phương trình đư ng trịn có tâm thu c (C2 ) , ti p xúc v i d c t (C1 ) t i hai ñi m phân bi t A B cho AB vng góc v i d Phân tích: Mu n vi t phương trình đư ng trịn ta c n: +) Xác ñ nh tâm I (dùng Thu t Tốn Tìm ði m) Khi theo Hư ng tư (TH2) ta g i I (t ) ∈ II1 (Trư c ta l p phương trình II1 qua I1 vng góc v i AB (tính ch t đư ng n i tâm) hay song song v i d ) Và d ki n I ∈ (C2 ) giúp ta thi t l p đư c phương trình : f (t ) = → t = ? → t a ñ ñi m I ( Ta có th làm theo Hư ng tư (TH3) v i { I } = II1 ∩ (C2 ) → t a ñ I - cách trình bày khác c a TH2) +) Xác đ nh bán kính: R nh R = d (I , d ) Gi i: G i I tâm ñư ng trịn (C ) c n vi t phương trình Ta có (C1 ) : x + y = ⇒ tâm c a (C1 ) I1 (0;0) II1 ⊥ AB ⇒ II1 // d ⇒ phương trình II1 : x − y = AB ⊥ d Vì G i I (t ; t ) ∈ II1 mà I ∈ (C2 ) ⇒ t + t − 12t + 18 = ⇔ t − 6t + = ⇔ t = ⇒ I (3;3) Mà (C ) ti p xúc v i d ⇒ R = d ( I , d ) = 3−3+ +1 2 = 2 V y phương trình (C ) là: ( x − 3) + ( y − 3) = 4) (B – 2012 :NC) Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD đư ng trịn ti p xúc v i c nh c a hình thoi có phương trình x + y = Vi t phương trình t c c a elip (E) qua đ nh A, B, C, D c a hình thoi Bi t A thu c Ox x2 y + = (a > b > 0) v y ta c n tìm a; b a b2 +) Theo Hư ng tư (TH2) (E) ñi qua ñ nh A, B, C, D A ∈ Ox nên g i A( a; 0) ∈ Ox B (0; b) ∈ Oy Phân tích: +) Phương trình ( E ) : +) Khai thác d ki n: AC = 2BD → f1 (a, b) = (1) +) Khai thác d ki n: ñư ng tròn x + y = ti p xúc v i c nh c a hình thoi → f ( a, b) = (2) T (1) (2) → a = ? b = ? → phương trình (E) Gi i: G i phương trình t c c a elip ( E ) : x2 y2 + =1 ( v i a > b > ) a b2 Vì (E) qua đ nh A, B, C, D A ∈ Ox nên khơng m t tính t ng quát gi s : A( a; 0) B (0; b) Mà hình thoi ABCD có AC = 2BD ⇔ 2OA = 4OB ⇔ OA = 2OB ⇔ a = 2b (vì a > b > ) hay A(2b;0) , B (0; b) G i H hình chi u c a O lên AB ⇒ OH = R = ( đư ng trịn x + y = ti p xúc v i c nh c a hình thoi) 1 1 1 Xét tam giác OAB ta có: = + hay = + ⇔ b = ⇒ a = 4b = 20 2 OH OA OB 4b b x y2 V y phương trình t c c a elip ( E ) là: + =1 20 5) (D – 2012:CB) Cho hình ch nh t ABCD Các ñư ng th ng AC AD l n lư t có phương trình x + y = x − y + = ; ñư ng th ng BD ñi qua m M ( − ;1) Tìm t a đ đ nh c a hình ch nh t ABCD Cách 1: Phân tích: +) Theo Hư ng tư (TH1) : { A} = AC ∩ AD → t a ñ ñi m A +) Theo Hư ng tư (TH2) : D ∈ AD , B ∈ AB nên ta g i D (t1 ), B(t2 ) (trư c ta l p pt AB ) +) G i { I } = AC ∩ BD ( I trung ñi m c a AC BD ) ⇒ I (t1 , t2 ) mà I ∈ AC ⇒ f1 (t1 , t2 ) = (1) uuur uuuu r Vì MB, MD phương ⇒ f (t1 , t2 ) = (2) t1 = ? ⇒ t a ñ c a B, D, I C t2 = ? +) T (1) (2) ⇒ x + 3y = x = −3 ⇔ ⇒ A(−3;1) x − y + = y =1 Gi i: Vì { A} = AC ∩ AD nên xét h : x + y −1 = ⇔ x+ y+2=0 −1 t +t t −t +2 G i B (t1 ; −t1 − 2) ∈ AB D (t2 ; t2 + 4) ∈ AD ( t1 ; t2 ≠ −3 ) ⇒ I ; : trung ñi m c a BD t +t t −t + Mà I ∈ AC ⇒ + = ⇔ 2t2 − t1 + = ⇔ t1 = 2t2 + (*) 2 uuur uuuu r 10 Có: MB = t1 + ; −t1 − = 2t2 + ; −2t2 − (theo (*)) MD = t2 + ; t2 + 3 uuur uuuu r 6t + 10 −2t2 − M t khác B, D , M th ng hàng ⇒ MB , MD phương ⇒ = = −2 ⇔ t2 = −1 ⇒ t1 = 3t2 + t2 + AB qua A vng góc v i AD nên AB có phương trình: ⇒ B (1; −3), D(−1;3) I (0;0) ⇒ C (3; −1) ( I trung ñi m c a AC ) 5) (D – 2012:CB) Cho hình ch nh t ABCD Các đư ng th ng AC AD l n lư t có phương trình x + y = x − y + = ; ñư ng th ng BD ñi qua ñi m M ( − ;1) Tìm t a đ ñ nh c a hình ch nh t ABCD Cách 2: Phân tích: +) Theo Hư ng tư (TH1) : { A} = AC ∩ AD → t a đ m A +) Do tốn có nhi u tính ch t đ i x ng nên ta nghĩ t i vi c tìm m ph liên quan C th : +) Ta tìm ñi m N ñ i x ng v i M qua ñư ng trung tr c d c a AD b ng cách vi t pt d ' ñi qua M song song v i AD { N } = d '∩ AC ⇒ pt trung tr c d c a AD ⇒ t a ñ trung ñi m I , J c a AC AD ⇒ t a ñ C , D, B x + 3y = x = −3 ⇔ ⇒ A(−3;1) x − y + = y =1 Gi i: Vì { A} = AC ∩ AD nên xét h : − ( y − 1) = ⇔ 3x − y + = x = −1 x + 3y = 1 ⇔ G i { N } = d '∩ AC nên ta xét h : ⇒ N −1; 3 x − y + = y = G i d ñư ng trung tr c c a AD c t MN , AC , AD l n lư t t i H , I , J Phương trình c a d ' qua M song song AD có d ng: x + 5 5 5 ⇒ H , I , J l n lư t trung ñi m MN , AC , AD ⇒ H − ; ⇒ pt c a d : x + + y − = ⇔ x + y = 4 4 4 x + y = x = ⇔ ⇒ I ( 0;0 ) ⇒ C (3; −1) ( I trung ñi m c a AC ) Ta có: { I } = d ∩ AC nên ta xét h : x + 3y = y = x + y = x = −2 ⇔ ⇒ J ( −2; ) ⇒ D( −1;3) ( J trung ñi m c a AD ) { J } = d ∩ AD nên ta xét h : x − y + = y = ⇒ B (1; −3) ( I trung ñi m c a BD ) 6) (D – 2012 :NC) Cho ñư ng th ng d : x − y + = Vi t phương trình đư ng trịn có tâm thu c d , c t tr c Ox t i A B, c t tr c Oy t i C D cho AB = CD = 10 Ví d (B – 2010): Cho tam giác ABC vng t i A có đ nh C(– 4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y – = Vi t phương trình đư ng th ng BC, bi t di n tích tam giác ABC b ng 24 đ nh A có hồnh ñ dương Bài 18: Tam giác ABC cân t i A, bi t AB BC n m l n lư t ñư ng th ng d1 , d Bi t M ( x0 ; y0 ) ∈ AC Tìm t a đ đ nh Cách gi i: C2: +) Tìm {B} = d1 I d +) Vi t phương trình d qua M song song v i d +) Tìm {N } = d1 I d ⇒ phương trình trung tr c d c a MN ⇒ {A} = d I d1 +) Vi t phương trình AM ⇒ {C} = AM I d NH N XÉT: C2 hay C1 Bài t p áp d ng (Các em d a vào ý tư ng Bài 18 đ gi i ví d sau) Ví d 1: Cho tam giác ABC cân t i A có phương trình hai c nh BC, AB l n lư t là: x – 3y – = x – y – = ðư ng th ng AC qua M(–4; 1) Tìm t a đ ñ nh C 8 1 5 5 (ðs: C ; ) Ví d 2: Trong m t ph ng Oxy, xác ñ nh t a ñ ñ nh c a tam giác ABC vuông cân t i A Bi t r ng c nh huy n n m ñư ng th ng d: x + 7y – 31 = 0, ñi m N(7; 7) thu c ñư ng th ng AC, ñi m M(2; –3) thu c AB n m ngồi đo n AB (ðs: A( −1;1), B (−4;5), C (3; 4) ) Ví d 3: Cho tam giác ABC cân t i A có phương trình AB, BC l n lư t y + = x + y – = Tính di n tích 23 (ðs: S ∆ABC = ) tam giác ABC bi t AC ñi qua ñi m M(–1; 2) Ví d (A – 2010 – NC): Cho tam giác ABC cân t i A có đ nh A(6; 6); đư ng th ng ñi qua trung ñi m c a c nh AB AC có phương trình x + y – = Tìm t a đ đ nh B C, bi t ñi m E(1; - 3) n m ñư ng cao ñi qua ñ nh C c a tam giác ñã cho (ðs: B (0; −4), C ( −4;0) ho c B ( −6; 2), C (2; −6) ) Ví d (B – 2007): Cho ñi m A(2; 2) ñư ng th ng d1 : x + y – = 0, d : x + y – = Tìm t a đ m B C l n lư t thu c d1 d cho tam giác ABC vuông cân t i A (ðs: B (−1;3), C (3;5) ho c B (3; −1), C (5;3) ) 1 2 Ví d (B – 2011 – NC): Cho tam giác ABC có đ nh B ;1 ðư ng trịn n i ti p tam giác ABC ti p xúc v i c nh BC, CA, AB tương ng t i ñi m D, E, F Cho D(3; 1) đư ng th ng EF có phương trình y – = Tìm t a 13 ) 3 ( ðs: A 3; ñ ñ nh A, bi t A có tung ñ dương Bài 19: Các ñi m liên h v i b i m t n m t ñi u ki n v ñ nh lư ng Cách gi i: +) Khai thác d ki n tốn đ chuy n ñi m v n t (nh thu t tốn tìm m) +) Thi t l p phương trình: f (t ) = ⇒ t = ? ⇒ m c n tìm CHÚ Ý: Bài trư ng h p ñ c bi t c a Bài 19 ñi u ki n ñ nh lư ng ñi u ki n góc 900 (vng góc) Bài t p áp d ng (Các em d a vào ý tư ng Bài 19 ñ gi i ví d sau) Ví d 1: Cho tam giác ABC vng t i A Hai m A, B thu c tr c hồnh Phương trình c nh BC 4x + 3y – 16 = Xác ñ nh t a ñ tr ng tâm G c a tam giác ABC, bi t bán kính ñư ng tròn n i ti p tam giác ABC b ng 4 3 4 3 (ðs: G 2; ho c G 6; − ) Ví d (A – 2002): Cho tam giác ABC vng t i A, phương trình ñư ng th ng BC 3x − y − = , ñ nh A B thu c tr c hồnh bán kính đư ng trịn n i ti p b ng Tìm t a ñ tr ng tâm G c a tam giác ABC 7+4 6+2 −4 − −6 − ; ; ho c G ) 3 3 (ðs: G Ví d (D – 2008): Cho (P): y = 16 x ñi m A(1; 4) Hai ñi m phân bi t B, C (B C khác A) di đ ng (P) cho góc ∠BAC = 900 Ch ng minh r ng ñư ng th ng BC ln qua m t m c ñ nh (ðs: ñi m c ñ nh I(17; –4)) Ví d (A – 2006): Cho đư ng th ng: d1 : x + y + = 0, d : x – y – = 0, d : x – 2y = Tìm t a ñ ñi m M n m ñư ng th ng d cho kho ng cách t M ñ n ñư ng th ng d1 b ng hai l n kho ng cách t M ñ n ñư ng th ng d (ðs: M ( −22; −11) ho c M (2;1) ) Ví d (B – 2005): Cho hai ñi m A(2;0) B(6;4) Vi t phương trình đư ng trịn (C) ti p xúc v i tr c hồnh t i m A kho ng cách t tâm c a (C) ñ n ñi m B b ng (ðs: (C ) : ( x − 2) + ( y − 1) = ho c (C ) : ( x − 2) + ( y − 7) = 49 ) Ví d (A – 2005): Cho hai ñư ng th ng d1 : x – y = d2 : 2x + y – = tìm t a đ đ nh c a hình vng ABCD bi t r ng ñ nh A thu c d1 , ñ nh C thu c d2 ñ nh B, D thu c tr c hoành (ðs: A(1;1), B (0;0), C (1; −1), D (2;0) ho c A(1;1), B (2;0), C (1; −1), D (0;0) ) Ví d (D – 2006): Cho đư ng trịn (C ) : x + y − x − y + = ñư ng th ng d: x – y + = Tìm t a đ m M n m d cho ñư ng trịn tâm M, có bán kính g p đơi bán kính đư ng trịn (C), ti p xúc ngồi v i đư ng trịn (C) ( ðs: M (1; 4) ho c M (−2;1) ) Ví d (D – 2004): Cho tam giác ABC có đ nh A(-1; 0); B (4; 0); C(0;m) v i m ≠ Tìm t a đ tr ng tâm G c a 24 tam giác ABC theo m Xác ñ nh m ñ tam giác GAB vuông t i G 1 2 (ðs: G (1; m ), m = ±3 ) Ví d (B – 2002): Cho hình ch nh t ABCD có tâm I ;0 , phương trình đư ng th ng AB x – 2y + = AB = 2AD Tìm t a đ m A, B, C, D bi t r ng A có hồnh đ âm (ðs: A( −2;0), B (2; 2), C (3;0), D (−1; −2) ) D ng 2: Các toán v ñư ng th ng Lo i 1: ði qua m t ñi m th a mãn m t y u t ñ nh lư ng Cách gi i chung: C1: +) G i phương trình qua m M ( x0 ; y0 ) có h s góc k có d ng: y = k ( x − x0 ) + y0 hay kx − y + y0 − kx0 = ( ∆ ) +) Sau “c t nghĩa” d ki n v ñ nh lư ng đ thi t l p phương trình: f ( k ) = ⇒ k = ? ⇒ phương trình ∆ C2: r +) G i phương trình ñi qua ñi m M ( x0 ; y0 ) có vtpt n = ( a; b ) ( a + b ≠ ) có d ng: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = hay ax + by − ax0 − by0 = ( ∆ ) +) Sau “c t nghĩa” d ki n v ñ nh lư ng đ thi t l p phương trình: f (a, b) = → a = kb (*) a = ? ⇒ phương trình ∆ b = ? +) T (*) ch n CHÚ Ý: Chúng ta ñã s d ng cách Bài 18 Bài t p áp d ng Ví d 1: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho hai ñi m M(1; 4) N(6; 2) L p phương trình đư ng th ng ∆ qua M cho kho ng cách t N t i ∆ b ng (ðs: 21x − 20 y + 59 = x = 1) Ví d 2: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho hai ñi m A(1; 2) B(5; –1) Vi t phương trình đư ng th ng qua M(3; 5) cách ñ u A B (ðs: 3x + 4y – 29 = x = 3) Ví d 3: Trong m t ph ng Oxy, cho m M(1; 2) Vi t phương trình ñư ng th ng qua M c t Ox, Oy l n lư t t i hai ñiêm A, B cho OAB tam giác vuông cân (ðs: x + y – = x – y + = 0) Ví d 4: Trong m t ph ng Oxy, cho ñi m M(4; 3) Vi t phương trình đư ng th ng qua M cho t o v i hai tr c t a đ m t tam giác có di n tích b ng (ðs: x − y − = 3x – 8y + 12 = 0) Ví d 5: Trong m t ph ng Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 1), B(1; 7) C(-1; 0) Vi t phương trình đư ng th ng qua C chia tam giác thành hai ph n b ng nhau, ph n ch a ñi m A có di n tích g p đơi ph n ch a ñi m B (ðs: 6x – 5y + = 0) Ví d 6: Trong m t ph ng Oxy, cho ba ñi m A( - 1; 2), B(5; 4) M(2; 5) Vi t phương trình đư ng th ng ñi qua M cách ñ u hai ñi m A B (ðs: 5x – 3y + 13 = x = 2) Ví d 7: Trong m t ph ng Oxy, cho ñi m M(9; 4) Vi t phương trình đư ng th ng qua M, c t hai tia Ox tia Oy t i A B cho: 1) tam giác OAB có di n tích nh nh t (ðs: 4x + 9y – 72 = 0) 2) OB + OC nh nh t (ðs: 4x + 9y – 72 = 0) Ví d : Trong m t ph ng Oxy, cho hình thoi ABCD có c nh AB n m ñư ng th ng x – 2y + = ba ñi m M(–1; 4), N(1; 1), P(–3; 3) l n lư t thu c c nh BC, CD AD Vi t phương trình c nh AD (ðs: x + y − = ho c 11x − y + 39 = ) 25 CHÚ Ý: +) N u toán ñ c p t i ñi m A(a; 0) B(0; b) giao ñi m v i hai tr c t a đ em có th vi t phương trình đư ng th ng theo đo n ch n ñi qua AB: x y + =1 a b +) N u A(a; 0) , B(0; b) OA = a OB = b Lo i 2: C t đư ng trịn, Elip (xem D ng 3, D ng 4) D ng 3: Các toán v đư ng trịn Lo i 1: Vi t phương trình đư ng trịn xác đ nh y u t c a đư ng trịn Bài 1: Thi t l p phương trình đư ng trịn Cách gi i chung: C2: +) G i phương trình đư ng trịn có d ng x + y + ax + by + c = +) Tìm a, b, c nh “c t nghĩa” d ki n tốn Bài t p áp d ng Ví d 1: Vi t phương trình đư ng trịn: 1) đư ng kính AB v i A(3; 1) (B(2; – 2) 2) Có tâm I(1; – 2) ti p xúc v i ñư ng th ng d: x + y – = 3) Có bán kính b ng 5, tâm thu c tr c hồnh qua A(2; 4) 4) Có tâm I(2; – 1) ti p xúc ngồi v i đư ng trịn: ( x − 5) + ( y − 3) = 5) có tâm n m đư ng th ng ∆ ti p xúc v i hai tr c t a ñ Ox, Oy 6) qua A(–2; –1), B(–1; 4) C(4; 3) (đư ng trịn ngo i ti p tam giác ABC) 7) qua A(0; 2), B(–1; 1) có tâm n m đư ng th ng 2x + 3y = 8) qua A(5; 3) ti p xúc v i ñư ng th ng d: x + 3y + = t i ñi m T(1; –1) 9) N i ti p tam giác OAB bi t A(3; 0) B(0; 4) Ví d 2(A – 2007): Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(– 2; – 2) C(4; – 2) G i H chân ñư ng cao k t B; M N l n lư t trung ñi m c a c nh AB BC Vi t phương trình đư ng trịn qua ñi m H, M, N ( ðs: x + y + z − x + y − = ) x2 y2 + = G i F1 F2 tiêu m c a (E) ( F1 có hồnh ñ âm); M giao ñi m có tung ñ dương c a ñương th ng AF1 v i (E); N m đ i Ví d 3(B – 2010 – NC): Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho ñi m A(2; ) (E): 3 x ng c a F2 qua M Vi t phương trình đư ng trịn ngo i ti p tam giác ANF2 (ðs: ( x − 1) + y − = ) 26 Bài 2: Xác đ nh tâm bán kính L p phương trình ti p n c a đư ng trịn Cách gi i chung: *) Xác ñ nh tâm bán kính 2 a b + − c > : ði u ki n t n t i đư ng trịn 2 2 C2: S d ng h ng ñ ng th c (tách ghép) đưa đư ng trịn v d ng: ñó h > : ði u ki n t n t i đư ng trịn *) L p phương trình ti p n c a đư ng trịn uuu r C1: N u bi t ti p ñi m M ⇒ phương trình ti p n d c a (C) t i M nh n IM làm véc tơ pháp n C2: N u không bi t ti p m dùng u ki n : ∆ ti p n c a (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R Bài t p áp d ng Ví d 1: Cho ñư ng tròn (C): x + y − x + y − = 1) Tìm tâm bán kính c a (C) 2) Cho A(3; – 1) Ch ng minh A ñi m n m đư ng trịn Vi t phương trình ñư ng th ng qua A c t (C) theo m t dây cung có đ dài nh nh t 3) Cho d: 3x – 4y = Ch ng minh d c t (C) t i hai ñi m phân bi t M, N sau tính MN Ví d 2(Các tốn b n: Vi t phương trình ti p n t i m t m cho trư c, có phương cho trư c qua ñi m cho trư c) Vi t phương trình ti p n c a đư ng tròn: 1) ( x − 3) + ( y + 1) = 25 t i ñi m có hồnh đ b ng – 2) x + y + x − y − = t i m đư ng trịn c t tr c Ox 3) x + y = có h s góc b ng 4) x + y − y − 24 = bi t ti p n vuông góc v i đư ng th ng 3x – 4y + 2012 = 5) có tâm I(2; 1), bán kính R = qua m A(–1; 2) Lo i 2: S tương giao Lo i 2.1: S tương giao gi a ñư ng th ng đư ng trịn 27 Bài 1: Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ ñi qua M ( x0 ; y0 ) c t đư ng trịn (C) t i A, B cho AB = l Cách gi i uu r +) G i n∆ = (a; b) ⇒ phương trình ∆ : a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = ⇔ ∆ : ax + by − ( ax0 + by0 ) = a = ? ⇒ phương trình ∆ b = ? ∆ ) (C ) +) T (*) ta ch n : ( N u mu n tìm c th A, B ta gi i h : Bài t p áp d ng (Các em d a vào ý tư ng Bài ñ gi i ví d sau) Ví d 1: Cho ñư ng tròn (C ) : x + y − x + y − 12 = Vi t phương trình đư ng th ng ∆ ñi qua M(1; 3) c t (C) theo dây cung AB có đ dài b ng (ðs: x – y + = x + 41y – 124 = 0) Ví d (A – 2009 – NC): Cho đư ng trịn (C ) : x + y + x + y + = ñư ng th ng ∆ : x + my − 2m + = , 2 v i m tham s th c G i I tâm c a đư ng trịn (C) Tìm m đ ∆ c t (C) t i hai ñi m phân bi t A B cho (ðs: m = ho c m = di n tích tam giác IAB l n nh t ) 15 Ví d (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân t i A có đ nh A(–1;4) ñ nh B,C thu c ñư ng th ng ∆: x – y – = Xác ñ nh to ñ ñi m B C, bi t di n tích tam giác ABC b ng 18 11 11 ; , C ; − ho c B ; − , C ; ) 2 2 2 2 2 2 ( ðs: B Ví d 4(D – 2009 – NC): Cho đư ng trịn (C ) : ( x − 1) + y = G i I tâm c a (C) Xác ñ nh t a ñ ñi m M thu c (C) cho ∠IOM = 900 3 3 3 3 ho c M ; − ) 2 2 ( ðs: M ; Ví d 5: Cho đư ng trịn (C ) : x + y − x + y − 15 = G i I tâm đư ng trịn (C) Vi t phương trình ñư ng thăng ∆ qua M(1; –3) c t (C) t i A, B cho tam giác IAB có di n tích b ng c nh AB c nh l n nh t (ðs: 4x + 3y + = y + = 0) Ví d 6: Cho đư ng trịn (C ) : ( x − 1) + ( y − 2) = ñi m M(2; 1) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ qua M c t (C) t i ñi m A, B cho 1) Dây cung AB l n nh t 2) Dây cung AB ng n nh t (ðs: x + y – = 0) (ðs: x – y – = 0) Ví d 7: Cho đư ng tròn (C) : x + y = ðư ng tròn ( C’) tâm I(2;2) c t (C) t i ñi m A,B cho AB = Vi t phương trình đư ng th ng AB ( ðs: x + y + = ho c x + y − = ) 28 uu r Bài 2: Vi t phương trình đư ng th ng ∆ bi t n∆ = (a0 ; b0 ) (ho c ph i tìm nh quan h song song ho c vng góc) c t đư ng trịn (C) t i m phân bi t A, B th a mãn m t ñi u ki n v ñ nh lư ng Cách gi i: uu r +) Phương trình ∆ có n∆ = (a0 ; b0 ) : a0 x + b0 y + m = ⇒ y = − a0 x − m −m (*) (n u b0 = ⇒ x = ) b0 a0 +) Thay (*) vào phương trình ñư ng tròn (C) ⇒ ax + bx + c = (2*) (phương trình ch a tham s m) +) G i A( x1 ; y1 ), B ( x2 ; y2 ) ⇒ x1 , x2 nghi m c a phương trình (2*) N u x1 , x2 bi u di n theo m : Bài t p áp d ng (Các em d a vào ý tư ng Bài ñ gi i ví d sau) Ví d 1(D – 2011 – NC): Cho m A(1; 0) đư ng trịn (C): x + y − x + y − = Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ c t (C) t i hai ñi m M N cho tam giác AMN vuông cân t i A (ðs: y = ho c y = −3 ) Ví d 2(D – 2010 – CB ): Cho tam giác ABC có đ nh A(3; –7), tr c tâm H(3; –1), tâm ñư ng tròn ngo i ti p I(–2; 0) Xác ñ nh t a ñ ñ nh C, bi t C có hồnh đ dương (ðs: C (−2 + 65;3) ) Ví d 3: Cho đư ng trịn (C ) : ( x − 2) + ( y − 3) = 10 Xác ñ nh t a đ đ nh c a hình vng ngo i ti p đư ng trịn, bi t c nh AB ñi qua ñi m M ( −3; −2) ñ nh A có hồnh đ dương ( ðs: A(6; 1), B(0; –1), C(–2; 5), D(4; 7)) Bài 3: Tìm m M thu c ñư ng th ng ∆ cách m t ñi m c ñ nh I m t kho ng khơng đ i (MI = R) Cách gi i : Có th hi u tốn theo cách (b n ch t m t) ∆ (C ) C2: T a ñ ñi m M nghi m c a h : ( ñây (C) đư ng trịn tâm I bán kính R) CHÚ Ý: +)V i C1 không c n quan tâm t i toán v s tương giao gi a đư ng th ng đư ng trịn (ñ c p C2) gi i theo phương pháp ñ i s thông thư ng +) V i C2 ta th y rõ b n ch t c a toán +) C1 C2 hai cách trình bày khác c a m t phương pháp th gi i h phương trình +) Có th chưa nhìn th y ln m I Khi đ thư ng cho bi t m M nhìn đo n AB c đ nh dư i m t góc vng (I lúc trung m c a AB), có th ph i thông qua m t vài khâu c t nghĩa v y u t đ nh lư ng ta m i có đư c MI = R = const… +) Ý tư ng c a Bài toán xu t hi n r t nhi u kì thi ð i H c năm qua 29 Bài t p áp d ng (Các em d a vào ý tư ng Bài ñ gi i ví d sau) Ví d (A, A1 – 2012 – CB ): Cho hình vng ABCD G i M trung ñi m c a c nh BC, N ñi m c nh CD 11 ; ñư ng th ng AN có phương trình x − y − = Tìm t a đ m A 2 (ðs : A(1; −1) ho c A(4;5) ) cho CN = 2ND Gi s M Ví d (A – 2011 – CB ): Cho ñư ng th ng ∆ : x + y + = đư ng trịn (C): x + y − x − y = G i I tâm c a (C), M ñi m thu c ∆ Qua M k ti p n MA MB ñ n (C) (A B ti p ñi m) Tìm t a đ m M, bi t t giác MAIB có di n tích b ng 10 (ðs : M (2; −4) ho c M (−3;1) ) Ví d (A – 2010 – CB): Cho hai ñư ng th ng d1 : 3x + y = d : 3x − y = G i (T) đư ng trịn ti p xúc v i d1 t i A, c t d t i hai ñi m B C cho tam giác ABC vuông t i B Vi t phương trình c a (T), bi t tam giác ABC có di n tích b ng m A có hồnh đ dương (ðs : x + 2 3 + y + =1) 3 Ví d (D – 2010 – CB): Cho tam giác ABC có đ nh A(3; –7), tr c tâm H(3; –1), tâm đư ng trịn ngo i ti p (ðs : C (−2 + 65;3) ) I(–2; 0) Xác ñ nh t a ñ ñ nh C, bi t C có hồnh đ dương Ví d (D – 2010 – NC): Cho ñi m A(0; 2) ∆ ñư ng th ng ñi qua O G i H hình chi u vng góc c a A ∆ Vi t phương trình đư ng th ng ∆ , bi t kho ng cách t H đ n tr c hồnh b ng AH (ðs : ( − 1) x − Ví d (B – 2009 – CB ): Cho ñư ng tròn (C): (x – 2)2 + y2 = − y = ho c ( − 1) x + − 2y = ) hai ñư ng th ng ∆1: x – y = ∆2: x – 7y = Xác ñ nh to ñ tâm K bán kính c a đư ng trịn (C1); bi t đư ng trịn (C1) ti p xúc v i đư ng th ng ∆1, ∆2 8 4 5 5 (ðs : K ; bán kính R = tâm K thu c đư ng trịn (C) 2 ) Ví d (B – 2009 – NC): Cho tam giác ABC cân t i A có ñ nh A(–1;4) ñ nh B,C thu c ñư ng th ng ∆: x – y – = Xác ñ nh to ñ ñi m B C, bi t di n tích tam giác ABC b ng 18 11 11 ; , C ; − ho c B ; − , C ; ) 2 2 2 2 2 2 (ðs : B Ví d (D – 2007): Cho đư ng trịn (C ) : ( x − 1) + ( y + 2) = ñư ng th ng d: 3x – 4y + m = Tìm m đ d có nh t m t ñi m P mà t ñó có th k ñư c hai ti p n PA, PB t i (C) (A, B ti p ñi m) cho tam giác PAB ñ u (ðs : m = 19 ho c m = −41 ) Ví d (D – 2006): Cho đư ng tròn (C ) : x + y − x − y + = ñư ng th ng d: x – y + = Tìm t a đ m M n m d cho đư ng trịn tâm M, có bán kính g p đơi bán kính đư ng trịn (C), ti p xúc ngồi v i đư ng tròn (C) (ðs : M (1; 4) ho c M (−2;1) ) Ví d 10 (B – 2005): Cho hai m A(2;0) B(6;4) Vi t phương trình ñư ng tròn (C) ti p xúc v i tr c hồnh t i m A kho ng cách t tâm c a (C) ñ n ñi m B b ng (ðs : ( x − 2) + ( y − 1) = ho c ( x − 2) + ( y − 7) = 49 ) 2 3 (ðs : A(0; 2), B (4; 0), C ( −2; −2) ) Ví d 11 (B – 2003): Cho tam giác ABC có AB = AC , BAC = 900 Bi t M(1; -1) trung ñi m c nh BC G ;0 tr ng tâm c a tam giác ABC Tìm t a đ đ nh A, B, C 1 2 Ví d 12 (B – 2002): Cho hình ch nh t ABCD có tâm I ;0 , phương trình đư ng th ng AB x – 2y + = AB = 2AD Tìm t a đ ñi m A, B, C, D bi t r ng A có hồnh đ âm (ðs : A( −2;0), B (2; 2), C (3;0), D (−1; −2) ) Ví d 13: Cho tam giác ABC có tr c tâm H(–1; 4), tâm đư ng trịn ngo i ti p I(–3; 0) trung ñi m c a c nh BC M(0; 3) Vi t phương trình đư ng th ng AB, bi t B có hồnh ñ dương (ðs: 3x + 7y – 49 = 0) 30 Ví d 14: Cho ba m I(1; 1), M(–2; 2) N(2; –2) Tìm t a đ đ nh c a hình vng ABCD cho I tâm c a hình vng, M thu c c nh AB, K thu c c nh CD A có hồnh đ dương (ðs: A(1; 5), B(–3; 1), C(1; –3), D(5; 1)) 1 1 2 4 3 3 5 5 c a c nh BC M(–1; 2) Vi t phương trình đư ng th ng AC, bi t B có hồnh đ âm (ðs: 3x + y – = 0) Ví d 16: Cho đư ng trịn ( C ) : x + y − x + y + 21 = ñư ng th ng d : x + y – = 0.Xác đ nh t a đ Ví d 15: Cho tam giác ABC có tr ng tâm G ; , tâm đư ng trịn ngo i ti p I ; − trung m đ nh c a hình vng ABCD ngo i ti p (C) bi t A thu c d hồnh đ c a m B l n hồnh đ c a m D) (ðs : A(6;5), B (6; −1), C (2;1), D (2; −5) ho c A(2;1), B (6; −1), C (6;5), D (2; −5) ) Bài 4: Qua ñi m M ( x0 ; y0 ) n m ngồi đư ng trịn (C) có tâm I bán kính R 1) Vi t phương trình ti p n MT1 , MT2 đ n đư ng trịn 2) Vi t phương trình đư ng th ng ∆ ñi qua T1 , T2 3) Tính di n tích t giác MT1 IT2 Cách gi i: Cách vi t t ng quát v phương trình ti p n: uur TH1: N u bi t ti p ñi m T ⇒ ti p n ∆ c a (C) ñi qua T nh n IT làm vtpt ⇒ phương trình ∆ TH2: N u khơng bi t ti p m dùng ñi u ki n : ∆ ti p n c a (C) ⇔ d ( I , ∆ ) = R 1) Như v y v i toán ta s làm theo TH2 : r +) G i ∆ ñi qua ñi m M ( x0 ; y0 ) có vtpt n = ( a; b ) ( a + b ≠ ) có d ng: a ( x − x0 ) + b( y − y0 ) = hay ax + by − ax0 − by0 = ( ∆ ) a = ? ⇒ phương trình ∆1 , ∆ hay phương trình MT1 , MT2 b = ? +) T (*) ch n ( m t hai phương trình (*) có th có: a = ho c b = 0) ∆ (C ) CHÚ Ý: Có th tìm c th t a đ T1 , T2 nh gi i h : 2) T ∈ (C ) (*) MT IT = +) G i T ( x0 ; y0 ) ti p ñi m c a ti p n k t M ñ n (C) ⇒ uuur uur 3) S MT1IT2 = 2S MT1I = MT1.IT1 = MT1.R v i MT1 = MI − R 31 Bài t p áp d ng (Các em d a vào ý tư ng Bài ñ gi i ví d sau) Ví d 1(B – 2006): Cho đư ng trịn: (C ) : x + y − x − y + = ñi m M(– 3; 1) G i T1 T2 ti p ñi m (ðs: x + y − = ) c a ti p n k t M ñ n (C) Vi t phương trình ñư ng th ng T1 T2 Ví d 2: (A – 2011 – CB): Cho ñư ng th ng ∆ : x + y + = đư ng trịn (C): x + y − x − y = G i I tâm c a (C), M ñi m thu c ∆ Qua M k ti p n MA MB ñ n (C) (A B ti p m) Tìm t a đ m M, bi t t giác MAIB có di n tích b ng 10 (ðs : M (2; −4) ho c M (−3;1) ) Bài 5:Cho ñư ng th ng ∆ , đư ng trịn (C) có tâm I hai ñi m M , N n m ñư ng trịn 1) Tìm u ki n đ ∆ c t (C) t i hai ñi m phân bi t A, B cho di n tích tam giác IAB l n nh t 2) Tìm K thu c (C) cho di n tích tam giác KMN l n nh t, nh nh t 3) Tìm P thu c ∆ cho qua P k hai ti p n PT1 , PT2 cho di n tích tam giác IT1T2 l n nh t TH1 TH2 TH3 Cách gi i : Bài t p áp d ng (Các em d a vào ý tư ng Bài ñ gi i ví d sau) Ví d : Cho đư ng trịn (C ) : x − x + y − = G i B, C giao ñi m c a ñư ng th ng ∆ : x + y − = Hãy tìm m A đư ng trịn (C) cho tam giác ABC có chu vi l n nh t (ðs : A(1 − 2; − 2) ) Ví d : Cho đư ng trịn (C ) : x + y − x − y + 12 = có tâm I đư ng th ng ∆ : x + y − = Tìm 2 ñư ng th ng ∆ ñi m M cho ti p n k t M ti p xúc v i (C) t i A, B mà tam giác IAB có di n tích l n nh t (ðs : M ( 3+ 5− 3− 5+ ; ), M ( ; )) 2 2 Ví d : Cho đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC v i A(2 ; - 2), B(4 ; 0), C(3 ; − ) ñư ng th ng 32 ∆ : x + y − = Tìm đư ng th ng ∆ m M cho ti p n c a (C) qua M ti p xúc v i C t i N cho 5 (ðs : M (2; −4), M ( ; − ) ) di n tích tam giác NAB l n nh t Bài 6: Vi t phương trình ∆ qua M ( x0 ; y0 ) c t đư ng trịn (C) có tâm I, bán kính R t i A, B cho MA = kMB Cách gi i : MH = IM − h C1 : +) ð t IH = h → HA = HB = R − h (*) CHÚ Ý: +) Cách gi i th y s d ng trư ng h p k > ( v i k < em làm tương t ) +) Cách gi i th y s d ng M ( x0 ; y0 ) n m ngồi đư ng trịn (C) ( M ( x0 ; y0 ) n m (C) em làm tương t ) C2 : +) Xét phương trình ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có h s góc k có d ng : y = k ( x − x0 ) + y0 +) Xác đ nh phương trình hồnh đ giao ñi m c a ∆ (C) : f ( x , x, k ) = (*) +) Dùng vi – et cho (*) k t h p MA = kMB ⇒ k = ? ⇒ phương trình ∆ Bài t p áp d ng (Các em d a vào ý tư ng Bài ñ gi i ví d sau) Ví d : Cho đư ng trịn (C): x + y − x + y − 23 = , m M(7; 3) Vi t phương trình ñư ng th ng ∆ qua M c t ñư ng tròn (C) t i A, B cho MA = 3MB ( ðs : y = ho c 12 x − y − 69 = ) Ví d : Cho m A(-1 ; 14) đư ng trịn (C) tâm I(1 ; -5), bán kính b ng 13 Vi t phương trình đư ng th ng ∆ ñi qua A c t (C) t i M, N mà kho ng cách t M ñ n AI b ng m t n a kho ng cách t N ñ n AI (ðs : x + y – 13 = 433x – 281y +4367 = 0) Lo i 2.2: S tương giao gi a hai đương trịn 33 TH1: R + r > II ' TH2: R + r = II ' Ngoài Ti p xúc TH3: R + r < II ' C t t i hai ñi m TH4: R − r = II ' Ti p xúc CHÚ Ý: Cịn trư ng h p đ ng Nhưng trư ng h p đư c khai thác nên th y khơng đ c p Bài t p áp d ng Ví d 1(D – 2009 – NC): Cho đư ng trịn (C ) : ( x − 1) + y = G i I tâm c a (C) Xác ñ nh t a ñ ñi m M thu c (C) cho ∠IOM = 300 3 3 3 3 ho c M ; − ) 2 2 (ðs: M ; Ví d 2(D – 2003): Cho đư ng tròn (C) : (x – 1)2 + (y – 2)2 = ñư ng th ng d : x – y – = 0.Vi t phương trình ñư ng tròn (C’) ñ i x ng v i ñư ng tròn (C) qua ñư ng th ng d Tìm t a đ giao m c a (C) (C’) (ðs: ( x − 3) + y = A(1;0), B (3; 2) ) Ví d (D – 2006): Cho đư ng trịn (C ) : x + y − x − y + = ñư ng th ng d: x – y + = Tìm t a đ m M n m d cho đư ng trịn tâm M, có bán kính g p đơi bán kính đư ng trịn (C), ti p xúc ngồi v i đư ng trịn (C) (ðs: M (1; 4) ho c M (−2;1) ) Ví d 4: Cho đư ng trịn (C1 ) : x + y − x + y − = c t đư ng trịn (C2 ) : ( x + 6) + ( y − 1) = 50 t i hai ñi m M, N bi t M có hồnh đ dương Vi t phương trình đư ng th ng ∆ qua M l n lư t c t (C1 ), (C2 ) t i ñi m th hai A, B cho M trung ñi m c a AB (ðs: 5x – 7y + = 0) Ví d 5: Cho tam giác ABC n i ti p ñư ng tròn tâm I(6; 6) ngo i ti p ñư ng tròn tâm K(4; 5), biêt ñ nh A(2; 3) Vi t phương trình c nh BC (ðs: 3x + 4y – 42 = 0) Ví d 6: Cho ñư ng tròn (C) : x + y = ðư ng tròn ( C’) tâm I(2;2) c t (C) t i ñi m A,B cho AB = ( ðs: x + y + = ho c x + y − = ) Vi t phương trình đư ng th ng AB D ng 4: Các toán v Elip Lo i 1: Vi t phương trình Elip xác ñ nh y u t c a Elip Cách gi i chung: +) Gi s phương trình t c c a elip có d ng: x2 y + = (E) a b2 Bài t p áp d ng Ví d 1: L p phương trình t c c a elip (E) bi t: 1) Có đ dài hai tr c 6, 2) Có m t đ nh (5; 0) tiêu c 3) Có m t đ nh (0; 3) ñi qua ñi m M(4; 1) 34 3 2 − 2; 5 5) Có tiêu m F2 (2; 0) qua ñi m 2; 3 4) ði qua hai m 1; 6) Có tiêu ñi m F2 (5; 0) kho ng cách gi a hai ñ nh 7) Tiêu c kho ng cách t m t ñ nh tr c nh ñ n tiêu ñi m b ng x2 y + =1 x2 y2 6) + =1 181 81 4 ( ðs: 1) 2) x2 y + =1 25 16 x2 y2 x2 y2 x2 y + =1 4) + =1 5) + =1 18 9 x2 y x2 y2 x2 y2 7) + = ho c + = ho c + =1 ) 25 21 49 45 3) Ví d 2(A – 2008): Trong m t ph ng v i h t a ñ Oxy, vi t phương trình t c c a elip (E) bi t r ng (E) có tâm sai b ng hình ch nh t s c a (E) có chu vi b ng 20 (ðs: x2 y2 + = 1) Ví d 3(B – 2012 – NC): Cho hình thoi ABCD có AC = 2BD ñư ng tròn ti p xúc v i c nh c a hình thoi có phương trình x + y = Vi t phương trình t c c a elip (E) qua ñ nh A, B, C, D c a hình thoi Bi t A thu c Ox (ðs: x2 y + = 1) 20 Ví d 3: Trong m t ph ng Oxy, cho elip (E) có đ dài tr c l n b ng ,các ñ nh n m tr c nh tiêu ñi m c a (E) n m m t đư ng trịn L p phương trình t c c a (E) Ví d 4: Cho elip (E) có đ dài tr c l n b ng 6, tâm sai b ng m t ph n hai kho ng cách t m t ñi m M c a (E) đ n tiêu m F1 (có hồnh ñ âm) b ng 1) Tìm kho ng cách t M ñ n tiêu ñi m F2 2) Vi t phương trình t c c a elip (E) tìm t a đ m M Lo i 2: Tìm m thu c Elip x0 = ? ⇒M y0 = ? +) T (1) (2) ⇒ c MF1 = a + a x0 CHÚ Ý : N u M ( x0 ; y0 ) ∈ ( E ) ta có th khai thác thêm d ki n: MF = a − c x a Bài t p áp d ng Ví d 1: Cho elip (E): x2 y2 + =1 1) Tìm t a ñ giao ñi m c a (E) ñư ng th ng y = x − 2)Tìm (E) m M cho góc ∠F1MF2 = 900 3) Tìm (E) m N cho F1 N − F2 N = 7 3 5 3 5 ; − 2) M ( 3;1), M ( 3; −1), M (− 3;1), M (− 3; −1) 3) N ; ho c N ; − 2 2 5 1) A( 3;1), B 35 Ví d 2: Cho (E): x2 y + = có tiêu m F1 , F2 a b2 23 23 ; ;− ho c M ) 3 27 3 27 1) Cho a = 2, b = Tìm m M cho F1M = F2 M (ðs: M 2) Ch ng minh r ng v i m i m M ta ln có: F1M F2 M + OM = a + b Ví d 3(D – 2005): Cho m C(2;0) elíp (E): x2 y2 + = Tìm to đ m A, B thu c (E), bi t r ng hai ñi m A, B ñ i x ng v i qua tr c hoành tam giác ABC tam giác ñ u 2 3 2 3 2 3 2 3 ho c A ; − , B ; ) 7 , B ;− 7 7 (ðs: A ; Ví d (A – 2011 – NC) : Cho elip (E) : x2 y2 + = Tìm m A B thu c (E), có hồnh đ dương cho tam giác OAB cân t i O có di n tích l n nh t (ðs: A 2; 2 2 2 2 , B 2; − or A 2; − , B 2; ) Ví d 5: Trong m t ph ng t a ñ Oxy, cho elip (E) : x + 25 y = 225 Tìm t a đ m M thu c (E) cho tam giác M F1 F2 vng t i M Ví d 6: Cho elip (E) : x + y = 45 có tiêu m F1 , F2 M m t m b t kì (E) bi u th c f = F1 M + F2 M + 1 + F1M F2 M 1) Ch ng minh chu vi tam giác F1MF2 khơng đ i Tìm M đ di n tích tam giác F1 MF2 b ng 2) Tìm M cho giá tr c a f l n nh t Ví d 7: Cho ñi m M di ñ ng elip: x + 16 y = 144 H, K l n lư t hình chi u c a M lên hai tr c t a đ Tìm M đ di n tích OHMK l n nh t Lo i 3: S tương giao gi a ñư ng th ng Elip Cách gi i chung : S tương giao gi a ñư ng th ng ∆ : Ax + By + C = (E): x2 y + =1 a b2 Ax + By + C = (I) b ng phương pháp th y2 + =1 b a +) Gi i h x ( ði u ki n ñ ∆ ti p n c a (E) : A2 a + B 2b = C (ñư c sinh t (II) )) Bài t p áp d ng Ví d 1: Cho elip (E): x + y = 36 m M(1; 1) L p phương trình ñư ng th ng qua M c t (E) t i hai ñi m M , M cho MM = MM Ví d 2:Cho hai ñi m A (− 3; 0) , B ( 3; 0) đư ng th ng d: hồnh ñ âm cho chu vi tam giác MAB b ng + (ðs: 4x + 9y – 13 = 0) x − 2( − 1) y + = Tìm d ñi m M có (ðs: M −1; 3 ) 36 Ví d (D – 2002): Cho elip (E) có phương trình x2 y + = Xét ñi m M chuy n ñ ng tia Ox ñi m N 16 chuy n ñ ng tia Oy cho đư ng th ng MN ln ti p xúc v i (E) Xác ñ nh t a ñ ñi m M, N ñ ño n MN có (ðs: M (2 7;0), N (0; 21) GTNN c a MN b ng 7) đ dài nh nh t Tính giá tr nh nh t x y2 + = G i F1 F2 tiêu m c a (E) ( F1 có hồnh đ âm); M giao m có tung ñ dương c a ñương th ng AF1 v i (E); N ñi m ñ i x ng c a F2 qua M Vi t Ví d (B – 2010 – NC): Cho ñi m A(2; ) (E): phương trình đư ng trịn ngo i ti p tam giác ANF2 Ví d 5: Cho Elip (E) : 3 (ðs: ( x − 1) + y − = ) x2 y2 + = Vi t phương trình ti p n d c a (E) bi t d c t tr c t a ñ Ox,Oy l n lư t t i 64 A,B cho AO = 2BO CHÚ Ý: Khi tốn v đư ng trịn Elip có y u t min, max hay s d ng b t ñ ng th c Cauchy Bunhiacopxki (2011A – NC, 2002D…) C m ơn em b n ñã ñ c t i li u ! M i ý ki n đóng góp em b n g i qua E- mail: giaidaptoancap3@yahoo.com ho c ñ a ch : s – Ngõ 880 – B ch ð ng – Hai Bà Trưng – Hà N i ði n tho i : 043.9871450 ho c Dð: 0947141139 L i gi i t p em có th tham kh o web: http://www.facebook.com/giaidaptoancap3 37 ...CÁC HƯ NG TƯ DUY VÀ PHƯƠNG PHÁP GI I HÌNH H C OXY A KI N TH C CƠ B N B CÁC BÀI TOÁN BÀI TOÁN 1: BÀI TỐN TÌM ðI M ð hi u rõ cho hư ng tư tương ng v i TH c a Bài toán 1: “Bài Toán Tìm... (t1 ; t2 ) : m M có t a đ : BÀI TỐN 2: CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ð N BÀI TOÁN D ng 1: Các toán tam giác, t giác Lo i 1: Các tốn v ð nh Tính Lo i 1.1: Các tốn v đư ng trung n, ñư ng cao, trung... thông qua m t vài khâu c t nghĩa v y u t ñ nh lư ng ta m i có đư c MI = R = const… +) Ý tư ng c a Bài toán xu t hi n r t nhi u kì thi ð i H c năm qua 29 Bài t p áp d ng (Các em d a vào ý tư ng Bài