Chuyên đề 1: TÍNH CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN /I/ Lý thuyết: A/ Định nghĩa: Cho a,b € Z ( b ≠ o ): Ta nói a chia hết cho b kí hiệu a b tồn số k ( k ∈ Z )sao cho a =bk a b ⇔ a = bk Ta cịn nói a bội b hay b ước a B/Tính chất quan hệ chia hêt : 1/phản xạ: ∀ a ∈ N a ≠ o a a 2/ Phản xứng : ∀ a ∈ N a ≠ O a a 3/ Bắt cầu : Nếu a  b b a a =b C/ Một số định lý ⇒ ka  m 1/ a m 2/ a m b  m ⇒ ( a ± b )  m 3/ (a ± b)  m a  m ⇒ b  m 4/ a  m b n ⇒ ab  m n 5/ a  m ⇒ a n  m n n ∈ N , n ≠ o 6/ a n  m n ⇒ a  m 7/ a n  m ; m số nguyên tố ⇒ a  m ( n ∈ N ; n ≠ o) 8/ a  m ⇒ a n  m ; n ∈ N , n ≠ o 9/ ab m (a, m)=1 ⇒ b  m 10/ ab  m m ∈ P ⇒ a  m b  m 11/ a  m a  n ( m,n ) =1 ⇒ a  m.n 12/ a  m , a  n , a  r ( m,n)=1, (n,r)= 1,(m,r) =1 ⇒ a  m.n.r 13/ Tích n số tự nhiên liên tiếp chia hết cho tích 2.3 n D/ Một số ví dụ: Ví dụ 1: Chứng minh : a/ n - n  12 ∀ n ∈ N b/ n (n + ).( 25n + 1)  24 ∀ n ∈ N GIẢI a/ n - n = ( n – 1).n.n(n+1) Nhận xét : 12 = 3.4 (3,4) =1 -Trong tích hai số tự nhiên liên tiếp có số chia hết cho ( n- 1).n 2 n(n+ 1)  ⇒ n4 - n2  (1) Trong tích số tự nhiên liên tiếp có số bội ( n – 1).n.(n + 1)  (2 ) Từ (1) (2) suy n - n  12 ∀ n ∈ N b/ n.(n+2).[(n -1)+ 24n ] = n.(n+2).(n -1) +24n n.(n+2) Ta có 24n n.(n+2)  24 ∀ n ∈ N Ta cần chứng minh A= n.(n+2).(n -1)  24 ∀ n ∈ N A= (n-1).n.(n+1).(n+2) Ta có A ∀ n ∈ N -Trong tích số tự nhiên liên tiếp có số bội ,một số bội -Vậy tích số tự nhiên liên tiếp chia hết cho -Mà (3,8)= nên A  24 -Do n.(n+2).(25n -1)  24 ∀ n ∈ N -Nhận xét : Gọi A ( n ) biểu thức phụ thuộc vào n ( n ∈ N n ∈ Z ) _ Để chứng minh biểu thức A ( n ) chia hết cho số m ta thường phân tích biểu thức biểu thức A ( n ) thành nhân tử có thừa số m.N m hợp số ta phân tích m thành tích thừa số đôi nguyên tố chứng minh A ( n ) chia hết cho tất số Nên lưu ý định lý k số nguyên liên tiếp tồn bội sốcủa k -Bài tập áp dụng ví dụ 1: Chứng minh : 1/ n - 13n  2/ n (n - 7) - 36  5040 ∀ n ∈ N* 3/n -4n - 4n + 16n 384 với n chẳn n ≥ 4/ n +3n + 2n  5/ ( n +n -1 ) -1  6/ n +6n +8n  48 với n chẳn 7/ n -10n +  384 với n lẻ 8/ n + n - 2n  72 ∀ n ∈ Z 9/ n +6n +11n +6n  24 ∀ n ∈ N Ví dụ 2: Chứng minh a - a  ∀ a ∈ Z Cách 1: A = a - a = a.(a -1).(a +1) - Nếu a= 5k ( k ∈ Z) a - a  - Nếu a = 5k ± a -  - Nếu a = 5k ± a +1  Trong trường hợp có thừa số chia hết cho Nhận xét : Khi chứng minh A(n)  m ta xét trường hợp số dư chia A(n) cho m Cách 2: a -a =a(a -1).(a +1) =a.(a -1).(a -4+5) =a.(a-1).(a+1).(a-2).(a+2) +5a.(a -1) Vậy A chia hết cho Bài tập ví dụ 2: Chứnh minh : 1/ a -a  2/ Cho n  (n,6) =1 chứng minh n -1  24 3/ Cho n lẻ ( n ,3) =1 chứnh minh : n -1  48 4/ Cho n lẻ ( n ,5) =1 chứnh minh : n -1  80 5/ Cho a,b số tự nhiên a  b chớng minh a/ A= a.b ( a - b )  30 b/ A= a b ( a - b )  60 6/Cho n chẳn chứng tỏ số n - 4n n + 4n chia hết cho 16 7/ Chứng tỏ : n - n  30 ∀ n ∈ N : n - n  240 ∀ n lẻ 8/ Chứng minh : a/ n - n  240 ∀ n ∈ N b/ n - n +4n  120 ∀ n ∈ N Chuyên đề : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 1/ Đặt nhân tử chung , dùng đẳng thức , nhóm hạng tử 2/Tách hạng tử 3/ Thêm bớt hạng tử 4/ Phương pháp hệ số bất định 5/ Phương pháp đổi biến 6/ Phương pháp xét giá trị riêng !/ Phương pháp đặt nhân tử chung, dùng đẳng thức, nhóm hạng tử Ví dụ : Phân tích đa thức sau t a/ x + x + 2x + x +1 Giải / x + x + 2x + x +1 = (/ x + x + ) + (x + x ) = ( x +1) + x ( x +1) = ( x +1) ( x +x +1) b/ x + 2x y + xy - 9x = x( x + 2x y + y - ) = x( x+ y -3)( x+ y +3) c/ a + b +c - 3abc = (a+b ) - 3a b – 3ab + c - 3abc 3 = [ (a+b ) + c ] -3ab(a+b+c) =(a+b+c)[( a+b) - c(a+b) + c - 3ab] d/ (a+b+c) - a - b -c = [ (a+b)+c] - a - b -c = (a+b) + c +3c(a+b)(a+b+c) - a - b -c =a + b + 3ab(a+b)+ c +3c(a+b)(a+b+c) - a - b -c = 3(a+b)(ab+ac+bc+c ) = 3(a+b)(b+c)(c+a) 2 e/ x (y-z)+y (z-x)+z (x-y) = x (y-z)+y z-xy +xz - yz =x (y-z)+yz(y-z)-x(y - z ) =(y-z)(x +yz-xy-xz) =(y-z)[x(x-y)-z(x-y) =(y-z)(x-y)(x-z) II/Phương pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử(vói hệ số nguyên) Nhận xét: Nếu đa thức không chứa nhân tử chung,khơng có dạng đẳng thức,cũng khơng nhóm hạng tử ta biến đổi đa thức thành nhiều hạng tử để nhóm hạng tử Ví dụ : 3x -8x+4 = 3x -6x-2x+4= 3x(x-2)-2(x-2)=(x-2)(3x-2) Hay tách 4x -8x+4 - x = (2x-2) - x = Chú ý: Trong cách ta tách hạng tử -8x thành hạng tử -6x -2x,các hệ số thứ thứ gấp -2 lần hệ số liền trước nhờ xuất nhân tử chung x-2 Một cách tổng quát để phân tích tam thức bậc thành nhân tử ta tách hạng tử bx thành b x +b x cho b b =a.c Trong thực hành ta thực sau: 1/ Tìm tích a.c 2/phân tích a’c thừa số nguyên cách 3/ Chọn hai thừa số có tổng b Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : : 4x -4x-3 Ta có a.c= 4(-3) = (-3)4 = 6(-2) =(-6)2 ta thấy -6 +2 = -4do ta phân tích -4x thành -6x + 2x Đối với đa thức bậc ba trở lên người ta chứng minh nghiệm nguyên đa thức có phải ước hệ số tự Ví dụ : Phân tích đa thức : x - x -4 đa thức có nghiệm ngun phải ước ta kiểm tra ±1 , ±2 , ±3 ,±4 ta thấy x =2 nghiệm đa thức đa thức có chứa nhân tử x – ta tách đa thức thành : x - x -4 = x -2 x + x -4 = x (x-2) +(x-2)(x+2) = Chú ý : Khi xét nghiệm nguyên đa thức ta ý định lí sau : 1/ Nếu đa thức f(x) có tổng hệ số nghiệm đa thức đa thức cố chứa nhân tử x -1 Ví dụ : Phân tích đa thức x - 5x +8x -4 ta thấy -5 +8 -4 =0 nên đathức có chứa nhân tử x – ta tách sau: x - x - x +8x -4 = x (x-1) – 4(x-1) 2` 2/Nếu đa thức có tổng hệ số bậc chẳn tổng hệ số bậc lẻ -1 nghiệm đa thức đa thức chứa nhân tử x +1 Ví dụ: Phân tích đa thức x - 5x + 3x +9 ta thấy 1+3 = -5+9 nên -1 nghiệm đa thức đa thức chứa nhân tử x+1 ta phân tích sau : x - 5x +3x +9 = x + x - 6x +3x +9 = x + x - 6x -6+3x +3 =x (x+1) -6(x-1)(x+1)+3(x+1) = Trong trường hợp đa thức khơng có nghiệm ngun ;đa thức cố thể có nghiệm hửu tỉ , người ta p chứng minh rắng đa thức có hệ số nguyên nghiệm hửu tỉ có phải có dạng q p ước hệ số tự q ước dương hệ số cao Ví dụ : Phân tích đa thức 3x - 7x +17x -5 ta thấy số ±1 ,±5 nghiệm đa thức ,xét số ± , ± ta có 3 nghiệm đa thức đa thức chứa thừa số 3x-1 ta tách hạng tử sau : 3x - 7x +17x -5 = 3x - x -6 x +2x + 15x-5 =x (3x-1)- 2x( 3x-1)+ 5(3x-1)= 3/ Phương pháp thêm bớt hạng tử: a/Thêm bớt hạng tử làm xuất hiệu hai bình phương Ví dụ : Phân tích da thức 4x +81 ta thêm bớt 36x ta có 4x +81 = 4x +36x +81 -36x = (2x +9) – (6x) = Nhận xét : Trong trường hợp dùng cho đa thức có hai hạng tử b/ Thêm bớt hạng tử để làm xuất nhân tử chung Ví dụ : Phân tích đa thức x 5` +x -1 ta thêm bớt x ,x ,x sau: x 5` +x -1 = x 5` +x +x +x -x -x -x +x -1 = (x 5` -x +x )+(x -x +x ) –(x -x +1 ) = Chú ý : Các đa thức có dạng x 3m+1 + x 3n + +1 chứa nhân tử x +x +1 Ví duj: x + x 5` +1; : x +x +1 ; x+ x 5` +1; x+ x +1 III/ Phương pháp hệ số bất định Nếu đa thức f(x) khơng có nghiệm ngun ,cũng khơng co nghiệm hửu tỉ ta dùng phương pháp hệ số bất định Ví dụ: Phân tích đa thức x -6x +12x -14x +3 Nếu đa thức nàyphan tích thành nhâ tử có dạng (x +ax +b )(x + cx +d ) phép nhân cho ta kết x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd đồng đa thức vứi đa thức cho ta điều kiện a+c = -6 ac+b+d = 12 ad+bc = -14 bd =3 Xét bd =3 với bd ∈ Z ⇒ b ∈ { ±1 , ±3} với b =3 ; d =1thì hệ trở thành a +c = -6 ac = a+ 3c = -14 ⇒ 2c = -14 – (-6) ⇒ c = -4 ⇒ a= -2 đa thức phân tích thành (x -2x +3 )(x -4x + ) I V/ Phương pháp đổi biến Ta đặt đa thức biến khác để làm gọn đa thức dễ giải Ví dụ : Phân tích đa thức x(x+4)(x+6)(x+10) +128 = (x +10x)(x +10x + 24 ) đặt x +10x + 12 =y ⇒ (y-12)(y+12) +128 = y -16 = (y-4)(y+4) = V/ Phương pháp giá trị riêng Trong phương pháp nhân tử chứa biến đa thức gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử Ví dụ: Phân tích đa thức P = x (y-z)+ y (z-x) + z (x-y) Giả sử ta thay x =y P= y (y-z)+ y (z-x) = Tương tự ta thay y z ; zbởi x P khơng đổi ( P = ) P chia hết cho x-y chia hết cho y-z chia hết cho z – x P có dạng k(x –y)(y-z)(z-x) Ta thấy k số đẳng thức P = x (y-z)+ y (z-x) + z (x-y) = k(x –y)(y-z)(z-x) vứi x,y,z nên ta gán cho x,y,z giá trị chẳng hạn x=2, y=1 ,z=0 ta 4.1 +1.(-2) +0 = k.1.1.(-2) ⇒ k = -1 P = -(x –y)(y-z)(z-x) Chú ý : Khi chọn giá trị riêng x,y,z ta chọn tuỳ ý để đôi khác cho ( x –y)(y-z)(zx) ≠ VI/ Bài tập áp dụng chuyên đề 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 2.1/ a/ x -2x -4y -4y b/ a(a +c + bc )+b(c +a + ac ) +c(a +b + ab ) c/ 6x -11x +3 d/ 2x +3x -27 e/x +5x +8x +4 f/ x -7x +6 g/2x -x +5x +3 h/ x -7x -3 2.2/ a/ (x +x )- 2(x +x ) -15 b/ / x +2xy+y -x-y -12 c/ (x +x +1)(x +x +2) -12 d/ (x+2)(x+3)(x+4)(x+5) -24 e/ (x+a)(x+2a)(x+3a)(x+4a) +a f/ (x + y + z )(x+y+z) +(xy+yz+xz) 2.3 / Dùng phương pháp sô bất định: Subject: a/ 4x +4x +5x +2x +1 b/x -7x +14x -7x +1 4 c/ (x+1) +(x +x +1) e/x x -x +63 2.4 Dùng phương pháp xét giá trị riêng M= a(a+b-c) +b(c+a-c) +c(b+c-a) + (a+b-c)(c+a-c)(b+c-a) : CHUYÊN ĐỀ BÀI TỐN CỰC TRỊ HÌNH HỌC Các tốn cực tri có dạng chung sau:Trong hình có chung tính chất, tìm hình cho đại lượng (nhơ độ dài đoạn thẳng ,số đo diện tích ,số đo góc )có giá trị lớn ,giá trị nhỏ I/Các bất đẳng thức thường dùng để giải toán cực trị: 1/Quan hệ đường vng góc đường xiên: Quan hệ dùng dạng: - Trong tam giác vng (xó thể suy biến thành đoạn thẳng ) có cạnh góc vng AH cạnh huyền AB AB ≥ AH xảy dấu khi B trùng H - Trong đoạn thẳng nối từ điểm đến điểm thuộc đoạn thẳng đoạn thẳng vng góc với đoạn thẳng có độ dài nhỏ - Trong đoạn thẳng nối hai điểm nằm hai đoạn thẳng song song đoạn thẳng vng góc với hai đường thẳng song song có độ dài nhỏ 2/ Quan hệ đường xiên hình chiếu: - Trong hai đương xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng dến đường thẳng đường xiên có hình chiếu lớn lớn 3/Bất đẳng thức tam giác: Với ba điểm A, B, C ta có AC+CB ≥ AB; AC+CB =AB ⇔ C thuốc đoạn thẳng AB Để xử dụng bất đẳng thức tam giác phải thay đổi phía đoạn thẳng đường thẳng 4/ Các bất đẳng thức đại số : Các bất đẳng thức xử dụng là: - Bất đẳng thức luỹ thừa bậc chẳn: X2 ≥ X2 ≤ - Bất đẳng thức CÔSI (x+y)2 ≥ 4xy hay x+y ≥ xy với x,y không âm , xãy dấu = x=y Chú ý từ bất đẳng thức CƠSI ta cịn suy hai số không âm x,y: -Nếu x+y số xy lớn khivà x=y - Nếu xy số x+y nhỏ x=y Để sử dụng bất đẳng thức đại số ta thường đặt độ dài thay đổi x biểu thị đại lượng cần tìm cực trị biểu thức x tìm điều kiện để biểu thức có cực trị Ta kí hiệu minA giá trị nhỏ A ;maxA giá trị lớn A Ví dụ: 1.1 Cho hình vng ABCD Hãy nội tiếp hình vng hình có diện tích nhỏ Giảỉ Gọi ÈGH hìmh vng nội tiếp hình A E K B vng ABCD Tâm hình vng phải trùng với EG.FH ta suy SEFGH == = 20E2 F S nhỏ suy 0E nhỏ Gọi K trung điểm AB ooooooo O ta có OE ≥ OK ( số) OE = OK ⇔ E trùng K o Vậy diện tích ÈGH nhỏ đỉnh E,F,G,H trung H điểm cạnh hình vng ABCD 1.2 Tính diện tích lớn HBH có độ dài cạnh D G C kề a,b A B Giải : Ta có: SABCD == DC.AH ≤ DC.AD = ab b maxS = ab AH = AD lúc ABCD làHCN D H a C 1.3 Cho hình thoi hình vng có chu vi Hỏi hình có diện tích lớn hơn? sao? Giải : Xét hình thoi ABCD hình vnh MNPQ A B có chu vi cạnh chúng Gọi canh chúng a ta có: ¬ SMNPQ = a2 (1) Ta chớng minh SABCD ≤ a2 D H C Kẻ AH ⊥ CD ta có AH ≤ AD =a Vậy SABCD ≤ CD.AD =a.a = a2 (2) Từ (1) (2) suy SABCD ≤ SMNPQ Vậy diện tích hình vng lớn diện tích hình thoi (nếu hình thoi khơng hình vuông) 2.1 Cho tam giác ABC Qua A dựng đường thẳng d cắt cạnh BC tam giác ABC cho tổng khoảng cách từ B C đến d có giá trị nhỏ A Giải : Ta có SABD + SCAD =SABC 1 2S AD.BB’ + AD.CC’=S ⇒ BB’ + CC’= 2 AD 2S Do BB’ +CC’ nhỏ ⇔ nhỏ ⇔ AD lớn AD ⇒ B’ B D C C’ Giả sử AC ≥ AB hai đường xiên AD AC đường xiên AD có hình chiếu nhỏ AD ≤ AC (hằng số) ; AD =AC ⇔ D trùng C Vậy đường thẳng d phải dựng đường thẳng chứa cạnh lớn hai cạnh AB, AC 2.2Cho tam giác ABC vuông A đường cao AH Gọi D,E theo thứ tự thuộc cạnh AC ,AB cho DHE = 90o Tìm vj trí D,E để DE có độ dài nhỏ A Giải : Gọi I trung điểm DE ta có DE = IA +IH ≥ AH ( trung tuyến nửa cạnh huyền) E I D Vậy minDE = AH ⇔ thuộc đoạn thẳng AH đó: AH AC HE AB B H C 3.1 Cho tam giac ABC cân A điểm D cố định thuộc cạnh đáy BC > Hãy dựng đường thẳng song song với BC cắt hai cạnh bên E F cho DE + DF có giá trị nhỏ Giải : Về phía ngồi tam giác vẽ tia Ax cho xAC = DAE Ax lấy điểm D’ cho AD’ = AD ta có AED = AFD’ ( c-g-c) A Suy DE = FD’ Ta có DF +DE = DF + FD’ ≥ DD’( AD cố định nên AD’ cố định) E F D’ Vậy DD’ số Do DF +DE nhỏ ⇔ DF + D’F nhỏ ⇔ F giao điểm B D C x DD’ AC 3.2 Trên mp bờ d lấy hai điểm A,B Tìm vị trí điểm D d để AD + DB nhỏ Giải : Lấy điểm A’ đối xứng A qua d ta có B AD = A’D (d trung trực AA’) A Vậy AD + DB = A’D + DB ≥ A’B Do (AD + DB) D nằm giao điểm A’B d D A’ 4.1 Cho tam giác ABC vng cân có AB = AC = 10cm.Tam giác DEF vuông cân D nội tiêp tam giác ABC ( D ∈ AB, F ∈ AC, E ∈ BC) Xác định vị trí điểm D để diện tích yam giác DEF nhỏ Giải : Gọi AD = x kẻ EH AB AD = EH =BH = x DH =10 – 2x ta có: B 1 SDEF = DE.DF = DE2 = ( EH2 +DH2 ) H E 2 2 = [ x + ( 10 -2x)2] = ( 5x2 – 40x +100) = ( x2 -8x + 20) D 2 = (x – 4)2 + 10 ≥ 10 A F C minSDEF = 10(cm2) ⇔ x = AD = 4cm Tổng quát: minSDEF = SABC 5` 4.2 Các đường chéo tứ giác ABCD cắt Tính diện tích nhỏ A tứ giác ,biết SAOB =4cm2, SCOD = 9cm2 B S4 S1 OA ⇒ S1.S2 = S3.S4 = = S2 S3 OB Theo bất đẳng thức COSI : Giải Ta có S3 + S4 ≥ S1.S = 4.9 =12 S= S + S2 + S3 + S4 ≥ + + 12 = 25 maxS =25 (cm2)khi : S3 = S4 ⇔ SADC = SBCD ⇔ AB║ CD Tổng quát thay a b ta có maxS = ( a + b )2 O D C II/ Chú ý giải toán cực trị: 1/ Khi giải toán cực trị , nhiều ta cần biến đổi tương đương điều kiện cực trị đại lượng thành điều kiện cực trị cuả đại lượng khác Ví dụ: Cho tam giác nhọn ABC ,M điểm nằm cạnh BC.Gọi E,F theo thứ tự hình chiếu M AB AC Tìm vị trí M để EF có độ dài nhỏ A Giải : Gọi I trung điểm AM ta có: IA = IE = IM = IF Như EF cạnh đáy tam giác cân IEF I Ta có góc EIF = góc EAF mà góc EAF khơng đổỉ nên góc EIF khơng đổi Tam giác cân EIF có số đo góc đỉnh khơng đổi nên cạnh đáy nhỏ E F ⇔ IE nhỏ ⇔ AM Và cạnh bên nhỏ Do EF nhỏ Nhó Khi M chân đường cao kẻ tờ A đến BC B M C 2/ Nhiều tốn cực trị có liên quan đến tập hợp điểm Trong tập hợp hình có chung tính chất ,khi ta cố định yếu tố khơng đổi hình ,các điểm cịn lại chuyển động đường định việc theo dõi vị trí giúp ta tìm cực trị tốn Ví dụ: Trong hình bình hành có diện tích đường chéo khơng đổi ,hình có chu vi nhỏ Giải : Xét hình bình hành có BD cố định Diện tích hình bình Hành khơng đổi nên diện tích tam giác ABD khơng đổi A B’ chuyển đơng đường thẳng d song song với BD D A Cần xác định vị trí A d để BA + AD nhỏ Lấy điểm B’ đối xứng qua d B’ cố định B ≥ B’D ( số) BA + AD = B’A +AD BA + AD nhỏ ⇔ B’A + AD nhỏ ⇔ A C Giao điểm d đoạn B’D AB = AD D Vậy hình bình hành có chu vi nhỏ hình thoi 3/ Khi giải tốn cực trị , có ta phải tìm giá trị lớn ( nhỏ ) trường hợp so sánh giá trị với để tìm giá trị lớn ( nhỏ nhất) tốn Ê Ví dụ: Cho tam giác ABC Dựng đường thăng qua A cho tổng khoảng cách từ B C đến d có giá trị lớn Giải : Gọi BB’ , CC’ khoảng cách từ B C đến d Xét hai trường hợp : A a/ Đường thẳng d cắt BC D ta có: BB’ + CC’ ≤ BD + CD = BC B’ Chú ý : Nếu B C lớn 90o tì dấu = khơng đạt điều khơng ảnh hưởng đến tốn B C C’ b/Đường thẳng d không cắt cạnh BC Khi d cắt cạnh CE với E điểm đối xứng B qua A tương tự trừng hợp a ta có BB’ + CC’ ≤ CE E Bây ta so sánh BC CE d E o 1/ Trường hợp BAC 〉 90 H Nếu kê CH BE BE thuộc tia đối AB nên HB 〉 HE A d Do BC 〉 CE ta có: A ⇔ d Max( BB’ + CC’) = BC BC B C 2/Trường hợp BAC 〈 90o Nếu kẻ CH BE H tia đối AE nên HE 〉 HB Do CE 〉 BC ta có : d1 E B C Max( BB’ + CC’) = CE ⇔ d CE d2 M o 3/ Trường hợp BAC = 90 A Ta có BC = CE Max (BB’ + CC’) = BC = CE ⇔ d BC d CE B M III/ Bài tập áp dụng: 1/ Tính diện tích lớn hất tứ giác ABCD biết AB = AD = a ,BC = CD = b 2/Trong hình chữ nhật có đường chéo d khơng đổi hình có diện tích lớn nhắt Tính diện tích lớn 3/ Cho tam giác ABC vuông cân A, BC = 2a Một đường thẳng d qua A khơng cắt cạnh BC Goi I K theo thứ tự hình chiếu B C d, gọi H trung điểm BC.Tính diện tích lớn tam giác HIK 4/ Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a , BC = b ( b 〈 a 〈 3a) Trên cạnh AB,BC, CD, DA lấy theo thứ tự điểm E,F,G,H cho AE = AH = CF = CG Xác định vị trí điểm E,F,G.H để tứ giác EFGH có diện tích lớn 5/Chứng minh tam giác có cung cạnh đáy chu vi tam giác cân có diện tích lớn 6/Trong hình chữ nhật có chu vi ,hình có diện tích lớn 7/Trong hình chữ nhật có diện tích hình có chu vi nhỏ 8/Trong hình thoi có chu vi ,tìm hình có diện tích lớn 9/ Trong hình thoi có diện tích , hìmh có chu vi nhỏ 10/ Tứ giác ABCD có C + D = 90o ,AD = BC, AB = b, CD = a ( a 〉 b) Gọi E,F,G,H theo thứ tự trung điểm AB,AC,DC,DB.Tính diện tích nhỏ tứ giác EFGH 11/ Cho hình chữ nhật ABCD Tìm tứ giác có bốn đỉnh thuộc bốn cạnh hình chữ nhật cho chu vi tứ giác có giá trị nhỏ 12/ Cho hình vng ABCD cạnh a Tìm diện tích lớn hình thang có bốn đỉnh thuộ bốn cạnh hình vng hai cạnh đáy song song với hai đường chéo hình vng 13/ Cho hình vng ABCD có ạnh 6cm Điểm E thuộc cạnh AB cho AE = 2cm, điểm F thuộc cạnh BC cho BF = 3cm.Dựng điểm G,Htheo thứ tự thuộc cạnh CD, AD cho EFGH hình thang a/Có đáy EH , FG có diện tích nhỏ b/Có đáy EF, GH có diện tích lớn 14/Cho tam giác ABC Xác định vị trí điểm D,E cạnh AB ,AC cho BD + CE = BC DE có độ dài nhỏ 15/ Cho tam giác ABC vng cân có cạnh huyền BC = a Các điểm D,E theo thứ tự chuyển động cạnh AB,AC.Gọi H,K theo thứ tự hình chiếu D E BC Tính diện tích lớn tứ giác DEKH CHUYÊN ĐỀ 4: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 1/ Cho biểu thức ( x ,y, ) a/ Ta nói M giá trị lớn ( GTLN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu max f = M hai điều kiện sau thoả mãn: - Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) ≤ M ( M số) (1) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = M (2) b/ Ta nói m giá trị nhỏ (GTNN) biểu thức f(x,y ) kí hiệu f = m hai điều kiện sau thoả mãn : Với x,y để f(x,y ) xác định : f(x,y ) ≥ m ( m số) (1’) - Tồn xo,yo cho: f( xo,yo ) = m (2’) 2/ Chú ý :Nếu có điều kiện (1) hay (1’) chưa nói cực trị biểu thức chẳng hạn ,xét biểu thức : A = ( x- 1) + ( x – 3)2 Mặc dù ta có A ≥ chưa thể kết luận minA = khơng tồn giá trị x để A = ta phải giải sau: A = x2 – 2x + + x2 – 6x + = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + ≥ A = ⇔ x -2 = ⇔ x = Vậy minA = khi x = II/ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT ,GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c Tìm GTNN P a 〉 Tìm GTLN P a 〈 b b b2 Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + x ) + c = a( x + ) +ca 2a 4a b b Đặt P = c =k Do ( x + ) ≥ nên : 2a 4a b - Nếu a 〉 a( x + ) ≥ , P ≥ k 2a b minP = k x = 2a b -Nếu a 〈 a( x + ) ≤` P ≤` k 2a b maxP = k x = 2a 2/ Đa thức bậc cao hai: Ta đổi biến để đưa tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN A = x( x-3) ( x – 4) ( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + = y A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 ≥ -36 minA = -36 ⇔ y = ⇔ x2 – 7x + = ⇔ x1 = 1, x2 = 3/ Biểu thức phân thức : a/ Phân thức có tử số ,mẫu tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN A = 6x − − 9x2 −2 −2 Giải : A = = = 6x − − 9x2 x − x + (3x − 1) + 1 ≤ Ta thấy (3x – 1)2 ≥ nên (3x – 1) +4 ≥ theo tính chất a ≥ b (3x + 1) + 4 −2 1 −2 ⇒ A≥ ≤ ≥ với a, b dấu) Do (3x − 1) + a b 1 ⇔ 3x – = ⇔ x = b/ Phân thức có mẫu bìmh phương nhị thức 3x − 8x + Ví dụ : Tìm GTNN A = x2 − 2x + Giải : Cách : Viết A dạng tổng hai biểu thức không âm ( x − 2) (2 x − x + 2) + ( x − x + 4) ≥ A = = + ( x − 1) x2 − 2x + minA = chi x = Cách 2: Đặt x – = y x = y + ta có : 1 3( y + 1) − 8( y + 1) + A = =3+ =( -1)2 + 2 y y y y minA = ⇔ y = ⇔ x – = ⇔ x = c/ Các phân thức dạng khác: − 4x Ví dụ : Tìm GTNN GTLN A = x +1 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức dạng bình phương số : x2 − x + − x2 − ( x − 2) A = = - ≥ -1 x2 + x2 + minA = -1 x = x2 + − x2 − x − (2 x + 1) ≤ Tìm GTLN A = =4x2 + x2 + III/ TÌM GTNN., GTLN CỦA BIỂU THỨC CĨ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN x3 + y3 + xy biết x + y = Xử dụng điều kiện cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến ta có nhiều cách giải Cách 1: Xử dụng điều kiện cho làm xuất biểu thức có chứa A x + y = ⇒ x2 + 2xy + y2 = (1) Mà (x – y) ≥ ⇒ x2 - 2xy + y2 ≥ (2) Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) ≥ ⇒ x2 + y2 ≥ 1 minA = x = y = 2 Cách 2: Biểu thị y theo x đưa tam thức bậc hai x Thay y = x – vào A 1 ≥ A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 - )2 + 2 1 minA = x = y = 2 Cách 3/ Sử dụnh điều kiện cho để dưa biến 1 Đặt x = + a y = - a Biểu thị x2 + y2 ta : 2 1 1 x2 + y = ( + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 ≥ 2 2 1 ⇔ a = ⇔ x=y= minA = 2 IV Các ý tìm tốn cực trị : 1- Chú ý 1: Khi tìm bai tốn cực trị ta đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x –2 = y ,biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y– 1)2 = 2y2 +2 ≥ ⇒ minA = ⇒ y = ⇒ x = 2- Khi tìm cực trị biểu thức , nhiều ta thay điều kiện để biểu thức đạt cực trị điều kiện tương đương biểu thức kháư đạt cực trị minA = - chẳng hạn : -A lớn ⇔ A nhỏ lớn ⇔ B nhỏ với B > B x4 + A= Ví dụ : Tìm GTLN ( x + 1) Chú ý A>0 nên A lớn nhỏ ngược lại A 1 ( x + 1) x + x + x2 ≥ = Vậy = = 1+ 4 A A x +1 x +1 x +i = x = Do maxA =1 x = A 3/ Khi tìm GTLN , GTNN biểu thức ,người ta thường xử dụng bất đẳng thức biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a,b,c,d > a.c > b.d b) a > b c >0 a.c > b.c c) a > b c b a,b,n >0 an > bn Bất đẳng thức Cô si: a + b ≥ ab ; a2 + b2 ≥ 2ab ; (a + b)2 ≥ 4ab ; 2( a2 + b2) ≥ ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + +b2) ( x2 + y2) ≥ (ax + by)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 Tìm GTLN A = 2x + 3y Giải : Ta nhận thấy 2x + 3y x2 + y2 thành phần bất đẳng thức Bu- nha - cốp –xki với a = b = ta có ( 2x + 3y )2 ≤ ( 22 + 32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 ≤ 13.13.4 3x = 2y ⇒ ⇔ ≤ 2x +3y ≥ 2x + 3y 26 Vậy maxA = 26 { 3x vào x2 + y2 = 52 ta 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 x= -4 Với x = y =6 thoả mãn 2x +3y ≥ x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y ≥ Vậy max A 26 ⇔ x =4 , y = 3/ Trong bất đẳng thức cần ý đến mệnh đề sau -Nếu số có tổng khơng đổi tích chúng lớn số - Nếu số dương có tích khơng đổi tổng chúng nhỏ số bang Ví dụ: Tìm GTLN GTNN tích xy , biết x,y số nguyên dương thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn ⇔ x – y nhỏ ; xy nhó ⇔ x – y lớn giả sử x > y ( xãy x = y) Do ≤ y ≤ x ≤ 2004 nên ≤ x-y ≤ 2003 Ta có min(x –y) = x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 x =2004 , y = Do max(xy) = 1002.1003 x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 x = 2004 , y = Thay y = Chuyên đề : RÚT GỌN MỘT BIỂU THỨC I/ Rút gọn biếu thức: a- A = 1978(19799 + 19798 +…+ 19792 + 1980) +1 b- B = a2(b – c) + b2( c –a) + c2( a – b) + (a – b)(b – c)(c –a) c- C = a3(b – c) + b3( c –a) + c3( a – b) + (a +b +c) (a – b)(b – c)(c –a) Giải: a/ A = 1978(19799 + 19798 +…+ 19792 + 1980) +1 = (1979 – 1)(19799 + 19798 +…+ 19792 + 1979 + 1) +1 Nhân vào ta kết A = 197910 b- Ta phân tích a2(b – c) + b2( c –a) + c2( a – b) thành nhân tử Để phân tích ta thây có tích ( a – b) ,(b – c) ,( c –a) ta khai triển tích giữ lại tích a2b – a2c + b2c – b2a + c2( a – b) = (a2b - b2a) – (a2c - b2c ) + c2( a – b) = ab( a – b) - c( a2 – b2) + c2( a – b) = (a – b) ( ab – c(a + b) + c2) = (a – b) ( ab – ca - cb + c2) = (a – b) ( b – c )( a – c) Vậy B = c- Tương tự câu b Bài b c ta biến đổi thành rút gọn sau: a2 b2 c2 + + M= Qui đồng mẫu MC ( a –b)( b-c)( c-a) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) 4a − 4b − 4c − + + d- D = (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) ab ab a + b2 e- E = (a + )+( − a) : a −b a+b a − b2 b+c c+a a+b + + f- F = (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) bc ca ab + + g- G = 2 2 2 2 2 a (a − c )(a − c ) b(b − c )(b − a ) c (c − a )(c − b ) a+x a+ y a+z + + h- H = x( x − y )( x − z ) y ( y − z )( y − x) z ( z − x )( z − y ) II- Rút gọn phân thức: a + b3 + c − 3abc a- A = a + b + c − ab − bc − ca ( a − b ) + (b − c ) + ( c − a ) b- B = (a − b)(b − c )(c − a ) y2 + y + c- C = y + y + 12 y + Hướng dẫn giải Câu D Ta tách thành 1 4a 4b 4c + + + + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) 1 + + Mà =0 nên ta có D = (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) −a Câu E Ta qui đồng thực phép nhân ta có E = a + b2 Câu F Qui đồng ta có F=0 MC (a-b)(b-c)(c-a) Câu G Qui đồng phân tích tử thành nhân tử (a2 - b2) (b2 – c2)(c2 – a2) Vậy G = { MC abc(a2 - b2) (b2 – c2)(c2 – a2) } abc Câu H Ta tách sau : a a a + + + x( x − y )( x − z ) y ( y − z )( y − x) z ( z − x )( z − y ) 1 + + ( x − y )( x − z ) ( y − z )( y − x) ( z − x )( z − y ) 1 + + =0 ( x − y )( x − z ) ( y − z )( y − x) ( z − x )( z − y ) 1 a a( + + )= x( x − y )( x − z ) y ( y − z )( y − x) z ( z − x )( z − y ) xyz Qui đồng tập G III- Bài tập áp dụng: Rút gon.: a + 3ab 2a − 5ab − 3b 1/ A = + a − 9b 6ab − a − 9b (10 + 1)(102 + 1)(104 + 1) .(102 n + 1) 2/ B = ( nhân vvế với (10-1) a − b b − c c − a (a − b)(b − c)(c − a ) + + + 3/ C = a + b b + c c + a (a + b)(b + c )(c + a ) a ( x − b)( x − c) b( x − c)( x − a ) c( x − a )( x − b) + + 4/ D = (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a )(c − b) 3 (a + b + c) − (a + b − c) − (b + c − a )3 − (c + a − b)3 5/ E = Ta đặt ẩn phụ để dễ giải : x = a+b –c ; y = b+c-a ; z = c+a-b ;suy x+y+z = a+b+c 1 2a 4a 8a 6/ G = + + + + a − b a + b a + b a + b a + b8 1 1 + + + + 7/ F = a + a a + 3a + a + 5a + a + 7a + 12 a + 9a + 20 1 2x x3 8/ H = − − + x − x + x + x + x − x + x8 − x + a a a a a + + + + 9/ K = 2 2 x + 4a x + a.x x + 3a.x + 2a x + 5a.x + 6a x + 7a.x + 12a 2 ( x + 2) x x + 6x + 10/ L = (1 − )− x x+2 x Chú ý : Khi rút gọn biểu thức ta cần làm sau: - Quy đồng mẫu thức để thực phép tính - Khi nhân đa thức ý đến đẳng thức đáng nhớ - Viết phân thức dạng tổng , hiệu hai phân thức - Ta cộng đa thức để xuất đẳng thức - Ta đặt ẩn phụ để tốn đơn giản Ta có SỬ DỤNG CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH ĐỂ THIẾT LẬP VỀ QUAN HỆ ĐỘ DÀI CỦA CÁC ĐOẠN THẲNG CHN ĐỀ 6: Các cơng thức diện tích cho ta quan hệ độ dài đoạn thẳng , chúng có ích để giải nhiều tốn Ví dụ 1: Cho tam giác ABC a/ Chứng minh điểm M thuộc miền tam giác ABC tổng khoảng cách từ M đến cạnh chiều cao tam giác b/ Quan hệ thay đổi M thuộc miền tam giác GIẢI Gọi a h cạnh chiều cao tam giác ABC, MA’, MB’, MC’ khoảng cách từ M đến BC,AC,AB A C' B' M B C H A' a/Nếu M thuộc miền tam giác : A B A' C' C o B' M SMBC + SMAC + SMAB = SABC 1 1 ⇒ BC.MA '+ AC , MB '+ AB.MC ' = BC AH 2 2 a a ⇒ ( MA '+ MB '+ MC ') = h ⇒ MA '+ MB '+ MC ' = h 2 b/ Nếu M thuộc miền tam giác ABC thuộc miền gócA(2) SMBC + SMAC - SMAB = SABC ⇒ MA '+ MB '− MC ' = h Tương tự cho miền cịn lại Ví dụ 2: Các điểm E,F nằm cạnh AB, BC hình bình hành ABCD cho AF = CE Gọi I giao điểm AF, CE Chứng minh ID tia phân giác góc AIC Giải: E A H B I K D F C 1 S ABCD S DEC = S ABCD ⇒ S AFD = S DEC 2 Kẻ DH vuông góc ÍA DK vng góc với IC ta suy DH = DK , Suy IH = IK Vây, DI tia phân giác góc AIC Ví dụ : Cho tam giác ABC có µ ≥ 90o ; D diểm nằm A C Chứng minh tổng A khoảng cách từ A từ C đến BD lớn đường cao kẻ từ A nhỏ đường cao kẻ từ C tam giác ABC GIẢI: Ta có SAFD = K F A D E B H C Gọi AH CK đường cao tam giác ABC Kẻ AE CF vng góc với BD Đặt S ABC = S SCBD 2S 2S ⇒ AE + CF = Ta có AE = ABD , CF = BD BD BD 2S 2S ; CK = Ta lại có AH = BC BA Do µ ≥ 90o nên BA< BD